小學(xué)應(yīng)用題類(lèi)型分類(lèi)
應(yīng)用題是指將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活實(shí)踐的題目。在數(shù)學(xué)上,應(yīng)用題分兩大類(lèi):一個(gè)是數(shù)學(xué)應(yīng)用。另一個(gè)是實(shí)際應(yīng)用。數(shù)學(xué)應(yīng)用就是指單獨(dú)的數(shù)量關(guān)系,構(gòu)成的題目,沒(méi)有涉及到真正實(shí)量的存在及關(guān)系。實(shí)際應(yīng)用也就是有關(guān)于數(shù)學(xué)與生活題目。接下來(lái)小編為你帶來(lái)小學(xué)應(yīng)用題類(lèi)型分類(lèi),希望對(duì)你有幫助。
求平均數(shù)應(yīng)用題是在“把一個(gè)數(shù)平均分成幾份,求一份是多少”的簡(jiǎn)單應(yīng)用題的基礎(chǔ)上發(fā)展而成的。它的特征是已知幾個(gè)不相等的數(shù),在總數(shù)不變的條件下,通過(guò)移多補(bǔ)少,使它們完全相等。最后所求的相等數(shù),就叫做這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。
解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵,在于確定“總數(shù)量”和與總數(shù)量相對(duì)應(yīng)的“總份數(shù)”。
計(jì)算方法:
總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)
平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量
總數(shù)量÷平均數(shù)=總份數(shù)
例1:東方小學(xué)六年級(jí)同學(xué)分兩個(gè)組修補(bǔ)圖書(shū)。第一組28人,平均每人修補(bǔ)圖書(shū)15本;第二組22人,一共修補(bǔ)圖書(shū)280本。全班平均每人修補(bǔ)圖書(shū)多少本?
要求全班平均每人修補(bǔ)圖書(shū)多少本,需要知道全班修補(bǔ)圖書(shū)的總本數(shù)和全班的總?cè)藬?shù)。
(15×28+280)÷(28+22)=14本
例2:有水果糖5千克,每千克2.4元;奶糖4千克,每千克3.2元;軟糖11千克,每千克4.2元。將這些糖混合成什錦糖。這種糖每千克多少元?
要求什錦糖每千克多少元,要先出這幾種糖的總價(jià)和總重量最后求得平均數(shù),即每千克什錦糖的價(jià)錢(qián)。
(2.4×5+3.2×4+4.2×11)÷(5+4+11)=3.55元
例3、要挖一條長(zhǎng)1455米的水渠,已經(jīng)挖了3天,平均每天挖285米,余下的每天挖300米。這條水渠平均每天挖多少米?
已知水渠的總長(zhǎng)度,平均每天挖多少米,就要先求出一共挖了多少天。
1455÷(3+(1455-285×3)÷300)=291米
例4、小華的期中考試成績(jī)?cè)谕庹Z(yǔ)成績(jī)宣布前,他四門(mén)功課的平均分是90分。外語(yǔ)成績(jī)宣布后,他的平均分?jǐn)?shù)下降了2分。小華外語(yǔ)成績(jī)是多少分?
解法一:先求出四門(mén)功課的總分,再求出一門(mén)功課的的總分,然后求得外語(yǔ)成績(jī)。
(90–2)×5–90×4=80分
例5、甲乙丙三人在銀行存款,丙的存款是甲乙兩人存款的平均數(shù)的1.5倍,甲乙兩人存款的和是2400元。甲乙丙三人平均每人存款多少元?
要求甲乙丙三人平均每人存款多少元,先要求得三人存款的總數(shù)。
(2400÷2×1.5+2400)÷3=1400元
例6、甲種酒每千克30元,乙種酒每千克24元,F(xiàn)在把甲種酒13千克與乙種酒8千克混合賣(mài)出,當(dāng)剩余1千克時(shí)正好獲得成本,每千克混合酒售價(jià)多少元?
要求每千克混合酒售價(jià)多少元,要先求得兩種酒的總價(jià)錢(qián)和兩種酒的總千克數(shù)。因?yàn)楫?dāng)剩余1千克時(shí)正好獲得成本,所以在總千克數(shù)中要減去1千克。
(30×13+24×8)÷(13+8–1)=29.1元
例7、甲乙丙三人各拿出相等的錢(qián)去買(mǎi)同樣的圖書(shū)。分配時(shí),甲要22本,乙要23本,丙要30本。因此,丙還給甲13.5元,丙還要還給乙多少元?
