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淺談數學研究性學習的實踐與認識

　　圓錐曲線的本質是幾何問題代數化，有些習題看起來很平常，實際上反映了相關數學理論的本質屬性，蘊含著豐富的數學思維方法和思想精髓，是創新思維的生長點，這就需要教師適時引導學生不斷的發展，引申，變遷問題，進行研究性學習，從而培養學生發現問題，提出問題，分析問題和解決問題的能力.圖1

　　學生很快呈現出本題的代數計算過程.

　　解析：若直線l與x軸重合，命題顯然成立.

　　若直線l不與x軸重合，設直線l的方程為my=x-1，

　　聯立my=x-1

　　平面中，兩條不平行的直線相交于一點是顯然的，但是3條直線相交于同一點應該不僅僅是巧合，背后到底“隱藏”著什么樣的數學原理呢？我們能不能從問題出發，試著對問題進行一般化研究，變式研究，推廣研究，類比研究，甚至可以研究這一類問題的本質.

　　一個星期后的數學課上，學生互相交流探討所研究的問題與結論，學生對于問題的變式研究，類比研究大大超出我的預料，在課上，每個同學都積極參與，力求用最精煉的語言表達結論，用最嚴謹簡潔的過程證明結論的正確性，課后學生齊心協力，更是挖掘了問題的本質.1問題探究，披沙揀金

　　拓展研究一平面直角坐標系中，橢圓C：x29+y25=1的左、右頂點分別為A、B，經過點（1，0）的直線l與橢圓C交于M、N兩點，則直線AM、BN的交點軌跡是直線x=9.

　　第二個結論是對第一個結論的推廣，證明了在任意橢圓中這樣兩直線的交點軌跡均是直線，軌跡方程只與直線所過的定點和橢圓中的系數a有關.

　　前面已證直線AM、BN的交點P（a2t，yp），易得OP?OT=a2.

　　看到這樣的結果，學生臉上露出驚訝的表情，他們從中體會到數學的神奇，一個看似很平常的問題，竟然得到這么和諧漂亮的結論.

　　經過不斷的拓展研究，條件不斷的一般化，直線過x軸上任意一點T（t，0）（t≠0）推廣為過平面內任意一點時向量點乘積為定值的結論依然成立.

　　證明過程類似，從略.

　　如果將橢圓改為圓，結論也成立.圓可以看作是橢圓的特殊情況，在計算的過程中a、b的大小是否相等并不影響計算的結果，.

　　從三線共點到結論“OP?OQ=a2”如此簡潔，如此美妙，直覺告訴我們這決不是偶然，肯定有其必然性，研究后發現本題有豐富的背景，它與極點和極線的知識有關.

　　實際上，關于極點和極線，有如下兩個常用的結論：圖2

　　E，F，G，H，設EG，FH交于M，EH，FG交于N，則稱MN為點P對應

　　的極線，同理，稱PN為點M對應的極線，PM為點N對應的極線；

　�。�2）對于橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點P（x0，y0）對應的極線為

　　有了極點極線知識，我們所拓展研究的問題就很容易解釋了：

　　當直線l過x軸上任意一點T（t，0）（t≠0）時，點T（t，0）對應的極線為過點P且垂直于x軸的直線x=a2t，此時P（a2t，y0），所以OP?OT=a2.

　　當直線l過平面內任意一點T（t，s）（s≠0）時，直線l與x軸的交點為Q（m，0），點Q對應的極線還是過點P且垂直于x軸的直線x=a2m，此時P（a2m，y0），所以OP?OQ=a2.2研究性學習實踐的認識

　　課堂是教學變革的主戰場，研究性學習只有根植于課堂，變成課堂教學中的一種常用方式，才能由一種開放的教育思想變為可行的教學實踐，才能真正發揮其應有的價值[1].在理論學習和教學實踐中，數學課堂探究性學習必須依照數學學科的特點，努力凸顯其固有的問題性、自主性、過程性和開放性.

　　2.1問題性

　　“問題是數學的心臟”，它促使人們對數學本質的探索，推動人們對數學真理的發現.沒有問題也就難以誘發和激起探究欲望，感覺不到問題存在也就不會生成認知上的需要，就不會深入思考，學習也只能是表面和形式的訓練.數學研究性學習強調通過問題來進行學習，把問題看成學習的動力、起點和貫穿學習過程的主線[2].教學中，教師要關注課本例題和習題的結論，應該主動地尋找知識的生長點和思維的發散點，不斷地發展引申、變遷問題，進行探究.通過學習生成問題，把數學學習看成是發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.

　　2.2自主性

　　探究性學習是相對于授受式學習而提出的.自主性是探究性學習最本質的規定性，也是探究式學習與授受式學習相區分的關鍵所在[3].探究性學習突出了學生作為教學活動的主體，立足于學生的學和自主性探究，以學生的主體活動為中心展開.強調學生是在教師恰到好處的引導和幫助下自主地參與教學活動，以自己的經驗和知識為基礎，經過獨立的、合作的探索與發現，親身的體驗與實踐，將知識納入到自己的認知結構中，并嘗試解決新問題.在探究性學習中，教師要適當地幫助引導學生，培養學生發現問題的創造潛能，使學生的求知和創新意識得到發展，為學生的終身學習和畢生的發展奠定基礎，這才是數學教育的真正意義所在.

　　2.3過程性

　　研究性學習追求過程和結果的和諧統一，它強調盡可能地讓學生經歷一個完整的知識的發現、形成、應用和發展的過程.數學學科的特點決定了數學教學不宜將概念、法則、結論直接告訴學生，而應努力地揭示它們發生、發展過程，使學生在“過程”中逐漸體會并掌握獲取知識的方法，體驗數學知識的“再創造”歷程，在這樣的探究過程中思維才有機會得以充分而自然的開啟、交流、優化和升華.

　　2.4開放性

　　“數學教學就是數學思維活動的教學”.在傳統的授受式學習的課堂里，學生的思維基本是在教師規定的航道上運行，思維發展難有成效.學生思維的誘發不僅來自教師的啟迪，也來自于學生之間的相互啟發，這就需要一個開放的教學環境.在探究的過程中，不追求問題的難度，更關注能否體現強烈的探究欲望和創新興趣；不追求解題技巧，更關注學生對數學概念、數學本質的理解、數學思想的領悟.只有在民主、和諧的課堂氛圍中，學生才能自由的想象，大膽的思考，才能充分挖掘自己的潛能，全面展示自己的個性，思維才最活躍最有創造性.在層出不窮的新問題的探究中，學生的思維層次和創新意識才能向縱深發展，這也正是探究性學習的精神要旨.

　　參考文獻

　　[2]余文森.課堂有效教學的理論和實踐[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

　　[3]任長松.探究式學習，學生知識的自主構建[M].北京：教育科學出版社，2005.

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