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鋼管混凝土拱橋穩定性的計算理論簡述
論文關鍵詞：鋼管混凝土拱橋 穩定性 非線性
論文摘要：鋼管混凝土拱橋作為一種承受壓力的空間曲桿體系，不可避免的涉及到穩定問題。隨著鋼管混凝土跨徑不斷的增大，對于其穩定性計算必須考慮非線性的影響，本文主要是介紹當拱橋穩定性計算理論及非線性分析理論。
隨著鋼管混凝土組合材料研究不斷深入，施工工藝的大幅度改進，鋼管混凝土拱橋在全世界范圍內，特別是在我國得到了廣泛的應用。據不完全統計，自從1990年我國第一座鋼管混凝土拱橋建成以來到目前為止，我國已建或在建鋼管混凝土拱橋有200多座。鋼管混凝土拱橋之所以發展如此迅速，主要具有如下特點：（1）施工方便，節省費用；（2）有較成熟的施工技術作支撐；（3）跨越能力大，適應能力強；（4）造型優美，體現了民族特色；（5）大直徑鋼管卷制工業化，有力地促進了我國鋼管混凝土拱橋的發展。
隨著鋼管混凝土拱橋的跨徑的增大，剛度越來越柔，作為以受壓為主的結構，穩定成為制約其發展的關鍵因素之一。不少學者根據不同的拱橋形式在不同的參數下，提出了不同的假設，推導出了很多簡化的穩定公式。這些穩定公式將為有限元發展提供了理論基礎。本文主要是對拱橋穩定計算理論進行簡單的闡述。
1 穩定計算理論
1.1 概述
穩定問題是橋梁工程常常遇到的問題，與強度問題同等重要。但是，結構的穩定問題不問于強度問題，結構的失穩與材料的強度沒有密切的關系。結構失穩是指結構在外力增加到某一量值時，穩定性平衡狀態開始傷失，稍有撓動，結構變形迅速增大，從而使結構失去正常工作能力的現象。在橋梁工程中，總是要求其保持穩定平衡，也即沿各個方向都是穩定的。
在工程結構中，構件、部件及整個結構體系都不允許發生失穩。屈曲不僅使工程結構發生過大的變形，而且往往導致結構的破壞�，F代工程結構中，不斷利用高強輕質材料，在大跨度和高層結構中，穩定向題顯得尤為突出。
根據上程結構失穩時平衡狀態的變化特征，存在若干類穩定問題。土建工程結構中，主要是下列兩類：
�。�1） 第一類穩定問題（分枝點失穩）：以小位移理論為基礎。
�。�2） 第二類穩定問題（極值點失穩）：以大位移非線性理論的基礎。
實際工程中的穩定問題一般都表現為第二類問題，但是，由于第一類穩定問題是特征值問題，求解方便，在許多情況下兩類問題的臨界值又相差不大，因此研究第一類穩定問題仍有著重要的工程意義。
研究壓桿屈曲穩定問題常用的方法有靜力平衡法((Eular方法)、能量法(Timosheko方法)、缺陷法和振動法。
靜力平衡法：是從平衡狀態來研究壓桿屈曲特征的，即研究荷載達到多大時，彈性系統可以發生失穩的平衡狀態，其實質是求彈性系統的平衡路徑(曲線)的分支點所對應的荷載值(臨界荷載)。
能量法：表示當彈性系統的勢能為正定時，平衡是穩定的；當勢能為不正定時，平衡是不穩定的；當勢能為0時，平衡是中性的，即臨界狀態。
缺陷法：認為完善而無缺陷的力學中心受壓直桿是不存在的。由于缺陷的影響，桿件開始受力時即產生彎曲變形，其值要視其缺陷程度而定。在一般條件下，缺陷總是很小的，彎曲變形不顯著，只是當荷載接近完善系統的臨界值時，變形才迅速增大，由此確定其失穩條件。
