借鑒字母意義的歷史演進設計教學
1研究背景與問題提出
“用字母表示數”是由自然的“算術語言”向抽象的“代數語言”過渡的起始,是學生代數學習的入門知識,是學習方程、不等式等的重要基礎.大量研究發現學生對“用字母表示數”存在認知困難,如薛文敘[1]、虞琳娜[2]、ClementJ[3]、BardiniC[4]等等,從各個不同的側面進行研究,發現學生對“用字母表示數”的理解存在很多問題.HartKM等人研究11~16歲兒童對字母的理解,發現兒童對字母的理解大體分為6類:給字母賦值、忽略字母意義、當成物體、特定未知量、廣義的數、變量[5].HarperE在上世紀80年代前后曾對英國兩所文法學校1~6年級的學生,使用丟番圖《算術》中的名題:“已知兩數的和與差,證明這兩個數總能求出.”進行測試,獲得研究結論:學生對符號代數的認知發展過程與符號代數的歷史發展過程具有相似性[6].Radford[7]、汪曉勤[8]等人的研究證實:學生對某些數學概念的認知與概念的歷史發展之間具有相似性.據此,若能以恰當方式將數學概念的歷史發展與學校教學融合起來,必將促進學生對概念的理解與認知發展.那么,現在的學生對“用字母表示數”的理解情況是怎樣的?對此,確定如下兩個研究問題:(1)學生怎樣理解、運用字母?(2)學生對“字母表示數”的認知發展過程和該知識的歷史發展過程是否印證已發現的相似性?
2“用字母表示數”的歷史概述
追溯“用字母表示數”的歷史發展進程,可以沿宏觀與微觀兩條路徑進行.宏觀上考察符號代數的歷史發展階段;微觀上查閱史料,理清字母意義的歷史演進過程.
2.1符號代數的歷史發展階段在中國,“代數”一詞源自清代數學家李善蘭和英國傳教士偉烈亞力(AWylie)于1859年合譯的第一部符號代數教材《代數術》.李善蘭所創“代數”一詞,正是取“用字母代替數”之義.通常數學史家認為代數學的發展經歷了大致3個主要階段:修辭?縮略?符號.如NezzelmannGH在其著作《希臘代數》(1842)中就是這樣劃分的.人們往往將丟番圖以前時期的代數稱作“修辭代數”.在那時,人們沒有使用符號表示未知數,所有問題的討論解決都是用長篇文字說明.“縮略代數”階段以引入字母表示未知量為典型特征.丟番圖是這一時期的典型代表人物.他用一個特殊的記號“?”表示未知量,用專門的符號表達乘冪、減號等.后來,使用不同字母表示不同數,但是可以看到字母總是表示未知量.隨后的代數學家,如阿里耶波多(AryabhataⅠ)、花拉子米等雖朝向符號代數有所接近,但只在字母表示數的類型與方程解的一般性上做出了貢獻,而不是嘗試表達“一般量”或說“一類量”.“符號代數”應歸功于16~17世紀法國杰出的數學家韋達(FrancoisViète)與笛卡爾(RenéDescartes).韋達在其著作《分析引論》中第一次有意識地使用系統的代數字母與符號,以輔音字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符號代數稱作“類的算術”,同時規定了算術與代數的分界,認為代數運算施行于事物的類或形式,算術運算施行于具體的數.這就使代數成為研究一般類型的形式和方程的學問.笛卡爾則主要對韋達的符號系統進行了改進.
2.2字母意義水平的歷史演進過程對應符號代數的歷史發展過程,用來表示數的字母在具體意義上的歷史演進過程為:記數?未知?一類.伴隨著人們對字母表示數意義的認識水平的提高,字母表示數的功能逐步得到發展與完善,而這是一個漫長的歷史演進過程.從公元前3世紀算起,從最初用字母只表示“記數符號”的代數思想萌芽開始,經過若干人的摸索與不斷推進,直到16~17世紀,用“字母”表示“一類量”思想的形成,跨越了2000多年的時間.歷史史實等呈現如表1所示.
3研究方法
采用實證研究方法,通過測試與個別訪談,對學生“用字母表示數”問題的解答進行定量與定性分析.
3.1樣本為摸清學生對“用字母表示數”內容的認知情況,2010年9月對上海市某中學的一個初中預備班學生共52人進行測試,收回有效卷52份.該校是上海一所普通中學,每個年級所有班均為平行班,所選樣本基本能夠反映上海市初中學生的一般情況.
