函數概念教學的現狀分析

函數概念教學的現狀分析

函數概念教學的現狀分析

2.1教學案例及簡要分析
課例1.函數的概念學習（初中）
授課地點:湖南省漣源巿某中學初三(2)班。
教學目標:1.了解常量變量、自變量和函數的意義,并能分清實例中出現的常量與變量、自變量與函數；
2.會發現和提出函數的實例,能寫出一些簡單函數的解析式。
教學過程:
（一）常量與變量概念
1.引入
例1.一輛汽車以30千米/小時的速度行駛,行駛的路程s(千米)與行駛的時間t(時)的關系怎樣呢?(列出關系式s=30t)其中哪些量的數值可以保持不變,哪些量可以取不同的值?
2.練習
長方形的面積 ,若 ,則 、 是____量,  是____量；
若 ,則 、 是____量,  是¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬____量。
（二）函數
1．創設情境引入概念
例1． ；
例2．反映一天氣溫隨時間變化的氣溫圖。（在教科書的P72）。
a.抽象概括形成概念
通過對二個實例的分析得出在變化過程中兩個變量的對應關系，引入函數的定義。
b.深入分析理解概念
分析定義中的關鍵詞：變化過程，兩個變量，唯一和對應。
c.討論練習鞏固概念
例3：圓的面積S（ ）與它的半徑R（ ）之間的關系 ，判斷S和R是不是函數關系？如果是函數，那么指出式中的自變量與函數。
例4：用總長60米的籬笆圍成矩形場地，求矩形面積S( )與一邊長 之間的關系式，并指出式中的常量與變量、自變量與函數。練習：（略）
簡要分析: 函數概念比較抽象，學生不容易理解，這是教學的難點。教師在設計時注意到遵循學生認識事物的規律，從感性到理性，從具體到抽象。首先創設情境，從實例引入概念。然后通過二個實例的比較，抽象概括得出函數的概念。再進一步深入分析函數的定義，讓學生理解函數的概念，最后通過反復練習，鞏固函數的概念。從學生學習心理角度分析，學生主要經歷了一個概念的形成的過程，即從具體事例或具體概念中抽象出了上位概念的一些關鍵特征，如變量是可以任意賦值的，以及可以不斷變化數值的量，而常量則是無法變化數值的量，整個的心理過程是分化、抽象、概括。不足之處在于教師的觀念沒有革新，先入為主。教師有意識創設了問題情境引入概念，但創設的情境不能從內心引起同學的興趣。通過二個實例的分析函數內涵的整個過程，教師都在替學生思考，學生自己沒有經歷一個“做”的過程，全堂課學生主動建構過程太少，沒有變式訓練，全都是同一個類型的例題練習。此外在初中學習階段除了學習連續函數以外，也接觸到了一些離散函數。然而課例都是連續函數，沒有為后續高中學習離散的函數做充分準備，沒有一個以函數為軸線的整體教學設計。
課例2：函數的定義（高中）
授課時間:2004年11月1日
授課地點:湖南省婁底市某中學高一某班
教學過程:（一）啟發引入階段
師(老師):我們在初中已經學習了函數概念,請同學們回憶。
生(學生):回憶不起來,保持沉默。
師:我們腦海里應有印象,只是敘述不清。我們并且知道函數概念比較抽象,有兩個變量。盡管函數抽象難懂,但卻是一個非常重要的概念,貫穿了高中數學學習以及大學數學學習。我們不得不重視函數概念的學習。
師、生:共同回顧了初中的函數定義。
師：我們在初中已經學習了函數定義，并且學習了正比例函數，反比例函數、一次函數、二次函數等具體的函數，那么為什么今天我們還要繼續討論函數呢？請同學們看下面兩個問題：問題1：  是函數嗎？
問題2： 與 是同一個函數嗎？
生：一副困惑的表情。
師：顯然，僅用我們初中學習過的知識是很難解決這兩個問題的，因此我們需要從新的高度來認識函數概念。
（二）傳授新課階段
師：下面我們看非空數集 、 的元素之間的一些對應關系，（ 、 為有限集）
 
