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基于函數概念的認知分析的教學策略研究
基于函數概念的認知分析的教學策略研究
函數概念教學策略可以從各個角度來闡述、分析，但根據現代認知理論對學習與教學的理解,教學設計應從以下幾方面出發: 用直觀的形式向學習者顯示學科內容結構，應該讓學習者了解教學內容中涉及的各類知識元之間的相互關系；學習材料的呈現應適合于學習者認知發展水平，按照由簡到繁的原則來組織教學內容。這里所說的由簡到繁是指由簡化的整體到復雜的整體；學習以求理解才能有助于知識的持久和遷移；向學生提供認知反饋可以確認他們的正確知識和糾正他們的錯誤學習。學習者自定目標是學習的重要動力因素；學習材料既要以歸納序列提供，又要以演繹序列提供；學習材料應體現辯證沖突，適當的矛盾有助于引發學習者的高水平思維。因此函數概念的教學設計都必須從學生學習函數概念的心理過程規律和函數概念的構成基礎出發，通過教學情境促進學生建構相應的數學概念。即教學理論應從函數概念的構成，學生學習與教師教學實踐的整體出發，而不是僅僅從某一側面出發。按照現代認知心理學的觀點，數學概念學習同一切學習一樣是將外在學習材料內化的過程。如果學習材料與學生原有認知結構有聯系，則要通過教學藝術活動使之建立聯系，使之學生的認知結構同化。 [27]
4.1構建以函數為軸的整體教學設計
數學教學中函數內容，本身就是重要的基礎知識，它貫穿了整個中學數學學習以及大學數學學習。數學中的諸多概念或由函數派生、或由函數統率，或可歸之為函數觀點研究。這就要求我們教學設計應從一個整體來設計，應瞻前顧后。比如課例1.中指出的教師可舉一些離散的例子，為高中的函數學習打下基礎。又如代數式的學習，可看成帶有變數的函數表達式，求代數式的值，實質上就是求函數值。解方程（組）實質上是求已知函數的變數值，使在變數值上已知函數有某個預先指定的值。如解方程 ,實質上是求函數 何時函數值為1。有些方程的題甚至不轉化到用函數來解將無從下手，或計算過程相當繁鎖。例如這樣一道題：當 為何值時，關于 的方程 有兩個、一個、零個實數解？像這樣一道題我們首先應將對數方程轉化為代數方程并整理得： ，故原問題等價于討論函數 和函數 的交點問題，并且交點個數即為原方程實數解的個數。接下來利用數形結合的思想，作出 的函數圖像。取圖像中 的部分，容易
得出１．當 時有兩個交點，故原方程有兩個實數解；
�。玻敗� 或 ，有一個交點，故原方程有一個實數解；
３．當 或 ，無交點，故原方程有零個實數解。同樣解不等式也可類似處理。如解不等式 ，實質上是求函數 何時函數值恒為正數；數列也可看成定義在 上的函數，等差數列通項公式： 可看成一次函數 ，等差數列前Ｎ項的和 可看成二次函數 。等比數列以及其它許多知識都可以從函數的角度來認知。這樣使學生在課堂中能多個角度來認知，更利于知識的理解和掌握。
此外中學數學的知識，一般以基本概念、公式、定義、定理、推論、原理、法則、例題、習題等形式出現，通常這些為知識元素。教材編寫者按照邏輯順序把這些知識元素編成教材，從而形成一條邏輯鏈條。在這個邏輯鏈條中，知識元素之間有內在的聯系，它們本是一個有機的整體。但在教學中，教師大都是把這些知識元素一個一個地教給學生，而沒有一個整體的教學設計思想。這樣學生很容易忽視這些知識元素之間的內在聯系，用孤立、靜止的觀點看待這些知識元素。這不僅不利于理解知識的本質，也不利于應用這些知識元素解決實際問題。因為任何一個復雜的問題的解決，都需要綜合運用各種知識元素才可能完成。
由函數所反映的運動變化、相互聯系的觀點來貫串這些知識元素，將有助于克服數學教學中易出現的上述問題。例如，銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，在分別學習時，學生不易看出它們之間的內在聯系，但若用函數所反映的運動變化觀點把它們看成由一邊不動而另一邊繞頂點旋轉而成的，就把這些角的概念在運動過程中統一起來了，而且還把角的概念的本質，即角的大小與邊長無關，只由兩邊張開的程度來決定，進一步揭示出來了。
4.2函數概念教學要注重學生的情感需求
在第三章第一節已談到學生對函數知識所持的情感會影響學生對函數的認知。布魯納也曾指出：“認知可以改變情感，情感也可以影響認知。”情感在這里是指以興趣、愿望、熱情等形式構成學習動機，作為主要的非認知因素制約著認知學習。教育不僅要側重認知能力的培養，還要兼顧情感的發展。事實上，情意行為與認知活動是分不開的，兩者共生共荗。缺乏情感的學習不是真正的學習，幾乎所有的認知都會有情感成分，而且相輔相成。[28]教學過程既是知識信息的傳輸、反饋過程，也是師生情感融匯的過程。教學系統是知識和情感兩個子系統的交織，兩者應是水乳相融、緊密相聯的。心理學的情感理論還指出“人的情感具有啟動、定向、維持、強化等功能，并具有兩極性、彌散性、感知性、遷移性。因此，重視情感教育，不僅能提高課堂教學效果，而且還能提高學生的綜合素質，形成良好的個性品質。
4.2.1加強情感教學的理論依據