振動法從動力學的觀點來研究壓桿穩定問題，當壓桿在給定的壓力下，受到一定的初始擾動后，必將產生自由振動，如果振動隨時間的增加是收斂的，則壓桿是穩定的。
以上四種方法對于歐拉壓桿而言，得到的臨界荷載是相同的。如果仔細研究一下可以發現它們的結論并不完全一致，表現在以下幾個方面:
靜力平衡法的結論只能指出，當P=P1、 P2、…、Pn時，壓桿可能發生屈曲現象，至于哪種最有可能，并無抉擇的條件。同時在P≠P1, P2,…、Pn時，屈曲的變形形式根本不能平衡，因此無法回答極限系數的平衡是不穩定的問題。
缺陷法的結論也只能指出當P=P1、P2 ,…、Pn時，桿件將發生無限變形，所以是不穩定的。但對于P在P1、P2…、Pn各值之間時壓桿是否穩定的問題也不能解釋。
能量法和振動法都指出，P>P1之后不論P值有多大，壓桿直線形式的平衡都是不穩定的。這個結論和事實完全一致。
由于鋼管混凝土系桿拱橋的復雜性，不可能單依靠上述方法來解決穩定問題，日前大量使用的是穩定問題的近似求解方法。歸結起來有兩種類型:一類是從微分方程出發，通過數學上的各種近似方法求解，如逐次漸進法;另一種是基于能量變分原理的近似法，如Ritz法。有限元方法可以看作為Ritz法的特殊形式。當今非線性力學把有限元與計算機結合，使得可以將穩定問題當作非線性力學的特殊問題，用計算機程序實現求解，取得了很大的成功。
1.2 第一類穩定有限元分析
根據有限元平衡方程可以表達結構失穩的物理現象。在T.L列式下，結構增量形式的平衡方程為：
(1-1)
0[K]0——單元剛度矩陣；
0[K]σ——單元初應力剛度矩陣;
0[K]L——單元初位移剛度矩陣或單元大位移剛度矩陣;
0[K]T——單元切線剛度矩陣。
U.L列式下，結構的平衡方程為:
(1-2)
發生第一類穩定前，結構處于初始構形線性平衡狀態，因此式(1-1)中大位移矩陣。0[K]T為零。在U.L列式中，不再考慮每個荷載增量步引起的構形變化，所以，不論T.L還是U.L列式，結構的平衡方程的表達形式是統一的:
(1-3)
在結構處于臨界狀態下，即使{AR}→0，{△u}也有非零解，按線性代數理論，必有:
(1-4)
在小變形情況下，[K]σ與應力水平成正比。由于假定發生第一類失穩前結構是線性的，多數情況下應力與外荷載也為線性關系，因此，若某種參考荷載{ }對應的幾何剛度矩陣為[ ]σ，臨界荷載為{P}cr=λ{ }，那么在臨界荷載作用下結構的幾何剛度矩陣為:
（1-5）
于是（1-4）為
（1-6）
式(1-6)就是第一類線彈性穩定問題的控制方程。穩定問題轉化為求方程的最小特征值問題。
一般來說，結構的問題是相對于某種特定荷載而言的。在橋梁結構中，結構內力一般由施工過程確定的恒載內力(這部分必須按施工過程逐階段計算)和后期荷載(如二期恒載·活載·風載)引起的內力兩部分組成。因此，[K]σ也可以分成一期恒載的幾何剛度矩陣 [Kl]σ和后期恒載的幾何剛度矩陣[K2]σ，兩部分。當計算是一期恒載穩定問題時，[Kl]σ=0。[K]σ可直接用恒載來計算，這樣通過式(3-6)算出的 λ就是一期恒載的穩定安全系數;當計算的是后期荷載的穩定問題時，恒載[K]σ可近似為一常量，式((1 - 6)改寫成:
（1-7）
形成和求解式(1-7)的步驟可簡單歸結為:
1)按施工過程，計算結構恒載內力和恒載幾何剛度矩陣[Kl]σ。;