先求買(mǎi)來(lái)圖書(shū)如果平均分,每人應(yīng)得多少本,甲少得了多少本,從而求得每本圖書(shū)多少元。
1. 平均分,每人應(yīng)得多少本
(22+23+30)÷3=25本
2. 甲少得了多少本
25–22=3本
3. 乙少得了多少本
25–23=2本
4. 每本圖書(shū)多少元
13.5÷3=4.5元
5. 丙應(yīng)還給乙多少元
4.5×2=9元
13.5÷[(22+23+30)÷3–22]×[(22+23+30)÷3–23]=9元
例8、小榮家住山南,小方家住山北。山南的山路長(zhǎng)269米,山北的路長(zhǎng)370米。小榮從家里出發(fā)去小方家,上坡時(shí)每分鐘走16米,下坡時(shí)每分鐘走24米。求小榮往返一次的平均速度。
在同樣的路程中,由于是下坡的不同,去時(shí)的上坡,返回時(shí)變成了下坡;去時(shí)的下坡,回來(lái)時(shí)成了上坡,因此,所用的時(shí)間也不同。要求往返一次的平均速度,需要先求得往返的總路程和總時(shí)間。
1、往返的總路程
(260+370)×2=1260米
2、往返的總時(shí)間
(260+370) ÷16+(260+370)÷24=65.625分
3、往返平均速度
1260÷65.625=19.2米
(260+370)×2÷[(260+370) ÷16+(260+370)÷24]=19.2米
例9、草帽廠有兩個(gè)草帽生產(chǎn)車(chē)間,上個(gè)月兩個(gè)車(chē)間平均每人生產(chǎn)草帽185頂。已知第一車(chē)間有25人,平均每人生產(chǎn)203頂;第二車(chē)間平均每人生產(chǎn)草帽170頂,第二車(chē)間有多少人?
解法一:
可以用“移多補(bǔ)少獲得平均數(shù)”的思路來(lái)思考。
第一車(chē)間平均每人生產(chǎn)數(shù)比兩個(gè)車(chē)間平均每人平均數(shù)多幾頂?203–185=18頂;第一車(chē)間有25人,共比按兩車(chē)間平均生產(chǎn)數(shù)計(jì)算多多少頂?18×25=450。將這450頂補(bǔ)給第二車(chē)間,使得第二車(chē)間平均每人生產(chǎn)數(shù)達(dá)到兩個(gè)車(chē)間的總平均數(shù)。
6. 第一車(chē)間平均每人生產(chǎn)數(shù)比兩個(gè)車(chē)間平均頂數(shù)多幾頂?
203–185=18頂
7. 第一車(chē)間共比按兩車(chē)間平均數(shù)逆運(yùn)算,多生產(chǎn)多少頂?
18×25=450頂
8. 第二車(chē)間平均每人生產(chǎn)數(shù)比兩個(gè)車(chē)間平均頂數(shù)少幾頂?
