解析幾何建構及對數學的貢獻

解析幾何建構及對數學的貢獻

　　解析幾何創立之前，幾何與代數就猶如兩條平行線一樣，是相互分離的兩個完成不同的領域，以下是小編搜集整理的一篇探究幾何構建對數學所做貢獻的論文范文，供大家閱讀查看。

　　1 時代背景的分析

　　勒內·笛卡爾(Ren¨DesCartes,1596~1650)，一般認為為近代歐洲哲學的始祖，理性主義的先驅，在哲學與科學上，完美地演繹了近代西方思想之流變的代表者。在哲學上，他以“我思故我在”的首命題開啟了近代主體性哲學，被譽為“近代哲學第一人”;在自然科學上，解析幾何、光的反射及折射定律、血液循環學說、漩渦宇宙論等突出成就奠定了笛卡爾在現代科學基礎性地位。尤為重要的是在笛卡爾初期思想體系中，“哲學”與“科學”之間從未真正分離過，統一的原則性與相同的邏輯推理融會貫通。本文選擇從解析幾何創立出發，討論笛卡爾方法論在解析幾何創立過程中的運用，進而進一步分析笛卡爾方法論思想在其哲學道路中的演化。

　　2 幾何的研究法對笛卡爾的影響

　　2.1 古代數學觀的影響

　　柏拉圖學園入口處的碑銘是：“不懂幾何學者莫入。”而柏拉圖本人也根深蒂固地認為幾何學知識是掌握其他更高領域知識的必由之路。而這種思想也是古希臘多數智者的統一認識。古希臘畢達哥拉學派，以“數”為本原，認為量和形式是實務多樣性的統一基礎。笛卡爾認為，蘇格拉底以前的希臘人憑借著創造性的天賦創立了幾何學和算術科學，使之成為獲取確定性知識的科學基礎，這是柏拉圖哲學形成的前期條件。如果說笛卡爾把幾何學作為哲學研究的基礎和模式，把幾何學公里體系的確定性作為哲學的標準。那么笛卡爾從古樸的數學觀開始，由此及彼，最終形成自己哲學體系。

　　2.2 笛卡爾對數學的探索

　　1919 年 7 月笛卡爾在慕尼黑的烏爾姆，與剛出版《論算術》數學家福爾哈貝爾交往，對其產生影響。11 月，笛卡爾開始試圖借鑒數學構建他的哲學方法論規則，并在此規則下研究各種具體的科學問題。“我還繼續練習運用我所規劃的那種方法，因為我除了按照這些規則小心地對我的一切思想作普遍的引導外，還不時留下一點時間，從特殊方面著手，用來解決數學上的一些難題，有時也用來解決一些別的科學上的難題;我發現那些問題所依據的本原不夠牢靠，使它們脫離那些本原，于是把問題弄得幾乎和數學問題差不多了。”①1628 年 11 月，在巴黎羅馬教皇特使的住所，笛卡爾發表了演講。他通過周密的論證提出了不能在或然性上建立科學，而應當將科學建立在確定性的基礎上，并且只能如此，實現的途徑可以用數學的方法來演繹證明。

　　3 解析幾何建構及對數學的貢獻

　　解析幾何創立之前，幾何與代數就猶如兩條平行線一樣，是相互分離的兩個完成不同的領域。文藝復興后，歐洲學者不僅繼承了古希臘的幾何學，同時也接受了由阿拉伯傳入的代數學。雖然歐洲學者接受了這門新興學科---代數學，但是幾何學的思維仍舊根深蒂固地占據著絕大多數數學家思維模式的統治地位。“至于古代人分析與近代人的代數，都只是研究抽象，看來十分無用的題材。”①笛卡爾認為：古老的幾何學和新興的代數學，二者的統一在于都是討論高度抽象且毫無實用價值的東西之外，前者只限于擺弄圖形，讓想象力匱乏的人不知所云，疲憊不堪，也就不能很好地理解運用;而后者則高度限制于定律和方程式中，形成呆板、混亂及模糊的科學，以至于不但不能栽培心智，反倒阻礙了發展。笛卡爾看到了幾何的直觀與推理的優勢和代數運算的簡便，決定尋找一種新的方法，可以涵蓋二者的優勢，摒棄缺陷，笛卡爾希望提出把圖形和代數完美結合的模式，建立一種“真正的數學”.

