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小學數(shù)學基本數(shù)學思想的學習與思考
小數(shù)教材體系包括兩條主線:其一數(shù)學知識;其二,數(shù)學思想。教者只要看教材,就能明確前者;后者有掌握小學數(shù)學思想方法,才能明確為什么要這樣寫,才能從整體上、本質(zhì)去理解教材,也才能科學地、靈活地設計教學方法,提高課堂教學效率。基于《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》,提出“四基”的理念,基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。什么是基本思想?有哪些基本思想?小學數(shù)學每冊教材每一課時,都有滲透哪些基本思想?我們努力作一些梳理,便于今后每位數(shù)學教師都能有參照。因為使學生獲得數(shù)學的基本思想是數(shù)學課程的重要目標。
我們知道,數(shù)學課程固然應該教會學生許多必要的數(shù)學知識,但是絕不僅僅以教會數(shù)學知識為目標,更重要的是讓學生在學習這些結(jié)論的過程中獲得數(shù)學思想。數(shù)學思想是數(shù)學科學發(fā)生、發(fā)展的根本,是探索研究數(shù)學所依賴的基礎,也是數(shù)學課程教學的精髓。數(shù)學思想的內(nèi)涵十分豐富,也有學者通俗地把“數(shù)學思想”說成“將具體的數(shù)學知識都忘掉以后剩下的東西”�！墩n程標準(2011年版)》在這里的措詞為數(shù)學的“基本思想”,而不是數(shù)學的“基本思想方法”,是因為后者更多地涉及一些有程序、步驟、路徑的可操作的“方法”,如換元法、代入法、配方法等,它們屬于更為具體的層次。這里在“思想”的前面加了“基本”二字,一方面強調(diào)其重要;另一方面也希望控制其數(shù)量——基本思想不要太多了�！墩n程標準(2011年版)》中所說的“數(shù)學的基本思想”主要指:數(shù)學抽象的思想、數(shù)學推理的思想、數(shù)學建模的思想。
數(shù)學抽象的思想:抽象是對同類事物抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征,舍去其非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程。人們在思維中,抽象過程是通過一系列的比較和區(qū)分、舍棄和收括的思維操作實現(xiàn)的。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區(qū)分開始的。所謂比較,就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點;而所謂區(qū)分,則是把比較得到的相同點和不同點在思維中固定下業(yè),利用它們把對象分為不同的類。然后再進行舍棄與收括,舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質(zhì),收括則是指把對象的我們所需要的性質(zhì)固定下來,并用詞表達出來。這就形成了抽象的概念,同時也就形成了表示這個概念的詞,于是完成了一個抽象過程。
數(shù)學推理的思想:推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提,根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式:演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是:當前提為真時,結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有:三段論、選言推理、假言推理、關系推理等。合情推理是從已有的事實出發(fā),憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用形式有:歸納推理和類比推理。當前提為真時,合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。
數(shù)學建模的思想:數(shù)學建模就是指用數(shù)學的語言描述實際現(xiàn)象,通過設計數(shù)學方法,最終解決實際問題的整個過程。在現(xiàn)實中為了要解決實際問題,在實際問題與數(shù)學之間架設一座方便之橋。并用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結(jié)構。通過數(shù)學的計算、分析、找到解決問題的有效途徑。數(shù)學模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學符號表達式和圖表,因而它與符號化思想有很多相通之處,同樣具有普遍的意義。不過,也有很多數(shù)學家對數(shù)學模型的理解似乎更注重數(shù)學的應用性,即把數(shù)學模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學關系結(jié)構。