185–170=15頂
9. 第二車(chē)間有多少人、
450÷15=30人
(203–185) ×25÷(185–170) =30人
例10、一輛汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地,去時(shí)每小時(shí)行45千米,返回時(shí)每小時(shí)行60千米。往返一次共用了3.5小時(shí)。求往返的平均速度。(得數(shù)保留一位小數(shù))
解法一:
要求往返的平均速度,要先求得往返的距離和往返的時(shí)間。
去時(shí)每小時(shí)行45千米,1千米要 小時(shí);返回時(shí)每小時(shí)行60千米,1千米要 小時(shí)。往返1千米要( + )小時(shí),進(jìn)而求得甲乙兩地的距離。
1、 甲乙兩地的距離
3.5÷( + )=90千米
2、 往返平均速度
90×2÷3.5≈52.4千米
3.5÷( + )×2÷3.5≈52.4千米
解法二:
把甲乙兩地的距離看作“1”。往返距離為2個(gè)“1”,即1×2=2。去時(shí)每千米需 小時(shí),返回時(shí)需 小時(shí),最后求得往返的平均速度。
1÷( + )≈51.4千米
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在解答某一類(lèi)應(yīng)用題時(shí),先求出一份是多少(歸一),然后再用這個(gè)單一量和題中的有關(guān)條件求出問(wèn)題,這類(lèi)應(yīng)用題叫做歸一應(yīng)用題。
歸一,指的是解題思路。
歸一應(yīng)用題的特點(diǎn)是先求出一份是多少。歸一應(yīng)用題有正歸一應(yīng)用題和反歸一應(yīng)用題。在求出一份是多少的基礎(chǔ)上,再求出幾份是多產(chǎn),這類(lèi)應(yīng)用題叫做正歸一應(yīng)用題;在求出一份是多少的基礎(chǔ)上,再求出有這樣的幾份,這類(lèi)應(yīng)用題叫做反歸一應(yīng)用題。
根據(jù)“求一份是多少”的步驟的多少,歸一應(yīng)用題也可分為一次歸一應(yīng)用題,用一步就能求出“一份是多少”的歸一應(yīng)用題;兩次歸一應(yīng)用題,用兩步到處才能求出“一份是多少”的歸一應(yīng)用題。
解答這類(lèi)應(yīng)用題的關(guān)鍵是求出一份的數(shù)量,它的計(jì)算方法:
總數(shù)÷份數(shù)=一份的數(shù)
例1、 24輛卡車(chē)一次能運(yùn)貨物192噸,現(xiàn)在增加同樣的卡車(chē)6輛,一次能運(yùn)貨物多少?lài)崳?/p>
先求1輛卡車(chē)一次能運(yùn)貨物多少?lài),再求增?輛后,能運(yùn)貨物多少?lài)崱?/p>
這是一道正歸一應(yīng)用題。192÷24×(24+6)=240噸
例2、 張師傅計(jì)劃加工552個(gè)零件。前5天加工零件345個(gè),照這樣計(jì)算,這批零件還要幾天加工完?
這是一道反歸一應(yīng)用題。
例3、 3臺(tái)磨粉機(jī)4小時(shí)可以加工小麥2184千克。照這樣計(jì)算,5臺(tái)磨粉機(jī)6小時(shí)可加工小麥多少千克?
這是一道兩次正歸一應(yīng)用題。
例4、 一個(gè)機(jī)械廠和4臺(tái)機(jī)床4.5小時(shí)可以生產(chǎn)零件720個(gè)。照這樣計(jì)算,再增加4臺(tái)同樣的機(jī)床生產(chǎn)1600個(gè)零件,需要多少小時(shí)?
這是兩次反歸一應(yīng)用題。要先求一臺(tái)機(jī)床一小時(shí)可以生產(chǎn)零件多少個(gè),再求需要多少小時(shí)。
1600÷[720÷4÷4.5×(4+4)]=5小時(shí)
例5、 一個(gè)修路隊(duì)計(jì)劃修路126米,原計(jì)劃安排7個(gè)工人6天修完。后來(lái)又增加了54米的任務(wù),并要求在6天完工。如果每個(gè)工人每天工作量一定,需要增加多少工人才如期完工?
先求每人每天的工作量,再求現(xiàn)在要修路多少米,然后求要5天完工需要工人多少人,最后求要增加多少人。
(126+54)÷(126÷7÷6×5)–7=5人
例6、 用兩臺(tái)水泵抽水。先用小水泵抽6小時(shí),后用大水泵抽8小時(shí),共抽水624立方米。已知小水泵5小時(shí)的抽水量等于大水泵2小時(shí)的抽水量。求大小水泵每小時(shí)各抽水多少立方米?
解法一:
根據(jù)“小水泵5小時(shí)的抽水量等于大水泵2小時(shí)的抽水量”,可以求出大水泵1小時(shí)的抽水量相當(dāng)于小水泵幾小時(shí)的抽水量。把不同的工作效率轉(zhuǎn)化成某一種水泵的工作效率。
1、 大水泵1小時(shí)的抽水量相當(dāng)于小水泵幾小時(shí)的抽水量?
5÷2=2.5小時(shí)
2、 大水泵8小時(shí)的抽水量相當(dāng)于小水泵幾小時(shí)的抽水量
2.5×8=20小時(shí)
3、 小水泵1小時(shí)能抽水多少立方米?
642÷(6+20)=24立方米
4、 大水泵1小時(shí)能抽水多少立方米?
