從哲學(xué)視域探討高數(shù)中的幾個(gè)概念論文
哲學(xué)和數(shù)學(xué)可以說是一對孿生兄弟，密不可分。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，有意利用哲學(xué)思想會讓教學(xué)更靈活和富有新意。本文主要從哲學(xué)角度探討高等數(shù)學(xué)的幾個(gè)重要概念。
一、函數(shù)、極限、連續(xù)
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現(xiàn)實(shí)生活中，每個(gè)人都有著錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系。比如：朋友關(guān)系、師生關(guān)系、醫(yī)患關(guān)系、父子關(guān)系等。對于兩個(gè)有聯(lián)系的事物在量上存在著的某種關(guān)系，數(shù)學(xué)中我們把它定義為函數(shù)，即 y=f（x）。
�。ǘO限
事物是發(fā)展變化的，但我們總希望在變化中發(fā)現(xiàn)它的穩(wěn)定性，這在數(shù)學(xué)中就是極限。極限是微積分的工具，在其中占據(jù)很大的地位。不僅如此，極限在物理、工程等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，它揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系。極限是個(gè)美好的東西，借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識無限，從不變認(rèn)識變化，從直線形狀認(rèn)識曲線形狀，從量變認(rèn)識質(zhì)變，從近似認(rèn)識準(zhǔn)確。
我們每個(gè)人都在為了過上理想的生活努力奮斗。隨著努力程度的增加，我們離美好事物也會越來越近。盡管如此，但有時(shí)還是觸摸不到。這種想要而得不到的心情又加深了我們對美好事物的向往。極限思想恰好體現(xiàn)了我們追求美好事物的過程。例如對于一個(gè)數(shù)列1,12,13,……，1n,這里可以把n 增加 的 過 程視作 我們 努 力 的 過 程，把 極 限 值0視作我們的目標(biāo)，顯然隨著 n 的逐漸增大，離目標(biāo)0越來越近。極限是事物變化過程中呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性趨勢。它與個(gè)別點(diǎn)的取值有關(guān)系，但個(gè)別點(diǎn)的取值又決定不了最終的趨勢。比如我們經(jīng)常聽到的一句話“冬天來了，春天還會遠(yuǎn)嗎？”冬去春來是大自然的內(nèi)在規(guī)律，可能這個(gè)冬天有點(diǎn)暖，那個(gè)春天有點(diǎn)冷，但是，無論怎樣都改不了四季輪回的整體趨勢。
哲學(xué)中常說事物的發(fā)展是曲折上升的。這在極限中就可以體現(xiàn)出來。比如我們來看數(shù)列1-12,1+13,1-14,1+15,……，1+（-1）n 1n+1……，隨著 n 的逐漸增大（這里我們可以將其看作某人逐漸努力的過程），這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)越來越接近極限值1（這里我們可以把極限1看作這個(gè)人奮斗的目標(biāo)）。通過這個(gè)人的努力最終達(dá)到目標(biāo)了，這解釋了事物的發(fā)展是伴隨著曲折和坎坷而不斷上升的�？梢娫谧分鹈篮檬挛锏穆吠局须m充滿了曲折和挑戰(zhàn)，但只要認(rèn)準(zhǔn)了自己的正確目標(biāo)，堅(jiān)持到底，一定會達(dá)到勝利的彼岸。
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哲學(xué)中事物的變化是從量變到質(zhì)變。這在高等數(shù)學(xué)中也有明確的概念來對應(yīng)。事物數(shù)量積累是連續(xù)的，量積累到一定程度變化到質(zhì)，又是不連續(xù)的，也就是高等數(shù)學(xué)中談到的間斷點(diǎn)。經(jīng)過質(zhì)變之后，又進(jìn)入了下一輪的量變過程，連續(xù)與間斷如此反復(fù)促進(jìn)事物的發(fā)展變化。當(dāng)然對間斷點(diǎn)稍做調(diào)整又可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)，這也說明在一定條件下兩者可以相互轉(zhuǎn)化。
二、導(dǎo)數(shù)與微分
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事物是變化的'，這就決定了它們的關(guān)系也是變化的。當(dāng)一種現(xiàn)象發(fā)生量的變化時(shí)，與之相關(guān)的另一現(xiàn)象也隨之變化。數(shù)學(xué)中用增量表示變化。這里我們把吟x=x2-x1稱為自變量的變化；吟y=y2-y1稱為因變量的變化。 于是就有了研究變化與變化關(guān)系的概念即導(dǎo)數(shù)：