 師：觀察集合A、B有什么對應關系？
師、生（共同討論得出）：
1． 對于集合A中的任意一個數，集合B中都有唯一的實數與之對應；
2．集合A到集合B的對應法則：           分別為“ 乘2”、“求平方”、“求倒數”；
3．對應的形式“一對一”、“多對一”。
師：從上可以看到，函數實際上就是從自變量 的集合到函數值 的集合的一種對應關系。
師生：與初中函數定義比較歸納得出函數定義2。
（板書）設A,B是非空的數集，若按某個確定的對應關系 ，使得對集合A中的任意一個數x，在集合 B中都有唯一確定數 和它對應，那么稱 ：A   B為從集合A 到集合B的一個函數   ，其中A的取值范圍稱函數的定義域；  　稱函數的值域。
師：進一步分析這個概念，定義中蘊含三個重要的因素：
1． 對應法則，又可理解為操作方法，使A B產生關系；
2． 定義域， 能夠取值的一切值，（強調具體問題中要以實際背景為準）；
3． 值域，與 的值相對應的值的范圍。
師生共同討論了：一次函數： 的定義域為R，值域為R，對應法則： 的 倍的值與 的和；
反比例函數： 的定義域為 ，值域為 ，對應法則 ： 的倒數的 倍；
二次函數：  的定義域為R，值域得分情況討論：
當 時，值域為 ；當 時，值域為 。
對應法則： 的平方的 倍與 的 倍與 的和。
師：注對應法則不一定都能寫出，可通過其它方式表述如圖像、表格等。
師：用集合與對應的語言敘述函數概念后，就容易回答開始留下的問題了，下面請同學回答。
生1：是函數， 因為對于實數集R中的任何一個數 ，按對應法則“函數值總是1”，在R中 都有唯一確定的值與它對應，所以 是 的函數。
生2： 與 不是同一個函數，因為盡管它們對應法則一樣，但 的定義域是R，而 的定義域為
師：回答得很好！
師：為了更好鞏固定義，通過下面例題進行進一步的研究。
例1:求下列函數的定義域。
   (1)  ；       (2)  ；  (3)  。
解：（1）要使函數有意義， ，即 ，函數的定義域 。
（2）要使 有意義，  0，即 ，故定義域為 。
（3）要使函數有意義，  要同時滿足，得定義域為 。
簡要分析：教師在設計時，緊扣教材，并注意前后知識的聯系，課前設置疑問，留下了兩個懸而未解的問題，激發學生學習的興趣。提到了函數概念的重要性，以引起同學的重視。通過三個實例的對應關系，引出了用集合與對應語言描述的函數定義，并細致分析了函數定義中蘊含三個重要因素（對應法則、定義域、值域）。整個課例是比較典型的講授式課例。不足之處教師對于學生不記得初中函數定義完全可以通過幾個熟悉的具體例子幫助學生回憶，再一起總結得出，這樣可讓學生經歷一個對函數有一個重新認識的過程。此外教師在對于為什么要繼續學習函數可從多角度來分析，如函數的重要性，人文歷史，來激起學生內在情感的學習需求。練習鞏固應盡可能取些結合學生實際生活中的函數例子，讓學生感受到數學無處不在，無處不用來提高學生的學習激情！
課例3：函數概念學習（高中）
講授時間：2004年11月4日
授課地點：湖南婁底市某中學高一某班
教學過程：
復習：求下列函數的定義域：
1、 ；  2、 ；   3、 ；
4、  ;              5、 。
解：1）要使函數有意義，必須滿足 ，即函數的定義域為 。
2）要使函數有意義 ，必須滿足 ，即函數的定義域為 。
3）要使函數有意義 ，必須同時滿足 ，解得其定義域為 。
4）要使函數有意義 ，必須同時滿足 ，解得其定義域為 。
5）要使函數有意義 ，必須同時滿足 ，解得其定義域為
例1、已知 的定義域為R，求 的范圍。
分析：這里 要分情況討論，
 當  時，原函數變為， ，此時符合題意。
 當 時，原函數要有意義，必須滿足  ，此時又得分情況討論，當  時，要使得  ，必須有 ，此時 無解。  當 時，要使得  ，必須有 ，此時 符合題意。綜上可得原函數的定義域為[0，12]。
例2、已知函數 ，求 的值。
解： ；
     ；     ；
 。
例3、已知函數 ，求 的值。
解： ；              ；
        ；    。
例4、已知 求 。
解： ；
    。
例5已知 ，求 的值。
解：設函數 ，就可觀察得：     ；
同樣可得：   。（1）
拓展：能否求出 和 的值呢？
同學想想，我們可以知道：
 ，（2）
故可用（1）+（2）得 ，
所以 = ；同理，可得 = 。
例6、已知 是常數，又 求 的值。
分析：根據已知可列出以下方程： ，四個知數三個方程？顯然求不出來。另想其它辦法：
構造一個輔助函數，
依題意得， ；           （1）
           （2）；（1）+（2）得 。
布置作業，P51，4，5，P52，6。
簡要分析：本節課是函數定義學習的后續課，老師設計這堂課時花了不少心血，匯集了許多經典高考題。先復習了定義域的求法，講授了求函數值的方法，最后講授了函數的應用。應用函數巧妙地解了兩道高考題。給我的感覺講授的內容比較多。課后詢問學生，老師講了這么多題，能接受嗎？學生回答：“當然不能，不過先做筆記，課后再看。”教學設計顯然超出了學生的認知水平，盡管經過長期的訓練，牢記解題技巧，在高考中也許能考個好成績，但學生的情感、學生的創新能力培養了嗎？值得我們深思！像這類教師可能還沉醉在自己 “豐富的經驗”的光環下，不能自拔。這樣可以比較少的代價的重復勞動完成所學的教學課時數。陷入了傳統題海中不能自拔是當前數學問題教學中的最大危險！正如Fredenthal所說的，數學教育的核心是學生的再創造，教師不應該把數學當作一個已經完成了的形式理論來教，不應該將各種定義、規則、算法灌輸給學生，而是應創造合適的條件，讓學生在學習數學的過程中，用自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造數學知識。
課例4：函數的定義（應用了多媒體教學）
授課地點：湖南郴洲臨武某中學高一某班