24×2.5=60立方米
解法二:
1、 小水泵1小時(shí)的抽水量相當(dāng)于大水泵幾小時(shí)的抽水量
2÷5=0.4小時(shí)
2、 小水泵6小時(shí)的抽水量相當(dāng)于大水泵幾小時(shí)的抽水量
0.4×6=2.4小時(shí)
3、 大水泵1小時(shí)能抽水多少立方米?
624÷(8+2.4)=60立方米
4、 小水泵1小時(shí)能抽水多少立方米?
60×0.4=24立方米
例7、 東方小學(xué)買(mǎi)了一批粉筆,原計(jì)劃29個(gè)班可用40天,實(shí)際用了10天后,有10個(gè)班外出,剩下的粉筆,夠有校的班級(jí)用多少天?
先求這批粉筆夠一個(gè)班用多少天,剩下的粉筆夠一個(gè)班用多少天,然后求夠在校班用多少天。
1、 這批粉筆夠一個(gè)班用多少天
40×20=800天
2、 剩下的粉筆夠一個(gè)班用多少天
800–10×20=600天
3、 剩下幾個(gè)班
20–10=10個(gè)
4、 剩下的粉筆夠10個(gè)班用多少天
600÷10=60天
(40×20–10×20) ÷(20–10) =60天
例8、 甲乙兩個(gè)工人加工一批零件,甲4.5小時(shí)可加工18個(gè),乙1.6小時(shí)可加工8個(gè),兩個(gè)人同時(shí)工作了27小時(shí),只完成任務(wù)的一半,這批零件有多少個(gè)?
先分別求甲乙各加工一個(gè)零件所需的時(shí)間,再求出工作了27小時(shí),甲乙兩工人各加工了零件多少個(gè),然后求出一半任務(wù)的零件個(gè)數(shù),最后求出這批零件的個(gè)數(shù)。
[27÷(4.5÷18)+27÷(1.6÷8)]×2=486個(gè)
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在解答某一類(lèi)應(yīng)用題時(shí),先求出總數(shù)是多少(歸總),然后再用這個(gè)總數(shù)和題中的有關(guān)條件求出問(wèn)題。這類(lèi)應(yīng)用題叫做歸總應(yīng)用題。
歸總,指的是解題思路。
歸總應(yīng)用題的特點(diǎn)是先總數(shù),再根據(jù)應(yīng)用題的要求,求出每份是多少,或有這樣的幾份。
例1、 一個(gè)工程隊(duì)修一條公路,原計(jì)劃每天修450米。80天完成,F(xiàn)在要求提前20天完成,平均每天應(yīng)修多少米?
450×80÷(80–20)=600米
例2、 家具廠生產(chǎn)一批小農(nóng)具,原計(jì)劃每天生產(chǎn)120件,28天完成任務(wù);實(shí)際每天多生產(chǎn)了20件,可以幾天完成任務(wù)?
要求可以提前幾天,先要求出實(shí)際生產(chǎn)了多少天。要求實(shí)際生產(chǎn)了多少天,要先求這批小農(nóng)具一共有多少件。
28–120×28÷(120+20)=4天
例3、 裝運(yùn)一批糧食,原計(jì)劃用每輛裝24袋的汽車(chē)9輛,15次可以運(yùn)完;現(xiàn)在改用每輛可裝30袋的汽車(chē)6輛來(lái)運(yùn),幾次可以運(yùn)完?
24×9×15÷30÷6=18次
例4、 修整一條水渠,原計(jì)劃由8人修,每天工作7.5小時(shí),6天完成任務(wù),由于急需灌水,增加了2人,要求4天完成,每天要工作幾小時(shí)?
一個(gè)工人一小時(shí)的工作量,叫做一個(gè)“工時(shí)”。
要求每天要工作幾小時(shí),先要求修整條水渠的工時(shí)總量。
1、 修整條水渠的總工時(shí)是多少?
7.5×8×6=360工時(shí)
2、 參加修整條水渠的有多少人
8+2=10人
3、 要求 4天完成 ,每天要工作幾小時(shí)
4、 360÷4÷10=9小時(shí)
7.5×8×6÷4÷(8+2) =9小時(shí)
例5、 一項(xiàng)工程,預(yù)計(jì)30人15天可以完成任務(wù)。后來(lái)工作的天后,又增加3人。每人工作效率相同,這樣可以提前幾天完成任務(wù)?