全日制義務教育階段國家數學課程標準對數學課程目標的提法較以前有較大的改進___強調數學教育應當首先關注毎一個學生的情感、態度、價值觀和一般能力的發展，增進對數學理解和應用數學的信心。[29]這一總目標：使學生能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲；在數學學習活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；初步認識數學與人類生活的密切聯系及對人類歷史發展的作用，體驗數學充滿著探索和創造；感受數學的嚴謹性以及數學結論的正確性；形成實事求是的態度以及進行質疑和獨立思考的習慣。
《高中數學課程標準》的框架設想（2002，3.18征求意見稿）中可以看出課程標準的設置正朝著以人為本的方向努力，努力拓寬數學知識面，關注學生已有的生活經驗和知識背景，關注學生的自主探索和合作交流，讓學生通過主動參與、積極思考、與人合作交流和創新等過程，獲得數學學習的自信心和方法；關注學生的情感和情緒體驗，讓學生投入到現實的、充滿探索的數學學習過程中去，體會數學的探索過程，體會數學與自然、社會和人類生活的聯系，獲得情感、能力、知識的全面發展；新課程標準努力給教材的多樣性創造條件，給教師教學留有余地，給學生學習提供充分的時間與空間。
自20世紀90年代初制定的數學教學大綱就一直把培養學生良好的個性品質作為數學教學目的之一，而且對良好個性品質作了較完整的解釋。而依據新大綱編寫的新教材更加注重以學生為本。學生是學習的主體；新教材充分注意到了學生這個主體在學習過程中的主動性和參與性。
4.2.2注重數學的科學性與人文性的融合，激發學生的學習動機
數學不僅具有重要的科學價值，同時還具有豐富的人文價值。數學文化作為一種基本的文化形態始終與人類文化協調發展，相得益彰。正如美國著名數學教育家M.克萊因所說：“數學一直是形成現代文化主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素，這種觀點在許多人看來是難以置信的，或者充其量來說也只是一種夸張的說法。這種懷疑態度完全可以理解，它是一種普遍存在的對數學實質的錯誤概念所帶來的結果。”[30]然而在過去，我們的數學課程內容主要限于數學的知識成分，很少涉及數學思想、精神、學生情感和價值觀等人文成份。在數學教學中過于注重數學的科學價值，而忽視對其人文精神的提煉，沒有很好地發揮數學科學本身所固有的人文功能。[31]從函數概念教學現狀分析，可以看出大部分教師注重了函數概念的分析和要點的把握。但大都忽略函數概念所包含的人文精神。函數概念發展至今有300多年的歷史，一直處于發展變化的動態平衡狀態。有著豐富的人文內涵。從學生的調查和訪談結果知：都希望老師能重視數學的人文性。普遍認為在課堂中介紹數學史知識，能夠幫助學生理解數學知識，領悟到數學思想方法的產生和發展過程；能夠促進學生產生學習數學的自信心，消除對數學的畏懼感、神秘感，進而對數學產生興趣；能夠使學生學習到數學家的堅毅品質和科學的獻身精神；能夠使學生了解到祖國和世界的數學成就，從而產生民族自尊心、自豪感，并形成其自覺為祖國和世界文化昌盛而奉獻的意愿。從李善良對江蘇省準陰市區十所中學初二年級師生進行的一次問卷調查結果發現數學史教育明顯不足；教師普遍認為：教材中對數學家介紹太少，多數情況只提名字而無簡歷或故事，教材中對外國數學史介紹得太少，此外，教材中數學史內容未能與教學內容有機融合。教學中只有40%左右的教師主動地將數學史內容穿插在課堂上講解，有40%的教師要求學生課外閱讀，而至少有20%的教師從未對學生進行這方面的學習指導，其原因主要為數學史知識不是升學考試內容。[32]從本人的問卷２第５題的調查結果來看，教師對數學史知識的教學重視的力度不夠。就這樣一道題只有少數同學注意到了教材上旁邊的注解，能夠回憶起來。有人這樣回答的：“這東西，誰關心，不知道。”既然數學史教育是學生就歡迎的，而函數概念又有著３００多年的歷史，在我們的函數課堂中就應重視。值得注意的是：在介紹數學史要能和教學內容有機融合；介紹方法與處理方法可靈活多樣；數學史教育內容應當中外兼顧。數學史教育應時刻注意教育對象。
除了傳統的課堂教學模式影響了學生對數學所持的情感外，我們的大眾傳媒在一定程度上應負一定的責任。有人做過調查訪問，“蘇步青和張藝謀哪個貢獻大？”大都回答“蘇步青”。然而當問及他們的生平事跡時，大多對張藝謀的點點滴滴都能講出。而對著名的數學家蘇步青教授卻知之甚少。誰都能感覺出我們今天的大眾傳媒對娛樂、體育方面消息報道多于其它的學術知識，比如報紙整版都是娛樂新聞。而對一些科學家的生平，學術方面的報道出奇的少，這樣促使我們的學生情感發生了轉移。我們應呼喚“80年代的陳景潤精神”再度掀起。也有望我們大眾傳媒關注孩子的全面發展，關注孩子未來。不能為了一時的經濟利益，而以犧牲年輕一代為代價。
4.2.3函數概念教學中注重函數思想的滲透
