求二次函數關系式的技巧
求二次函數的關系式,是初中數學的重要內容之一.學會求二次函數的關系式,可使許多問題迎刃而解,怎樣求二次函數的關系式呢?有什么技巧呢?現舉例說明如下.
一、用二次函數的性質求
例1 已知某二次函數的圖像關于y軸對稱,且過點(0,8),其形狀和y=2x2+3x+5的圖像形狀相同,位置不同,開口方向相反.求此二次函數的關系式?
分析與解:此題必須熟知二次函數關系式中的系數和圖像的關系.二次項的系數的絕對值決定它的形狀,只要其絕對值相等,其形狀就形同,二次項系數的正負決定它的開口方向,二次項的系數是正數,則圖像開口向上,是負數則開口向下.一次項的系數決定圖像的左右位置:開口向上時,一次項的系數增大,圖像向左平移,一次項的系數減小,圖像向右平移;開口向下時,一次項的系數增大,圖像向右平移,一次項的系數減小,圖像向左平移;一次項的系數為零時,圖像關于y軸對稱.常數項就是圖像與y軸的交點縱坐標.知道了如上知識,不難知道,本題中的二次函數的二次項系數為負2,一次項系數為0,常數項為8,所以此二次函數的關系式為y=-2x2+8.此題的技巧在于弄清并利用系數與圖像的關系.
二、用一般式求
例2 已知某二次函數的圖像過點(0,0),(1,-6)和(2, -8).求此二次函數的關系式.
分析與解:此函數的圖像過點(0,0),說明其常數項為0,所以,可設其函數關系式為:y=ax2+bx,把點(1,-6)和點(2,-8)代入得方程-6=a+b和-8=4a+2b,這二個方程組成方程組,解之可得:a=2,b=-8.所以此函數的表達式為y=2x2-8x.此方法的技巧是利用坐標與圖像的關系,推出常數項為0,使列的方程組較簡便.
三、用頂點式或兩根式求
例3 已知某二次函數過點(1,0),(5,0)和(3,8).求此二次函數的關系式.
1. 用頂點式求
分析與解:仔細觀察,不難發現,給出的三個點的橫坐標分別是1,3,5.其中3恰好在1和5的中間,根據二次函數圖像的對稱性可知,3就是它的頂點橫坐標,那么(3,8)就是它的頂點坐標,所以此題也可用頂點式來求,設它的'關系式為:y=a(x-3)2+8.把點(1,0)代入得0=a(1-3)2+8 解此方程可得a=-2,所以此二次函數的關系式為y=-2(x-3)2+8,化為一般形式為y=-2x2+12x-10.此方法的技巧在于:利用二次函數的對稱性,發現(3,8)是頂點坐標,利用頂點式求解,又快又對.
2.用兩根式求
分析與解:仔細觀察還可發現,點(1,0),(5,0)都在x軸上,所以還可用兩根式求解,設y=a(x-1)(x-5),把點(3,8)代入此關系式得8=a(3-1)(3-5),解得a=-2,所以此二次函數關系式為y=-2(x-1)(x-5).化為一般形式為y=-2x2+12x-10 此方法的技巧是:仔細觀察,發現兩根,再用兩根式求解.
四、用實際問題中的數量關系求
有些問題無法用上面的方法求函數關系式,但是可利用題中的數量關系求出其函數關系式,再進一步用二次函數的有關知識求解.常見的有以下兩種情況.
1.有關商品銷售的問題
例4 已知某商場銷售某商品,該商品的進價是每件90元,調查發現,若定價為每件100元,每天可售出500件,在此基礎上,價格每上漲1元,每天就少售出20件,求定價為多少元時,每天獲得的利潤最多?為多少元?
分析:本題無法用上面的關系求關系式,但可根據題中的數量關系求出二次函數關系式,本題中的數量關系是:日利潤=每件的利潤×日銷售的件數.
解:設定價為每件x元時,日獲利為y元,由題意得:
y=(x-90)[500-20(x-100)]
=-20x2+4 300x-225 000
=-20(x-107.5)2+6 125
所以當x=107.5時,y有最大值6 125,即每件定價為107.5元時,日獲利潤最多,為6 125元.
2.有關面積的問題
例5 用100米長的籬笆,圍一個矩形雞舍,求長和寬各為多少時,雞舍的面積最大,最大面積為多少平方米?
分析:此題根據長×寬=面積.即可求出二次函數關系式.
解:設長為x米時面積為y米.由題意得
y=(100÷2-x)x
=-x2+50x
=-(x-25)2+625
所以,當長為25米時,面積最大,最大面積為625平方米.此時,寬為100÷2-25=25米,即此時為正方形.
以上幾種方法和技巧,是求二次函數關系式常用的方法和技巧,學會上面的方法和技巧,做二次函數問題時會又快又對,望各位同學認真學習以上方法和技巧,真正理解其精髓,達到能靈活運用和熟能生巧的程度,那么您的中考成績肯定因為學習這篇文章而漲不少分數的.這是我二十多年教學經驗的精華,若能認真研讀,肯定受益許多!
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