一個(gè)工人工作一天,叫做一個(gè)“工作日”。
要求可以提前幾天完成,先要求得這項(xiàng)工程的總工作量,即總工作日。
1、 這項(xiàng)工程的總工作量是多少?
15×30=450工作日
2、 4天完成了多少個(gè)工作日?
4×30=120工作日
3、 剩下多少個(gè)工作日?
450–120=330工作日
4、 剩下的要工作多少天?
330÷(30+3)=10天
5、 可以提前幾天完成?
15–(4+10)=1天
15–[(15×30–4×30) ÷(30+3)+4]=1天
例6、 一個(gè)農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃28天完成收割任務(wù),由于每天多收割7公頃,結(jié)果18天就完成 了任務(wù)。實(shí)際每天收割多少公頃?
要求實(shí)際每天收割多少公頃,要先求原計(jì)劃每天收割多少公頃。要求原計(jì)劃每天收割多少公頃,要先求18天多收割了多少公頃。18天多收割的就是原計(jì)劃(28–18)天的收割任務(wù)。
1、 18天多收割了多少公頃
7×18=126公頃
2、 原計(jì)劃每天收割多少公頃
126÷(28–18)=12.6公頃
3、 實(shí)際每天收割多少公頃
12.6+7=19.6公頃
7×18÷(28–18) +7=19.6公頃
例7、 休養(yǎng)準(zhǔn)備了120人30天的糧食。5天后又新來(lái)30人。余下的糧食還夠用多少天?
先要求出準(zhǔn)備的糧食1人能吃多少天,再求5天后還余下多少糧食,最后求還夠用多少天。
1、 準(zhǔn)備的糧食1人能吃多少天
300×120=3600天
2、 5天后還余下的糧食夠1人吃多少天
3600–5×120=3000天
3、 現(xiàn)在有多少人
120+30=150人
4、 還夠用多少天
3000÷150=20天
(300×120–5×120) ÷(120+30) =20天
例8、 一項(xiàng)工程原計(jì)劃8個(gè)人,每天工作6小時(shí),10天可以完成,F(xiàn)在為了加快工程進(jìn)度,增加22人,每天工作時(shí)間增加2小時(shí),這樣,可以提前幾天完成這項(xiàng)工程?
要求可以幾天完成,要先求現(xiàn)在完成這項(xiàng)工程多少天。要求現(xiàn)在完成這項(xiàng)工程多少天,要先求這項(xiàng)工程的總工時(shí)數(shù)是多少。
10–6×10×8÷(8+22)÷(6+2)=8天
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已知兩個(gè)數(shù)以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系,要求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題,叫做和倍應(yīng)用題。
解答方法是:
和÷(倍數(shù)+1)=1份的數(shù)
1份的數(shù)×倍數(shù)=幾倍的數(shù)
例1、 有甲乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù),共存放大米360噸,甲倉(cāng)庫(kù)的大米數(shù)是乙倉(cāng)庫(kù)的3倍。甲乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)各存放大米多少?lài)崳?/p>
例2、 一個(gè)畜牧場(chǎng)有綿羊和山羊共148只,綿羊的只數(shù)比山羊只數(shù)的2倍多4只。兩種羊各有多少只?
山羊的只數(shù):(148-4)÷(2+1)=48只
綿羊的只數(shù):48×2+4=100只
例3、 一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)養(yǎng)雞和鴨共3559只,如果雞減少60只,鴨增加100只,那么,雞的只數(shù)比鴨的只數(shù)的2倍少1只。原來(lái)雞和鴨各有多少只?
雞減少60只,鴨增加00只后,雞和鴨的總數(shù)是3559-60+100=3599只,從而可求出現(xiàn)在鴨的只數(shù),原來(lái)鴨的只數(shù)。
1、 現(xiàn)在雞和鴨的總只數(shù)
3559-60+100=3599只
2、 現(xiàn)在鴨的只數(shù)
(3599-1)÷(2+1)=1200只
3、 原來(lái)鴨的只數(shù)
1200-100=1100只
4、 原來(lái)雞的只數(shù)
3599-1100=2459只
例4、 甲乙丙三人共同生產(chǎn)零件1156個(gè),甲生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)比乙生產(chǎn)的2倍還多15個(gè);乙生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)比丙生產(chǎn)的2倍還多21個(gè)。甲乙丙三人各生產(chǎn)零件多少個(gè)?