2)用后期荷載對結構進行靜力分析，求出結構初應力(內力);
3)形成結構幾何剛度矩陣[K2]σ和式(1-7)
4)計算式(1-7)的最小特征值問題。
這樣，求得的最小特征值兄就是后期荷載的安全系數，相應的特征向量就是失穩模態。
1.2 第二類穩定有限元分析
第二類穩定是指結構在不斷增加的外載作用下，結構剛度發生不斷變化，當外載產生的應力使結構切線剛度矩陣趨于奇異時，結構承載能力就達到了極限，穩定性平衡狀態開始喪失，稍有撓動，結構變形迅速增大，使結構失去正常工作能力的現象。
從力學分析角度看，分析結構的第二類穩定性，就是通過不斷求解計入幾何非線性和材料非線性的結構平衡方程，尋找結構極限荷載的過程。
全過程分析法是用于結構極限承載力分析的一種計算方法，通過逐級增加
工作荷載集度來考察結構的變形和受力特征，一直計算至結構發生破壞。
2拱橋的平面屈曲
2. 1拱橋平面屈曲的基本概念
拱頂的豎直變位v及水平變位u與外荷載q的關系曲線
當拱所承擔的荷載達到某一臨界值時，在豎向平面內，拱軸線偏離初始純壓或主要為受壓的對稱變形狀態，向反對稱的彎壓平面撓曲轉化，稱為拱的面內屈曲。拱的面內屈曲有兩種不同的形式，第一種形式是在屈曲臨界荷載前后，拱的撓曲線發生急劇變化如圖1所示，可看作是具有分支點問題的形式，橋梁結構中使用的拱，在體系和構造上多是對稱的。當荷載對稱的滿布于橋上時，如果拱軸線和壓力線是吻合的，則在失穩前的平衡狀態只有壓縮而沒有彎曲變形。當荷載逐漸增加至臨界值時，平衡就出現由彎曲變形的分支，拱開始發生屈曲。
第二種屈曲形式:在非對稱荷載作用下，拱在發生豎向位移的同時也產生了水平變位。隨著荷載的增加，二個方向的變位在變形形式沒有急劇變化的情況下繼續增加。當荷載達到了極大值，即臨界荷載之后，變位將迅速增加，這類失穩為極值點失穩。求解這類穩定問題的極限荷載，需要采用非線性分析方法。
在實際結構中，當滿布對稱荷載時，拱軸線和壓力線也不一定完全吻合，此時拱一開始加載就可能出現帶有對稱彎曲變形的平衡狀態。然而當荷載達到一定的臨界值時，拱仍然會發生分支點失穩現象。理論研究表明:初始的對稱彎曲變形對拱的反對稱屈曲的臨界荷載的影響很小。因此，研究拱的平面屈曲時，我們可以近似的假設拱軸線與壓力線是吻合的，采用分支點屈曲理論。
2. 2拱橋的平面屈曲
2. 2.1圓弧拱及拋物線拱的屈曲
(1)圓弧拱的屈曲荷載
圓弧拱軸線線形簡單(如圖2)，全拱曲率相同，施工方便。其拱軸線方程：
圖2 受徑向均布荷載的圓弧拱
由平衡條件和幾何關系可以推導出屈曲微分方程：
（2-1）
解此微分方程，并代入邊界，ψ=0，υ=0；ψ=2α，υ=0得兩鉸拱臨界應力
把拱看成當量的壓桿，引入有效屈曲長度的概念，轉化為中心壓桿的歐拉公式的標準形式
（2-2）
歸結成求拱的計算長度的問題，也就是涉及到邊界條件。
經過理論計算，加之經驗和概率論數理統計，就得到了橋涵設計規范4.3.7給出的拱圈縱向穩定時的計算長度取值。
為了實用的方便也可轉化為矢跨比和跨度作為影響因子
（2-3）
（2-4）
將結果K1、K1’按矢跨比做成表格，這就得到了拱橋設計手冊上的表值。
