數學中的哲學觀之探微論文

數學中的哲學觀之探微論文

　　[摘要]本文從數學運算的對立統一、不同的數學知識之間的相互聯系、數學理論發展過程的量變到質變、數學中的否定之否定規律等，論述了數學中充滿著辯證法。

　　[關鍵詞]數學 辯證法 對立統一 矛盾 相互聯系

　　世界是客觀的、物質的世界，遵循運動、變化、發展的規律。唯物辨證法是指世界是客觀的、物質世界是普遍聯系和永恒發展的。數學中充滿著辯證法，古今數學家都把自然辯證法的思想作為研究數學的指導思想，從而取得了一個個成果。依據辯證唯物主義觀點來研究數學是一件有意義的工作。

　　一、數學運算的對立統一

　　數學中加與減、乘與除、乘方與開方、指數與對數運算、三角與反三角運算、微分與積分運算等等，它們都是互逆的運算�；ツ娴倪\算是對立的雙方，是現實世界中正與逆的矛盾在數學中的具體反映，它們互相依存，不可分割。在一定條件下相互轉化。數學運算正與逆的存在與統一，是解決數學問題的有力杠桿，因而對一個給定的運算是否存在逆運算，它是怎樣形成的，始終是數學研究的中心課題。

　　數學運算有高底之分，一般地，我們將加與減、乘與除、乘方與開方分別稱為第一、二和三級運算。這里較高一級的運算與較低一級運算之間有一定聯系，且能相互轉化。例如，乘法是加數相同情況下的加法，乘方是因數相同情況下的乘法，多元函數的導數歸結為求一元函數的導數，多元函數的積分歸結為函數的微分，并且由“牛頓—萊布尼茲公式”，將一元函數的微分與積分聯系起來。

　　二、數學中充滿著矛盾

　　常量與變量是數學中兩個非常重要的概念，常量是反映事物相對靜止狀態的量，變量是反映事物運動變化狀態的量，它們是有區別的。但它們又具有相對性、依存性，在一定條件下可以相互轉化，因此又是統一的。

　　現實世界中的有限與無限，反映到數學中來成了量的有限與無限。數學中人們常常通過有限來認識無限。無限一方面可以作為有限的總和而存在，作為一切有限的對立物而存在；另一方面又可作為描述量的變化過程而存在。有限與無限有著質的差異。例如，一個有限集和它的任何真子集之間都不能建立一一對應關系。但在無限集中，就不完全是這樣。比如，自然數集可以和它的真子集建立一一對應關系，一個有限的數集必有最大數與最小數，但是無限數集就不一定是這樣。再如，對于數的有限和滿足交換律與結合律，但在無限和式中就不能任意運用這些定律，否則將導致謬誤的結果。

　　直與曲是兩種不同的形象，從幾何角度說，前者曲率是零，后者曲率非零。從代數角度說，前者是線性方程，后者是非線性方程，因而直與曲的區別是極為明顯的。恩格斯說：“幾何學開始于下列的發展，直線與曲線是絕對的對立，直線完全不能用曲線表現，曲線也不能完全用直線來表現，兩者是不能通約的，但是連圓的計算也只有用直線來表現它的圓周時才有可能，而在具有漸近線的曲線的情況下，直線完全化為曲線，曲線完全化為直線，平行的概念也同樣趨于消失，兩條線并不是平行的，它們不斷地相互接近，但永遠不相交。”這就是在一定條件下，直與曲可以相互轉化的辯證思想。

　　三、數學理論發展過程的量變到質變

　　量變質變規律指出了量變、質變是事物運動變化的兩種最基本狀態，事物的發展變化都表現為由量變到質變，再由質變引起新的量變的反復過程。數學理論中體現著量變質變規律。一方面，數學中每種概念的存在都有著特定的量的界限，如果量變超出了這個界限，就會發生質變，形成另一種概念，這種新概念又存在著自己特有的新的量變。例如，正多邊形邊數的變化范圍是“大于或等于3的有限數”，如果邊數的變化超出上述范圍就不再是正多邊形，變為線段或圓。（邊數小于3時為線段；邊數超出有限數范圍，即趨于無窮時為圓。）不論線段還是圓，都有自己新的量變。另一方面，數學理論的形成過程是從量變到質變、從近似到精確的過程。比如為了求曲邊梯形的面積，先將該曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，如果分割足夠密，這些小曲邊梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面積的方法求出各個小曲邊梯形面積的近似值，其和就是原曲邊梯形面積的近似值。因為所求的僅為近似值，所以上述過程是量變的過程，沒有發生質的飛躍。如果分割無限加密，即各個小曲邊梯形的最大寬度趨于零時，就得到原曲邊梯形的精確面積，發生了從量變到質變的飛躍，這正是定積分理論的基本思想。

　　四、數學理論的發展過程中體現著否定之否定規律

　　否定之否定規律揭示了事物自己發展自己的完整過程是：經歷兩次否定、三個階段，即由肯定達到對自身的否定，并再由否定進到新的肯定——否定之否定。每一個數學理論的發展都符合否定之否定規律。在理論最初形成時，該理論得到肯定；隨著實踐的需要和研究的深入，該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來并被否定；進而數學家們開始研究如何使該理論更完善、更精確，最終得出新的結論，達到新的肯定。此外，數學的運算結果也體現著否定之否定規律，例如，正數取兩次相反數（兩次否定）仍是正數；命題邏輯中，一個命題的兩次否定仍是原命題等。

　　總之，數學內部處處蘊涵著哲學思想，數學家在哲學的滄桑巨變中不斷成熟，哲學觀點在數學成果的推動下不斷進步。

　　參考文獻：

　　[1]章士藻。中學數學教育學。江蘇教育出版社，1991 .

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