數(shù)學模型是運用數(shù)學的語言和工具,對現(xiàn)實世界的一些信息進行適當?shù)暮喕?經(jīng)過推理和運算,對相應的數(shù)據(jù)進行分析、預測、決策和控制,并且要經(jīng)過實踐的檢驗。如果檢驗的結(jié)果是正確的,便可以指導我們的實踐。
基于上述數(shù)學基本思想又可以演變、派生、發(fā)展出一些思想,主要體現(xiàn)如下:
一、由“數(shù)學抽象的思想”派生出來的有:分類的思想、集合的思想、數(shù)學形結(jié)合的思想,變中不變的思想、符號表示的思想、對稱的思想、對應的思想、有限與無限的思想等。
二、由“數(shù)學推理的思想”派生出來的有:歸納的思想、演繹的思想、公理化思想、轉(zhuǎn)換化歸的思想、聯(lián)想類比的思想、逐步逼近的思想、代換的思想、特殊與一般的思想等。
三、由“數(shù)學建模的思想”派生出來的有:簡化的思想、量化的思想、函數(shù)的思想、方程的思想、優(yōu)化的思想、隨機的思想、抽樣統(tǒng)計的思想等。
對各個數(shù)學思想的內(nèi)涵界定
1、分類的思想:所謂分類,就是根據(jù)對象的某一屬性特征把它們不重復不遺漏地劃分為若干類別。分類的思想是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點,將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。分類以比較為基礎,比較是分類的前提,分類是比較的結(jié)果。
所謂數(shù)學分類討論方法,就是將數(shù)學對象分成幾類,分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性, 能訓練人的思維條理性和概括性。分類思想可不象一般的數(shù)學知識那樣,通過幾節(jié)課的教學就可讓學生掌握應用。而是要根據(jù)學生的年齡特征,學生在學習的各階段的認知水平,逐步滲透,螺旋上升,不斷的豐富自身的內(nèi)涵,從而達到利用數(shù)學分類討論方法來解決問題的目的。
2、集合的思想:把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個整體,就是一個集合(簡稱集),其中每個事物叫做該集合的元素(簡稱元)。給定的集合,它的元素必須是確定的,即任何一個事物是否屬于這個集合,是明確的。如“學習成績好的同學”不能構成一個集合,因為構成它的元素是不確定的;而“語文和數(shù)學的平均成績在90分及以上的同學”就是一個集合。一個給定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重復出現(xiàn)。只要兩個集合的元素完全相同,就說這兩個集合相等。
集合的表示法一般用列舉法和描述法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法。描述法就是在花括號內(nèi)寫出規(guī)定這個集合元素的特定性質(zhì)來表示集合的方法。列舉法的局限性在于當集合的元素過多或者有無限多個時,很難把所有的元素一一列舉出來,這時描述法便體現(xiàn)出了優(yōu)越性。此外,有時也可以用封閉的曲線(文恩圖)來直觀地表示集合及集合間的關系,曲線的內(nèi)部表示集合的所有元素。
3、數(shù)學形結(jié)合:數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對應關系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系與空間形式的科學,數(shù)和形之間是既對立又統(tǒng)一的關系,在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。這里的數(shù)是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關系式等,這里的形是指幾何圖形和函數(shù)圖象。
數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學問題直觀化、使繁難的數(shù)學問題簡捷化,使得原本需要通過抽象思維解決的問題,有時借助形象思維就能夠解決,有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問題的方法。數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微。”這句話深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關系以及數(shù)形結(jié)合的重要性。
