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類型空間離散的不完全信息二維價格博弈研究
摘 要：本文通過分析類型空間離散的不完全信息二維靜態(tài)價格博弈和單獨博弈與二維博弈的均衡結(jié)果比較，并經(jīng)過算例驗證，得出了結(jié)論：分析證明了當兩種產(chǎn)品無相互替代性時，分別采取價格策略的雙寡頭一維靜態(tài)博弈模型是本文二維靜態(tài)價格博弈模型的特殊情形;當兩種產(chǎn)品具有一定替代性時，對每一種產(chǎn)品進行單獨博弈的均衡策略劣于聯(lián)合對兩種產(chǎn)品進行二維博弈的均衡策略。
關(guān)鍵詞：多維博弈;價格;貝葉斯納什均衡;不完全信息
一、引言
在現(xiàn)實經(jīng)濟活動中，企業(yè)之間存在多個具有相互影響的博弈問題，如企業(yè)對具有一定替代性的多種產(chǎn)品的生產(chǎn)進行博弈的問題。當企業(yè)對每一種產(chǎn)品進行博弈時，除了要考慮競爭對手同類產(chǎn)品策略對本企業(yè)產(chǎn)品的影響外，還要考慮其他替代性產(chǎn)品策略對該產(chǎn)品的影響，這就構(gòu)成了多維博弈問題。
譚德慶在論文中系統(tǒng)的介紹了多維博弈的定義和基本理論，并給出了完全信息和不完全信息下的靜態(tài)和動態(tài)博弈基本模型和均衡解;[1]其后又分別研究了產(chǎn)量――價格策略多維靜態(tài)博弈、類型空間連續(xù)的不完全信息多維靜態(tài)價格博弈、類型空間離散的不完全信息多維靜態(tài)產(chǎn)量博弈以及不完全信息動態(tài)二維價格博弈等多種多維博弈模型;文獻[2]則研究了關(guān)于具有一定替代性的新舊兩種產(chǎn)品在完全信息下的動態(tài)產(chǎn)量-價格策略下的雙寡頭二維博弈模型及其均衡，并與單獨博弈的情形作比較，體現(xiàn)了多維博弈在具有替代性產(chǎn)品的博弈中的優(yōu)越性;文獻[3]比較了完全信息與不完全信息下具有替代性產(chǎn)品的古諾競爭的均衡結(jié)果，表明了不完全信息下產(chǎn)品的替代性對均衡產(chǎn)量和利潤均有影響;本人也曾在論文中探討了不完全信息條件下的產(chǎn)量――價格策略二維靜態(tài)博弈模型及均衡[4]。
在實際的市場競爭中，企業(yè)在進行產(chǎn)品競爭時，對產(chǎn)品采取價格策略來爭奪對手顧客。針對這種情況，已有討論針對完全信息下的靜態(tài)雙寡頭價格策略二維博弈模型及其均衡和類型空間連續(xù)的不完全信息雙寡頭價格策略博弈模型。本文將其拓展到類型空間離散的不完全信息情況下進行相關(guān)研究，以期填補這一空缺。
二、類型空間離散的不完全信息二維靜態(tài)價格博弈
為構(gòu)建博弈模型，現(xiàn)提出以下假設(shè)：
第一，某一地區(qū)有兩個企業(yè)――企業(yè)1和企業(yè)2――均生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品具有一定的相互替代性，兩個企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品同類但不完全同質(zhì)，即所生產(chǎn)的同種產(chǎn)品在質(zhì)量上有一定差異;
第二，兩個企業(yè)對該地區(qū)的產(chǎn)品市場形成壟斷，且生產(chǎn)的產(chǎn)品完全供給該地區(qū);
第三，企業(yè)1生產(chǎn)的甲乙兩種產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本是完全信息，即企業(yè)1和企業(yè)2均確切知曉企業(yè)1所生產(chǎn)的甲乙兩種產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本;
第四，企業(yè)2所生產(chǎn)的甲產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本是完全信息，即企業(yè)1和企業(yè)2均確切知曉企業(yè)2所生產(chǎn)甲產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本;企業(yè)2所生產(chǎn)的乙產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本為類型空間離散的不完全信息，即企業(yè)2確切知曉本企業(yè)生產(chǎn)乙產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本，而企業(yè)1只知道其生產(chǎn)成本的可能取值及其相應(yīng)概率。
