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20 世紀的邏輯哲學與數學哲學研究論文
一、邏輯、數學與哲學
20 世紀，邏輯和數學在人類的知識探索活動中占據著基礎和核心的地位，發揮著獨特而重要的作用。數學是我們知識獲求中最核心的部分，幾乎在所有科學探索領域中它都扮演著重要的角色，幾乎所有的自然科學和社會科學都實質性地預設了數學知識。與此同時，作為純理智反思程序的邏輯同樣在科學進步中發揮著重要作用，因為證據和假說之間的關系對于科學的進步是一個根本性的問題，而這又可看作是前提和結論之間的關系———一種邏輯的核心關系。從這種意義上說，邏輯作為整個科學事業的基礎也是毋庸置疑的。
從邏輯與數學的關系看，數學是一門典型的演繹科學，因而屬于邏輯的范圍; 而邏輯是數學基礎的一部分，邏輯反映了數學的演繹實踐，邏輯被數學所塑造，因而邏輯又屬于一門數學學科，我們如何看待數學和如何看待邏輯這兩個問題是相互交織在一起的。
邏輯和數學作為特定類型知識的典范，作為哲學反思的對象，又與哲學密切地聯系在一起，產生出獨具特色的邏輯—數學哲學問題。與其他的科學分支不同，數學是關于諸如數、集合和函數等數學實體，以及它們的結構關系的研究。邏輯是關于命題和真的理論，數學和邏輯的對象都是抽象的，尤其是數學對象，它們不占據時空位置，不具有因果作用。更進一步地說，數學和邏輯似乎是通過演繹證明的先驗方式運作的，其他科學似乎是通過實驗和歸納的后驗方法運作的。與科學其余分支的知識是可錯的相比，數學和邏輯的知識幾乎是不可錯的。一旦一個邏輯—數學定理被證明了，它似乎就永遠被證明了。它們沒有經驗事實，也不像物理學家那樣進行實驗和制定假說。數學家創造語言，而物理學家使用數學語言描述他們的假設，以及以數學為工具探討它們的邏輯后承。但是最終的物理理論必須假定被經驗事實所支持。
20 世紀，邏輯、數學與哲學的聯系異常緊密。邏輯學家、數學家和哲學家經常肩并肩地工作，他們彼此閱讀各自的著作，出席對方的會議，討論相互之間的問題。富有意義的是，在 20世紀，邏輯和數學的主要人物———弗雷格、羅素、維特根斯坦、布勞維爾、龐加萊、希爾伯特、哥德爾、塔斯基、卡爾納普和奎因———所有的都從邏輯或者數學轉到哲學。
邏輯生長于哲學的懷抱，哲學撫育了邏輯，邏輯又反哺于哲學。邏輯給哲學帶來了精湛的分析技術和豐富有效的思想資源，邏輯幾乎影響了整個語言哲學的風格，邏輯提供了各種形而上學發展的基本框架、邏輯也為元倫理學和心智哲學提供了方法論指南。另一方面，邏輯也受哲學的制約，邏輯依賴于哲學的基本預設，經典邏輯和各種非經典系統都有深刻的形而上學背景。
對數學而言，通過接受一種數學哲學，數學家們從而獲得了一種類似于價值系統之類的東西: 研究工作的取向，關于數學的作用和價值的判斷，關于數學的發展方向的引導，何種問題是重要的，何種問題應當被提出，何種方法論是合理的，等等。另一方面，當代數學也為哲學提供了豐富的數學形而上學、本體論、認識論、語義學和邏輯方法論的內容。數學這顆科學的皇冠因數學哲學而變得更為璀璨。
在當代，越來越多的哲學研究生教育不僅僅開始于柏拉圖和亞里士多德著作的閱讀，而且也開始于命題和謂詞演算以及數學和數學哲學的基本訓練。早先學生們闡釋真理概念的精微玄妙，現在則受訓于塔斯基式的真理概念的公理化熏陶。專題討論會和會話被真值表和語言的邏輯分析，以及 19 世紀后期德國科學哲學的著作所取代。邏輯和數學的這種壓倒性影響的結果是哲學的論證在一個高度技術復雜性上運行。那些過去曾經直接從哲學史中獲得問題的人如今發現，如果他們要有效地參加哲學討論必須掌握復雜的數理邏輯的技術和語義分析的方法。