通過理論的分析可以看出拱橋的穩定性隨鉸數的增加而降低，無鉸拱穩定性好于兩鉸拱;再則，各種拱的臨界荷載都在矢跨比0. 25～0. 3左右達到各自的最大值，因為在EIx和L相同的情況下，若矢跨比很小，則拱弧長雖短，但均布荷載所產生的壓力大，反之，若矢跨比很大，則壓力雖小，但弧長較長。
(2)拋物線拱的屈曲荷載
在均布荷載作用下，拱的合理拱軸線是二次拋物線。故對于恒載分布比較接近均勻的拱橋，可以采用二次拋物線作為拱軸線。其軸線方程為：
（2-5）
在均布豎向鉛垂荷載作用下，雖然拱只承受軸向壓力而沒有彎矩，但是壓力沿拱軸線是變化的，并且拱的曲率也是變化的，因而其平衡微分方程是變系數的，直接求解比較困難，一般只能用數值法進行計算。同圓弧拱一樣，拋物線拱的臨界荷載可按下式計算:
（2-6）
式中K1，為穩定系數，它的值可以查表得到。
2.2.2拱橋的平面壓屈
大跨度拱橋的拱上結構常布置連續的加勁梁。這樣當拱屈曲時，加勁梁將隨同彎曲，因而增加拱的穩定性。要獲得這類結構的臨界荷載解析解是相當困難的，一般只能求得其數值解。
如果拱橋的立柱剛度遠比拱圈和梁的剛度小，可以假定各立柱上下端均系鉸結，以簡化問題。通過數值計算，可把數值這種簡化結構的臨界荷載近似地寫成:
（2-7）
式中:K1一只有拱時的臨界荷載系數;
Elb一加勁梁的抗彎剛度;
EIa一拱平面抗彎剛度。
對于上承式柔拱剛梁組合體系，臨界荷載可仿上式寫成:
（2-8）
在這種體系中，除按上式驗算總體平面屈曲外，尚須同時驗算拱在立柱間的局部彎曲。
2.2.3拱橋的側傾失穩
�。�1）單拱的側傾
若拱在面外沒有受到橫向荷載的作用，對于橫向剛度較小的拱，當拱所承受的面內荷載達到臨界值使拱軸線向豎平面之外偏離而出現側傾時，由于這一失穩過程中出現了平衡分枝，所以它屬于第一類穩定問題。當臨界狀態下的應力小于屈服應力時，即為面外彈性屈曲，由于屬于空間問題，所以精確解就更為困難，只能采用近似解法。
平 面的拱軸，在側傾后是一個空間的曲線，其位移與幾何關系·由曲線坐標(如圖2)所示：
根據平衡條件和幾何關系可以推導出空間彎扭側傾失穩微分方程：
相對面內屈曲，此方程更難獲得解析解，一般都采用數值方法。
研究發現拱橋的側傾穩定性隨矢跨比的增加而提高;再則，用圓弧拱代替拋物線拱計算側傾臨界荷載，對坦拱是足夠精確的。
�。�2）組拼拱的側傾
組拼拱是指用橫向聯結系組拼起來的雙肋拱或多肋拱，也稱橫撐拱。這類拱的側傾臨界荷載在很大程度上取決于撐架的剛度和布置方式。
對于組拼拱，以往一般采用“當量壓桿法”驗算其側傾穩定性。這種方法的基本思想是忽略拱的矢跨比、拱肋的抗扭剛度和橫撐繞順橋向水平軸線的抗彎剛度，將拱軸拉直，近似地把它視為一當量的中心壓桿并按有綴板的組合壓桿屈曲臨界荷載公式計算組拼拱的側向屈曲臨界軸力，通常取較大的穩定系數以保證橋梁的安全。研究結果表明:當量壓桿法計算結果過于粗略，且偏于不安全。
下面簡單的介紹一下對于平式橫撐連接的雙肋拱，采用能量法推導其側傾臨界荷載。
沿拱軸環向設置了一系列切向平放的橫撐的組拼拱，當組拼拱在外荷載作用下發生側傾失穩時，二根拱肋除發生了整體變形外，每根平式橫撐將在切向平面內發生S形的彎曲變形，同時拱肋還發生了局部撓曲變形。
1.拱的整體變形能
通常組拼拱的橫向聯接系比較弱，在計算整體變形能時，只考慮二根拱肋獨立產生的橫向彎曲和扭轉變形能，略去二根拱肋可能產生的軸向伸縮形成的拱截面整體彎曲變形能。一般組拼拱的二拱肋大小是相等的，故可只討論單根拱肋的變形能
