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數(shù)學(xué)極限思想的應(yīng)用論文
極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念之一，極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種很重要的數(shù)學(xué)思想，是用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)極限思想，本文從極限的定義、極限思想的價(jià)值、教學(xué)中如何滲透極限思想幾個(gè)方面進(jìn)行了簡(jiǎn)要論述。
1、極限的概念
1.1數(shù)列極限：設(shè) 為一個(gè)數(shù)列，a為一常數(shù)，若 ，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng) 時(shí)，有 ，稱a是數(shù)列 的極限。
1.2函數(shù)極限：函數(shù) 在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有定義，A為常數(shù)，若 ，總存在一個(gè)正數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，有 ，稱A是當(dāng)x趨向于a時(shí)函數(shù) 的極限。
出于不同需要，還引進(jìn)了不同意義下的極限概念，比如在集論中引進(jìn)了集列的上、下極限的概念，在無(wú)窮級(jí)數(shù)論中引進(jìn)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及在函數(shù)逼近論中引進(jìn)了一致逼近、平均逼近等的極限概念.無(wú)論怎樣定義，本質(zhì)都是一樣的，都是從有限觀念發(fā)展到無(wú)限觀念的過(guò)程。
2、極限思想的價(jià)值
極限思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的關(guān)系，通過(guò)極限思想，我們可以從有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限，以直線近似代替曲線，以不變認(rèn)識(shí)變化，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變。極限思想具有創(chuàng)新作用，它廣泛用于微分方程、積分方程、函數(shù)論、概率極限理論、微分幾何、泛函分析、函數(shù)逼近論、計(jì)算數(shù)學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域。
生活中的例子：一張餅，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……這樣，這張餅?zāi)艹酝陠?顯然吃不完，餅越來(lái)越小，但還是有的。只能說(shuō)，這張餅的極限為零，但絕不是零。這就是一種極限思想的具體寫(xiě)照。
極限思想十分重要，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)體系，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用極限思想可以將一些問(wèn)題簡(jiǎn)化，學(xué)生靈活運(yùn)用極限思想意義重大。
3、將極限思想滲透到課堂教學(xué)中
3.1課堂上介紹一些體現(xiàn)極限思想的典故
哲學(xué)家莊周在《莊子天下篇》中說(shuō)：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，將木棰長(zhǎng)度的變化看作為一個(gè)無(wú)限的過(guò)程中去研究，古代數(shù)學(xué)家劉徽割圓術(shù)中“割之彌細(xì)，所失弦少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”也體現(xiàn)了極限思想。通過(guò)這些有趣的小故事，讓學(xué)生從中體驗(yàn)和感受極限思想的妙處，激發(fā)興趣。
3.2講授新知識(shí)時(shí)滲透極限思想
在教學(xué)中，講授新知識(shí)的同時(shí)體現(xiàn)極限思想，比如求曲線的切線斜率、圓面積、變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度、曲邊梯形面積、曲頂柱體的體積等都是通過(guò)極限思想得以引入課題并解決問(wèn)題的，還有空間集合體中圓柱、圓錐之間相互轉(zhuǎn)化，圓錐是圓柱的上底逐漸縮小的一種極限狀態(tài)，體現(xiàn)了一種動(dòng)態(tài)的極限思想。
3.3體現(xiàn)極限思想的數(shù)學(xué)概念
高等數(shù)學(xué)中的許多概念都是利用極限來(lái)描述的，體現(xiàn)極限思想的數(shù)學(xué)概念比比皆是，下面就列舉幾個(gè)：
(1)函數(shù)連續(xù)的概念中用到極限式：
(2)導(dǎo)數(shù)的概念中有極限式：
(3)定積分的概念也是通過(guò)分劃、取近似、求和、取極限得到的：
(4)無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分的定義也是通過(guò)有限區(qū)間的定積分取極限得到的：
(5)級(jí)數(shù)的收斂性也是用極限式定義的：若級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列極限存在，即 ，稱級(jí)數(shù)收斂。
(6)無(wú)窮小的定義也是用極限來(lái)描述的：若有 ，稱 為此變化過(guò)程中的無(wú)窮小。
(7)二元函數(shù) 在有界閉區(qū)域D上的二重積分定義也用到了極限，
(8)二元函數(shù) 在曲線L上的第一型曲線積分也是用極限定義的：
(9)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)也是用極限來(lái)定義的，
關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)為： ，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)類似。
4、解決問(wèn)題時(shí)利用極限思想
高等數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題都是通過(guò)極限的思想方法來(lái)解決的，下面簡(jiǎn)單的舉兩個(gè)例子。
(1)如何求平面上曲邊梯形的面積?
通過(guò)極限思想方法，利用無(wú)限分割，以直代曲、用無(wú)數(shù)個(gè)小矩形面積無(wú)限逼近曲邊梯形的面積通過(guò)取極限最終來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題;
(2)如何求圓面積?
我們可以設(shè)定情境，利用極限思想方法，通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形，無(wú)限增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，利用內(nèi)接正多邊形的面積無(wú)限逼近圓面積的方法來(lái)解決的;
物體的瞬時(shí)速度、平面曲線的弧長(zhǎng)、曲頂柱體的體積等問(wèn)題都是利用極限思想方法解決的。教師在教學(xué)中恰當(dāng)選取問(wèn)題，利用極限思想解決問(wèn)題，教學(xué)效果事半功倍，提高學(xué)生用極限思想方法解決相關(guān)問(wèn)題的能力。
結(jié)束語(yǔ)
綜上所述，極限思想是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)，貫穿整個(gè)高數(shù)體系，在教學(xué)中教師要有意識(shí)的將極限思想滲入，通過(guò)恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ寣W(xué)生理解極限的概念和思想方法，讓學(xué)生體會(huì)極限思想的妙處，體會(huì)“以直代曲、化零為整、化圓為方、以不變代變、以有限找無(wú)限”等的極限思想，提高學(xué)生應(yīng)用極限思想方法解決問(wèn)題的能力。
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