考研數(shù)學定與不定積分的知識點

時間：2021-01-17 10:03:20 考研數(shù)學我要投稿

考研數(shù)學定與不定積分的知識點

　　不定積分

考研數(shù)學定與不定積分的知識點

　　1、原函數(shù)存在定理

　　●定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導函數(shù)F（x），使對任一x∈I都有F’（x）=f(x)；簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

　　●分部積分法

　　如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設對數(shù)和反三角函數(shù)為u。

　　2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

　　定積分

　　1、定積分解決的.典型問題

　　（1）曲邊梯形的面積（2）變速直線運動的路程

　　2、函數(shù)可積的充分條件

　　●定理設f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。

　　●定理設f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

　　3、定積分的若干重要性質

　　●性質如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

　　●推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

　　●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

　　●性質設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,該性質說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

　　●性質（定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

　　4、關于廣義積分

　　設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點c（a<c<b）外連續(xù)，而在點c的鄰域內無界，如果兩個廣義積分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx都收斂，則定義∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否則（只要其中一個發(fā)散）就稱廣義積分∫abf(x)dx發(fā)散。

　　定積分的應用

　　1、求平面圖形的面積（曲線圍成的面積）

　　●直角坐標系下（含參數(shù)與不含參數(shù)）

　　●極坐標系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面積公式S=R2θ/2)

　　●旋轉體體積（由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成）（且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程）

　　●平行截面面積為已知的立體體積（V=∫abA（x）dx,其中A（x）為截面面積）

　　●功、水壓力、引力

　　●函數(shù)的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx）

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