總之，20 世紀的眾多哲學學科———如形而上學、認識論、數學哲學、科學哲學，以及心智哲學、語言哲學和形式語義學的發展和進步與這一世紀的數學與邏輯發展相向而行。其結果轉而又拓寬了數學和邏輯的研究領域，深化了對數學和邏輯的應用和范圍的理解。最終，邏輯和數學提供了諸如局限性定理等一批深刻而基本的理論結果，這些結果又給哲學，尤其是哲學中的認識論和心智哲學一深刻的影響。但是，與邏輯、數學和哲學的互動性活動相比較，關于邏輯哲學和數學哲學的基本問題依然是出奇的穩定。它們主要涉及: 什么是真理的性質? 什么是證明的性質? 什么是概念的性質? 什么是有效推理的性質? 除此之外，它們還包括:
( 1) 本體論問題: 數學和邏輯的研究對象是什么? 數、集合、點、線、函數、命題、量詞和變元等代表什么? 如果數學對象存在，它們是否獨立于數學家們的觀念，獨立于他們的語言等而存在? 什么應被看作是影響數學結構，實體等的存在證明的條件等? 在何種程度上數學的原理是客觀的和獨立于心智、語言和數學家的社會結構的?
( 2) 語義學問題: 數學和邏輯概念和陳述的涵義是什么? 邏輯和數學真理的本質是什么?什么是數學語言的最好的語義學?
( 3) 認識論問題: 數學和邏輯知識是如何被認識的? 它的方法是什么? 有觀察因素在其中起作用嗎? 如何裁決數學家之間和邏輯學家之間的爭論? 什么是證明? 證明是絕對確定的、不受理性懷疑的嗎? 數學的邏輯是什么? 存在不可知的數學真理嗎?
( 4) 邏輯問題: 什么是數學的邏輯? 什么是數學斷定的邏輯形式? 什么是邏輯的有效性?哪種邏輯后承的概念是邏輯和數學所需要的? 什么是有效的可計算性? 什么是集合? 什么是集合的基本性質?
( 5) 應用問題: 什么是數學和邏輯對其他學科領域的應用? 如何能夠為當代科學構造一種多類型的數學邏輯工具 ( 如模型的、系統的、語言的) ? 在不同類型的文化社會和經濟中數學和邏輯的角色是什么?
二、數學的限度: 限制性定理的哲學解釋
20 世紀，數學的發展主要涉及數學定理的證明，提出新的數學理論，以及為實現理論尋找公理。但是，也存在著關于數學理論本身的一些重要問題。例如，關于是否一特定的數學理論是一致的，是否一種數學理論有能力回答它應當回答的任何問題，即我們希望表明對任意的數學陳述，相關的數學理論能夠證明它或者證明它的否定。關于這類涉及一致性的高階問題又稱為元數學或元邏輯。毫不奇怪，這也是哲學家們高度感興趣的一個領域。特別是，按照若干關鍵性結果，數學能夠做什么是有限度的。這些結果就其本身而言就是十分有趣而重要的，它們也被認為有一種數學哲學的意義，甚至超越數學哲學進入到心智哲學及形而上學的領域。
第一個限制性結果來自集合論，被稱為雷文海姆—斯科倫定理。1915 年，德國數學家雷文海姆證明了一個著名的結果: 如果一個一階語句有模型，它有一個可數模型。1922 年挪威數學家斯科倫將這一結果推廣到一階語句的系統。在這些結果中最值得注意的是它們似乎公然與康托的集合論相抵觸。雷文海姆—斯科倫定理告訴我們，我們并不需要某些超出可數性的無窮。特別是存在著實數和集合論的可數模型。這似乎與康托的理論相沖突。這一結果的哲學意義在于它涉及人類刻畫和交流各類觀點的能力。這些觀點包括自然數、實數、集合，甚至基數。我們有關于這些概念的確定而不含混的概念嗎? 如果有，我們是如何把握這些概念的，并且我們又是如何與他人討論這些概念的? 雷文海姆—斯科倫定理暗示我們: 關于這些概念和對象所說的任何東西都可翻譯到一個理論中，而后者有著非預期的解釋。那么我們如何能確定其他人理解的是我們想要他們理解的東西? 我們又是如何知道我們自己對這些事項有著毫不含糊的概念呢? 斯科倫本人把這一結果解讀為，從根本上說所有的數學觀念都是 “相對的”，即不存在絕對和客觀意義上的自然數和基數，它們只是相對于某些論域或模型。當代哲學家普特南以這些和數理邏輯的其他結果為基礎，論證了一種意義深遠的反實在論的相對性，因為這種觀點蘊涵著: 如算術或實分析這樣給定的數學理論并沒有一個確定的研究對象，因此數學詞項沒有固定的指稱。
