考研數學數項級數學習要點匯總
級數部分知識的學習歷來被認為是學習的難點,主要原因是本部分概念及方法都很抽象,不容易操作,面對題目比較茫然,不知該如何入手討論。本文中,跨考教育數學教研室邵偉如老師將對數項部分知識進行梳理,為同學們提供一個可行的思路。
級數部分從大的方面來分的話主要考察數項級數及函數項級數,數項級數部分主要考察級數的斂散性,函數項級數部分涉及到求和及展開,數三的同學考察冪級數,數一的同學還考察傅里葉級數,數二的同學不考察級數。
數項級數,顧名思義就是級數的一般項為數,數項級數大體分為兩類考察,一類是正項級數,一般項均為正數;一類是一般項級數,一般項是可正可負的數,其中特殊的是交錯級數,一般項由正負交叉的.數構成。每個類型的級數都有相應的判別斂散的方法。
正項級數是考察重點,數一、三的同學均以考察級數斂散的判別法為主,但出題的側重點又有所區別,數三的同學以選擇、填空小題為主,數一的同學除了考察小題以外,還會以判別法,主要是比較審斂法為主考察大題,總之,數一的同學要求更高一些。正項級數審斂法主要有:比較審斂法(常需要借助級數)、比值審斂法(級數自身前后項相較,適用于一般項含階乘的正項級數)及根值審斂法(級數自身前后項相較,適用于一般項含次冪的正項級數)?偟脕碚f,比較審斂法體現了借助已知斂散性的級數判別未知,比值及根值審斂法主要是自己的事情自己做,自力更生。
一般項級數判斂需要遵循一定的步驟進行。首先,計算一般項的極限,如果一般項的極限不為0,那么本級數必發散;如果一般項極限為0,只能說明級數有收斂的可能性,但不能立即判斂(反例:調和級數),那么需要進一步判定,如何判定呢?需要將級數的一般項加絕對值,這樣一個一般項級數就變為正項級數,即可由正項級數判斂的三個方法判斂,如果收斂,則此時級數收斂,且稱為絕對收斂,如果發散,則需要去掉絕對值,看一般項級數本身的斂散性;如何判別一般項級數的斂散呢?此時有兩個走向,一是看級數是否為交錯級數,如果是交錯級數,則用萊布尼茲條件判斂,收斂,則稱級數為條件收斂;若雖是交錯級數卻不滿足萊布尼茲條件,或級數是一般項級數但并非交錯級數,那么一般需考慮定義法判斂,所謂定義法,就是先計算級數的前項和,然后前項和取極限,若極限存在,則級數收斂,若極限不存在,則級數發散。
當然,除了以上介紹的審斂法以外,我們還需熟練掌握級數的一些性質(比如:收斂+收斂=收斂、增加或去掉或改變級數的有限項不影響級數的斂散性等)來判別。希望同學們在學習過程中多注意這些性質的運用。
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