 
說明一點：以上是課件的全部內容。本節可以說是多媒體課件給合常規黑板的教學,屏幕在左邊,沒有完全擋住黑板。在右邊有一大半空地方是老師講解用的。所以課件中沒有例題的解答。
簡要分析：課件做得很簡單，沒有動畫，沒有任何背景。學生反映還好懂。只是留給學生自己動手練習的時間不夠。在后來求值域和定義域的練習都很匆忙。我個人認為內容偏多，沒有很好的脫離教材原有的模式。相對于基礎中等以下的學生接受還有點困難，而對成績好的學生是自學也能懂的，只要老師對“函數第二定義”加以升華就可以了。課后和老師聊聊天，問及他們的課件設計怎么沒有什么花樣，他給我的回答是，在他們這多媒體教學已成了常規教學。講求實在一點，想想也只用于節約了板書的時間，便于一些課外資料的補充。當然平時也方便給學生播放一些教學資料片，沒有其它作用。故函數概念教學與信息技術的整合也是值得我們探討的課題。沒有充分利用多媒體，滿足學生不同的需求。我們應充分利用計算機輔助教學，將現代科學技術成果作為手段在教學領域里運用。讓學生觀察、理解，探索研究，發現問題的規律。給學生一個主動建構的過程，和一個思維的空間，讓學生參與包括發現、探索在內的獲得知識的全過程。充分利用網絡構建一個智慧共享的平臺。將學習空間拓展到“地球村”，幫助學生尋找自已合適的學習伙伴。