4、變中不變的思想:變與不變,是具有辯證關系的范疇。當指事物及其相關聯(lián)的因素,在不斷地變化著,但這些變化的趨勢和因素中,又同時存在不變的狀況,或者現(xiàn)象變,本質(zhì)不變;局部變,整體不變;暫時變,最終不變,等等。有些思考和思想對象,往往是千變?nèi)f化,令人眼花繚亂的,但如果抓住其本質(zhì),就可以不變應萬變,以靜制動,最終有效解決問題。顯然,變中抓不變的思想方法,有利于解決錯綜復雜的問題,能透過現(xiàn)象看本質(zhì),根據(jù)局部把握全局等等。這是一個很有哲學意義的方法。
5、符號表示的思想:“符號”,一般說來就是某種事物的代號,它的意義是采用對應的方式,把一個復雜的事物用簡便的形式表現(xiàn)出來。數(shù)學符號是進行空間形式和數(shù)量關系表示、計算、推理的工具,是人們對于客觀事物運動規(guī)律的最直觀、最簡明的表達方式,是交流與傳播數(shù)學思想的媒介。
所謂符號化思想就是用一種符號代替原物,不用原物而用符號進行表示、交流、運算等活動的思想。數(shù)學符號是數(shù)學的語言,數(shù)學世界是一個符號化的世界,數(shù)學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具,符號起到了非常重要的作用;因為數(shù)學有了符號,才使得數(shù)學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點,同時也促進了數(shù)學的普及和發(fā)展;國際通用的數(shù)學符號的使用,使數(shù)學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法,具有普遍的意義。
6、對稱的思想:對稱關系廣泛存在于數(shù)學問題中,對稱美是數(shù)學美的一個方面。充分利用對稱原理,可使我們在解決問題時多一條有效通道,且往往能更簡便地使問題得到解決。我們將從對稱性應用常見的四個方面入手進行學習:1、利用關系式中字母的對稱;2、利用圖形的對稱;3、利用其他數(shù)學情形的對稱;4、利用隱含條件揭示或構造對稱。
對稱,顧名思義,就是兩個事物(或同一事物的兩個方面)相對而又相稱.如果A、B是具有對稱性的兩個事物(或同一事物的兩個方 面), 那么把A、B交換順序,其結(jié)果不變,這就是對稱原理.在數(shù)學問題中,經(jīng)常出現(xiàn)在某種意義下對稱的形或式,如幾何中的平行四邊形、正柱體、正錐體、圓錐曲線;代數(shù)中的一些不等式、方程;函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)及它們的圖象等等。充分利用好對稱原理,可使我們在解決這類問題時多一條有效的通道, 而且常能起到化繁為簡,出奇制勝的效果。
7、對應的思想:對應,比喻在一個系統(tǒng)中的某一項在性質(zhì)、作用或數(shù)量上等情況中,同另一系統(tǒng)中的某一項相當。對應思想,是人們對兩個集合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法,就是利用數(shù)量間的對應關系來思考數(shù)學問題。集合、函數(shù)、坐標等問題都以這一思想為基礎。尋找數(shù)量之間的對應關系,也是解答應用題的一種重要的思維方式。對應思想主要分類有:數(shù)形對應、量率對應、量與量的對應、函數(shù)對應。
8、有限與無限的思想:有限與無限的思想就是將無限的問題化為有限來求解,將有限的問題化為無限來解決,利用已經(jīng)掌握的無限問題的結(jié)論來解決新的無限問題。
9、歸納的思想:歸納法是通過對一些個別的、特殊的情況加以觀察、分析,進而導出一個一般性結(jié)論的推理方法。歸納法是一種從特殊到一般的推理方法。歸納法的本質(zhì)特征是從已知到未知,從特殊性到一般,從個性到共性,從經(jīng)驗事實到事物內(nèi)在規(guī)律的飛躍的過程。
10、演繹的思想:所謂演繹推理,就是從一般性的前提出發(fā),通過推導即“演繹”,得出具體陳述或個別結(jié)論的過程。
11、公理化思想:簡單地說,公理就是大家公認的、不證自明的道理,它是人們研究問題和交流觀點的共同基礎。所謂公理化,就是指在建構一門學科理論體系時,從盡可能少的原始概念(不加定義的概念)和一組公理出發(fā),遵循邏輯規(guī)則,定義其他概念,演繹和推理其他命題,從而把門理論建成演繹系統(tǒng)的方法。
在一個數(shù)學理論體系中,我們盡可能少地選取原始概念和不加證明的一組公理,以此為出發(fā)點,利用純邏輯推理的規(guī)則,把該理論體系建立成一個演繹系統(tǒng),這樣一種構建理論體系的思想就是公理化思想。