函數概念不僅具有豐富的人文歷史，同時是貫穿數學始終一種重要的數學思想即函數思想。隨著社會的發展，“終身學習”和“人的可持續發展”等教育觀念進一步得到人們的認同，而要想實現“終身學習” 和“人的可持續發展”，重要的是教育中發展學生的能力，掌握獲得知識和進一步學習的方法。心理學的研究結果表明，高度概括的內容能夠在學生頭腦中留下長久的記憶。數學的思想方法與具體知識相比，具有更高的抽象性與概括性。正如日本數學教育家米山國藏先生曾深刻地指出：“學生們有初中或高中所學的數學知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數學，通常在出校門以后不到一兩年就忘掉了，然而，不管他們從事什么業務工作，即使學生把所教給的知識（概念、定理、法則和公式等）全忘了，銘刻在他心中的數學精神、思想和方法卻能使他終身受益。”[３3]既然數學思想方法影響著一個人的一生，而函數又是一種重要的數學思想，我們不容再忽視了，然而有些教師僅僅把數學概念看作一個名詞而已，概念教學就是對概念做出解釋，使學生能理解、記住。而沒有看到像函數這樣的概念本質上是一種數學觀念，是一種處理問題的數學方法。因此，一節“概念課”教完，也就完成了它的歷史使命，剩下的是趕緊解題。至于“指數函數”，“三角函數”等等又是另外的概念了，求函數的定義域等題似乎也與函數概念沒什么關系，因此學生學了許多具體函數（在心理上建立了相應的心理表征）。解了不少與函數有關的題目，卻不能說出函數的大致意思，這樣的心理表征是不完善的。在這樣的心理表征下，學生能很好地運用函數思想去處理問題嗎？
函數思想是函數相關知識的一個重要組成部分。在數學教學中，如果能重視函數思想及其方法的傳授，就有利于幫助學生掌握開啟知識的鑰匙，也就有利于加速知識轉化為能力的進程。此外在數學教學中還應注意函數思想與其它的模型轉化思想、變換思想、概率統計思想、優化思想、方程思想等有較多的聯系。目前世界各國都很重視數學思想方法的學習，許多發達國家把函數思想作為貫穿中小學教學的一個重要內容。[３4]函數教學從小學開始接觸變量的思想，初中進一步學習函數思想，到高中集合對應觀點下的函數理論，使得函數思想在整個中小學教育有一個鋪墊、過渡、延伸的過程。如在小學階段，函數作為數的運算出現，例如，兩個數之和看成是一個數與兩個數對應；代數中函數表示變數之間的關系；在幾何中，函數表示了幾何變換思想，概率中函數表示了事件發生與可能性之間的關系。以美國為例，美國在其《學校數學課程和評估標準》（1989）中，除“模式與函數”外，其它章節內容如“代數”、“統計”都與函數思想息息相關。［１］而在其《學校數學的原則與標準》（2000）中則提出了更進一步要求，在早期數學的學習階段通過觀察事物的變化，探索模式，合理引入函數。［３4］然而在中國90年代的義務教育教學大綱中，在“教學內容和教學要求”中基本沒有提及函數思想方法，僅有：“使學生了解……以及反映在函數概念中的運動變化觀點”等字樣，學生在初三以前很小接觸變量、函數思想。2000年新頒布的課程標準中注意到了思想方法提出了“了解函數的概念和三種表示方法……以及結合圖像對簡單的實際問題中的函數關系進行分析，嘗試對變量的變化規律進行初步預測。”在認識到函數思想的重要性方面我們比別人晚，這就有望我們一線的教師們更要加倍重視函數思想的教育。
4.2.4教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的經驗基礎上
新的課程標準提出了新的教學理念：“要實現人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展。”如何將教學達到這些新的要求，這就要求我們的教學活動必須建立在學生原有的數學認知結構的基礎上，滿足各自的學習需求。認知結構即學生頭腦里的知識結構，是指學生感知、思考事物的主觀模式結構，是學生全部觀念的內容和組織。數學認知結構是指學生頭腦里的數學知識，按照自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想、等認知特點，組合成的一個具有內部規律的結構整體。[35]其中一般的模式可用搞活流通來表示，依據這一基本模式，數學學習活動可分為三個階段：輸入階段，適應階段，運用階段。
而現代認知心理學家對知識的獲得持同化論的觀點，即知識的獲得是學習者認知結構中原有知識吸收并固定要學新知識的過程。新知識同化到原有認知結構中。使原有認知結構發生變化，促使認知結構不斷發展。奧蘇伯爾把學生要學習的新知識與其認知結構起固定作用的原有觀念分為三種關系：下位學習，并列學習，上位學習。通過前幾章的討論，可知函數概念經過了三個世紀的演變，處于命題網絡的頂層是上位學習。上位學習也稱總括性學習，是指在認知結構中原有的幾個觀念的基礎上學習一個包容性更高的命題，即原有的觀念是從屬觀念，而新學習的觀念是總括性的觀念。其同化模式如下圖。
上位學習的同化模式[36]
上位學習遵循從具體到一般的歸納概括過程,所以我們在教學中要注重歸納、類比等方法引導學生同以前所學知識建立聯系，同時還要克服思維定勢的影響，從而建立起函數這一辯證概念，使學生受到良好的思維訓練。例如對函數記號“ ”的理解，大多學生認為它只可以是一個解析式，所以缺乏對對應法則“ ”正確理解。那么我們在教學中要多舉學生生活中比較熟悉的例子，如銀行利率表，股市走勢圖這樣將抽象問題具體化，幫助學生對符號“ ”以及函數的本質有正確認識，起到事半功倍的作用。
此外經驗證明，學習者對知識的積累是必要的。知識是思維的材料，掌握知識是能力發展的途徑。但作為教師，更應重視學習者的認知結構對后繼學習的重要意義。現代認知學習理認為，學習新概念的過程是新舊概念相互作用的過程，學習者的認知能力對學習者的學習、研究和知識的運用更為重要。[37] 因此數學教師在教學目標選擇時，應努力將知識的掌握與形成合理的數學認知結構結合起來，將掌握知識與發展能力和培養學生的情感有機地結合起來。