２．２學生掌握函數概念的情況分析
筆者分別對初中、高中、大學的部分學生和相應的一些老師做了如下的幾個調查，從中了解到學生對函數概念的認知水平的大體情況。由于各個調查中所選取的樣本容量較小，可能不能全面真實的反映情況，但是能反映部分情況，以供科學研究分析。
調查１：（問卷１見附件一）
調查對象：湖南漣源巿斗立山鎮第二中學初三某班和婁底市三中初三某班，抽取樣本120人。
調查的目的：了解初三學生對函數概念的認識水平。（在學生學習完了第十三章函數及其圖像后進行了此次測試。）
調查結果統計表明：對一個現實背景下的函數關系，初次接觸函數的學生理解兩個量之間的關系有些困難。這主要體現在問卷的第１道題，兩個學校分別有21%和19%的學生搞不清余油量與行駛時間，誰為自變量，誰為因變量。第２道題解方程考察學生對變量的理解。令人吃驚的兩個學校分別有７２％和６９％的學生重新解了“新”方程。Ｗagner(1981)在<<Advanced Mathematics Thinking>>一書中談到對變量的理解:一部分學生接受,認為數保持相同時,字母變化不會對數造成影響；另一部分學生把改變變量字母的問題看作一個新問題，并不發生學習上的遷移。因此調查的結果表明沒有發生學習遷移的學生比例偏高。第３道考察學生數形結合的能力，兩個學校分別有７５％和６５％的學生把它作為類似于多項式求值問題，求出兩個端點的函數值，有些學生還寫出了一些可笑的答案，如：“  ”，不能很好地結合圖像來解答。第４道題考查學生用所學知識判斷函數圖像的能力。學生對此題中沒有見過的函數圖像不會用正確的方法判斷。在學生對函數圖像的概念表象中，他們認為函數圖像要么是直的一條線，要么是彎得像碗一樣。而給出解析式去判斷是否為函數的正確率要高。對第５道題，考查學生利用函數知識解決實際問題的能力。對此題大部分學生受以往“唯一標準答案的影響”，胡亂的猜測一種就交差了。學生對從實際問題轉化為數學問題和建構數學模型的能力相當欠缺。同時深刻地反映出我國傳統教育的弊端：從小到大，太習慣于尋找一個標準答案了，不用說數學、物理、化學，就是語文填空，都只有一個標準答案，慢慢地我們的學生的思維就被統一了，被限制在同一種固定的模式里。讓人頓悟為什么我們的產品缺乏核心競爭力？沒有差異的教育模式怎么能教育出有差異的人才？沒有差異的人才怎么能設計制造出有差異的產品？確實如此，在一個固定的教學模式中，在所有思維指向“標準答案唯一”的框框內，學生是不會產生出創新意識的，也不會有創新能力的，我們的一些陳舊的教育觀念已經到了不得不改的地步。筆者提倡有不同層次答案的非終結性問題是突破口之一。在我們的數學思考中必須有非程式、非算法、非形式化的成分，只有把“雙基”與其相結合，才能培養出充滿生機與活力的智者。
調查２：（問卷２見附件二）
調查對象：婁底三中高一某兩個班部分學生共抽取樣本100人，(兩個班分別隨機抽取樣本50人)
調查目的：了解高一學生對函數的理解情況與認知水平。（此次調查是學生學習完“函數的單調性”后進行的。）
調查結果：在問卷２中第１題是考察學生對函數定義的理解程度，要求學生用自己的語言寫出函數的定義，調查結果并不令人滿意。大部分同學是記得書上原定義的部分內容。而沒有完全理解好函數的本質。例如：有人寫的是“兩個量的關系表達式，應用很廣的東西。”　“用 表示 的一個等式”。這些只知道函數的外在表現形式，其它大部分同學是將初中和高中的函數定義的一部分內容寫在答卷上。問卷中的第２道是考察學生數形結合的能力，盡管學生在學習了“函數的單調性”這一部分內容時接觸的函數主要是以圖像表示，學生利用圖像作為表象的能力應有明顯的進步，但對于處理函數最值這類問題仍習慣于函數的解析式。例如在此題中，學生中大致有３類典型的解法。
解法１：因為 ，所以 即 ，即可求出最值分別為１３和１５。
解法２： 且 ， ，當 或６時， 取最大值， 。
解法３：畫出 的圖像，由圖形求出最值。
而問卷２中的第３題是考察學生對變量的理解，75％的學生回答正確，有２０％的學生答案為［０，１］。其中部分學生是因為聯不等式“ ”解錯了，剩下的同學是沒有完全理解定義域的本質。第４題考察學生對函數定義的理解，第（１）（２）小題給出了具體的表達式，學生判斷的正確率高，而對第（３）小題學生雖然對分段函數有了初步認識，而此題特殊在定義域沒有明確給出，有２５％的學生回答錯誤，而對于第（４）小題，３５％的學生回答錯誤，表明學生對生活中函數現象不太敏感。第５題是作的順便調查，關于學生對數學史知識是否重視和掌握。只有少部分學生注意了書上旁邊的注解，能夠回憶起來。答卷中有人這樣寫道：“這東西誰關心，不知道。”這從一方面也反映我們的老師沒有引起足夠重視。第６題全班只有一個人是作出函數圖像來解題的。這說明學生習慣于代數式的求解，數形結合的能力有待加強。像這樣一道題只要做出了如下圖像A4.1，問題都迎刃而解。第７題是一道不定項選擇題，有一定難度，學生中答對的不多，說明學生思考問題還不周全。第８題是要求學生寫出生活中的一些函數現象。大致寫出了：銀行利率與時間，水電費與用水量，電話費與打電話的多少，上網費與上網時間，人的身高與體重分別與時間，一天的氣溫與時間的變化情況，個人所得稅與工資，騎車的路程與時間等等，學生所舉的例子還是停留在書本出現過的一些生活中的現象。

