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淺談圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用
淺談圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用
摘要：本文在簡單介紹圖像法的基礎(chǔ)上，從圖像法能形象直觀地描述物理量之間的關(guān)系，簡化實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理的方法，減小誤差、分析誤差的成因，便于實(shí)驗(yàn)進(jìn)行深入分析推導(dǎo)出經(jīng)驗(yàn)公式四個(gè)方面入手，并結(jié)合中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中有特點(diǎn)的實(shí)例闡述了圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。
關(guān)鍵詞：圖像法 斜率 截距 面積
物理是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科。物理學(xué)所得出的定律，絕大多數(shù)是用實(shí)驗(yàn)探索得出來的，也就是通過大量實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行觀察，實(shí)驗(yàn)是學(xué)生接受物理知識最符合認(rèn)識規(guī)律的方法，由于物理現(xiàn)象研究是非常復(fù)雜的，各種因素交織在一起，這就需要我們來簡化實(shí)驗(yàn)。在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，僅僅記下一些物理量的大小和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是不夠的，還需要將測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納整理，由表及里，去粗取精，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，總結(jié)出物理規(guī)律，因此，學(xué)生經(jīng)常被一些繁難的運(yùn)算和大大小小的實(shí)驗(yàn)誤差所難倒，得不出正確的結(jié)論，還有些數(shù)據(jù)在實(shí)驗(yàn)中無法直接測得，而圖像法能夠很好的解決這些方面的問題。
1．圖像法簡介
物理規(guī)律可以用文字來描述，也可以函數(shù)式來表示，還可以用圖像來描述。利用圖像描述物理規(guī)律，解決物理問題的方法就稱之為圖像法。圖像法通過圖像來確定物理量之間的關(guān)系，是一種科學(xué)探究的基本方法。
用圖像法來描述物理過程具有形象直觀的特點(diǎn)，可以清晰地描述出其變化的動態(tài)特征，把物理量之間的相互依賴關(guān)系和線性關(guān)系、周期性等清晰地呈現(xiàn)出來，通過圖像的比較，學(xué)生能夠較容易的理解物理過程發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律，這種直觀印象有時(shí)能透過事物的本質(zhì)，誘使人們做更深入的探討，利用圖像法思路清晰可以使得物理問題簡化明了，還能起到一般計(jì)算法所不能起到的作用，可以使物理概念得到進(jìn)一步拓展，而且圖像法能將物理學(xué)科和其它學(xué)科有機(jī)地結(jié)合起來，啟迪學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造能力，提高學(xué)生的綜合能力。
當(dāng)然圖像法也有一些不足之處，主要表現(xiàn)在下面幾個(gè)方面：
�、賹W(xué)生容易搞不清楚縱軸和橫軸所代表的物理量，不能夠明確要描述的是哪兩個(gè)物理量之間的關(guān)系。比如學(xué)生就有可能把簡諧運(yùn)動和簡諧波的圖像認(rèn)為是相同的。
�、趯W(xué)生很容易誤解成圖線就是表示物體實(shí)際運(yùn)動的軌跡。如勻速直線運(yùn)動的S－T圖像是一條斜向上的直線，但物體實(shí)際運(yùn)動的軌跡可能是水平的，并不一定是向上爬坡的。