第二個富有哲學意義的成果是集合論中大量的獨立性結果。一個理論的獨立性問題是一個不可能給出肯定或者否定的回答的問題。這一不確定性不僅僅是認識論的問題。它并不是目前對所考慮的問題的答案無所知曉，寧可說，這類問題本身對相關的數學理論而言是完全開放的。數學中有許多這類問題。但最著名的例子是連續統問題: 實數集合的基數是什么? 策梅洛—富蘭克林集合論加選擇公理被認為是最強大的數學理論�？墒菙祵W家已經證明很多重要的數學問題不能由ZFC 的公理集合論所判定。這中間最著名的就是康托的連續統假設。根據 ZFC，實數比自然數多是集合論中的定理，而連續統假設斷言的是，不存在無窮的基數嚴格地處在這兩個尺度之間，即沒有一個既大于自然數的集合同時又嚴格的小于實數的集合。
這里我們有一個關于數學的非常重要又自然的問題，即什么是實數的基數? 即便是對最好的數學理論而言，這也是一個難以回答的問題。這里存在著若干選擇: 一是為了能夠回答這類問題，相關的理論需有待于進一步豐富; 二是數學中存在著一些開放性問題，并且放棄所有有意義的數學問題都是有答案的想法。人們發現，無論是哪一種選擇，最終數學家們還是陷入關于數學實在論和反實在論的爭論之中。
第三個例子是哥德爾著名的不完全性定理。該定理證明 ( 第一不完全性定理) 希爾伯特綱領是行不通的。哥德爾用有限理論證明如果一個形式系統 S 能表達算術的一致性，那么在 S 的形式語言中存在著一個命題 G，這一命題或其否定形式在 S 中是不可證的。 ( G 是這樣被構造的:它可以這樣說明自身，即它是不可證明的。) 他進一步指出 ( 第二不完全性定理) ，如果系統 S能夠通過有限的方法證明是一致的，那么系統 S 就會產生不一致。因為可以證明在系統中 “存在著命題 G 在 S 中是不可能證明的”。因為 G 是命題 “G 在 S 中不可證”的形式表達。因此，這又是 G 的一種證明。這樣 ( 根據第一不完全性定理) S 是不一致的。
這一證明的關鍵在于用數對形式語言符號進行編碼。這樣，公式和證明作為有限的符號和結構，也能用以下方式加以編碼; 它們的符號性質與它們的數學對應物的算術性質相對應。形式語言的有關命題就轉化為數的命題，這就允許符號系統有雙重解釋。我們在談論命題自身的同時，也可以談論數的巨大潛在的應用能力。這一思想揭示了作為符號和其他結構的編碼，數字具有極大的潛力。這一結果導致了數字電子計算機的發展。就希爾伯特的方案而言，不完全性定理意味著希爾伯特所要求的一致性證明只有在數學是不一致的情況下才有可能。
在某種程度上，關于數學應用的某些問題也劃歸在這類問題之中。一數學定理告訴我們在科學中被研究的自然世界的何種事實? 在何種程度上我們能夠證明結點、橋梁穩定性、象棋殘局以及經濟發展趨勢? 一些哲學家認為數學是某種符號游戲。但們都認為數學是有某種類型的意義的。這意義是什么? 它與普通的非數學話語的意義是如何相聯系的。數學定理能夠告訴關于我們物理世界，關于人類的可知性，關于程序計算機的原則能力的什么內容?
三、邏輯主義的失敗———是語義學問題還是概念的錯位?
