考研數(shù)學(xué)大綱解析之中值定理
中值定理的相關(guān)證明是考研數(shù)學(xué)中公認(rèn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，往年這部分的常考證明題這種大題。然而最近兩年沒(méi)考這一部分大題。2014年的高數(shù)證明題考的函數(shù)不等式的證明，而2015出乎意料地考了一個(gè)用導(dǎo)數(shù)定義證明求導(dǎo)公式的證明題。雖然這兩年沒(méi)有考這部分的大題，但作為以前�？即箢}的考點(diǎn)，所以我們不能對(duì)這部分內(nèi)容掉以輕心。
首先對(duì)于中值定理我們應(yīng)該把這部分的定理內(nèi)容弄清楚。我們要用這些定理去證明別的結(jié)論，先要自己把這些內(nèi)容弄透、弄熟。具體來(lái)說(shuō)，關(guān)于這部分涉及的定理有：費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、零點(diǎn)存在定理、介值定理、最值定理和積分中值定理。前四個(gè)定理屬于微分中值定理的部分，中間三個(gè)定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，最后一個(gè)為積分相關(guān)定理。而這里，除了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這幾個(gè)定理外，其余定理是要求我們會(huì)證明的。
其次，我們?cè)诂F(xiàn)階段應(yīng)總結(jié)真題中考過(guò)的此類題目的處理思路。這部分工作可以自己完成，但可能需要花費(fèi)一些時(shí)間。
中值相關(guān)證明大部分情況下應(yīng)從結(jié)論出發(fā)�？佳兄兴蟮年P(guān)于中值定理這塊的證明百分之六十到七十都是要去用羅爾定理來(lái)證明的。在做此類證明時(shí)，我們要看所要證明的式子是含一個(gè)中值還是兩個(gè)中值，緊接著要看所要求的中值是屬于開(kāi)區(qū)間還是閉區(qū)間的。如果是在含有一個(gè)中值的前提下，再看是否含有導(dǎo)數(shù)。若是含一個(gè)中值，且這個(gè)中值時(shí)屬于開(kāi)區(qū)間的，并且有含有導(dǎo)數(shù)，這時(shí)我們往往要考研羅爾定理。在確定用羅爾定理的前提下，緊接著我們就是構(gòu)造輔助函數(shù)并且找兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等，當(dāng)然這里我們?cè)谡覂蓚�(gè)相等點(diǎn)時(shí)，不一定要求是找區(qū)間的端點(diǎn)，也有可能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)。如果含有一個(gè)中值，中值所屬于的區(qū)間是開(kāi)區(qū)間或者是閉區(qū)間，并且不含有導(dǎo)數(shù)，那考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在第一章閉區(qū)間上連續(xù)里我們有兩個(gè)常用的定理--零點(diǎn)定理和介值定理。如果區(qū)間是開(kāi)區(qū)間則選擇零點(diǎn)定理，如果區(qū)間是閉區(qū)間則選擇介值定理來(lái)證明。
說(shuō)到這里，一個(gè)中值的情況我們就分析完了。下面我們主要談?wù)勅绾慰紤]兩個(gè)中值的情況。如果需要證明的式子中含有兩個(gè)中值，這個(gè)時(shí)候我們要考慮需要用幾次定理來(lái)證明。我們知道用一次定理得到的'式子只含有一個(gè)中值，即使是比較麻煩的柯西中值定理也是這樣。因此，若是要出現(xiàn)兩個(gè)中值，那一定是用了兩次中值定理。當(dāng)然，我們?cè)谟脙纱味ɡ砗�，這時(shí)一定會(huì)得到兩個(gè)式子，而最終所得到的式子含兩個(gè)中值應(yīng)該為前面我們所得到的兩個(gè)式子合并后的結(jié)果。根據(jù)歷年真題的詳細(xì)解讀，含有兩個(gè)中值的情況一般我們會(huì)考慮用兩次拉格朗日中值定理或一次拉格朗日中值定理和一次柯西定理。具體怎么用這個(gè)兩個(gè)定理，以及如何選擇輔助函數(shù)，我們一般可以通過(guò)所要證明的式子來(lái)確定。
如果所要證明的式子有三個(gè)中值，這種情況和上面兩個(gè)中值的情況是類似的。一般情況下，如果三個(gè)中值要求是不同點(diǎn)，則一般分區(qū)間，我們可以考慮利用三次拉格朗日中值定理來(lái)處理。
因此，對(duì)于這一塊的有關(guān)中值定理的內(nèi)容，要從中值出發(fā)，找相關(guān)的特質(zhì)點(diǎn)，來(lái)確定所用是哪一個(gè)中值定理，到底用一次還是用兩次。又或者兩個(gè)結(jié)合起來(lái)用，又或者用三次中值定理來(lái)解決。無(wú)論怎樣，把基本定理整明白，理清我們上面分析真題的思路和方法。當(dāng)然有上述這些情況的分析，并不是就可以解決掉所有有關(guān)這方面的題目了，畢竟是真題，它其中的變形是多樣的，因此，在我們有了上述大題分析題目的思路情況下，還需要把各個(gè)細(xì)節(jié)給打通。所以當(dāng)我們確定用羅爾定理了，緊接著要考慮的就是輔助函數(shù)的構(gòu)造，以及要找函數(shù)值相等的點(diǎn)。又或者當(dāng)我們確定用拉格朗日中值定理或柯西中值定理時(shí)，也需要我們考慮有關(guān)輔助函數(shù)的構(gòu)造。因此，如何選擇中值定理，如何考慮輔助函數(shù)的構(gòu)造是需要我們仔細(xì)琢磨，慢慢精通的。
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