�、墼诶脠D像法的過程中，要求學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題靈活地建立坐標(biāo)系，確定兩個(gè)合適的物理量來作出圖像。如果坐標(biāo)軸所代表的物理量選擇的不合理，反而不能夠簡化實(shí)驗(yàn)。
�、軐W(xué)生不能夠真正的從物理意義上去認(rèn)識圖像，不能夠由圖像的形狀看出物理過程的特征，不能夠由截距、斜率、圖線所圍的面積、兩圖線交點(diǎn)等有特殊意義的方面看出其中隱含的物理意義。
我們可以從下列幾個(gè)方面來探討圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。
2．形象直觀地反映各物理量之間的關(guān)系
圖像能夠把抽象復(fù)雜的物理規(guī)律有選擇地、具體地表現(xiàn)出來，形象直觀準(zhǔn)確的反映物理量之間的關(guān)系，學(xué)生可以從圖像中方便地看出所求的物理量以及從實(shí)驗(yàn)中得出的結(jié)論，從而揭示物理本質(zhì)或規(guī)律。
2．1 探究功與物體速度的變化關(guān)系
高中課本有探究功和物體速度變化關(guān)系這么一個(gè)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)過程是這樣的：小車在橡皮筋的作用下彈出，沿木塊滑行，當(dāng)我們用2條、3條……同樣的橡皮筋進(jìn)行第2次、第3次……實(shí)驗(yàn)中橡皮筋對小車做的功就是第一次的2倍、3倍……如果把第一次實(shí)驗(yàn)時(shí)橡皮筋的功記為，以后各次的功就是、……橡皮筋做功而使小車獲得的速度可以由紙帶和打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測出［1］。以橡皮筋對小車做的功為縱坐標(biāo)，小車獲得的速度為橫坐標(biāo)，以第一次實(shí)驗(yàn)時(shí)的功為單位，作出曲線圖（如圖所示），我們可以由所做出的曲線圖，直接判斷出。
2．2 從打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的紙帶求出加速度
物體做勻變速直線運(yùn)動時(shí)，其加速度可以直接由圖像法確定，根據(jù)圖線，直線的斜率就是加速度：。根據(jù)-圖線，直線的斜率為，所以。根據(jù)--圖線，直線的斜率為，所以（其中總是正整數(shù)，可以用圓規(guī)直接從紙帶上“移”過來。）
2．3 驗(yàn)證牛頓第二定律
在驗(yàn)證牛頓第二定律時(shí)，可以用兩種方法來進(jìn)行：一種是逐次增多拉小車鉤碼的個(gè)數(shù)，一種是保持小車和鉤碼的總質(zhì)量不變，改變拉小車鉤碼的個(gè)數(shù)。從實(shí)驗(yàn)中得到的數(shù)據(jù)作出-圖線，很容易由圖中的一條直線，得出與的關(guān)系：∝。從理論上，實(shí)驗(yàn)作出的a-F圖線是一條通過原點(diǎn)的直線，可實(shí)際實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，并非都是通過原點(diǎn)的直線，而會出現(xiàn)以下兩種情況：如圖2所示，此直線與縱軸有截距，則表示平衡摩擦力過度了；如圖3所示，此直線與橫軸有截距，則表示在實(shí)驗(yàn)過程中，沒有能足夠的平衡摩擦力。
3．簡化實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理的方法
利用圖像法可以讓學(xué)生較容易的抓住主要矛盾，排除干擾，不被過多的細(xì)小問題搞昏了頭，在處理數(shù)據(jù)時(shí)不被復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算所難倒。
3．1 驗(yàn)證�！R定律實(shí)驗(yàn)