12、轉(zhuǎn)換化歸的思想:人們在面對數(shù)學問題,如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時,往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式,把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題,最終使原問題得到解決,把這種思想方法稱為化歸(轉(zhuǎn)化)思想。
從小學到中學,數(shù)學知識呈現(xiàn)一個由易到難、從簡到繁的過程;然而,人們在學習數(shù)學、理解和掌握數(shù)學的過程中,卻經(jīng)常通過把陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識、把繁難的知識轉(zhuǎn)化為簡單的知識,從而逐步學會解決各種復雜的數(shù)學問題。因此,化歸既是一般化的數(shù)學思想方法,具有普遍的意義;同時,化歸思想也是攻克各種復雜問題的法寶之一,具有重要的意義和作用。
13、聯(lián)想類比的思想:聯(lián)想是在學習的過程中由此及彼地溝通新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系拓寬研究問題的思路。類比是通過比較來發(fā)現(xiàn)新舊知識的異同點,從而有效地實現(xiàn)知識遷移、因而聯(lián)想、類比好似一對孿生兄弟,往往同時作用于某一數(shù)學對象,是一種很重要的數(shù)學思想方法。
14、逐步逼近的思想:根據(jù)問題的條件確定解決問題的大致范圍,然后通過不斷改進方法或者排除不可能的情形,逐步縮小問題的解的存在范圍,從而最終獲得問題的結(jié)果。這種思想稱之為逐步逼近思想。
15、代換的思想:等量代換的定義:用一種量(或一種量的一部分)來代替和它相等的另一種量(或另一種量的一部分)。“等量代換”是指一個量用與它相等的量去代替,它是數(shù)學中一種基本的思想方法,也是代數(shù)思想方法的基礎,狹義的等量代換思想用等式的性質(zhì)來體現(xiàn)就是等式的傳遞性:如果a=b,b=c,那么 a=c。真正使用到的等量代換為:8704;f(a=b∧f(a)→f(b)),其中f是合式公式廣義的等量代換舉例來說就是:“如果李四是張三的同義詞,張三是人,那么李四是人”。這個數(shù)學思想方法不僅有著廣泛的應用,而且是今后進一步學習數(shù)學的基礎,是一個非常重要的知識點,甚至到了大學都會使用。
16、特殊與一般的思想:所謂特殊與一般的思想包括兩個方面:通過對某些個體的認識與研究,逐漸積累對這類事物的了解,再逐漸形成對這類事物的總體認識, 發(fā)現(xiàn)特點,掌握規(guī)律,形成公式,由淺入深,由現(xiàn)象到本質(zhì),由局部到整體,從實踐到理論,這種認識事物的過程就是由特殊到一般的認識過程;在理論指導下,用已有的規(guī)律解決這類事物中的新問題,這種認識事物的過程就是由一般到特殊的認識過程。由特殊到一般再由一般到特殊反復認識的過程,就是人們認識世界的基本過程,這一過程在數(shù)學的認識活動中有著重要的應用。
17、簡化的思想:簡化是一定范圍內(nèi)縮減對象(事物)的類型數(shù)目,使之在一定時間內(nèi)足以滿足一般需要的標準化形式。簡化一般是在事后進行的,是在不改變對象質(zhì)的規(guī)定性,不降低對象功能的前提下,減少對象的多樣性、復雜性。
18、量化的思想:量化思想方法在數(shù)與代數(shù)領域的運用成果是“數(shù)”(字母和“式”是數(shù)的代表),而在幾何、統(tǒng)計、概率中的運用成果是“量”——幾何量與統(tǒng)計量。量化就是數(shù)學的一個基本思想方法,數(shù)學不管研究哪個領域,都會貫徹這個戰(zhàn)略;而在不同領域,貫徹的具體策略又會有所差別。
例如:運用量化思想方法得出幾何量“面積”。
首次研究面積是三年級下冊第九單元《長方形和正方形的面積》,教材是按如下順序展開的。
第一步提出研究動因,74頁該單元第一句話:“看看黑板的表面和課本的封面,說說哪一個面比較大,哪一個面比較小”——要研究和比較這一點,需要給“這一點”即這個幾何屬性取個名字。
第二步“取名字”即命名一個幾何量,故緊接著說:“黑板表面的大小是黑板的面積”,即物體表面的大小叫面積。
第三步給這個幾何量賦值即使每個圖形表面的“面積”數(shù)值化。在量化程序中賦值是奠基的、最關鍵的一步,所以教材不吝用5頁篇幅來細致展開:
74-78頁比較多組圖形的面積大小,“黑板和課本”、“桌面和椅子面”、“手掌和樹葉”、“正方形和長方形”、“四個省在地圖上的圖形”、“四個不規(guī)則多邊形”等等,各組比較標準不一、只管本組誰大誰小。