3.2工具測試題的設定:結合《全日制義務教育課程標準》[13]中對“用字母表示數”的基本要求,從字母表示數的具體意義:“記數符號”“未知量”“一類量”不同層面入手,共設置4題,測試卷編制如下:試題1:如圖1,游樂場的大轉盤的最高點、最低點分別距離地面110米、10米,那么這個大轉盤的半徑是多少?試題2:已知圓的周長為r,那么圓的面積是多少?試題3:學校買了x只足球,每只24元;又買了5只籃球,每只y元,式子24x+5y的意義是什么?試題4:已知兩個數的和與這兩個數的差,怎樣求這兩個數?請你設計一種情形,并給出解決辦法.測試的主要目的是為了解學生對“用字母表示數”的理解與運用情況,并由此分析學生對字母意義的認知過程是否與概念歷史發展過程具有歷史相似性.
4結果與分析
從整體情況來看,測試結果反應了學生“用字母表示數”的認知與運用水平.以下是對測試結果的逐題分析.
4.11~3題測試結果及分析(1)測試題1.測試結果:只有7名學生使用字母,而7位同學中只有兩位用字母表示未知量,另外5位只用字母r表示一個表示半徑的字母符號.具體情況如表2所示.對結果的分析:可以看出對于這類用算術方法與代數方法都能解決的問題,絕大多數(84.6%)的學生選擇使用算術方法(不使用字母),屬于符號代數的初始階段——“修辭代數”階段;少部分學生進入了“縮略代數”階段.從使用字母的水平來看,大體也還停留在較低層次的“記數符號”的水平上,少部分學生達到了用字母表示“未知量”的水平.可以看到,雖然學生經過初步學習已接觸過“符號代數”的思想,在教學要求上進入了“縮略代數”的階段,但他們更喜歡用“修辭代數”解決問題.無獨有偶,歷史上,已跨越到“縮略代數”年代以后的花拉子米(al-Khwārizmi)在撰寫其著作《還原與對消計算概要》時就是純粹采取了修辭代數的形式,斐波那契(Fibonacci)在《計算之書》中解決問題時也曾出現過類似的情形.而當今的學生在已學習“縮略代數”并已初步接觸“符號代數”的思想后,仍喜歡采用這種純粹文字,有時顯得冗長、繁瑣的形式(在后面方程題目的解答中有所體現)呢?只有一個可能的原因就是這種形式和水平的思維方式更接近人們(無論古人還是當今的'學生)的認知本源.此處體現出較強的歷史相似性.對教學的啟示:教學中重視學生的認知起點,為實現由修辭代數到縮略代數的過渡,教師應有意識地設計此類教學素材,為他們的思維發展設置螺旋前進的階梯.如,在這部分內容的教學中增加諸如:“寫出下列語句對應的表達式”或逆向的問題“寫出下列各式的意義”等題目,為順利實現由修辭代數向符號代數的過渡做好教學準備.(2)測試題2.
測試結果:分為3類.第一類,將r當作圓的半徑并將其視作已知量求得圓面積.具體表現:有28位同學自行將題目中的“周長”二字改為“半徑”,另有兩人雖沒有改寫題目,但從所填結果看,明顯是將r當作圓的半徑.這樣,將r當作半徑的學生總數就有30人(占總人數的57.7%).第二類,利用“周長r”能夠求出正確結果;第三類,沒有或不能解決問題6人(占11.5%).對結果的分析:可以看到,超過半數(57.7%)的學生對字母意義的理解與使用還停留在“縮略代數”的較低水平上,認為一個字母只能表示某一個確定的量(雖然看到前面的限定詞:周長,但仍認為字母r只能代表圓的半徑.),對字母r可以表示任意未知量沒有足夠的認識,沒有達到字母可以表示“一類量”的認知水平;而能將r當作特定未知量并將其運用于計算過程的這一較高認知水平的人數只占到全班人數的不足三分之一(32.7%).尤其將字母r當作圓的半徑的情況,突出反映了在學生心目中“r”這個字母的符號意義,這與歷史上古人只用某個字母代表某個具體量的做法具有相似性.當然,客觀來講,此題也與學生已經學習過圓中半徑的字母表示有很大關系.排除教學造成的影響和學生粗心等因素,可以看到:認為一個字母只固定表示某一個量對其理解字母意義造成了很大的負面影響(2011年暑假期間對初中及小學的兩位數學教師的訪談,再次驗證了這一點).另外,也有6人沒有解答此題.(3)測試題3.測試結果:有8人認為24x?5y不能代表什么,或者認為這不是一個問題的結果,無法解釋,也即認為式子中的x,y都是未知量,無法知道“具體值”;只有少數幾人能夠準確表達式子意義;很多學生將x,y當作相同意義的量:要么都表示球的只數,要么都表示球的價錢,也即他們在對字母表示的量缺乏足夠清晰的認識.
