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基于“一題多解”與“變式”的數學復習課案例
復習課的教學目標是為了鞏固和加深所學知識，使知識系統化;使學生在掌握復習內容的知識結構的同時，培養學生的概括能力、運用知識的能力和終身學習的習慣。長期的教學實踐使我們體會到：無論是基礎教學，還是高三數學復習都不能在同一水平上簡單重復，更不能使學生成為解題機器和知識的存儲器;練不在多，而在于精，因此，恰當適量地采用“一題多解”與“變式”教學，進行多角度的解題思路分析，探討解題規律和解題方法與技巧，對學生鞏固基礎知識、形成知識網絡，提高解題技能，發展邏輯思維，提高分析問題與解決問題的能力，勢必事半功倍。
下面展示筆者一節高三數學復習課案例，以資交流。
1、展示問題。引入課題(2009年浙江卷的第l7題)如圖1，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC(端點除外)上一動點。現將△AFD沿AF折起，使平面ABD上平面ABC.在平面ABD內過點D作DK.LAB，K為垂足。
2、探討解法�？偨Y規律“兒童的智慧在他們的指尖上。”心理學實驗也證明：認知的發生和發展是通過人的活動來實現的。因此，解題時要結合題中情節引導學生進行一些操作活動，讓學生在真實、具體的操作情境中豐富感知，在身臨其境中得到啟發，激活思維，從而探求其解法。
學生動手操作，折紙實驗。
(1)直觀感知：當沿對角線AC折起時，點 離點A最近，此刻AK最短;隨著點，逐漸向點E靠近，K離點A越來越遠，AK也越來越長;(2)確認范圍：當AAFD沿AE折起時，點 即為AB的中點日;當AAFD沿AC折起時，AABD ACBD且AAHD為正三角形，故 為AH的中點。
綜合(1)，(2)，得÷< <1.在上面的活動中，雖然學生從“感性”上升到“理性”的認識過程中解決了問題，但筆者認為，這只是對于解題“一時之難”的權宜之計，不利于學生抽象思維能力的培養提高。因此，師生有必要再探討問題的其他解法，并總結解題要點。
分析1 當點，確定時，不難發現折疊以后的立體圖也隨之確定，若令DF=x，則1 <2，且t可以表示成關于 的函數，再求出函數的值域，即可得到t的取值范圍。
解法1 由題意可知，二面角D枷一C是直二面角，又DK_LAB，所以 上平面ABC，作KG上AF于G，連接DG，則DG上AF，故在折疊前，D，G，K三點共線，因此問題又可回歸到平面圖形之中，設DF= ，則1< <2，在RtaADF和RtAKAD中，/ADK=/GAK=LAFD點評解決本題的關鍵是目標函數的建立，如何把t表示成關于 的函數，即如何得到關于 和t的方程;由于折疊前后僅僅是ADAF與四邊形ABCF的相對位置發生了變化，因此 和t的大小在折疊前后是不變的，上述解法的可取之處是在找關于 和t的方程時，回歸到平面圖形中解題。
3、轉換視角。優化解法每個學生都有自己獨特的先天生理遺傳與認知基礎及思維方式。這種認知差異不可避免地影響到個體的學習活動，在新知建構和解決問題的過程中，表現為從不同角度進行分析、思考，由此產生不同的算法�！稊祵W課程標準》也指出“由于學生生活背景和思考的角度不同，所使用的方法必然是多樣化的，教師應尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化”。因此，算法多樣化、一題多解是尊重學生個體差異的必然結果。
問題是否還有其他的解決途徑?一部分學生從不同的視角看這個問題，得到幾種新解法：
分析2 注意到立體圖形中，DK上平面ABC，因此可以點 為原點建立空間坐標系，用坐標法解之。
分析3 由于LFAB的大小確定時，點F也隨之確定，折疊后的立體圖形也確定了，因此也可以選擇 FAB為目標函數的變量，仍通過求目標函數的值域解題。
點評本解法之所以比前面給出的解法簡單，其主要原因是我們選擇了一個“好的變量”。通常情況下，在用目標函數法解立體幾何范圍問題時，選擇角的大小為變量比選擇線段長為變量要簡捷一些。