邏輯主義是基礎主義的一種表現，基礎主義又是還原主義的一種形式。還原主義尋求的是一種知識領域的等級次序。在這種次序中，所有的知識建立在一些基本的第一原理上，從這些基本的第一原理出發，推出整個的知識體系，因而也就能夠合理的證明這一系統。因此整個知識的狀況問題也就集中在這些第一原理的狀況上。這需要假設一些絕對、永恒和普遍的理性秩序或者理性證明。數學哲學中的邏輯主義就是這樣的一種企圖。
貫穿 19 世紀和 20 上半葉西方哲學議程表的一個主要議題，是用還原主義的方式說明數學的必然性和先驗性。另一個問題是在不訴諸于類似康德直覺的情況下說明數學的應用。關于這一方面，最富有成效的發展是語義學的傳統。
語義學傳統歷經博爾扎諾、弗雷格、早期維特根斯坦和維也納學派的鼎盛時期，其主要的論題是將必然性和先驗知識落腳于語言的使用。因而，哲學家開始將他們的數學探索的中心轉向語言。數學的斷定意味著什么? 什么是數學斷定的邏輯形式?什么是數學語言最好的語義學? 發展和磨礪了眾多工具和概念的語義學元素在當代數理邏輯以及西方哲學中仍在有效地被使用，達米特將這一趨勢稱之為 “語言學的轉向”。語義學傳統的一個重要綱領體現為: 在命題是依據意義而為真的這一意義上，至少有一些數學的基本原理是分析的。諸如 “自然數”、“后繼”、“函數”、“加”和 “乘”這樣的詞匯，只要我們理解了它們的意義，我們也就知曉了諸如皮亞諾公設這樣的算術基本原理的真。如果綱領能夠被實施，它也會表明數學真理是必然的———在某種程度上，如此構造的分析真理也是必然的。假定了語詞意味著什么，數學命題必定獨立于物質世界的偶然性而為真。數學知識是先驗的———在一定程度上意義的知識是先驗的�？梢酝茰y，語言的說話人先驗地知道語詞的意義，因而我們知道數學命題是先驗的。但邏輯主義的主張以失敗而告終。
邏輯主義的失敗主要的并不是由于由弗雷格、羅素和懷特海所發展起來的綱領存在的具體問題而引起的，而是因為對邏輯和數學的概念理解和應用的錯位和誤置。因為，邏輯主義綱領是建立在邏輯比數學更一般，也更抽象的假設基礎之上的。人們一般認為，邏輯是所有學科中最一般的，因為邏輯是題材中立的，它適用于所有可能的話語，它是一般的有效演繹推理的研究。而數學比其他學科更加演繹，數學是邏輯和演繹推理的典范。在它的公理化和系統化的形式中，數學證明的每一演繹步驟都由邏輯所管轄。在這種情況下，人們認為，數學本質上就是演繹，從邏輯可以推出數學。
但在某種意義上，與邏輯相比數學是更加一般的。邏輯和數學各自的性質決定了邏輯和算術( 更一般地說是數學) 不能夠由一方推出另一方，而只能夠肩并肩地一起發展。數學和邏輯是建立在抽象的兩個不同的方向上。邏輯處理內容上最具一般性的東西，而數學是形式關系和形式性質的最一般理論。所以一方面數學的發展受制于邏輯的法則，另一方面，思維的邏輯結構又歸屬于具有必然和諧性的結構說明的反思的數學范圍之內。
因此，首先邏輯與數學之間不是一般和特殊的關系。其次，邏輯并不比數學更抽象。盡管二者都是抽象的，但它們卻是在不同方向的抽象。因為抽象的方向至少部分的是不重合的，因而在哪一個比哪一個更抽象這方面，二者是沒有可比性的。第三點聯系也許是最本質的。就像邏輯的表達方式本質上是數學的一樣，數學的表達本質上是邏輯的。數學由于是一門演繹的科學而屬于邏輯，邏輯由于例化了某種類型的結構而屬于數學。邏輯和數學的關系并不是一個包含著另一個，它們中的每一個都實質性地假定了對另一個的使用，因而從某種意義上說預設了另一個的某些方面。
除此之外，邏輯主義試圖表明，至少在它的弗雷格形式中，并非數學僅僅被邏輯所滲透。數學就是邏輯，加適當的定義: 數學內容就是邏輯內容。如果邏輯主義綱領成功，我們將有理由認為數學是邏輯的一種特定的形式，因而邏輯比數學更一般。盡管在實施這一綱領的困難證偽了邏輯主義，但我們仍舊要將邏輯更具一般性，和數學的內容可還原為邏輯的內容這兩個問題區別開來。后者是關于數學內容的，而前者是關于它的表達和實施的。
總之，邏輯和數學的依賴關系是雙向的。數學推理的特征是一種邏輯的運作，而邏輯的運作是一種數學的行為。數理邏輯并沒有達到作為算術的邏輯基礎的目標。邏輯主義失敗的原因并不在于弗雷格的處理的特定形式，而寧可是錯誤地提出將數學還原為邏輯的問題造成的，即數學和邏輯并非是一種特殊和一般的關系。
四、數學需要什么樣的邏輯?
