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高等數學的美學探索論文
引言
數學美古已有之，早在古希臘時代，畢達哥拉斯學派已經論及數學與美學的關系，畢達哥拉斯本人既是哲學家、數學家，又是音樂理論的始祖，他第一次提出“美是和諧與比例”的觀點。我國當代著名數學家徐利治指出：“數學美的含義十分豐富，如數學概念的簡單性、統性、結構系統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性與普適性，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容”。
1數學意境的形象美
高等數學中有些概念比較抽象，學生在理解上會有一定的困難．在教學中通過創設適當的情境，將抽象的概念具體化、形象化，這樣易于學生理解。例如，講授極限的概念時先介紹劉徽的割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。又如，《莊子天下篇>中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。
同時再輔以多媒體技術，學生一定會在感官上感受到極限的美妙。
2數學探索的創新美
數學的發展離不開人們對于美的追求，數學家也是美的追求者。實際上，人們在研究數學時，都在自覺不自覺地應用美學原則，愛斯坦科學思想的偉大繼承人狄拉克說：“我沒有試圖直接解決某個物理問題，而只是試圖尋求某種優美的數學”，他認為：“如果物理學方程在數學上不美，那就標志著一種不足，意味著理論有缺陷，需要改進，有時候，數學美比實驗相符更重要”。
高斯在回顧二次互反律的證明過程時說：“尋求一種最美和最簡潔的證明，乃是吸引我去研究的主要動力”。
“美是真理的光輝“這句拉丁格言的意思是說，探索者最初是借助這種光輝來認識真理的．歷史的事實給我們以深刻的啟迪，為了培養高素質的創新人才，必須加強數學美的教育。
3數學語言的簡潔美
數學家將自己的勞動成果用最合理的形式（一般是用式子）來表達，這就是數學美中很重要的一種美——簡潔美。數學語言借助數學符號把數學內容扼要地表現出來，體現了準確性、有序性、概括性、簡單性與條理性。如數列極限與函數極限的分析定義是用“ε-N”、“ε-δ”語言給出的，定義中具有任意性與確定性，ε的任意性通過無限多個相對確定性來實現，ε的確定性決定了N 和ε的存在性。這種定義精細地刻劃了極限過程中變量之間的動態關系，表達了極限概念的本質，并且為極限運算奠定了基礎，學過微積分的人無不贊賞它的完美，評價它是最嚴密、最精煉、最優美的語言。
4數學內容的統一美
數學的統一美是指在不同的數學對象或者同一對象的不同組成部分之間存在的內在聯系或共同規律。
歐拉公式：1+Eiπ=0，曾獲得“最美的數學等式”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數之間的絕妙的有趣的聯系，包容得如此協調、有序。與歐拉公式有關的棣莫弗～歐拉公式cosθ+i sinθ=e把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數三角函數與指數函數緊密地結合起來了。對它們的結合，人們始則驚詫，繼而贊嘆確是“天作之合”，因為，由它們的結合能派生出許多美的、有用的結論來。
愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統一的理論。他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質能關系，這不能不說是一件統一的藝術品。人類在不斷探索者紛繁復雜的世界，又在不斷地用統一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統一美也需要永恒的追求。
數學的發展是逐步統一的過程。統一的目的也正如希爾伯特所說的：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡潔的方法的發現密切聯系的，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的、復雜的東西拋到一邊�！�
5數學方法的簡捷美
解題方法的簡單、巧妙是一種理性的美，簡捷的解題方法和明快的思維令人心曠神怡，在心里激起愉快的情感體驗和愉悅的美感，在成功的喜悅中對數學審美和數學創新會有更迫切的要求。
例如，求極限：cos x coscos……cos該極限直接計算是無法得到結果的，但只要我們注意到三角函數的倍角公式2sinαcosα=sin2α和=1，就可以將極限號內的無限多個函數轉化為有限多個函數，于是就有：
cos x coscos……cos
=cos x coscos……cossin/
=cos x coscos……（2cossin）
=cos x coscos……cossin
=…==1，這就是一種美妙而簡單的解法。
又如求極限，完全可以利用它與重要極限公式=1的相似性來解=1，而獲得成功。
利用數學的美感激發創新靈感，迸發創造性思維火花，產生許多新穎別致又簡捷的解題方法和技巧，解題者因此得到愉快的心靈感受，從內心自覺地產生發現、運用和創造數學美的渴望，增強學好數學的濃厚興趣，不斷提高數學能力。
6數學理論的奇異美
數學中許多理論與人們的直覺相背離，有時讓人覺得不可思議，給人以無盡的遐想，有時又帶給人一種“山窮水復疑無路，柳岸花明又一春”的絕妙境界，它印證了我國數學家徐利治所說的：“奇異是一種美，奇異到了極限更是一種絕佳的美”。
例如，有無限個連續點（無理點）和無限個間斷點（有理點）的黎曼函數f（x）=x=（為既約真分數）0x=0，1及（0，1）內的無理數；在任一點都不連續狄利克雷函數f（x）=0x∈Q1x∈；處處連續但處處不可微的魏爾斯特拉斯函數f（x）=bcos（απx）（其中α為奇數，0＜b＜1，ab＞1+π)，這些函數我們都無法準
確地描繪出它的圖像。但是黎曼函數、狄利克雷函數和魏爾斯特拉斯函數的美就恰似一幅幅神奇的抽象畫，雖奇異古怪，卻是數學家們依靠想象而產生的藝術精品。
與之相反，數學家皮亞諾構造出的可充滿一個正方形的曲線“皮亞諾曲線”，也讓我們感受到數學的“奇異美”。
總而言之，高等數學中包含的數學美的內容是非常豐富的，正如羅素所說：“數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且有至高的美”。只要我們善于去觀察，善于去總結，我們還會有所發現，有所創新。把它們及時地引進課堂，對高等數學的教學是非常有利的，讓越來越多的人感受到高等數學的美，引導學生對美的追求，使他們逐步體驗到數學美，使他們擺脫“苦學”的束縛，走入“樂學”的天地。
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