4.3使函數概念課堂生活化
第三次全教會提出必須把培養創新精神和實踐能力作為素質教育的重點。這給課堂教學提出了改革的要求和方向。陶行知說過：“生活即教育，教育只有通過生活才能產生作用并成為真正的教育。”所以數學課堂的生活化是加強實踐能力，推進素質教育的必要手段。新的課程標準也更多地強調學生用數學的眼光從生活中捕捉數學問題，主動地運用數學知識分析生活現象，自主地解決生活中的實際問題。因此，在數學教學中應重視學生生活體驗，把數學教學與學生的生活體驗相聯系，把數學問題與生活情境相結合，讓數學生活化，生活數學化。生活化是一個過程，并不是指具體的生活內容，所謂生活化即在教學中一方面從學生的生活體驗和已有知識背景出發聯系生活講數學，把生活經驗數學化。數學問題生活化體現數學的興趣，學會運用數學的思維方式去觀察、分析、認識社會去解決日常生活中和其他學科學習中的問題。為學生的終身可持續發展奠定良好基礎；另一方面在教學中突出學生主體地位（弘揚個性）。正如法國世紀啟蒙思想家盧梭提出的：“自然教育的教學目的，其核心就是對學生進行教育時必須順應人的本性，主張采用自然主義（泛愛主義的教育方法）還課堂以生活的本來面目。”[38]
一直以來中外不少教育家強調要處理好教育與生活的關系，關注學生生活本身。像蘇霍姆林斯基在給教師的建議及杜威在民主主義與教育中就明確指出：“教育是生活的需要，依據生活而教育。”課堂教學活動和各個環節要盡可能地聯系生活、貼近生活。只有師生課堂教學活動與現實生活密切相聯。教育才能最大體現它的價值，體現它的自然性、即時性。這正是學校教育教學活動的生活本性。如何讓生活進入我們的函數概念教學課堂呢？
首先轉變教師的教育意識是課堂生活化的前提。 服務是一種資源，優質服務是創設舒心的環境，獲取最佳效益有效手段。教學中學生是學習的主體，教者服務學生，旨在點拔、引導、創設情境，必須運用現代化教學手段，精湛教學藝術，科學的教學方法，“潤物細無聲”地引導學生探究，獲取知識、學會思維。在初中函數概念的講授中，教師可以舉生活中的函數現象引入。如一天的天氣預報中，氣溫與時間的變化情況，汽車行駛速度與路程的關系等。還有學生身高、體重隨年齡的變化情況。分清實例中出現的常量與變量。此過程教師指導學生自己思考。在高中的函數概念教學中同樣可以從實例引入，通過實例來講解。眾所周知，從生活實踐中培養創新能力這一點上，美國“木匠教學法”很成功。“木匠教學法”的核心就是注重知識來源于生活。讓學生在實踐中獲取知識 ，讓學生自我發現問題和自我解決問題，充分發揮學生的想象力和創造力。
其次善于研究生活中的數學是課堂生活化的基礎。 知識是前人在生活中積累的經驗或是提煉出的規律，而教學目標是為了掌握規律及學習發現規律的方法。若教者只是讓學生掌握知識，那就是把學生頭腦當成了知識的容器，“頭腦不是一個要被填滿的容器而是把需被點燃的火把。”因此，教學中必須讓學生了解知識發生的過程，但40或45分鐘畢竟有限，因此教者要引導學生善于捕捉、獲取、積累生活中的數學知識。
最后善于創設教學情境是數學課堂生活化的基本途徑。創設教學情境是數學模擬生活，使課堂教學更接近現實生活，使學生如身臨其境，如見其人，如聞其聲，加強感知，突出難點，激發思維。常見的創設教學情境的做法有：運用實例，運用實物（掛圖），動手操作，運用媒體和模擬生活。
我們可以讓生活走入課堂，同樣也可讓課堂走向生活，走向社會、走向實踐。把課堂搬出教室，搬出校園，。在自然界中，在社會中，以真實、生動和豐富經驗……發展其實踐能力，發展對知識的綜合運用和創新能力，養成合作、分享、積極進取等個性品質。
早在上世紀初，美國教育家杜威就提出“在做中學”的觀點，無疑，“做”與被動地“聽”和“看”是無法比擬的。(I hear, I forget；I see,I remember；I do,I understand.)我聽了，我忘；我看了，我記住了；我做了，我明白了。）皮亞杰也曾指出：讓學生在活動中學習，這是兒童教育的最重要的原則。[39]著名的數學家弗賴登塔爾也認為數學教育,它應該來源于現實、寓于現實、用于現實。數學教育應該通過具體的實際問題來教抽象的數學問題，它應該是從學生所經歷所能感悟的客觀實際中提出問題，然后升華為數學概念、運算法則或數學思想。
所以我們應從教學內容的實際出發，組織實施“大課堂”教學。所謂“大課堂”教學就是組織學生走出課堂的教學。如進行實地考察，或由學生自己通過做社會調查、查閱資料等方式學習。“大課堂”教學打破了單一的課堂集中教學形式。一方面可以開闊學生的知識視野，打破課堂學習的局限性，促使學生充分認識到數學知識的價值，并通過社會化、生活化的方式使學生學到有用的數學。在教學中要根據教學需要讓學生走出課堂，但是要注意做好組織引導工作，要讓學生帶著任務走出課堂，不能放任自流，搞“放手式”教學。還可布置實踐作業。如通過調查了解函數知識在工農業生產和實際生活中的應用，使學生真正體會到數學源于生活。比如，現在農村各地正在進行產業結構調整，可組織學生到農戶進行調查、收集數據，分析產業結構調整帶來的經濟效益。又如電話費、水電費等都是時間的函數。許多科學也只有用函數才能表達清楚。如物體的自由落體運動，生物學中的細胞繁殖速度，生產成本的核算、生產工效的提高等都是相應的自變量的函數。函數充斥我們生活的方方面面，或者說，我們的生活離不開函數，函數與每個人息息相關，這便使我們的函數課堂生活化和讓函數課堂走向生活、走向社會實踐有了保證。