我們在驗(yàn)證�！R定律（常量）時(shí)，常用的方法是用一根一端封閉的粗細(xì)均勻的細(xì)長玻璃管，并在管中封入一段水銀，我們改變壓在密封氣體上面的水銀的重力，測出相應(yīng)的氣體體積，進(jìn)行若干次以得到數(shù)據(jù)：，（其中為大氣壓強(qiáng)，為水銀的重力，為玻璃管的內(nèi)截面，為密封氣體的長度）。得到數(shù)據(jù)再看是否有（常量），如有，則說明�！R定律成立。但在學(xué)生實(shí)驗(yàn)中存在一些問題：學(xué)生的操作技能如何？能否確保安全？能否確保玻璃管垂直（又需附加器件）？是否有氣壓計(jì)，確保的測量準(zhǔn)確，等等。所有這些都將給實(shí)驗(yàn)帶來更多的要求和一定的困難。
是否可以利用圖像法呢？對此我們可以這樣分析：在實(shí)驗(yàn)中我們要驗(yàn)證（常量）也就是要驗(yàn)證：即 （其中為封閉空氣柱的長度，為空氣上方水銀柱的豎直高度）。對于不同的值，也有相應(yīng)的變化。因此，可將看作是的函數(shù)，將上式變形得：（1）
由此可見，若成立，那么--圖線為一條直線，現(xiàn)在我們只能用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證--是否為一條直線，這樣我們只要改變h就可以了，改變h的方法很簡單，只要改變水銀柱的傾角，即改變玻璃管的傾角就可以了。
如圖4所示，將上式代入（1）可得：
即．因此，我們只要改變玻璃管的傾斜狀態(tài)，測出若干個(gè)狀態(tài)下的值和值，然后作出--圖線，如果--圖線為一直線，那么即可認(rèn)為成立，由此可見，采用圖像法之后，這一實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)方法和數(shù)據(jù)處理方法就簡單多了。在這一實(shí)驗(yàn)中，如果沒有氣壓計(jì)測出準(zhǔn)確的大氣壓（沒有測出玻璃管的內(nèi)截面積）也不影響實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行，而對于前一種方法是辦不到的［2］。
3．2 測量單擺的周期
在測量單擺的周期時(shí)，我們需要測量單擺的擺長，而單擺的擺長應(yīng)該是擺的懸點(diǎn)到擺球質(zhì)心的距離�？墒窃趯�(shí)驗(yàn)中能夠精確測量的是懸線的長度，而不是擺長，因?yàn)樾∏蛸|(zhì)心的位置受小球制造時(shí)的各種因素的影響，無法精確地測量。把改寫成 （圖5a所示）或，（圖5b所示），則單擺的周期與擺長的關(guān)系變成：
或
這樣，測出不同的下的值，作出--圖線，由直線的截距即可定出不易測出的值。
單擺的周期與擺長的關(guān)系為：
上式在擺角θ很小，可認(rèn)為的條件下成立，但是實(shí)際測量時(shí)擺角有一定數(shù)值，測得的不是，而是：
該式是取二級近似地單擺周期表達(dá)式，因?yàn)榕c成線性關(guān)系，所以只要測出不同擺角時(shí)的周期，并以周期為縱軸，為橫軸，作出--圖線，再進(jìn)行線性外推，當(dāng)時(shí)，即可獲得截距，即擺角為零時(shí)的單擺周期［3］。
4．減少隨機(jī)誤差，幫助發(fā)現(xiàn)和分析誤差
在作圖描點(diǎn)的過程中，根據(jù)不同情況把數(shù)據(jù)點(diǎn)連成光滑的直線或曲線。由于測量存在一定的誤差，所以曲線不一定要通過所有的點(diǎn)，而是要求數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻的分布在曲線兩旁，這相當(dāng)于在數(shù)據(jù)處理過程中取平均值，若個(gè)別點(diǎn)偏差過大，應(yīng)仔細(xì)分析后決定是否舍去。在這一過程中，偶然的因素被大大的降低了。
4．1 伏特表-安培表測和的實(shí)驗(yàn)
伏安法測電池的電動勢和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)通常有兩種方法：內(nèi)接法和外接法（如圖6）。為了減少偶然誤差，可采用圖像法處理數(shù)據(jù)：不斷改變變阻器的阻值，從伏特表、安培表上讀取多組路端電壓和電源的電流的值，然后根據(jù)多組、值畫出電源的圖像，根據(jù)閉合電路的歐姆定律，由于和都是常量，所以是的一次函數(shù)，這個(gè)圖像應(yīng)該是一條直線，由于實(shí)驗(yàn)誤差，根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)作出的點(diǎn)不會嚴(yán)格地落在同一條直線上，我們用直尺畫一條直線，使直線兩側(cè)的點(diǎn)子大致相等，這條直線就能代表電壓-電流關(guān)系［4］（如圖7中的直線AB和圖8中的直線PM）。圖線與縱軸的交點(diǎn)，電流，代表電路斷開的情況，這時(shí)，電壓等于電源電動勢，即圖線在縱軸上的截距就是電源的電動勢，圖線與橫軸的交點(diǎn)，電壓，代表電源兩端短路，由短路電流與內(nèi)阻、電動勢的關(guān)系可知—圖線的斜率就是電池的內(nèi)阻。