以丙生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)(1份的數(shù)),乙生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)=丙生產(chǎn)的2倍-21個(gè);甲生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)=丙的(2×2)倍+(21×2+15)個(gè)。
丙生產(chǎn)零件多少個(gè)?
(1156-21-21×2-15)÷(1+2+2×2)=154個(gè)
乙:
154×2+21=329個(gè)
甲:
329×2+15=673個(gè)
例5、 甲瓶有酒精470毫升,乙瓶有酒精100毫升。甲瓶酒精倒入乙瓶多少毫升,才能使甲瓶酒精是乙瓶的2倍?
要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍,乙瓶 是1份,甲瓶是2份,要先求出一份是多少,再求還要倒入多少毫升。
1、 一份是多少
(470+100)÷(2+1)=190毫升
2、 還要倒入多少毫升
190-100=90毫升
例6、 甲乙兩個(gè)數(shù)的和是7106,甲數(shù)的百位和十位上的數(shù)字都是8,乙數(shù)百位和十位上的數(shù)字都是2。用0代替這兩個(gè)數(shù)里的這些8和2,那么,所得的甲數(shù)是乙數(shù)的5倍。原來(lái)甲乙兩個(gè)數(shù)各是多少?
把甲數(shù)中的兩個(gè)數(shù)位上的8都用0代替,那么這個(gè)數(shù)就減少了880;把乙數(shù)中的兩個(gè)數(shù)位上的2都用0代替,那么這個(gè)數(shù)就減少了220。這樣,原來(lái)兩個(gè)數(shù)的和就一共減少了(880+220)
。7106-(880+220)]÷(5+1)+220=1221……乙數(shù)
7106-1221=5885……甲數(shù)
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已知兩個(gè)數(shù)的差以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系,要求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題,叫做差倍應(yīng)用題。
解答方法是:
差÷(倍數(shù)-1)=1份的數(shù)
1份的數(shù)×倍數(shù)=幾倍的數(shù)
例1、 甲倉(cāng)庫(kù)的糧食比乙倉(cāng)多144噸,甲倉(cāng)庫(kù)的糧食噸數(shù)是乙倉(cāng)庫(kù)的4倍,甲乙兩倉(cāng)各存有糧食多少?lài)崳?/p>
以乙倉(cāng)的糧食存放量為標(biāo)準(zhǔn)(即1份數(shù)),那么,144噸就是乙倉(cāng)的(4-1)份,從而求得一份是多少。
114÷(4-1)=48噸……乙倉(cāng)
例2、 參加科技小組的人數(shù),今年比去年多41人,今年的人數(shù)比去年的3倍少35人。兩年各有多少人參加?
由“今年的人數(shù)比去年的3倍少35人”,可以把去年的參加人數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn),即一份的數(shù)。今年參加人數(shù)如果再多35人,今年的人數(shù)就是去年的3倍。(41+35)就是去年的(3-1)份
去年:(41+35)÷(3-1)=38人
例3、 師傅生產(chǎn)的零件的個(gè)數(shù)是徒弟的6倍,如果兩人各再生產(chǎn)20個(gè),那么師傅生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)是徒弟的4倍。兩人原來(lái)各生產(chǎn)零件多少個(gè)?
如果徒弟再生產(chǎn)20個(gè),師傅再生產(chǎn)20×6=120個(gè),那么,現(xiàn)在師傅生產(chǎn)的個(gè)數(shù)仍是徒弟的6倍。可見(jiàn)20×6-20=100個(gè)就是徒弟現(xiàn)有個(gè)數(shù)的6-2=4倍。
(20×6-20)÷(6-4)-20=30個(gè)……徒弟原來(lái)生產(chǎn)的個(gè)數(shù)
30×6=180個(gè)師傅原來(lái)生產(chǎn)個(gè)數(shù)
例4、 第一車(chē)隊(duì)比第二車(chē)隊(duì)的客車(chē)多128輛,再起從第一車(chē)隊(duì)調(diào)出11輛客車(chē)到第二車(chē)隊(duì)服務(wù),這時(shí),第一車(chē)隊(duì)的客車(chē)比第二車(chē)隊(duì)的3倍還多22輛。原來(lái)兩車(chē)隊(duì)各有客車(chē)多少輛?