4.4基于函數概念的抽象性，用問題驅動組織教學
“問題是數學的心臟”沒有問題就沒有數學�，F代認知心理學關于思維的研究成果表明，思維過程，即思維通常是由問題情境產生的，而且是以解決問題情境為目的的。所謂問題情境是一種有目的的但又不知如何達到這一目的的心理困境，也就是當已有知識不能解決新的問題而出現的心態。人們就必須擬出以曾未曾有過的新的活動策略�；诤瘮蹈拍畹某橄笮裕覀兛梢栽囍脝栴}驅動函數概念教學。問題驅動教學有其充足的理論依據：
1）建構主義學習理論，目前教育心理學界正在以一種新的觀點來理解學習和教學，這就是建構主義學習理論。建構主義學習理論認為，學習是獲取知識的過程，知識不單單是通過教師的傳授而得到的，而主要是學習者在一定的情境（即社會文化背景）下，借助于其他人的幫助，利用必要的學習資料。通過意義建構的方式自己獲得的，其核心是“通過問題教學解決學習”。[40]
2）問題教學理論，20世紀60年代中期，前蘇聯教學論專家馬赫穆托夫創立了問題教學理論。這理論是前蘇聯發展性教學理論的重要組成部分，具有相對完整的方法體系和鮮明的時代特色。馬氏認為：在這種教學中，學生從事的系統的獨立探索活動與其掌握現成的科學結論配合進行的，其方法體系建立在問題情境的創設、問題的提出和問題的解決基礎上的。在問題教學中，學生不僅要掌握科學結論，還要掌握這些結論獲得的途徑和過程，其目的在于形成思維的獨立性和發展創造力。
3）數學教學的本質要求，“問題是數學的心臟”，數學的真正組成部分數學問題。問題在數學教學中具有極其重要的意義，它是數學教學的出發點和動力，數學教學過程應當是一個不斷提出問題和解決問題的過程。那么具體到函數這樣一個抽象的概念的講授課中又如何應用問題驅動教學呢？就中學課本中的函數概念進行討論：
中學課本要講到一元函數的定義如下， 是一種對應法則，它將定義域 中每個實數 對應于唯一實數 ，記為 ，大部分學生都能背出這個定義，但是這種表述能刺激他們去思考去應用嗎？讓我們用批判的眼光去審視這個基本概念。
問題1.函數的概念是不是一個最基本的概念？為什么要研究函數？
在現存的教程中你很難找到答案，因為大家都不關心這個問題。殊不知這是一個很重要的問題，如不深究其答案，我們將難以把很多數學結果用活，也不知道為何要學微積分。設想你在某公司做事，在公司業務數據庫、公司的電腦中有函數嗎？當你的上司希望你完成一項市場分析時，你能在公司里找到任何函數公式嗎？我們在數學教程上讀到的很多理論都是從函數出發的，但是在真實的業務中它卻不存在的！這使學生、教授、數學家們感到茫然。
真實的生活雖然沒有直接的函數存在，但是我們不得不面對的是很多有自己內涵的變量，例如：商品價格、需求量、時間、上證指數、交易量、信用卡余額、溫度、交通事故數。我們天天都必需和它們打交道，希望理解變量之間的關系。這里的關鍵詞是關系。
問題2.變量之間的關系有幾種類型？
這是一個很具本原性的問題，從實際生活中我們可歸納出下列類型。
a. 完全不相關；
b. 變量Y由變量組{ }決定；
c. 變量Y由變量X決定；
d. 不確定關系。
這些關系的研究推動了各種數學的誕生。a推動了各種“獨立性”的數學的發展；b產生多元微積分； c產生一元微積分；d產生了概率論。為什么c產生一元微積分呢？首先為了表達Y由X決定的關系，我們才能創造了一元函數 的概念，它的功能是指出當自變量 值時 。因此一元函數 是表達Y如何依賴于X的關系的工具。而一元微積分的工作對象是一元函數，所以c產生了一元微積分。 與多元微積分的關系就亦然。將函數與它所代表的變量聯系起來，一切都變活了。
例如，大家都知道指數函數 ，只看抽象的指數函數，你的感覺是冰冷的，但當你用它來刻畫某項投資在 時的現值時，我們就有了新的思路，將 改寫為 ， 有何意義呢？
原來可理解為一年后的收益率！這時你對指數函數是不是倍感親切呢？因為你應該關注你的 ，當 時，你能掙得更多的鈔票！反之 ，你將承受損失。
總之，當我們明白了函數是表達變量之間關系的工具時，我就能知道為什么要研究學習函數，這一點也啟發我們去討論下面的問題。
問題3.如何去分析函數？
還是用一元函數為例說明。設有兩個變量 ，
——某商品的銷量，
X——該商品的價格。
在一定的條件下，Y與X的關系可用價格——銷售函數 來指導，作為決策者，銷售經理雖然關心函數 ，但是他首先考慮的問題是，如果現在的價格是 ，在 的基礎上調整 時，市場的反應如何？即他應研究的是 與相應的 的關系：
對 、 的分析稱為增量的分析，，這是微積分的靈魂，在中學里對函數的研究出發點是 的表達式，在微積分中是對 和 的關系研究。接下來的問題是：如何研究 與 的關系呢？……
對其它比較復雜的概念，均可采用問題教學法�？偨Y一下問題教學法的基本操作程序：1）創設問題情境；2）引導活動探索；3）討論反饋問題；4反思深化問題。即從問題出發——引導探究——解決問題——歸納反思——發現新問題——再探究新問題，這樣一個開放式的教學模式。
4.5將案例教學法運用于函數概念教學中
所謂案例是指包含有某些決策或疑難問題的教學情境故事，這些故事反映了典型的教學思考水平及其保持、下降或達成現象。[41]在新的課程理念的課堂教學案例，應考慮從以下諸方面選擇主題：