 
調查３：（問卷３見附件三）
調查對象：本校數學專業一批即將成為中學數學教師的四年級本科生，共抽取樣本
１００人。
調查目的：了解經過８年的函數學習后學生的認知水平。
調查結果：第１題是用自己的語言寫出函數的定義，由于大部分同學不記得書上定義了，所以沒有像高中同學那樣取書上定義的部分內容作為自己的語言。而是從函數定義中蘊含的三要素出發來回答的，有人這樣回答的：“函數包括三部分：定義域，對應法則，值域。這三個部分構成了函數。”有人這樣回答的：“對于定義域下的任何一個 ，在對應法則 下，都有唯一的 值與它對應的一種特殊映射。”還有人是這樣寫的：“一個或多個 值，均有唯一的一個 與之對應的一種關系。”等等。大都集中在對函數表現形式上寫定義。第２題第（１）小題有６０％的人回答是同一函數，而對（２）小題１００％的人回答不是同一函數。第３題的第（１）小題有２８％的回答是函數，其中有人簡單地認為“只要是表達式就是函數”。還有些人認為能畫出圖像的都是函數，而 的圖像是一個圓非常熟悉，理所當然是函數。而對于第（２）小題“ 是不是函數一題”，有４０％的人認為是函數，其中有人認為直線都是函數，而“ ”是表示一成直線，理所當然是函數，還有人認為是常量函數。而對第（３）小題有３６％的人回答不是函數，其中大部分錯誤地認為根本沒有 的出現，不可能表示函數，還有部分同學是認為不存在對應法則，故不可能表示函數。對第４題的回答，有人認為只要能表示成圖像的都是函數，所以有部分同學認為全部存在與之對應的函數。上題全部答對占４４％。沒有答對的大都沒有抓住一個 值只有在都對應而且只對應一個 值時才能構成函數。錯誤地認為只要能表示成圖像的都是函數。第５題，考慮周全的人不多。有人簡單的認為是一條上升的直線。如：
           
圖1.                               圖2.              

