高等代數考研大綱
一、考試性質
海南大學碩士研究生入學考試初試科目。
二、考試時間
180 分鐘。
三、考試方式與分值
閉卷、筆試。滿分 150 分。
四、考試內容
第一章 多項式
第一節-第三節：數域、一元多項式、 多項式整除的概念及性質;
第四節： 最大公因式，多項式互素的概念及性質，不可約多項式的概念及性質;
第五節： 因式分解定理;
第六節： 重因式、 重根的判別;
第七節-第九節： 多項式函數與多項式的根，有理根的求法，艾森斯坦因判別法。
第二章 行列式
第一節-第三節：排列、 行列式的定義;
第四節： 行列式的性質;
第五節： 行列式的計算;
第六節：行列式按行(列)展開;
第七節： Cramer 法則。
第三章 線性方程組
第一節-第四節：消元法解線性方程組， 向量組線性相關(無關)的概念、性質及判定定理;向量組的極大線性無關組的概念、 性質， 向量組之間秩的大小關系、矩陣的秩;
第五節-第六節： 線性方程組有解的判別定理、齊次線性方程組有非零解的條件、基礎解系的計算與性質、齊次線性方程組的通解，非齊次線性方程組的解法和解的結構。
第四章 矩陣
第一節-第三節： 矩陣的概念與運算， 矩陣乘積的`行列式與秩;
第四節-第五節：逆矩陣概念、性質、 矩陣可逆的條件，伴隨矩陣及其性質、求逆矩陣的公式法， 分塊矩陣(包括矩陣乘法的常用分塊方法并證明與矩陣相關的問題)，幾種特殊矩陣的性質(如準對角陣，對稱矩陣與反對稱矩陣，伴隨矩陣、正交矩陣等);
第六節-第七節： 矩陣的初等變換與初等矩陣的關系及其應用，矩陣的等價標準形、 初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣，分塊矩陣的初等變換及應用。
第五章 二次型
第一節-第二節：二次型的概念及二次型的矩陣， 化二次型為標準形和規范形， 矩陣合同的概念與性質;
第三節： 實二次型的規范型、正(負)慣性指數、符號差， 慣性定律及應用;
第四節：正定、半正定矩陣(二次型)的概念，矩陣(二次型)是正定、半正定矩陣(二次型)的判定定理。
第六章 線性空間
第一節-第二節： 線性空間的定義及性質;
第三節-第四節： 線性空間中一個向量組的秩，線性空間的基與維數，基擴充定理，維數公式，基變換與坐標變換;
第五節-第八節：子空間的概念、判定定理、一組向量的生成子空間，子空間的交、和與直和的概念及相關判定定理，一些常見的子空間。
第七章 線性變換
第一節-第二節： 線性變換的定義與運算;
第三節： 線性變換與 n 階矩陣的對應定理，線性變換在不同基下的矩陣的關系，矩陣相似的概念及性質;
第四節-第五節： 矩陣的特征多項式及其有關性質，特征子空間，求線性變換在給定基下的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性無關的特征向量的判別及最大個數，實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質，線性變換(包括矩陣)可對角化的判定定理;
第六節-第七節：線性變換的核與值域、線性變換的零度與秩的概念與相關定理、 不變子空間。
第八章 歐氏空間
第一節-第三節： 內積和歐氏空間的定義及簡單性質。度量矩陣與標準正交基的求法以及性質， 正交矩陣的概念、性質，有限維歐氏空間同構的概念、判定定理;
第四節-第五節：線性變換是正交變換的定義及充要條件， 子空間的概念，子空間正交的概念與性質，子空間正交、正交補的概念及相關定理;
第六節：實對陳矩陣的概念及性質，對稱變換的定義與性質，對實對稱矩陣 A 求正交矩陣T 使成對角形(用正交線性替換將實二次型化為平方和);
第七節：向量到子空間的距離、最小二乘法。
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