1）學生動手實踐、自主探索、合作交流的教與學方式；
2）體現教師幫助學生自主探究、合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學活動經驗，如數學活動中，如何關注數學本質，讓學生體驗“數學化”，即如何讓學生分析和研究活動中出現的種種現象，并加以整理和組織的過程，經歷歸納、概括、抽象，將客觀事物數學化或數學本身邏輯化的過程；
3） 體現讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程；采用“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的模式教學的成功經驗。
4） 體現數學與信息技術整合的教與學的方法；
5） 體現教師在教學過程中的組織者、引導者與合作者作用；
6）體現教學中對學生情感、態度的關注和過程評價，以及怎樣幫助不同的人在數學上獲得不同的發展等等。[42]
從以上幾方面編寫的案例在課堂上呈現給學生，并運用它開展探究教學，從此案例成了取之于學生又用于學生的一種難得的課堂資源，探究教學途徑也得到了很好的拓寬。課堂教學案例實錄：
案例1:世界著名的水都威尼斯，有個馬爾克廣場。廣場的一端有一座寬82米的雄偉教堂。教堂的前面是一方闊地，這片闊地經常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲；先把眼睛蒙上，然后從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達教堂的正前面。奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒有一名游客能幸運地做到這點！他們全都走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊。
公元1896年，挪威生理學家古德貝爾對此問題進行了深入的探討，他收集了大量的事例后分析說：這一切都是由于人自身兩條腿作怪！長年累月養成的習慣，使每一個人一只腳伸出的步子要比另一只腳伸出的步子長一段微不足道，而正是這一段很小的步差 ,導致了人們走出了一個半徑為 的大圈子！設某人的腳踏線間相隔為0.1米，平均步長為0.7米, 當人打圈子時,兩只腳實際上走出兩個半徑相差為0.05米的同心圈�？傻� 。通過此案例可作為初中函數定義的引入，也可作為高中復習初中定義�？蓪⒆鞒烧n件，同時也可用學生自己來做這個游戲。這可大大激發學生的學習熱情，生活中這些微不足道的現象，竟然都能用我們所學的數學來解釋。
案例2：（國外的一堂課）
問題1：這里一共有35個（yo-yos）在一個盒子里，有20個學生來上課，他們每人自帶了4個（yo-yos）放在盒子里；問一共有多少個（yo-yos）在盒子里？
得出： 。
問題2：盒子里一共有166個（yo-yos），今天有22個學生來上課，他們每人帶了6個（yo-yos）放在盒子里，問盒子里原來有多少個（yo-yos）？
得出：166=22*6+ 。
問題3：盒子里一共有151個（yo-yos），盒子里原來有58個（yo-yos），今天來有31個學生來上課，問他們每人帶了多少個（yo-yos）？
得出： 。
問題4：盒子里一共有109個（yo-yos），盒子里原來有46個（yo-yos），每個學生帶了7個（yo-yos），那么來上課的學生人為多少個？
得出： 。
問題5：（1） ；（2）166=22*6+ ；
（3） ；（4） 。
將以上四個式子用一個模型概括出來。得出： 即 。
問題6：在將來的某個時候，學生每人帶了2個（yo-yos）放在盒子里，盒子里原來有3個（yo-yos），那么盒子里的（yo-yos）數為多少？
這里有兩個數不知道，得出： 。
練習1：瑪麗有6盒口香糖，每一盒里有5片，那么她一共有多少片口香糖？
練習2：特德有15條魚，他把每3條放一個魚罐，那么他一共放了多少個魚罐？
此案例完全用學生自己在經歷一個“做數學”的過程，包括最后的練習都是通過操作可以解決的。比起我們國內直接舉出我們見過這樣的式子： 來引入要更能滿足學生的內在需求。這樣整個教學活動都融入了社會這個群體中。如下圖所示： 此案例可作為一次函數的引入講解，也可用于方程的學習。[43]
案例3：2000年5月11日《解放日報》第6版題為《“發福”不是福，肥胖是“殺手”》的文章指出：目前國際流行的體重指數法（MBI）和最新的亞太地區肥胖指標，將體重（千克）除以身高（米）的平方，結果大于23即為超重，大于25即為肥胖，介于18.5至22.9之間屬于正常。請根據自己的體重（千克）及身高（米）設計一道數學題并加以解答。
教師分析題意：找出問題中關鍵關系式是肥胖指標與體重、身高之間的等式關系，它們為：肥胖指標= 。能否用符號來表示？讓我們選定符號。
學生回答，教師認同：肥胖指標用 ，體重用 ，身高用 表示，那么上述關 系式即為： 。
師：符號可以簡化我們的思考。好，現在讓我們設計問題、提出問題。
問題1：我的身高為1.78米，體重為75千克，是否屬于正常范圍內？如果我們把問題轉化成數學問題，那么相應的數學問題是什么？
學生1：（數學問題1）：計算 ，并判斷是否大于或等于18.5而小于22.9。