             
圖3.                                     圖4.
圖１，這類學生沒有弄清題意，飛機著陸之前必須繞北京機場幾圈；圖２，這類學生錯誤地認為在北京機場繞圈時距離保持不變。這樣認為的人占多數，說明對現實生活的感受能力不強；圖３，這類學生，認為繞圈，距離變成了圓圈。只有幾位同學畫對了，繞圈時距離應為圖4的振動圖像。第６題回答的正確率也不高，主要是不定項選擇，選不全，考慮問題欠周全。第７題同學們想到了：對號入座；一夫一妻；買賣中的錢與重量，寄放包時每個人一個密碼等比高中生對生活中的函數現象感知能力強。
　　　 
2．3近幾年中考、高考考查函數知識統計分析
近三年婁底市初中畢業會考數學試卷考查函數知識情況統計分析如下表1:
表1
時間 填空題 選擇題 運算題 應用題 占總分的百分比
2002年 4分 0分 6分 8分 18%
2003年 6分 3分 6分 8分 23%
2004年 4分 3分 7分 9分 23%

近十年高考試卷中考查函數知識統計情況 如下表2
表2
時間 選擇題 填空題 綜合題 占總分的百分比
1992年 16分 0分 12分 18.7%
1993年 8分 8分 12分 18.7%
1994年 17分 0分 12分 19.3%
1995年 13分 4分 12分 19.3%
1996年 8分 0分 34分 28%
1997年 12分 4分 24分 26.7%
1998年 14分 0分 24分 25.3%
1999年 20分 0分 26分 30.7%
2002年 17分 0分 24分 27.3%
2003年 13分 0分 24分 24.6%

由以上兩表可以看出,函數知識一直是中考、全國高考考查的重點。近十多年來,一直分別占中考、高考總分的20%左右。而通過統計發現學生對這類函數概念的考核和建立函數關系題得分率比較低。從統計中還發現一些考題確實讓人拍手叫好!例如:1998年高考選擇題中,有這樣一道題:      
向高為H的水中注水,瓶注滿為止, 如果注水量V與深H的函數關系的圖像如上圖所示,那么水瓶的形狀是(  )。
 
回答此問題,學生需要理解函數及其圖像的概念,從而能夠通過函數圖像讀懂注水量與水深這兩個變量之間的關系,根據水瓶的形狀想象在注水過程中,隨著水位的升高注水量增長速度的變化,從此做出判斷。函數知識除了在中考和高考中是考查的重點以外，一些競賽活動和一些測試評價題目中也經常出現。如PISA（The Programme For International Student Assessment ）2000年數學測試題。PISA是世界經濟合作與發展組織(The Organization for Economic Co-operation and Development)的一項國際學生評價項目。有這樣一道題，一輛賽車在一個周長為3千米的封閉跑道上高速行駛。下圖反映了它在整個第二圈的行駛過程中速度與行駛路程之間的關系： 
這個題有多問，其中的兩問是：
問題一：賽車在第二圈的行駛過程中有時沿直線行駛，并且有一段直線路程最長。則當它開始走這段路程的時候，它與起點的距離大約是多少？
（A）0．5千米                （B）1.5千米
（C）2．3千米                （D）2.6千米
問題二:根據題中所給的圖形,下面五條曲線中哪一條最能反映賽車的運動軌跡?
 
這也是一個典型的函數問題,反映了賽車在行駛過程中速度與行駛路程的關系。但問題并未以一個函數表達式的形式給出,而是用直觀圖像來反映。學生通過讀圖，理解問題中速度與路程的依存關系。第一個問題并非要求學生得出精確的答案，而是通過觀察函數圖像，根據問題中的“時刻”，判斷賽車“大約”行駛的路程，滲透了近似估算。同時要求學生對路況變化和車速變化之間的關系有一個合理的、常識性的分析。第二個問題則更要求學生聯系實際和生活經驗做出思考，拐彎處車速自然要慢一些，而且彎拐得越急（曲率越大），車速越需降低。再聯系起始點，共有幾個彎、幾段直線路程等信息，與函數圖像做一對比分析自然不難得出答案。這個問題所要評價學生的是對函數本質的理解，而不是細枝末節。［20］
 

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