圖6（a）電路誤差來源于伏特表的分流。在路端電壓中，必須是流過電源的電流，由于電壓表不是理想電表，導(dǎo)致電源電流的測量值（即安培表的示數(shù)）比真實(shí)值偏小，存在，其中為伏特表的內(nèi)阻。①對于任意一個(gè)值，總有，其差值隨U的減小而減��；②當(dāng)趨于時(shí)，即外電路短路時(shí)，，此時(shí)。畫出電源真實(shí)的--圖線（如圖6中直線AC所示，兩圖線在A點(diǎn)相交）。比較直線AB和AC縱軸截距和圖線斜率，不難看出，。
圖6（b）電路誤差來源于安培表的分壓，由于安培表不是理想電表，致使路端電壓的測量值（即伏特表的示數(shù)）總比真實(shí)值偏小，其間差值，其中為安培表的內(nèi)阻。①對于任意一個(gè)值，總有，其差值隨電源電流的減小而減小；②當(dāng)外電路斷路即時(shí)，，。根據(jù)以上特點(diǎn)畫出電池的--圖線（如圖8所示的直線NP，兩圖線相交于P點(diǎn)）。比較直線MP和NP 縱軸截距和斜率，顯然， ［5］。
4．2 用伏特表、電阻箱測和的實(shí)驗(yàn)
如圖9所示，把伏特表、電阻箱組成電路，由閉合電路的歐姆定律：，變形為，可見與外電路電阻（即電阻箱的取值）的倒數(shù)存在線形關(guān)系。不斷改變電阻箱的取值，測出多組、值，然后作出-圖線（見圖10中的直線①）。把直線延長，與兩坐標(biāo)軸相交，那么圖像在縱軸上的截距的倒數(shù)就是電池的電動勢，在橫軸上截距的倒數(shù)的絕對值就是電池的內(nèi)阻。本實(shí)驗(yàn)方案中誤差來源與伏特表內(nèi)阻不是無窮大，導(dǎo)致外電阻的測量值（電阻箱讀數(shù)）的倒數(shù)總比真實(shí)值的倒數(shù)偏��；其間的差值（）恒為一個(gè)定值（）。根據(jù)以上特點(diǎn)，畫出電池真實(shí)的--圖線（如圖10中的直線②，兩直線平行）。比較圖10中的直線①②的縱、橫軸的截距，不難看出，，即，。
5．根據(jù)變化趨勢，建立經(jīng)驗(yàn)公式
圖像能直觀地顯示相應(yīng)的物理量之間的相互關(guān)系和變化規(guī)律，反映一定的物理原理，圖像不僅反應(yīng)了物理量在若干個(gè)特定條件下的數(shù)值和狀態(tài)，而且可以反應(yīng)物理量在一般條件下的數(shù)值和狀態(tài)。因此，我們可以由若干個(gè)特定條件下得到的狀態(tài)下得到的數(shù)據(jù)，繪出圖像，并由此拓展分析，得到更多的實(shí)驗(yàn)結(jié)論，導(dǎo)出經(jīng)驗(yàn)公式，或者得到我們實(shí)驗(yàn)無法得到的數(shù)據(jù)。
在用電流表和電壓表測電池的電動勢和內(nèi)電阻的實(shí)驗(yàn)中，通常按圖11所示的電路，利用變阻器R測出幾組，值后，在坐標(biāo)紙上以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，畫出關(guān)系圖像（如圖12所示），并由此圖像得到電池的電動勢和電阻。根據(jù)圖12，顯然有，，如果對圖12進(jìn)一步分析，我們還能得到下述四個(gè)方面有意義的推論：
5．1 反比問題
從圖線的斜率為負(fù)可見：外電壓U隨著電流I的增大而減小，或隨著電阻R的減小而減小，也就是說，電源的負(fù)載越大，電源的輸出電壓越小，輸出電流越大。
5．2 功率問題
有研究電源輸出功率與外負(fù)載的關(guān)系的實(shí)驗(yàn)，此實(shí)驗(yàn)的目的是驗(yàn)證：當(dāng)外負(fù)載電阻等于電源內(nèi)阻時(shí)，電源的輸出功率最大。當(dāng)電源的輸出功率最大時(shí)，電源的效率為50%，根據(jù)測得的不同的、的數(shù)據(jù)，依次算出，得到與外負(fù)載的關(guān)系［6］，利用圖像不需要計(jì)算，只要從圖線上就可得出。
