小波轉換影像壓縮模式之研究

小波轉換影像壓縮模式之研究

摘要

由於在現今資訊流通普遍的社會中，影像的需求量越來越大，影像的數位化是必然的趨勢。然而在數位化過的影像所占的資料量又相當龐大，在傳輸與處理上皆有所不便。將資料壓縮是最好的方法。如今有一新的模式，在壓縮率及還原度皆有不錯的表現，為其尚未有一標準的格式，故在應用上尚未普及。但在不久的未來，其潛力不可限量。而影像之於印刷有密不可分的關系。故以此篇文章介紹小波（WAVELET）轉換的歷史淵源。小波轉換的基礎原理�，F今的發展對印刷業界的沖擊。影像壓縮的未來的發展。

壹、前言

由於科技日新月異，印刷已由傳統印刷走向數位印刷。在數位化的過程中，影像的資料一直有檔案過大的問題，占用記憶體過多，使資料在傳輸上、處理上都相當的費時，現今個人擁有TrueColor的視訊卡、24-bit的全彩印表機與掃描器已不再是天方夜譚了，而使用者對影像圖形的要求，不僅要色彩繁多、真實自然，更要搭配多媒體或動畫。但是相對的高畫質視覺享受，所要付出的代價是大量的儲存空間，使用者往往只能眼睜睜地看著體積龐大的圖檔占掉硬碟、磁帶和光碟片的空間；美麗的圖檔在親朋好友之間互通有無，是天經地義的事，但是用網路傳個640X480TrueColor圖形得花3分多鐘，常使人哈欠連連，大家不禁心生疑慮，難道圖檔不能壓縮得更小些嗎？如此報業在傳版時也可更快速。所以一種好的壓縮格式是不可或缺的，可以使影像所占的記憶體更小、更容易處理。但是目前市場上所用的壓縮模式，在壓縮的比率上并不理想，失去壓縮的意義。不然就是壓縮比例過大而造成影像失真，即使數學家與資訊理論學者日以繼夜，卯盡全力地為lossless編碼法找出更快速、更精彩的演算法，都無可避免一個尷尬的事實：壓縮率還是不夠好。再說用來印刷的話就造成影像模糊不清，或是影像出現鋸齒狀的現象。皆會造成印刷輸出的問題。影像壓縮技術是否真的窮途末路？請相信人類解決難題的潛力是無限的。既然舊有編碼法不夠管用，山不轉路轉，科學家便將注意力移轉到WAVELET轉換法，結果不但發現了滿意的解答，還開拓出一條光明的坦途。小波分析是近幾年來才發展出來的數學理論。小波分析，無論是作為數學理論的連續小波變換，還是作為分析工具和方法的離散小波變換，仍有許多可被研究的地方，它是近幾年來在工具及方法上的重大突破。小波分析是傅利葉（Fourier）分析的重要發展，他保留了傅氏理論的優點，又能克服其不足之處�？蛇_到完全不失真，壓縮的比率也令人可以接受。由於其數學理論早在1960年代中葉就有人提出了，而到現在才有人將其應用於實際上，其理論仍有相當大的發展空間，而其實際運用也屬剛起步，其後續發展可說是不可限量。故研究的動機便由此而生。

貳、WAVELET的歷史起源

WAVELET源起於JosephFourier的熱力學公式。傅利葉方程式在十九世紀初期由JosephFourier(1768-1830)所提出，為現代信號分析奠定了基礎。在十九到二十世紀的基礎數學研究領域也占了極重要的地位。Fourier提出了任一方程式，甚至是畫出不連續圖形的方程式，都可以有一單純的分析式來表示。小波分析是近幾年來才發展出來的數學理論為傅利葉方程式的延伸。

小波分析方法的提出可追溯到1910年Haar提出的小波規范正交基。其後1984年，法國地球物理學J.Morlet在分析地震波的局部性質時，發現傳統的傅利葉轉換，難以達到其要求，因此引進小波概念於信號分析中，對信號進行分解。隨後理論物理學家A.Grossman對Morlet的這種信號根據一個確定函數的伸縮，平移系{a-1/2Ψ[(x-b)/a]；a,b?R,a≠0}展開的可行性進行了研究，為小波分析的形成開了先河。

1986年，Y.Meyer建構出具有一定衰減性的光滑函數Ψj,k(x)，其二進制伸縮與平移系{Ψj,k(x)=√2jΨ(2jx-k)；j,k?Z}構成L2（R）的規范正交基。1987年，Mallat巧妙的將多分辨分析的思想引入到小波分析中，建構了小波函數的構造及信號按小波轉換的分解及重構。1988年Daubechies建構了具有正交性（Orthonormal）及緊支集（CompactlySupported）；及只有在一有限區域中是非零的小波，如此，小波分析的系統理論得到了初步建立。

三、WAVELET影像壓縮簡介及基礎理論介紹

一、WAVELET的壓縮概念

WAVELET架在三個主要的基礎理論之上，分別是階層式邊碼(pyramidcoding)、濾波器組理論(filterbanktheory)、以及次旁帶編碼(subbandcoding)，可以說wavelettransform統合了此三項技術。小波轉換能將各種交織在一起的不同頻率組成的信號，分解成不相同頻率的信號，因此能有效的應用於編碼、解碼、檢測邊緣、壓縮數據，及將非線性問題線性化。良好的分析局部的時間區域與頻率區域的信號，彌補傅利葉轉換中的缺失，也因此小波轉換被譽為數學顯微鏡。

WAVELET并不會保留所有的原始資料，而是選擇性的保留了必要的部份，以便經由數學公式推算出其原始資料，可能不是非常完整，但是可以非常接近原始資料。至於影像中什度要保留，什麼要舍棄，端看能量的大小儲存（跟波長與頻率有關）。以較少的資料代替原來的資料，達到壓縮資料的目的，這種經由取舍資料而達到壓縮目地的作法，是近代數位影像編碼技術的一項突破。即是WAVELET的概念引入編碼技術中。

WAVELET轉換在數位影像轉換技術上算是新秀，然而在太空科技早已行之有年，像探測衛星和哈柏望遠鏡傳輸影像回地球，和醫學上的光纖影像，早就開始用WAVELET的原理壓縮/還原影像資料，而且有壓縮率極佳與原影重現的效果。

以往lossless的編碼法只著重壓縮演算法的表現，將數位化的影像資料一絲不漏的送去壓縮，所以還原回來的資料和原始資料分毫無差，但是此種壓縮法的壓縮率不佳。將數位化的影像資料轉換成利於編碼的資料型態，控制解碼後影像的品質，選擇適當的編碼法，而且還在擷取圖形資料時，先幫資料「減肥」。如此才是WAVELET編碼法主要的觀念。

二、影像壓縮過程

原始圖形資料→色彩模式轉換

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