關于數學需要什么樣的邏輯的問題，我們以一階邏輯和高階邏輯在表達力與復雜性方面的某些特征為例，討論它們作為數學語言的優劣。目前公認的、最普通的邏輯系統是初等謂詞邏輯，又稱為一階邏輯。一階邏輯有一個被良好研究的證明論和模型論，有若干有趣的性質: 有一個遞歸—可枚舉的演繹系統 DI，使得任何一個一階語句 Φ 是一階語句 Γ 的集合的邏輯后承，當且僅當在 DI 中 Φ 是從 Γ 中可演繹的，因而一階邏輯是完全的。由此推出一階邏輯在如果每一一階語句的集合 Γ 的有窮子集是可滿足的，那么 Γ 本身是可滿足的意義上是緊致的。向下的雷文海姆—斯科倫定理是: 一個一階語句的集合 Γ 是可滿足的，那么它有一個其論域是可數的模型; 向上的雷文海姆—斯科倫定理是，如果對每一自然數 n，一個一階語句的集合 Γ 有一個其論域至少有 n 個元素的模型是可數的模型，那么對任意無窮基數 K，Γ 有一個其域至少是 K 大小的模型。
不論是日常自然語言的論證還是來自于數學的論證都廣泛采用了一階語言的論證模式。一階邏輯對于研究有效性是一個好的工具。一階語言也捕捉到了自然語言語義學的某些重要特征，所以一階語言邏輯也是研究自然語言的工具。然而，一階邏輯在表達力方面有嚴重的缺陷。諸如有限性、可數性、極小閉包、良基性和良序性等概念在一階語言中都不可能被捕捉到。更進一步地說，許多重要的語言學術語、區別以及結構都不在一階語言的范圍之內。
一階邏輯的主要替代者是二階邏輯。在一階刻畫中缺乏的數學概念在二階語言中都有充分的刻畫。例如，存在著一個二階公式 FIN ( X) 在一結構中可滿足當且僅當指派到 X 的集合是有窮的。這方面的例子包括自然數、實數、歐幾里德空間以及集合論。一般地說，二階語言和高階語言允許語言學家對許多超出一階語言的語言學結構進行�；�。
二階語言的表達力的豐富是由代價的。從二階邏輯的表達力中可以推出，二階邏輯不是緊致的，二階邏輯對雷文海姆—斯科倫定理是失效的。二階邏輯是高度復雜的，在某些方面是深奧難懂的。在沒有可靠性和遞歸可數的演繹性方面，二階邏輯是內在不一致的。的確，二階邏輯的真并不在分析的等級層列之中。當然，二階邏輯的這些特征是否是它的一個 “缺陷”這依賴于一個好的邏輯理論的性質是什么。進而，又依賴于邏輯理論被認為應當完成什么。按照這些古老的問題，我們對二階邏輯做一些評述。
二階邏輯后承的難解性是二階語言表達力的一個直接和不可避免的后果。在一種意義上，邏輯后承的非形式概念是與語句 ( 命題) 意味著什么以及語言的詞項指稱是什么聯系在一起的。因而，如果形式語言的目的是為了捕捉非形式的數學話語的語義學內容，特別是，為了復制指稱和可滿足的概念———因為非形式的數學話語似乎在刻畫諸如有限和結構、自然數和實數等方面有資源，而我們的形式語言應當有這方面的表達力———那么，一般認為，二階語言的難解性和豐富性就是數學語言的豐富性和難解性的一個后果。從這一觀點看，人們應當認為數學和邏輯是一個無間隙的整體，在二者之間不可能劃出一條直截了當的界限。丘奇在他對二階邏輯的處理時曾經寫道:邏輯和數學不應作為兩個不同的學科加以刻畫，而是同一學科的初等和高等部分。①
巴威思也闡述了類似的思想:
在基礎邏輯的學科中，我們試圖對體現于作為邏輯常項的 “邏輯概念”與作為數學概念的其他概念之間做出區別。關于是否存在著這樣一條界限，或者是否所有的數學概念有它們自己的邏輯的問題，不存在這條區分線畫在何處的問題…作為一個邏輯學家，一方面，說服人們相信邏輯是一階的，另一方面，又說服人們相信一階邏輯難以捕捉到現代數學中幾乎所有的概念，這樣做是在危害邏輯的事業。②