　　3.1 解析幾何的創立

　　1637 年，笛卡爾在其第一部也是最具影響力的著作《談談方法》中分析了希臘著名的數學問題---帕波斯問題，在此基礎上創立了解析幾何。笛卡爾在附錄《幾何學》中把變量引進數學：把幾何學的問題轉化成代數的問題，用代數學的方法研究幾何，開創了用代數方法解決幾何問題的先河。

　　笛卡爾在坐標系中，引進單位長度，利用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的位置，用坐標來描述空間上的點。線段與數量聯系起來，解決幾何作圖的原則性問題。他在單位線段基礎上，進行線段的加、減、乘、除、開方等運算。通過線段之間的關系，“找出兩種方式表達同一個量，這將構成一個方程”,然后根據方程的解所表示的線段間的關系作圖。笛卡爾用數形結合的方法解決數學問題，依照這種思想他創立了“解析幾何學”.

　　在此之前，有學者研究以兩條相交直線作為參照系;同時也有學者天文研究時，提出了一點位置可由兩個數量經度和緯度來表示。這些都對解析幾何的創建產生了很大的影響，但他們只是感性的認識，笛卡爾系統總結并公開發表。另外，在數學史上，法國數學家費爾馬也是解析幾何的創建者之一。他的思路是通過軌跡來研究方程，與笛卡爾相反，剛好是解析幾何原則的兩個相反的方面，互為補充。

　　3.2 解析幾何創立的現實意義

　　解析幾何的出現，架起了“數”與“形”的橋梁，把二者統一了起來，并改變了自古希臘以來代數和幾何相互分離的趨向，使幾何曲線與代數方程相結合。笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問題時，在平面上以一條直線為基線，為它規定一個起點，又選定與之相交的另一條直線，它們分別相當于x 軸、原點、y 軸，構成一個斜坐標系。那么該平面上任一點的位置都可以用(x,y)唯一地確定。帕普斯問題就化成了一個含兩個未知數的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數與坐標系的選擇無關，因此可以根據方程的次數將曲線分類。

　　笛卡爾這一天才創見，為微積分的創立奠定了基礎，從而開拓了變量數學的廣闊領域。最為可貴的是，笛卡爾用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌跡，不僅建立了點與實數的對應關系，通過將點、線、面等形和“數”統一起來，建立了曲線和方程的對應關系。這種函數概念式的萌芽，標志變量進入了數學思想方法。“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要了。”①笛卡爾的這些成就，為后來牛頓、萊布尼茲發現微積分發現開辟了道路。此后，人類進入變量數學階段。這也為后來的黎曼幾何奠定了基礎。

　　4 從解析幾何創立分析笛卡爾數學方法論

　　一般認為亞里士多德學說是希臘科學的一個轉折點。從宏觀的角度，他是古希臘最后一個提出完整世界體系的哲學家。之后許多科學家放棄提出完整體系的想法，轉入具體問題的研究上。在古希臘，數學是屬于形而上學的一部分，它用抽象的思維來解釋世界。笛卡爾在解析幾何上突破，在亞里士多德的形而上學體系打破缺口，在認知問題跨出重要的一步，使得數學問題不再是困擾哲學的一個問題，促進數學與哲學各自的發展，推動數學方法推理，演繹更加合理化，從而在方法論發展哲學。

　　笛卡爾總結歸納其思想方法

　　第一條：“凡是我沒有明確認識到的東西，我絕不把他當做接受。”①永遠不接受任何我自己不清楚的真理。即沒有自身經歷的問題，無論多么權威都可以懷疑，也必須懷疑。這也是“認識自己”的前提，笛卡爾認為除了公理以外，真理是可以證明的。這是笛卡爾回歸古希臘的傳統。這也是文藝復興后，哲學的一個重要轉向的問題，認知的問題。這也是培根提出“經驗主義”的根源。笛卡爾認為幾何就是用一連串的十分證明來完成最艱難的證明。他進行推廣，由此及彼必然次序推理，只要我們不把假的當做真的接受，人類能夠認識所有的東西。而一切要回到哲學的本源，最簡單，最原始的東西開始。