導(dǎo)數(shù)是討論變化與變化的關(guān)系，這種變化關(guān)系有強(qiáng)有弱。根據(jù)變化的強(qiáng)弱可得到如下對應(yīng)關(guān)系：（1）多變對多變；（2）多變對少變；（3）多變對不變；（4）少變對少變；（5）少變對多變；（6）少變對不變；（7）不變對萬變。舉例來說，對于（1）與（4），就一些奢侈品而言，如香水，它的價(jià)格變動(dòng)時(shí)，人們的需求也會隨之變化。若當(dāng)其價(jià)格降為0時(shí)，需求最大。這就是彈性需求。對于（2）和（3），就如生活中的必需品，如饅頭，即使價(jià)格降為0,人們對其需求也變化不大。人們對它的需求不因價(jià)格的變化而變化，我們稱之為剛性需求。對于（5），就如在某人體溫發(fā)生微小變化時(shí)，如上升了0.3度，對于這個(gè)人來說就會感覺到渾身不適。還有一個(gè)大家非常熟悉的“蝴蝶效應(yīng)”---一只蝴蝶在巴西煽動(dòng)翅膀會在得克薩斯引起龍卷風(fēng)，說的也是小變化引起大變化的例子。對于（7），在高等數(shù)學(xué)中，常量與變量既有嚴(yán)格的區(qū)分，又相互依存、相互滲透，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。再如，在多元函數(shù)微積分中，為了研究某一個(gè)變量的性態(tài)，往往把其余變量看作常量。
導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上體現(xiàn)了變化與變化的關(guān)系。然而要研究事物間的變化關(guān)系，必須弄清兩件事：一是在什么范圍內(nèi)發(fā)生變化，也就是數(shù)學(xué)中所說的論域，只不過數(shù)學(xué)當(dāng)中研究的是一種抽象的變化，脫離了具體的背景，如果我們把這種變化關(guān)系用到經(jīng)濟(jì)中就是邊際與彈性問題。邊際討論的是絕對變化量的關(guān)系，彈性討論的是相對變化量的關(guān)系。而經(jīng)濟(jì)學(xué)更關(guān)心的是邊際效益。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有一個(gè)通用規(guī)律：邊際效益遞減。這一規(guī)律有著很廣泛的應(yīng)用。比如人與人的交往中，一開始大家都對彼此有很大的興趣，但隨著時(shí)間推移，我們會慢慢不在乎對方的一舉一動(dòng)，這正是平常所說的夫妻間的“七年之癢”.如果大家明白了這點(diǎn)，就會在自己今后的生活中學(xué)會創(chuàng)新。工作也一樣，比如輔導(dǎo)員（父母）如果不厭其煩地重復(fù)一個(gè)模式、一句話，那么其發(fā)揮的功效就會慢慢減少。
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世界的一切事物是相互聯(lián)系的。導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的，是關(guān)于函數(shù)變化率的問題；而微分是用函數(shù)變化率的線性主部來定義的，用于近似計(jì)算。兩問題出發(fā)點(diǎn)雖然不同，但都揭示了同一問題的本質(zhì)特征。
三、積分
事物之間的關(guān)系是對稱也是相互的。比如在父子關(guān)系中我們可通過父親找到他的兒子；也可通過兒子找到父親。導(dǎo)數(shù)既然是討論變化與變化的關(guān)系，那么按照關(guān)系的對稱性，就理所當(dāng)然地有導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算---積分。
積分學(xué)包含定積分和不定積分。單從概念上看，它們千差萬別。不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，定積分是由研究面積、體積等問題發(fā)展起來的。后來，牛頓·萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了它們的聯(lián)系，也即著名的牛頓·萊布尼茨公式：
在此公式中，左邊是定積分，右邊是原函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的差。不定積分與定積分共處于牛頓·萊布尼茨公式之中，互相依存，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。一個(gè)小小公式中包含如此豐富的哲學(xué)道理，可見數(shù)學(xué)符號的美妙。
事實(shí)上，很多時(shí)候我們借助了微積分的思想。例如，國家的法律體系、醫(yī)療制度、教育公平、計(jì)劃生育等都是具體而復(fù)雜的工程。國家來實(shí)施這些政策都是先對工程進(jìn)行分解，即定積分的“分割”思想；每個(gè)階段通常是先找到一個(gè)大框架，即定積分的“近似”思想；每個(gè)階段都有近似解決方案，合起來就得到了整個(gè)工程的處理思路，即定積分的“求和”思想；最后是針對近似處理出現(xiàn)的小問題逐漸去接近大家期望的完美結(jié)果，即定積分的“極限”思想。
總之，哲學(xué)的思想在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)不僅是一門學(xué)科，還是一種思想方法。在課堂教學(xué)中融入哲學(xué)思維可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的辯證思維，在掌握高等數(shù)學(xué)的同時(shí)巧妙地與其他學(xué)科聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展。
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