巴威思得出的結論是，不可能再回到邏輯是一階的觀點中去。
哲學家也有理由使得邏輯較容易被處理，或者至少比起二階后承關系要更容易處理。有一種久已存在的觀點，邏輯不應有本體論和形而上學的預設。如果這一點難以做到，那么至少這種預設應保持在最低限度。邏輯后承僅僅取決于邏輯小品詞的意義。后承關系應當是透明的，潛在明顯的。如果連續統假設成為邏輯真理，那一定是有些地方出了錯誤。
作為一階邏輯的直言不諱的支持者，蒯因反對二階邏輯。他認為:大部分的邏輯推理發生在并不預設抽象實體的層面上。這種推理主要是通過量詞理論 ( 即一階邏輯) 來進行的。它們的法則能夠通過不涉及對類變元的量化來表達。通常按照類、關系甚至偶數所明確表達的大多數內容，都可以在量化理論的模式內被重新表述。③蒯因后來論述道: 二階邏輯并不是邏輯，而是偽裝的集合論，是披著羊皮的狼。④
當代邏輯學家提出了一種妥協方案，他們設想在一階邏輯和二階邏輯之間存在著一種發展邏輯的可能性。哲學家試圖在這兩種極端之間尋找一種路徑，一種不像一階邏輯那么弱，但至少保留分析性和透明性這種傳統的可欲之物。正式地說，邏輯學家希望邏輯系統比起一階邏輯應有更強的表達力，但是不像二階邏輯那樣難以理解。這就是當代邏輯學家從事邏輯研究的動機之一。對此，考爾斯寫道眾所周知，一階邏輯在表達數學家們研究的許多概念方面是能力有限的…然而，一階邏輯…的確有相當廣泛的發展，并且有被很好理解的模型論。另一方面，整個的二階邏輯有數學所需要的全部表達力，但是有一個不可行的模型論。的確一種語義上足夠復雜到能夠談論某些事物，但與此同時又簡單到足以談論某些事物的邏輯的研究，這是邏輯的一種增殖。⑤
五、數學與邏輯中的不可或缺性論證
一個相當引人注目但卻毫無爭議的事實是數學和邏輯對科學似乎是不可或缺的。特別是，蒯因和普特南論證道，數學對經驗科學的
不可或缺的論證給了我們相信數學實體存在的極好的理由。按照這一路線，諸如集合、數、函數以及邏輯學中的可能世界等對最好的科學理論而言是不可或缺的，所以我們應當訴諸于這些數學和邏輯實體的存在，否則就犯下了普特南所謂的 “理智不誠實”的罪過，更進一步地說，數學和邏輯實體似乎在認識論上與科學理論中的其他實體相同。因為對前一類實體存在的信念被確認作為一個整體的理論的相同證據所辯護 ( 因而相信后一類實體的存在) 。這一論證稱之為蒯因—普特南數學實在論的不可或缺的論證。不可或缺的論證引起了極大的關注，它構成了 20 世紀最后幾十年數學哲學和邏輯哲學爭論的一個焦點，并被看作是對數學實在論的最好的論證，因而關于數學實體的反實在論者 ( 或唯名論者) 認為不可或缺性的論證必定在某些地方有錯誤。而許多柏拉圖主義者依賴這一論證以證成他們對數學實體的信念。這些論證使那些對諸如夸克，電子、黑洞等其他科學理論實體持實在論立場的唯名論者處于一種特別困難的境地。因為通常他們接受的上述實體非常類似于不可或缺論證所辯護的那些實體。絕大多數的科學實在論者都接受了關于最好解釋的論證。的確，最好解釋的推理被認為是科學實在論的基石。但是，最好解釋的論證也許被視為是不可或缺論證的一種形式，所以，任何一個接受了前一種立場而同時又拒絕后一種立場的實在論者會察覺到他們處在一個非常不穩固的立場上。不可或缺的論證呈現為以下形式:
( 前提 1) : 對于那些并僅對于那些對我們目前最好的科學理論是不可或缺的實體，我們應當有一種本體論的承諾。
( 前提 2) : 數學實體對于我們最好的科學理論是不可或缺的。
( 結論) : 對數學實體我們應當有一種本體論的承諾。
對不可或缺的論證存在著許多反對的意見。其中關于前提 ( 前提 1) 的質疑主要體現于對抽象對象的不可或缺性的批評: 例如，唯名論數學提出一種不需要假設抽象對象的唯名論數學以取代經典數學，由此論證抽象數學對象不是不可或缺的。以菲爾德為代表的數學唯名論觀就認為，數學對科學并不是不可或缺的。菲爾德的論證由兩部分組成。⑥第一部分是試圖證明我們最好的科學理論沒有數學也能存活下來。為了這一目的，他試圖對牛頓的引力理論施加一個唯名論的框架。盡管這遠未證明所有我們目前最好的科學理論都能夠唯名論化，但它的確不是微不足道的。菲爾德認為，對于一個典型的物理理論，一旦人們看到對數學實體指稱的消除是可能的，那么將這一做法擴展到其他的科學領域也是完全可行的。
菲爾德的第二部分是論證數學理論并不需要在應用方面是真的有用的，它只需要保守性。這意味著，利用這些數學理論可以推導出的關于具體物理對象的結論，不用這些數字定理也可以推導出。菲爾德唯名論的數學只涵蓋了較簡單的數學。同樣的策略不適用于更高級的數學。另外，菲爾德假設時空中的點和區域是具體對象，但是，從哲學分析的角度看，時空中的點是我們對時空結構的抽象設置，其本身應當是抽象的。而且菲爾德的唯名論數學在應用于物理學時顯得繁瑣，而且只能涵蓋很有限的物理和數學，因而不可能得到科學家的承認。不可或缺的論證也包括邏輯哲學中模態實在論對 “可能世界”、“可能性”和 “必然性”等概念的辯護。模態邏輯把 “P 是必然的”定義為 “P 在所有的可能世界中為真”，“P 是可能的”定義為 “P 在至少一個世界中為真”。在使用這種萊布尼茨式的真值條件定義時，邏輯對可能世界進行量化。模態實在論認為，對可能世界的量化，就像我們對石頭和木棒的量化一樣，通過存在量化式我們不僅承諾了石頭和木棒的存在，也承諾了可能世界的存在。模態實在論者對可能世界的論證也采取了不可或缺的論證模式。例如，劉易斯就認為我們沒有理由不承認模態實在論，因為它有效。這如同我們承認數學客體的存在是因為它有用是一樣的。
對劉易斯可能世界不可或缺的論證的反對主要由認識論的反對和模態無關性的反對組成。認識論的反對由理查德提出。⑦他認為: “盡管可能世界語義學的確產生出關于可能性的真值條件，但它是這樣一種真值條件，即對任何給定的陳述，一般地不可能確定它們是否被滿足，因而一般地也不可能確定它們是真的”。為什么呢? 理查德認為，因為根本就沒有模態模態，因而包含有模態話語的知識既是不可獲得的，又是毫無用途的。
以朱比因為代表的模態無關性觀點認為，說我們的世界在某些方面與所謂可能世界的實體相似固然是自然的，但為什么我們要假定我們世界的任何方面都可能與這些實體相似。存在著這種類型的實體嗎? 畢竟我們沒有創造出這些特別的實體。它們以一種與 “世界”相似的方式產生出來，不管怎樣，這只是一種可能。它們只是在那里，決然地獨立于我們。我們必須與這樣的可能性打交道嗎? 由此朱比因也就斷然否定了模態知識的可能性。⑧
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