圖線上的某一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（，）。由此可得，當(dāng)外電阻為時(shí)，它所獲得的電功率（即電源的輸出功率）為：。可見，的大小等于A點(diǎn)與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的矩形的面積的大�。ㄈ鐖D13所示）。何時(shí)電源的輸出功率最大呢？當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，�？梢�，當(dāng)電壓（或電流）最大時(shí)，輸出功率并不是最大，反而是最小。由圖13可見，要求電源的最大輸出功率，即要求三角形中內(nèi)接矩形的面積最大。
由平面幾何的知識可知：當(dāng)，時(shí)，內(nèi)接矩形的面積最大，其值為：，此時(shí)，由全電路的歐姆定律很容易得，即當(dāng)時(shí)，電源的輸出功率最大。
5．3 效率問題
對于任意一個(gè)狀態(tài)，外電阻為，電流為，輸出電壓為，那么，顯然，電源的總功率為：；其輸出功率（有用功）為：；其電源本身消耗的功率（無用功）為：。反映在圖像上（如圖13所示）即：的大小可由矩形的面積大小來表示，的大小可由矩形的面積大小來表示，的大小可由矩形ε的面積大小來表示。由此，即可得其效率為：
，
由此，利用圖線，讀出、的數(shù)值后極易求得其效率，從上面的分析，我們得到以下結(jié)論：
�、�；
�、诋�(dāng)，即時(shí)，其效率并非最大，而僅是%
5．4 充電問題
如果將圖線向第二象限延伸，對于圖線上某一點(diǎn)B來說（如圖15），它的坐標(biāo)為（，），其中，，這種情況相當(dāng)于（如圖16）利用電源（，）給電池（，）充電，從圖15可見：①加在電池（，）兩端的電壓越高，流過電池（，）的電流就越大；②電池的輸出功率為：，其大小可由矩形的面積的大小來表示，其中（如圖17所示）的面積為，即為轉(zhuǎn)化為電池（ε，r）化學(xué)能的功率，而的面積為，即為電池內(nèi)阻r所消耗的功率［7］。
6．結(jié)束語
以上用實(shí)例論述了圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的諸多應(yīng)用，當(dāng)然圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，我們也可以從圖像的另一個(gè)角度，來探討圖像法在實(shí)驗(yàn)過程中的應(yīng)用。
從圖像的四個(gè)層次來看它的應(yīng)用：
“點(diǎn)”：物理圖像上的“點(diǎn)”代表某一物理狀態(tài)。從“點(diǎn)”著手分析時(shí)應(yīng)注意從以下幾個(gè)特殊“點(diǎn)”入手分析其物理意義：截距點(diǎn)、交點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等等。
“線”：主要指圖像的直線或曲線的切線，其斜率通常具有明確的物理意義。物理圖像的斜率代表兩個(gè)物理量之比值，其大小往往代表另一物理量的值。
“面”：圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積，有些物理圖像的圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積的值常代表另一物理量的大小［8］。
“形”：圖像的形狀結(jié)合其斜率找出其中隱藏的物理意義。
我們在強(qiáng)調(diào)應(yīng)用圖像法解決實(shí)驗(yàn)中的問題，并非削弱其它方法的應(yīng)用。在解決問題的過程中應(yīng)提倡其它方法和圖像法的有機(jī)結(jié)合，這是因?yàn)樗鼈兌伎梢杂脕砻枋鑫锢碜兓囊?guī)律，各種形式之間是可以相互補(bǔ)充相互轉(zhuǎn)化的［9］。總之，圖像法是解決物理實(shí)驗(yàn)問題的一種重要手段。
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