對結果的分析:從結果可以看到,學生對字母意義,無論從認知水平,還是運用情況,都表現出很多的不足:一是很難將字母x,y看作一類量中的已知量;二是對字母參與運算的結果不能準確進行意義建構.這與學生對字母表示“一類量”的認知不夠清晰,對字母參與運算存在極大的認知障礙有著直接的關系.歷史上數學家對一類量的認識以及用含有字母的式子表示一個結果亦是經歷了漫長的歷史過程.從認知過程看,學生和歷史上數學家對字母意義的理解具有相似性.測試題2、3的測試結果對教學的啟示:上述測試結果顯示了一定的歷史相似性,同時我們也注意到,學生在向“一類量”的字母意義的跨越方面存在很大的認知障礙,這值得引起教學研究人員及教師的重視.另外針對測試結果出現的情況,教學中應做到周密設計,如,強調圓的半徑一般用r表示,但同時也應強調字母r并不總是用來表示半徑;未知量也可參與運算,其身份是作為待確定的“已知量”等等.綜合3道題的測試結果,可以看到,學生對“用字母表示數”的意義認知,對應了歷史上“用字母表示數”的字母意義層面的認識演進過程中的發展水平,3種類型各占一定的比例,具有歷史相似性.而學生對于字母意義上“一類量”的符號代數思想缺乏足夠的認識,認知水平停留在“記數符號”、“未知量”等的認知水平上.學生在朝向符號代數的認知過程中易出現反復及循環,如測試題1的結果.這為研究者從字母意義的歷史演進過程出發設計教學提供了可靠的基礎和較充分的證據.另外在教學心理的準備上,教師應能充分理解學生在“一類量”等的認知過程中的“緩慢”發展,因為在歷史上符號代數的演進過程是如此的漫長,整整跨越了2000年左右的時間!
4.2方程求解問題的結果與分析試題4取自丟番圖所解方程問題的原題,該題及其解法是反映歷史上符號代數發展歷程及人們對字母意義認知演進過程的極好素材.
4.2.1該問題的歷史解法①修辭代數解法:文字表達.②縮略代數的解法,以丟番圖的解法為代表:設和為100,差為40,較小數為x,則較大數為x+40.這樣就有2x+40=100,從而得x=30.因此兩數分別為30、70.③符號代數的解法,以韋達的解法為代表:設和為a,差為b.又設較小數為x,則較大數為x+b,于是2x+b=a,故得x=(a–b)/2.因此兩數分別為(a–b)/2、(a+b)/2.
4.2.2學生解法與歷史解法對照①與“修辭代數解法”對應的學生解法:使用“修辭代數”方法解決此題的有11人,占總數的21.2%.考慮到學生已經接觸過“縮略代數”的思想——用字母表示未知量,研究者認為這一數字所占比重并不算小.②與“丟番圖解法”對應的學生解法:將這類解法歸為“丟番圖解法”.雖然學生此類解法較之于“丟番圖解法”有某種程度的進步,這是因為學生已經接觸過解方程的相關知識,但在字母使用水平上,他們用x,y表示未知量,建立方程求解問題,屬于“縮略代數”的解決方案.③與“韋達解法”對應的學生解法:使用“一類量”思想,用符號代數的思想解決問題的人數為6人,占總人數的13.5%.但考慮到學生還沒有系統學習符號代數的做法與思想,能使用這種做法解決問題,這部分學生已經相較班內其他學生的認知水平有了較大的前進與提升.這也給教師以信心:經過精心設計的、系統的教學與訓練,學生是能夠理解符號代數思想的.
4.2.3各種方法使用情況統計從以上學生對該方程的解法與歷史上各個階段典型解法的對比,可以看到學生對字母表示數的認知發展水平,與該知識的歷史發展階段呈現較為明顯的相似性.測試結果可使教師在設計教學時對學生可能出現的情況做到事先“心中有數”,并能針對各種不同的做法給出合理的解釋與引導.同時,為使學生更快、更好地理解、運用符號代數的思想解決問題,借鑒符號代數的歷史發展進程設計教學應是一條可行的、有效的途徑.