�。�2-11）
2.局部彎曲變形能
組拼拱側傾后，拱肋點體變形繞Y軸的轉角γ，設拱肋由于在節間內的局部變形在節點轉動了γ2角，則由于剛性節點上各桿的夾角保持不變，橫撐在節點的轉角γ=γ-γ2。可推導出局部彎曲變形勢能
（2-12）
3.外力勢能
受徑向均布荷載的圓弧拱，發生側傾后，拱軸位置下降了v，外力勢能T于q在V上所作的功的負值
（2-13）
4.臨界荷載
組拚拱在側傾時產生的總勢能
（2-14）
利用最小能量駐值原理，對關于C的泛函取變分，考慮曲率影響，在拱肋局部變形部分乘上拱度影響系數，推導出平式橫撐聯結下臨界荷載
（2-15）
上式中的前一項反映了橫撐的剛度與其間距d對穩定性的影響，減小橫撐間距和增大橫撐剛度都有利于提高雙肋拱的側傾穩定性。
同樣方法得到立式橫撐、一般橫撐連接的雙肋拱的側傾臨界荷載。由于理論求解非常復雜，大部分形式的拱橋只能采用數值法求得近似值，建議采用空間有限元程序求解。
通過理論分析可以看出比較合理的方法是在拱頂或拱頂附近的區段設置關鍵性的幾根立式橫撐，以約束扭轉角和拱頂位移，而其余區段則布置平式橫撐。
3非線性分析理論
在鋼管混凝土拱橋工程實踐中，恒載壓力線與拱軸線的偏離、施工預拱度的設置、施工偏差導致的初變形、非對稱加載等因素使實際拱橋的失穩形態大部分屬于第二類失穩，即極值點失穩問題。一般來說屈曲理論過高估計拱的臨界力。正確的應考慮拱的變形影響和材料彈塑性的影響，按幾何非線性和材料非線性理論來求得拱橋的失穩極限荷載，也通常稱為壓潰荷載。鋼管混凝土拱橋隨著跨徑的增大、材料強度的提高，在第二類失穩破壞時結構表現出大位移、大應變的特點。因此應考慮結構的幾何非線性和材料非線性問題。
3.1幾何非線性分析
對線性問題，一般是假設結構發生小位移，根據變形前的位置來建立平衡方程。幾何非線性問題通常是由于結構的位移已相當大，以致必須按照變形后的幾何位置建立平衡方程。嚴格地說，所有平衡問題都應采用變形后的幾何位置寫出其平衡方程。不過，如果位移很微小，使得變形或位移對平衡條件影響可以忽略時，則可利用變形前的幾何位置來建立平衡條件。由于位移變化產生的二次內力不能忽略，放棄小位移的假設，從幾何上嚴格分析單元體的尺寸、形狀變化，整個結構的平衡方程應按變形以后的位置來建立，荷載一變形為非線性，此時疊加原理不再適用。
不同理論導出的兩種方法T.L列式與U.L列式，分別是采用參照描述和相關描述的方法，都是以已知位形為基準的，都屬于Lagrangian描述，只是選取的基準有所不同。寫成T. L列式
（3-1）
式中大變形剛度矩陣，
由于U.L列式中，平衡方程中的積分在t時刻單元體積內完成，因此代表大撓度的剛度矩陣可以省略，這是T.L列式與U.L列式最大的區別
（3-2）
3.2材料非線性
材料非線性是由材料的非線性應力一應變關系引起基本控制方程的非線性問題。這種非線性特點是材料不滿足胡克定律。結構在承受超載時部分材料應力超過比例極限，進入塑性變形范圍，破壞與損傷從這些區域開始，導致最終結構失穩。應力超過彈性極限后，材料彈性模量E不再是常數，而是成為應力的函數，導致基本控制方程的非線性。研究材料非線性問題，對于分析結構極限承載力，解冷橋粱非繪性穩寧問題有著十分重要的煮義。