在靜態(tài)價格博弈模型下兩個企業(yè)將同時做出選擇，決定自己所生產(chǎn)產(chǎn)品的價格，從而使各自的總利潤達到最大。由于其成本信息是類型空間離散的不完全信息，就形成了一個類型空間離散的不完全信息二維靜態(tài)價格博弈。模型的具體構(gòu)建過程如下：
設(shè)企業(yè)i將兩種產(chǎn)品的市場價格定為(p，p)≥0，(i=1，2)，(p，p)∈p×p，其中第一個下標表示企業(yè)，第二個下標表示產(chǎn)品，p×p則表示企業(yè)i兩種產(chǎn)品可選擇的價格策略集合，即價格策略空間。由于兩種產(chǎn)品之間存在一定的相互替代性，那么對于企業(yè)的一種產(chǎn)品，其需求量不僅受市場上同種商品(本企業(yè)和競爭對手企業(yè)的該種產(chǎn)品)價格的影響，同時也受本企業(yè)和競爭對手企業(yè)的另一種產(chǎn)品價格影響，用函數(shù)的形式表達即，企業(yè)i第j種產(chǎn)品需求函數(shù)為。假設(shè)，不同企業(yè)生產(chǎn)的同種產(chǎn)品在市場上相互間的影響程度相同(即，如果企業(yè)i的甲產(chǎn)品價格對企業(yè)j的甲產(chǎn)品需求量的影響系數(shù)為，那么企業(yè)j的甲產(chǎn)品價格對企業(yè)i的甲產(chǎn)品需求量的影響系數(shù)也是);某種產(chǎn)品的市場均價對其他產(chǎn)品的需求量影響系數(shù)相同(即，如果乙產(chǎn)品的市場均價對企業(yè)i的甲產(chǎn)品需求量的影響系數(shù)為r1，那么乙產(chǎn)品的市場均價對企業(yè)j的甲產(chǎn)品需求量的影響系數(shù)也是r1)。根據(jù)以上假設(shè)關(guān)系，可發(fā)現(xiàn)企業(yè)某種產(chǎn)品的需求量受本企業(yè)該產(chǎn)品價格、競爭對手企業(yè)同種產(chǎn)品價格、市場上替代性產(chǎn)品平均價格的影響。假設(shè)需求函數(shù)為如下的線性關(guān)系：
(1)
(2)
其中，i，j=1，2，i≠j;、(，>0)分別表示企業(yè)j的甲、乙產(chǎn)品價格對企業(yè)i的甲、乙產(chǎn)品需求量的影響系數(shù);r1(r1>0)表示乙產(chǎn)品的平均市場價格對甲產(chǎn)品需求量的影響系數(shù)，r2(r2>0) 表示甲產(chǎn)品的平均市場價格對乙產(chǎn)品需求量的影響系數(shù)。
在模型討論中，只考慮產(chǎn)品生產(chǎn)的單位成本(忽略產(chǎn)品生產(chǎn)的固定成本)，并假設(shè)其為常數(shù)。企業(yè)1的甲和乙產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本分別為C11、C12，企業(yè)2的甲產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本為C21，為共同知識;企業(yè)j的乙產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本有兩種可能，以的概率取低成本C，以1-的概率取高成本C，其中可能成本取值及其相關(guān)概率為共同知識。
企業(yè)1：不知道企業(yè)2所有產(chǎn)品確切的單位生產(chǎn)成本，該博弈是不完全信息博弈。企業(yè)1在知道企業(yè)2乙產(chǎn)品可能成本取值及相應(yīng)概率的情形下，只能最大化自己的期望收益。企業(yè)1盈利函數(shù)的期望為：
EU1=E[Q11(p11-C12)+Q12(p12-C12)]
={[a-p11+
企業(yè)2：乙產(chǎn)品的成本是固定的，該博弈為完全信息博弈。當乙產(chǎn)品采取低成本時，企業(yè)2的盈利函數(shù)為：
當乙產(chǎn)品采取高成本時，企業(yè)2的盈利函數(shù)為：
由于盈利函數(shù)光滑可導(dǎo)，對企業(yè)1的盈利函數(shù)EU1、企業(yè)2的盈利函數(shù)U和U，通過最優(yōu)化一階條件并整理為矩陣形式，可得企業(yè)1與企業(yè)2的向量反應(yīng)函數(shù)。
為了計算和表達方便，聯(lián)立三個反應(yīng)函數(shù)方程，得出三個未知向量的貝葉斯納什均衡解
企業(yè)1有唯一的貝葉斯納什均衡解，即當企業(yè)2的成本和概率確定時，企業(yè)1的產(chǎn)品定價是固定的;企業(yè)2根據(jù)自己的成本高低選擇相應(yīng)的貝葉斯納什均衡解。即企業(yè)1的策略為，企業(yè)2的策略為{}。此解可推廣到兩種產(chǎn)品成本均為不完全信息的情形，若企業(yè)2兩種產(chǎn)品成本都有高低兩種選擇時，則有五個矩陣方程、五個未知向量，也可得解。
三、單獨博弈與二維博弈的均衡結(jié)果比較