計算的結果 值為23.67，屬于超重范圍，所以我認為要制定計劃減肥，由于一般情況下我的身高不會有什么變化，即保持在1.78米，那么我必須把體重減下來，使肥胖指標屬于正常范圍。
問題2：那么我的體重必須在什么范圍內呢？從數學的角度來看是什么問題？
學生（數學問題2）：已知 , ,如果 ,那么 在什么范圍內？
師生共同解決： , ,則 ,即 。
這說明我的體重介于58.6154千克與72.55636千克之間的話為正常范圍。
師:我們還能提出什么問題？
學生：作一個直角坐標系。
師：好，我在黑板上畫一個直角坐標系。下面呢？
學生：（討論）
師：作一個直角坐標系有什么用？
學生：作出函數圖像。
師：什么函數？
學生：（討論）
師：我們看到關系式 中有三個量，而我們黑板上畫的是平面直角坐標系，也是我們僅僅學過的坐標系，在這個坐標中只能表示兩個維度，這里的x軸、y軸，那么這里的x軸、y軸分別表示什么呢？
學生：x軸表示k(肥胖指標)，y軸表示w（體重）。
師：那么h是什么？還能不能是一個變量？
學生:只能是一個常數，不妨設為1.78。
師：那么我們就得到函數 ,即 ，是一個一次函數，當然，這個函數的自變量k應當有一個取值范圍，例如，上面我們提到介于18.5與22.9之間，那么函數 (體重)就應有一個范圍，就是上面的問題，從圖像上看就是一條直線的一段。受此啟發，我們是否可以考慮x軸、y軸分別代表其它的變量？
眾生：可以。
師：讓我們進一步思考下去。
學生：x軸表示 （身高）, y軸表示 (體重)。
師： 是否需要是一個確定的值？
學生： 為20吧。
師：這樣我們就得到 ，這里 是 的二次函數，當然 也是有取值范圍的，據此，我們可以設計怎樣的問題？
學生：我小學畢業時身高為1.40米，現在的身高約為1.60米，如果我要保持我的肥胖指標一直為20的話，那么我的體重應當從多少到多少？
師：指你的體重在什么范圍內變化？
學生：對。
學生：解決他的問題只要計算出當 和 時的函數 時的函數值。
師生共同：我們算出當 和 時函數 的函數值分別為39.2和51.2。
學生：這說明他的體重應從39.2千克到51.2千克。
師:從數學的觀點看,我們是應當注意到二次函數 在自變量取1.40到1.60的范圍內,函數值隨著 的增大而增大,這樣我們才有理由說他的體重應從39.2千克不斷增加到51.2千克。
好,讓我們繼續挖掘這里的寶藏吧。
學生：對于關系式 中的三個量確定任何一個量，我們可得到另外兩個量的函數關系。
師：非常好，具體一點。
學生：例如對于上面的 ，可變形得到 ，可變形得到 。
師：由一次函數 得到的 仍為一次函數，由二次函數 得到的 是根式函數（為他們以后的反函數學習作鋪墊）。
如果 為定值，我們設 ，那么可得到什么呢？
學生： , ,是什么函數不知道。
師：像 這樣，由若干個多項式的和、差、積、商所構成的函數（做除法時除數恒不為零）叫做有理函數，在初等函數中，像 這樣，不是有理函數的代數函數叫無理函數。
再從另外一個角度看待以上討論的問題，我們看到今天共解決三類問題：一是求值；二是求范圍；三是兩個變量之間的函數關系。而前兩類問題可分別歸結為求函數值和值域問題，因此可以用函數來統一以上所述。[44]
案例4小明的父親是被派往西北某地區扶貧的一名干部,在他爸爸扶貧的兩村莊在河岸(一段長長的直河)的同一側,由于兩村所在的地勢高于河床,因此,盡管河里水源充足,但兩村莊的水源卻非常緊張。經小明的爸爸考察發現這正是導致兩村莊貧困的主要原因)。要想兩村莊脫貧致富，必須首先得解決水源問題。小明的爸爸想到了一個方案，在河岸修建一個抽水站，（需要１０萬元），然后鋪設管道（鋪管道每米需要２.５萬元）到兩村。經測量兩村莊距離河岸分別為４千米和８千米，兩村之間距離為５千米；通過小明的爸爸和當地政府向國家有關部門申請，爭取到了撥款４０萬元。小明的爸爸在想能否用這些資金來完成這一任務？如果不能完成，那又最少還需要籌集資金多少萬元？在他不是很有把握估算出來時，想到了在上高中的兒子，馬上打電話給小明，把這一情況向兒子說了一遍，希望能幫他正確預算出來。
小明接了電話后，想到可以幫老爸一個大忙，立即開始思考。能否用這些資金完成任務，取決于完成任務的最小資金能否不超過４０萬元，修建抽水站和鋪管道每米所需要的資金是固定的，因此能想到的辦法只能是抽水站修建在何處，使給兩村莊所鋪管長最少，于是小明想到了構造函數模型求解。
設兩村莊分別為Ａ和Ｂ，它們到河岸的距離分別為 ，其中 ，而且 ，并作出了右圖１.的示意圖形，過Ａ作 于 ， ，
又設抽水站修好建在Ｄ處， ，所要鋪設總管道長為 ，則有 ，于是問題轉化為求函數 的最小值問題。
圖1.
小明解到此，對于這個函數的最小值，無法求解。有沒有其它解決辦法呢？小明想了一夜沒有想出更好的辦法。第二天來請教數學老師。數學老師沒有給他直接回答。說到數學課上一起來就這一問題展開討論：
數學課上，老師先講了一點內容，然后才把問題拿出來討論的。過了十分鐘后，有同學沿著小明的思路，想到這里問題的實質是在直線 上求一點Ｄ，使Ｄ到直線同一側的兩點Ａ、Ｂ的距離之和最小，這正是平面幾何中我們已前所解決過的問題，于是有了思路了。作Ａ關于直線 的對稱點 ，過 作 于 ，連結 B, B交EF的于點D，則D到A、B兩點距離之和最�。ㄈ鐖D2）所示，
此時 （萬米）
故最小費用為， （萬元）。 圖2.