求異思維和求同思維是對立統一的，引導學生從個別現象中探索共同規律，概括出解題的一般方法相當重要，這樣才能達到解決數學問題的“舉一反三”、“融會貫通”的“營養價值”功效，培養學生的抽象概括能力;但在數學教學中有些教師常常忽視了教學中的歸納概括，孤立地看待多解中的各種解法，從而使學生的思維滯留在感性階段，不能產生質的飛躍。
解題小結綜觀以上解法，可以發現它們的共同之處：運用函數思想將一個量表示為另一個量的函數關系，有變量就有函數，函數思想為我們提供解決問題的一個“切人點”。正如一個著名的數學家所言，“一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變量和函數來思考”。
“一題多解”是從數學知識的各種不同角度，運用不同的思維方法去解決同一個問題。因此所涉及的知識、方法、思想較單一，方法解題更廣、更靈活。隨著學生的思維逐步深入，馬上又有學生通過構造法補形，凸顯問題本質，課堂因變化的奧妙而推向精彩的高潮。
分析4 根據條件中的面面垂直的性質特征，可以補形為長方體。利用AABD的邊AB，AD為定值，確定四棱錐D-ABCF的頂點D的軌跡，以求t的取值范圍。
解法4 依題意，平面ABD上平面ABC，將四棱錐D—ABCF補形成長方體ABCD2-AlB1C。D。，如圖3.因為點D在平面。
4、順水推舟。擴大戰果數學教學的關鍵不是記住結論，而是經歷探究的過程，感受數學的研究方法，促進數學能力的提高，只有在運用通性通法進行不斷變式演練中，才能提高解題能力。通過變式教學，有意識、有目的地引導學生從“不變”的本質中探究“變”的規律，使思維在所學知識中游刃有余，順暢飛翔。我們不難發現，當點，的位置確定時，立體圖形也完全確定了，所以立體圖形中的一些幾何量的取值范圍也是確定的，因此我們可以通過“復制”原問題的解法求解一些立體圖中的幾何量的范圍問題。
5、改變條件。多方探究因材施教是課堂教學永遠要堅持的原則。恰當合理的變式，有助于學生產生學習的“最佳動機”和激發靈感，升華思維，培養學生的創新意識。如果在教學中為教而變，隨意地設置變式問題，那么不但會干擾課堂講授的“主干”知識，而且會增加學生負擔，起事倍功半的效果。變式教學的變式一定要限制在學生水平的“最近發展區”，而且變式后的題目，其內容必須是非本質的變化。變式教學要循序漸進，要有梯度，要抓住學生的思維發展趨勢，否則就會使學生不適應，影響問題的解決，降低學習的效率。那么原題是否還有“可持續開發”的可行性呢?
若改變原題的條件，把題設改為：“如圖4，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC(端點除外)上一動點。現將AAFD沿AF折起，使二面角D一 一日為直二面角”，請你能設計出幾個立體幾何廣口j題并給出解答(下面是學生給出的一些問題及解答)。
6、教后總結目前高三數學復習存在著一些問題：老師講解多，學生思考少;一問一答多，探究交流少;操練記憶多，鼓勵創新少;強求一致多，發展個性少;照本宣科多，智力活動少;顯性內容多，隱性內容少;應付任務多，精神樂趣少等等。不言而喻，復習的主體是學生，因而復習課的教學設計應充分考慮學生的知識能力狀況。在這一點上，我們要充分調動學生的參與熱情，充分信任其在知識學習中的能力，放手讓他們試著去運用知識，試著對試題進行變式;在師生充分而有質量的對話互動中，激發學生興趣、激活學生思維，提升學生的思維品質，使復習教學收到事半功倍的效果。
復習課的教學設計，傳授知識與培養能力互為手段與目標，我們切不可將著力點放在知識傳授上，應著力于由知識向能力的轉化過程，而“一題多解”是學生知識的內化與提升的一個重要手段，能夠促進學生智慧的生成。對一個問題多角度深入研究的過程，無論是自主探索還是博采眾長，由于思考的多角度，思維方法的活躍，解題經驗的豐富，最優化的選取都會促使學生知不足而明差距，激發學習動力和學習興趣，逐步形成刻苦鉆研與交流的學風，這正是我們數學教學要看到的效果之一。
總之，數學復習課上重題目訓練而忽視思維鍛煉是最不可取的。學生在做題的過程中雖然也在進行思維訓練，但那只是學生自我調控下的訓練，是一種缺少指向與引導而近于盲目的訓練;而教師精心指導下的復習，方向性明確，能形成師生互動、生生互動的動態訓練場。
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