要求“原來(lái)兩車(chē)隊(duì)各有客車(chē)多少輛”,需要求“現(xiàn)在兩車(chē)隊(duì)各有客車(chē)多少輛”;要求“現(xiàn)在兩車(chē)隊(duì)各有客車(chē)多少輛”,要先求現(xiàn)在第一車(chē)隊(duì)比第二車(chē)隊(duì)的客車(chē)多多少輛。
1、 現(xiàn)在第一車(chē)隊(duì)比第二車(chē)隊(duì)的客車(chē)多多少輛
128-11×2=106輛
2、 現(xiàn)在第二車(chē)隊(duì)有客車(chē)多少輛?
(106-22)÷(3-1)=42輛
3、 第二車(chē)隊(duì)原有客車(chē)多少輛?
42-11=31輛
4、 第一車(chē)隊(duì)原有客車(chē)多少輛?
31+128=159輛
例5、 小華今年12歲,他父親46歲,幾年以后,父親的年齡是兒子年齡的3倍?
父親的年齡與小華年齡的差不變。
要先求當(dāng)父親的年齡是兒子年齡的3倍時(shí)小華多少歲,再求還要多少年。
(46-12)÷(3-1)-12=5年
例6、 甲倉(cāng)存水泥64噸,乙倉(cāng)存水泥114噸。甲倉(cāng)每天存入8噸,乙倉(cāng)每天存入18噸。幾天后乙倉(cāng)存放水泥噸數(shù)是甲倉(cāng)的2倍?
現(xiàn)在甲倉(cāng)的2倍比乙倉(cāng)多(64×2-114)噸,要使乙倉(cāng)水泥噸數(shù)是甲倉(cāng)的2倍,每天乙倉(cāng)實(shí)際只多存入了(18-2×8)噸。
(64×2-114)÷(18-2×8)=7天
例7、 甲乙兩根電線,甲電線長(zhǎng)63米,乙電線長(zhǎng)29米。兩根電線剪去同樣的長(zhǎng)度,結(jié)果甲電線所剩下長(zhǎng)度是乙電線的3倍。各剪去多少米?
要求“各剪去多少米”,要先求得甲乙兩根電線所剩長(zhǎng)度各是多少米。兩根電線的差不變,甲電線的長(zhǎng)度是乙電線的3倍。從而可求得甲乙兩根電線所剩下的長(zhǎng)度。
1、 乙電線所剩的長(zhǎng)度
(63-29)÷(3-1)=17米
2、 剪去長(zhǎng)度
29-17=12米
例8、有甲乙兩箱橘子。從甲箱取10只放入乙箱,兩箱的只數(shù)相等;如果從乙箱取15只放入甲箱,甲箱橘子的只數(shù)是乙箱的.3倍。甲乙兩箱原來(lái)各有橘子多少只?
要求“甲乙兩箱原來(lái)各有橘子多少只”,先求甲乙兩箱現(xiàn)在各有橘子多少只。
已知現(xiàn)在“甲箱橘子的只數(shù)是乙箱的3倍”,要先求現(xiàn)在甲箱橘子比乙箱多多少只。原來(lái)甲箱比乙箱多10×2=20只,“從乙箱取15只放入甲箱”,又多了15×2=30只,F(xiàn)在兩箱橘子相差(10×2+15×2)只。
(10×2+15×2)÷(3-1)+15=40只……乙箱
40+10×2=60只……甲箱
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已知兩個(gè)數(shù)的和與它們的差,要求這,叫做和差應(yīng)用題。
解答方法是:
。ê+差)÷2=大數(shù)
。ê-差)÷2=小數(shù)
例1、 果園里有蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)共308棵,蘋(píng)果樹(shù)比梨樹(shù)多48棵。蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)各有多少棵?