故小明的爸爸還需自籌資金約９２５０元。
同學們仔細再想一想，此時下課鈴響起來了，于是老師要求同學們課后再去想一想，明天再繼續討論，是否還有更好的辦法，不需要自籌資金是最好的。
第二天，數學課上繼續討論，要求同學們想一想上面問題解法有沒有問題？還有沒有更好辦法？
同學們紛紛討論，上面的問題解法沒有什么疑問？我們在學平面幾何時老師就特別提醒過這一知識點的用途。有同學還說“記得很清楚呢不會有錯”？數學老師提醒要同學們聯系生活實際，自已家的自來水管是怎樣來的？
過了約１０分鐘，有同學想到了，日常生活中的水管多數是從一戶連到一戶。由此自然想到下面的解法如圖3：
圖3.
把抽水站建在Ｅ處，水管沿Ｅ——Ａ——Ｂ，途徑４＋５＝９千米，比上述解法少了約３.３２７千米。
故沿Ｅ——Ａ——Ｂ途徑的總費用為 （萬元）
因此，用這些資金可以完成任務，而且還有節余７.５萬元可作為開發其它項目使用。
老師又讓同學們仔細想想這一解法，有沒有問題？
下面請同學們思考：
（1）在前面問題的解決中理論上應該是成立的，為什么反而所鋪管道不是最短呢？
（2）對于類似的問題是否總有第二種方案最佳呢？若不是請同學們舉例說明。
同學們對問題（１）有了明確答案：這是因為，解法１將問題轉化為“抽水站”建在何處，使抽水站到兩村的距離之各最小的問題？而實際中的目標是：把水送到兩村的最小管道長為多少？
對問題（２）同學們又陷入了困境了，
老師再次提醒，如果當兩村莊到河岸的距離不變，而兩村莊的距離改變，（設為 ），情形如何？
同學們在演算，不同方法所需的費用。
按第一種方法，有 ，其中最短的管道長為 （千米）；
按第二種方案：最短長為 （千米）；
現要比較兩種方法，只需比較兩個的最短長度即可。
而將上面兩式平方后作差得： ；
故當 時，第二種方案好；
當 時，兩種方案一樣；
當 時，第一種方案好。
通過這種方式的學習，學生的學習熱情調動起來了，而且用學生體會到了數學在現實生活中的實際應用價值。通過學生的討論和自己想辦法解決，學生經歷了一個“做數學”的過程。案例實錄分析具有思辨性認證不可替代性，多種形式、不同層次的個案可以對實際課堂實施情況有清晰的了解，“它以豐富的具體教學情境為理論與實踐的結合提供生動的注解”。[45]
案例教學中的問題來自于學生學習實際，又通過學生解決問題，從思維激發的角度看最具有價值，能真正培養學生思維的敏捷性、批判性和深刻性。真正體現了以學生的學為本，以學生的發展為本的現代教學理念，學生在課堂上相互啟發、交流、接納、贊賞、合作、分享、互助，能經歷挫折與失敗，曲折與迂回、成功與興奮，這其中有許多感受和體驗是他們理解科學的本質、理解科學精神的意義與價值的基礎，可以說學生的角色完全從傳統教學中的配角變為探究教學中的主角，變被動接受學習為主動探究學習，學生真正成了學習的主體，探究的主體以及自我發展的主體。
運用案例教學，有一點需要特別強調的是：案例的運用有一個適度的問題，整堂課都運用案例易使學生產生厭倦心理。在教學實踐中，教師宜根據教學內容，有意編制教學案例，適度運用案例，有機結合其他教學方法，能收到相輔相成，互相取長補短，相得益彰的教學效果。
結 束 語
函數的多種表征形式要求教師在從事教學活動時采取多種教學方式，以促成學生對函數概念的多維度的理解。注重函數教學的過程性和建構性。函數就其概念而言，既表現為過程操作又表現為對象結構，而且函數的多種定義決定了對函數概念的理解應有層次性。同時函數的產生來源于其他科學，教學時將其鑲嵌于一定的知識背景中，使學生在現實生活中學函數。此外函數內容的豐富性，不僅具有豐富的數學內涵，還具有豐富的人文歷史，這就要求我們在教學時要注重科學性與人文性的平衡與融合。通過函數概念的教學，培養學生的學習情感、學習自信心與數學的應用意識，體現中學數學新課程標準的指導思想。此外通過案例創新，撰寫有我國特色的函數教學案例將為我們的數學教學改革指明了前進的方向。
但由于本人的理論水平、實際操作水平和時間有限，本課題的研究也存在一些不足之處：
（１） 調查實驗的對象涉及的范圍不夠廣，選取的樣本容量不大；
（２） 測試材料雖是經過筆者的精心選擇，但是否完全科學可信還有證明；
（３） 函數內容的豐富性和復雜性，教學策略的研究也有待于實踐來證明。
（４） 由于本人的理論水平還不夠，教學案例的認知分析還不夠深刻。
此外，對于本課題還可以進行以下幾方面的研究：
（1）基于新課程標準下的新教材中的函數教學內容做理論分析和實踐研究；
（2）如何將函數教學與現代信息技術進行有效整合。
（3）函數內容的豐富性和學習的開放性。
注 釋
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[2] Forelich.G.W Bartkovich K.G.Q .Foerester .P.A(1991) Connecting mathematics.In.c.R.Hirsch(ED) Curriculum and evalution standards for school mathematics attend a series grade 9-12Rsteon VA.National Council of teachers of mathematics.
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