小議剛性振蕩問題并行多值混合方法的指數擬合

小議剛性振蕩問題并行多值混合方法的指數擬合

　　剛性振蕩問題經常出現在諸如大氣、生物、電路、流體、熱傳導、激光控制理論、導彈發射動力論、機械學、分子動力學等領域。 例如大多數生物體的生理節奏可以看作是周期為24小時的振蕩動力常微分方程模型，工業領域中基于CAD電流模型的微分代數方程轉化而成的常微分方程是典型的振蕩系統。 因此，對剛性振蕩問題的數值方法研究具有廣泛的應用前景。

　　剛性振蕩問題具有剛性和振蕩性雙重特性，其高效數值求解有一定的挑戰性和困難性，并引起了相關領域專家的廣泛關注。 目前，求解剛性振蕩問題的數值方法主要有兩類，一類是函數擬合方法，要求此方法求解屬于特定函數空間（指數函數，三角函數，多項式等）的問題是精確的；另一類是對現有的剛性問題數值方法的修改，要求它具有盡可能小的彌散誤差和耗散誤差。

　　對于指數擬合，Gautschi和Lyche首先給出了其理論分析基礎，此后，一系列適用于求解一階導數缺失的二階常微分方程（特別是Schr¨odinger方程）和求解一階常微分方程初值問題（特別是其解具有顯著振蕩性質的問題）的指數擬合方法發展起來。 主要分為線性多步法的指數擬合和Runge-Kutta法的指數擬合，相比之下，對于特別適用于求解剛性振蕩問題的并行多值混合方法（PMHMs）的指數擬合研究，迄今文獻中尚未見到。

　　李壽佛在指出，對于剛性問題，較之BDF，Gauss Runge-Kutta 及SDIRK等方法，PMHMs具有無可比擬的優越性。 但該方法對于剛性高振蕩問題不一定適用，為此，我們在[12, 13]的基礎上，構造出PMHMs的指數擬合方法，以適用于求解剛性振蕩問題。 本文第1節介紹PMHMs方法并構造了PMHMs的一類指數擬合方法（EFPMHMs）。 第2節分析EFPMHMs的零穩定性和絕對穩定性，并得到了方法的數值穩定區域。 第3節考慮將計算公式擴展到向量方程后方法系數的計算問題。 第4節進行了數值試驗，表明本文所構造的新方法確實是高效的，且比相應的PMHMs對于剛性振蕩問題更有效。

　　1 并行多值混合方法及其指數擬合

　　所構造的指數擬合方法EF-II-2，EF-II-3的經典相容階均只為1，盡管如此，在求解剛性振蕩問題時，我們主要關注的并不是擬合后方法的經典相容階，因為計算效果的好壞主要取決于方法的穩定性、計算方法系數時所引起的誤差大小以及精確積分解空間屬于指數函數和多項式線性組合或乘積的這樣一類微分方程（僅存在截斷誤差）所達到的階數。 由于對于僅有的系數而言，本文的EF-II-2，EF-II-3方法均已達到精確積分階數的最大值，因此，接下來，我們考慮方法的穩定性和方法系數的計算問題。

　　2 指數擬合的并行多值混合方法的穩定性

　　2.1 零穩定性 碩士畢業論文

　�。╥）方法（10）是零穩定的。

　�。╥i）矩陣B的最小多項式滿足根條件。

　　2.2 絕對穩定性

　　定義1 指數擬合的PMHMs方法（EFPMHMs）是絕對穩定的，如果對于u（u1 = λh, u2 = υh），穩定多項式的根|ξ|滿足|ξ| < 1.

　　定義2 指數擬合的PMHMs方法（EFPMHMs）的絕對穩定的區域為？A ∈ C × C，如果對于所有u ∈ ?A，它是絕對穩定的。

　　顯而易見，在平面上作出EFPMHMs方法的絕對穩定區域是不可能的。 但是，參照Ixaru對參數對ν = ωh，θ = κh的處理方法，我們可以先確定u 中的一個參數u1 = λh（保證u的值在零穩定域中），然后采用邊界軌跡法，作出它關于u2 = υh的絕對穩定區域。

　　定義3 指數擬合的PMHMs方法（EFPMHMs）關于參數u1 = λh是A-穩定的，如果對于確定的參數u1 = λh，其絕對穩定域S ? C = {?h ∈ C|Re?h < 0}.

　　首先，令參數λh為實數，得到EF-II-2、EF-II-3關于實數的穩定域。 從圖中可以得到結論：

　�。�1）當λh為小于0的負實數時，穩定域包含整個復半平面，達到A-穩定。

　�。�2）隨著λh（λh ∈ ??）絕對值的增大，絕對穩定域也隨著增大。 當λh達到一定值，λh絕對值再增大時，絕對穩定域變化幅度變小，穩定域保持一定形狀。

　　再次，令參數λh為復數，得到EF-II-2、EF-II-3關于復數的穩定域。 從圖形中我們不難發現：

　�。�1）當λh 的實部保持不變，虛部變為相反數，即兩數共扼時，穩定域呈現某種對稱性。

　�。�2）隨著λh 實部絕對值的增大，穩定域也隨著增大。

　�。�3）當λh 實部小于某一常數（EF-II-2為？1.6，EF-II-3為？1）時，穩定域包含整個復半平面，達到A-穩定。

　　3 方法系數的計算

　　作適當處理，我們易將標量的指數擬合應用到向量方程。 于是，方法系數涉及矩陣指數eA的計算。 它的計算方法主要有Schur方法和級數方法，而數值計算一般采用級數方法，主要有Taylor級數法和Pade逼近法。

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