但這些活動中暗藏一大轉(zhuǎn)折——力圖確定一個統(tǒng)一、公用的比較標準:75頁例題,比較等寬的正方形和長方形面積用了兩個方法,一是“我用重疊的方法”,二是 “我用同一張紙分別去量”——這“二”就是轉(zhuǎn)折;76頁《想想做做》第3題,四個不規(guī)則多邊形比較大小,因為都畫在方格紙上,于是算算它們分別占了多少格就行了——“格”這個小正方形就成了統(tǒng)一、公用的比較標準。
轉(zhuǎn)折的成果是規(guī)定面積單位,作為比較任何物體表面面積大小的共同標準,即78頁中間那句話:“為了準確測量或計算面積的大小,要用同樣大小的正方形的面積作為面積單位。邊長是1厘米的正方形,面積是1平方厘米”,以及第79頁一句話“邊長是1米的正方形,面積是1平方米”。
用面積單位給“面積”這個幾何量作了賦值,就能計算任何物體表面的面積,于是得出83頁“長方形的面積=長×寬”和“正方形的面積=邊長×邊長”。
第四步規(guī)定面積這個幾何量本身的加法計算:“面積”可加,“面積+面積=面積”。教材第82頁探究長方形面積公式時已經(jīng)未加證明地應用了這個可加性,在以后計量多面體表面積時也予以了應用。
第五步探究面積本身的其他運算——這一步看不到,為什么?因為“面”可分割即面積可減,很顯然故不用啰嗦;面積的乘、除則不允許,因為面積與面積的積或商沒有幾何意義(長度不同,其和、差仍是長度——如折線長與多邊形周長,積則是面積)。
量化程序的第六步導出算律無必要,因為計算時處理好單位之后只剩下純數(shù)值計算,故“數(shù)與代數(shù)”領域已得出的五條算律都可應用。
19、函數(shù)的思想:函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關系,因變量隨著自變量的變化而變化,通過對這種變化的探究找出變量之間的對應法則,從而構建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運動變化的、普遍聯(lián)系的觀點。
20、方程的思想:方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學符號(常用χ、y等字母)表示,根據(jù)相關數(shù)量之間的相等關系構建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。
21、優(yōu)化的思想:優(yōu)化思想就是在有限種或無限種可行方案(決策)中挑選最優(yōu)的方案(決策)的思想,是一個很重要的數(shù)學思想。它不僅在實際應用中有明顯的價值,而且在小學數(shù)學教材要滲透的思想方法中所占比例相對較大。
優(yōu)化思想”在小學數(shù)學人教版實驗教材中處處可見滲透痕跡,如計算教學中的“算法優(yōu)化”、解決問題教學中的“策略優(yōu)化”以及統(tǒng)計教學中的“統(tǒng)計方法優(yōu)化”等等。
22、隨機的思想:隨機思想是認識隨機現(xiàn)象和統(tǒng)計規(guī)律的重要思想。在自然界和現(xiàn)實生活中,一些事物是相互聯(lián)系和不斷發(fā)展的。在它們彼此間的聯(lián)系和發(fā)展中, 根據(jù)它們是否有必然的因果聯(lián)系,可以分成截然不同的兩大類:一類是確定性的現(xiàn)象,另一類是不確定性的現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象從表面上看,似乎是雜亂無章的、沒有什么規(guī)律的現(xiàn)象。但實踐證明,如果同類的隨機現(xiàn)象大量重復出現(xiàn),它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。大量同類隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)的這種規(guī)律性,隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯。比如擲硬幣,每一次投擲很難判斷是哪一面朝上,但是如果多次重復的擲這枚硬幣,就會越來越清楚的發(fā)現(xiàn)它們朝上的次數(shù)大體相同。
23、抽樣統(tǒng)計的思想:統(tǒng)計思想主要體現(xiàn)在把握數(shù)據(jù)的能力,養(yǎng)成會用數(shù)據(jù)“說事”,收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù),從數(shù)據(jù)中提取信息,并利用這些信息說明問題,在這個過程中,形成對數(shù)據(jù)的敏感,養(yǎng)成會用數(shù)據(jù)“說事”的習慣。
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