考慮材料非線性后，彈性矩陣［D］將不再是常數，而是應變{ε}的函數，從而也是位移5vajrimf的函數
（3-3）
其表達式為
（3-4）
材料非線性問題分析求解時，單元的EI，EA隨受力歷程不斷發生變化，因而[k]不為常量，結構的整體平衡方程是如下的非線性方程組
（3-5）
式中： ——不平衡力； ——與位移相關的剛度矩陣；——節點位移列陣； ——節點荷載列陣。
3.3求解方法
求解非線性問題的方法基本可分為三類:迭代法，增量法和混合法。
（1）迭代法
迭代法(總荷載法)，即對總荷載進行線性化處理。采用循環減小內外不平衡力差值，不斷逼近極限荷載，直到差值小到規定的值。其中有直接迭代法(割線法)、Newton-Raphson法(切線剛度法)、修正的Newton-Raphson法(初始剛度法)、擬Newton-Raphson法(割線剛度矩陣迭代法的主要應用)等等。
直接迭代法較為簡單，但收斂速度慢，且可能出現迭代過程的不穩定，實際中較少采用此法。切線剛度法在求解下一個荷載步時會修正結構剛度矩陣，而初始剛度法則克服了在每次迭代過程中必須解全部新方程的困難，使用初始的剛度矩陣，但這樣做收斂較慢。
用迭代法求解非線性問題時，一次施加全部荷載，然后逐步調整剛度，使基本方程得到滿足。迭代法的計算量相對小一些，對計算精度也能加以控制。但迭代法不能給出荷載—位移過程曲線，適用范圍也小一些。
在迭代法計算中，為了中止迭代過程，必須確定一個收斂的標準。實際應用中，有兩種量是常用的:一個是用不平衡節點力;另一個是用位移增量。
�。�2）增量法
增量法(逐步法)，即對增量進行線性化處理。將整個荷載變形過程劃分為一連串增量段，每一增量段中結構的荷載反應被近似地線性化。增量法實質是用一系列線性問題去近似非線性問題，用分段線性的折線去代替非線性曲線，逐步求解過程就是累積線性彈性解的過程。增量法的主要缺點是無法判斷其解偏離精確解的近似程度。
常見的有荷載增量法、撓度增量法和曲率增量法，其中用后兩種方法較易獲得曲線的下降段。在荷載增量法中主要有:Euler-Cauchy法、修正的Euler-Cauchy法、半增量法等。
增量法的一個優點是適用范圍廣泛，即其通用性強;另一個優點是它可提供荷載—位移全過程曲線。但增量法不知道近似解與真解相差多少。
�。�3）混合法
混合法則是對同一非線性方程組混合使用增量法和迭代法。如Euler-Newton法、Euler-修正的Newton法、Euler-擬Newton法、Eule一次迭代法，等等�；旌戏ňC合了迭代法和增量法的優點，某種程度上克服了各自的缺點，雖然計算量更大，但計算精度提高了，而且可以判斷每一增量步終了時刻解的近似程度，尤其在荷載，變形的全過程分析中，需要比較準確的輸出每一荷載增量末的位移值，此時采用混合法是較好的選擇。
4結語
眾所周知，實際拱的失穩大部分屬于第二類穩定，二類失穩實際是非線性作用的結果，目前采用的線彈性理論會過高的估計安全系數。所以，精確地給出計入非線性后對穩定計算的影響是非常重要的。隨著拱橋跨度越來越大，原有的計算方法已經不能滿足工程需要，對拱橋穩定性考慮非線性計算，已成為橋梁學者研究的方向。本文只是簡單地介紹了一下穩定性計算理論和方法。
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