5結論與啟示
5.1基本結論通過上面對學生測試結果的分析,可得出以下結論:(1)為數不少的學生對“用字母表示數”仍停留在“修辭代數”和“縮略代數”階段;對字母意義的認知水平多數停留在“記數符號”及“未知量”的層次,只有少部分學生理解并能用“一類量”思想解決問題;(2)學生對于符號代數的“一類量”思想存在認知困難;(3)學生對“用字母表示數”的認知發展過程和“字母表示數”意義演進的歷史發展過程之間存在一定的相似性.因此,借鑒字母意義的歷史演進過程設計教學,將史料及其蘊含的思想、方法等重構后應用于課堂教學,將能夠有效解決學生學習過程中存在的問題與障礙.
5.2教學啟示以相似性分析為基礎,借鑒歷史對于教學而言至少有兩方面作用.首先,可有效預測學生學習中可能會出現的問題、障礙與疑惑;其次,依據知識形成過程設計教學符合學生的認知發展規律.波利亞(GPolya)認為,“在教一門科學分支(理論、概念)時,我們應該讓兒童重演人類心理演進的重大步驟.”[14]弗賴登塔爾(HFreudenthal)則說:“從某種意義上說,兒童應該重蹈歷史,盡管不是實際發生的歷史,而是倘若我們的祖先已經知道我們今天有幸知道的東西,將會發生的歷史.”[15]以上教育家和數學家所言進一步證實歷史于教學之重大意義.無疑,這對教材編寫和課堂教學都有一定的啟示.
5.2.1對教學內容的啟示如何借鑒歷史?對教學內容來講,包括素材與思想,在使用上分別對應顯性與隱性兩種方式[16].顯性方式是在教材編寫及教學實施過程中,直接展示概念的歷史發展過程及其典型問題等,如丟番圖方程問題等設計教學.隱性方式則提供了教學的設計思想.通過歷史相似性分析,研究者發現學生的認知發展如同知識的歷史形成一樣,并非直線推進,其間可能要經歷在水平上的“前進與倒退交織,總體向前推進”的過程.這為螺旋設置教學內容,關注學生認知發展過程的螺旋上升提供了借鑒.如,在“用字母表示數”的教學內容中增加“修辭代數”、“縮略代數”與“符號代數”3個階段中兩個連續環節之間的銜接過渡,增加在字母意義水平上前后銜接的內容,以利于學生對新知的接納與銜接理解.
5.2.2對教學順序的啟示借鑒歷史順序.相似性分析可以指明借鑒歷史順序的路徑,包括兩個方面:歷史順序指導教學順序;從當前的概念組成中看歷史演變.斯賓塞(HerbertSpencer)認為“對孩子的教育在方式和順序上都必須符合歷史上人類的教育,換言之,個體知識的發生必遵循人類知識的發生過程.”[17]德摩根(ADeMorgan)強調數學教學中的歷史次序,認為教師在教代數時,不應該一下子把新符號都解釋給學生,而應該讓學生按歷史順序去學習符號.可以看到,符號代數的發展經歷3個重要階段,與此同時字母意義也從低到高逐步發展形成.從現今教材來看,對“字母表示數”內容的呈現,基本上遵從了該內容的歷史形成過程,以歷史順序呈現.但從微觀來看,對字母意義演進的水平層次設計不夠,這是使得學生對字母意義認知不夠明確、深入、到位的主要原因.
5.2.3對教學要求的啟示從古到今,人們對新事物的理解、接受都需要一個過程,過程的長短則主要取決于事物的復雜程度以及人們的認知水平.從學生認知過程與歷史發展過程相似性的結果可以得出:符號代數中“用字母表示數”經歷了2000年左右的漫長歷史過程,經過一代代數學家艱苦卓絕的探索、完善,適得以今天的面貌呈現于世人面前,學生只靠課堂上短短的幾節課又如何能夠輕松跨越如此遼遠的歷史長河?因此,學生短時間內容不能很好地理解、掌握是正常的的教學行為與結果!誠如M?克萊因對美國的“新數運動”的批判:從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達和笛卡兒以前,沒有一個數學家能意識到字母可用來代表一類數,但現在卻通過簡單的集合思想馬上產生了集合這個概念[18].因此,教育工作者除了在教學內容、設計思想等方面做好精心準備外,對待學生對知識掌握的時間問題要做到有耐心地“靜待花開”。
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