　　第二條：“把我所審查的難題近按照可能和必要的程度分成若干份，一一妥為的解決。”①這是分析的方法。在研究的過程中，我們要將復雜的研究問題，化整為小，然后各個解決。笛卡爾就是利用幾個月時間研究幾何與代數最簡單的問題，他抓住“全部僅僅是研究對象之間的各種關系或者比例”特點。為了研究他們，笛卡爾首先用簡單的線段直觀的出現，再“盡量用短的數字”說明它。“盡量用短的數字”這里指的是方程。這是笛卡爾的辯證的思想表現。

　　第三條：“按照我的次序進行思考，先從最簡單的、最容易認識的地方開始;一點一點地上升，直到最復雜的認識對象;對于那些本來沒有次序的東西，也給它們設定一個次序。”①將這些小問題從簡單到復雜排列，先從容易解決的問題著手。先用簡單的成功，促進局部問題的解決，這樣有利整體問題的根本的解決。最重要要有次序，建立了一種邏輯關系。

　　笛卡爾認為直觀和演繹是數學上兩種基本方法。推演真理的程序是由公理達到結論。直觀是理智最單純的基本活動，是絕對真理的供給基礎渠道。只要我們應用“心靈之眼”觀看三角形只有三邊等這樣顯而易見的感受事實，在研究任何問題的過程中，一切難題的解答必須借助這類單純的觀念。演繹也是理智的活動，但是和直觀不同，它們不是單純理智的活動，必須先假定了某些真理(或定義)之后，憑借這些定義推出一些結論。笛卡爾認為直觀的功用是在于提供科學和哲學的最新原則;而演繹則是應用這些原則來建立一些定理和命題。也就是說，直觀是發明的基本原則，演繹是導致最基本的結論。不過笛卡爾認為演繹是有缺陷的，因為同一個原則往往會演繹出不同的結論，每個人洞悉自己存在的事實和思想存在的事實。所以最終糾正的方法就是事實。這個糾正的方法就是經驗，即所謂的訴諸事實。

　　歷史的積淀和現實的創造織成了一張人類對知識的反思之網，縱向、橫向這兩個維度構成了一個“笛卡爾坐標系”,笛卡爾哲學不過是這張網上的紐結。它標示出了笛卡爾哲學的歷史坐標。

　　笛卡爾認為一切科學體系等同人的智慧�？茖W應用到不同的事物上，自然反應也就不同。理智等同的信念就成為科學的方法根據。哲學是愛智慧，笛卡爾深信在所有的知識中，數學最具資格被稱為真正的科學。它具有真正科學的條件和達到真理的方法，所以他要借助數學的形式作為一切知識的形式。同時，數學方法也是普遍知識的方法。所以應當在數學中尋求理智活動的法則。科學只有一種，因而方法也只有一個，數學方法也是其他科學的方法。任何人都能應用，并且十分方便，只要你仔細遵守，絕不會把假的當做真的，隨著時間的推移，知識自然而然得到積累，而心靈達到理智所能知道的知識最高境界。

　　實驗方法、數學方法以及兩種方法的融合，是近代自然科學得以建立的基礎，這樣的實證研究方法在古希臘阿基米德那里已見傳統，隨著力學自然科學技術的發展，描述運動成為人們關心的中心問題。笛卡爾站在方法論的自然哲學的高度，用數學方法演繹數學家與哲學家的歷史地位。

　　參考文獻

　　[1] 韓英麗。淺析笛卡爾的“理性直觀”[J].武漢科技學院學報，2007(1)。

　　[2] 霍桂桓。論作為心靈哲學之先驅的笛卡爾心一身一元論[J].學海，2007(6)。

　　[3] 黃學勝。論笛卡爾哲學中的“上帝”[J].華中科技大學學報：社會科學版，2007(4)。

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