上面研究了不完全信息條件的雙寡頭價格策略二維靜態(tài)博弈模型及其均衡，下面討論其特殊情形。當甲乙兩種產(chǎn)品在市場上不存在任何替代性(即)時，即兩個企業(yè)分別通過對甲產(chǎn)品進行完全信息價格策略靜態(tài)博弈，對乙產(chǎn)品進行不完全信息價格策略靜態(tài)博弈時有關(guān)的均衡策略問題。
當兩企業(yè)只對甲產(chǎn)品進行完全信息價格策略靜態(tài)博弈時，企業(yè)1甲產(chǎn)品的盈利函數(shù)為：
U11=Q11(p11-C11)=(a-p11+)(p11-C11)
企業(yè)2甲產(chǎn)品的盈利函數(shù)為：
U21=Q21(p21-C21)=(a-p21+)(p21-C21)
盈利函數(shù)光滑可導(dǎo)，利用最優(yōu)化一階條件和求出唯一均衡解
(6)
(7)
當兩企業(yè)只對乙產(chǎn)品進行不完全信息價格策略靜態(tài)博弈時，企業(yè)1乙產(chǎn)品的期望盈利為：
當乙產(chǎn)品采取低成本時，企業(yè)2乙產(chǎn)品的盈利函數(shù)為：
當乙產(chǎn)品采取高成本時，企業(yè)2的盈利函數(shù)為：
盈利函數(shù)光滑可導(dǎo)，通過最優(yōu)化條件求出均衡解為：
(8)
(9)
(10)
當甲乙產(chǎn)品不存在替代性時， ，代入式(3)、(4)、(5)，計算得到價格策略靜態(tài)博弈(企業(yè)1和企業(yè)2對甲產(chǎn)品進行完全信息博弈、對乙產(chǎn)品進行不完全信息博弈)的貝葉斯二維納什均衡解。通過比對貝葉斯二維納什均衡結(jié)果式的分量與單獨博弈的一維納什均衡結(jié)果式(6)(7)(8)(9)(10)，二者完全相同。因此，對甲產(chǎn)品進行完全信息價格博弈、對乙產(chǎn)品進行不完全信息價格博弈的雙寡頭靜態(tài)博弈模型的一維納什均衡結(jié)果的簡單組合，就構(gòu)成了無替代性的兩種產(chǎn)品不完全信息價格策略二維靜態(tài)博弈模型的貝葉斯納什均衡解。
四、算例分析
對具有一定相互替代性的兩種產(chǎn)品進行定價，企業(yè)是二維博弈均衡策略的總利潤更高，還是對每種產(chǎn)品進行單獨博弈均衡策略的總利潤更高，可以通過一個算例來進行比較。不失一般性地，假定a=10，b=12，=0.2，=0.3，=0.18，=0.2;企業(yè)1甲產(chǎn)品成本為C11=0.5，乙產(chǎn)品單位成本為C12=0.6;企業(yè)2甲產(chǎn)品成本為C21=0.7，乙產(chǎn)品單位成本為=0.4，=0.55，=0.5。
將參數(shù)值代入式(3)(4)(5)得貝葉斯納什均衡下的最優(yōu)策略向量;相應(yīng)的各自總利潤為。將參數(shù)值代入式(6)(7)(8)(9)(10)得單獨博弈時納什均衡下的最優(yōu)策略為;相應(yīng)的各自總利潤為。
算例分析的結(jié)果顯示，對具有一定替代性的兩種產(chǎn)品進行價格博弈時，企業(yè)對兩種產(chǎn)品進行多維博弈均衡下的總利潤，大于對每種產(chǎn)品進行單獨博弈均衡下的總利潤，多維博弈均衡策略更優(yōu)。
五、結(jié)論
本文研究了在信息不對稱的情形下，兩個企業(yè)對具有一定替代性的兩種產(chǎn)品均采取價格策略，所建立的不完全信息靜態(tài)二維博弈模型，并得到其貝葉斯納什均衡解。分析證明了當兩種產(chǎn)品不相關(guān)時，分別采取價格策略的一維靜態(tài)博弈模型是本文二維靜態(tài)博弈模型的特殊情形，即，在不存在替代性的情況下，不完全信息條件下的雙寡頭價格策略二維靜態(tài)博弈會退化為兩種產(chǎn)品雙寡頭采取價格策略一維靜態(tài)博弈的組合。通過算例分析得出，對具有一定相互替代性的兩種產(chǎn)品進行價格博弈時，對兩種產(chǎn)品聯(lián)合二維博弈的均衡策略優(yōu)于對每一種產(chǎn)品進行單獨博弈的均衡策略，所以此時將兩種產(chǎn)品的相關(guān)決策聯(lián)合起來考慮才會得到較高利潤。
參考文獻：
[1] 譚德慶.多維博弈及應(yīng)用研究[D].成都：西南交通大學(xué)，2004.1.
[2] 劉軍，李成金.產(chǎn)量-價格策略下的雙寡頭動態(tài)多維博弈[J].中國管理科學(xué)，2008.16(6)150-155.
[3] 王強，陳圻.不完全成本信息下差異產(chǎn)品廠商古諾競爭博弈分析[J].運籌與管理，2010.19(4)52-58.
[4] Xiang Xiaodong，Cao Bing. Multidimensional game of Cournot-Bertrand model with incomplete information and its analysis[J].Procedia Engineering，2012.29.895-902.
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