例2、 甲乙兩倉(cāng)共存貨物1630噸。如果從甲倉(cāng)調(diào)出6噸放入乙倉(cāng),甲倉(cāng)的貨物比乙倉(cāng)的貨物還多10噸。甲乙兩倉(cāng)原來(lái)各有貨物多少?lài)崳?/p>
從甲倉(cāng)調(diào)出6噸放入乙倉(cāng),甲倉(cāng)的貨物比乙倉(cāng)的貨物還多10噸,可知原來(lái)兩倉(cāng)貨物相差6×2+10=22噸,由此,可根據(jù)兩倉(cāng)貨物的和與差,求得兩倉(cāng)原有貨物的噸數(shù)。
例3、 某公司甲班和乙班共有工作人員94人,因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào)46人到甲班工作,這時(shí),乙班比甲班少12人,原來(lái)甲班和乙班各有工作人員多少人?
總?cè)藬?shù)不變。即原來(lái)和現(xiàn)在兩班工作人員的和都是94人,F(xiàn)在兩班人數(shù)相差12人。
要求原來(lái)甲班和乙班各有工作人員多少人,先要求現(xiàn)在甲班和乙班各有工作人員多少人?
1、 現(xiàn)在甲班有工作人員多少人
(94+12)÷2=53人
2、 現(xiàn)在乙班有工作人員多少人
(94-12)÷2=41人
3、 原來(lái)甲班有工作人員多少人
53-46=7人
4、 原來(lái)乙班有工作人員多少人
41+46=87人
例4、 甲乙丙三人共裝訂同一種書(shū)刊508本。甲比乙多裝訂42本,乙比丙多裝訂26本。他們?nèi)烁餮b訂多少本?
先確定一個(gè)人的裝訂本數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)。如果我們選定乙的裝訂本數(shù)為標(biāo)準(zhǔn),從總數(shù)508中減去甲比乙多裝訂4的2本,加上丙比乙少裝訂的26本,得到的就是乙裝訂本數(shù)的3倍。由此,可求得乙裝訂的本數(shù)。
乙:
(508-42+26)÷3=164本
甲丙略
例5、 三輛汽車(chē)共運(yùn)磚9800塊,第一輛汽車(chē)比其余兩車(chē)運(yùn)的總數(shù)少1400塊,第二輛比第三輛汽車(chē)多運(yùn)200塊。三輛汽車(chē)各運(yùn)磚多少塊?
根據(jù)“三輛汽車(chē)共運(yùn)磚9800塊”和“第一輛汽車(chē)比其余兩車(chē)運(yùn)的總數(shù)少1400塊”,可求得第一輛汽車(chē)和其余兩車(chē)各運(yùn)磚多少塊。
根據(jù)“其余兩車(chē)共運(yùn)磚塊數(shù)”和“第二輛比第三輛汽車(chē)多運(yùn)200塊”可求得第二輛和第三輛各運(yùn)磚多少塊。
1、 第一輛:
(9800-1400)÷2=4200塊
2、 第二輛和第三輛共運(yùn)磚塊數(shù):
9800-4200=5600塊
3、 第二輛:
(5600+200)÷2=2900塊
4、 第三輛:
5600-2900=2700塊
例6、 甲乙丙三人合做零件230個(gè)。已知甲乙兩人做的總數(shù)比丙多38個(gè);甲丙兩人做的總數(shù)比乙多74個(gè)。三人各做零件多少個(gè)?
先把跽兩人做的零件總數(shù)看成一個(gè)數(shù),從而求出丙做零件的個(gè)數(shù),再把甲丙兩人做的零件總數(shù)看作一個(gè)數(shù),從而求出乙做零件的個(gè)數(shù)。
丙:(230-38)÷2=96個(gè)
乙:(230-38)÷2=78個(gè)
甲略
例7、 一列客車(chē)長(zhǎng)280米,一列貨車(chē)長(zhǎng)200米,在平行的軌道上相向而行,兩車(chē)從兩車(chē)頭相遇到兩車(chē)尾相離共經(jīng)過(guò)15秒;兩列車(chē)在平行軌道上同向而行,貨車(chē)在前,客車(chē)在后,從兩車(chē)相遇(貨車(chē)車(chē)尾和客車(chē)車(chē)頭)到兩車(chē)相離(貨車(chē)車(chē)頭和客車(chē)車(chē)尾)經(jīng)過(guò)2分鐘。兩列車(chē)的速度各是多少?
由相向而行從相遇到相離經(jīng)過(guò)15秒,可求得兩列車(chē)的速度和(280+200)÷15;由同向而行從相遇到相離經(jīng)過(guò)2分鐘,可求得兩列車(chē)的速度差(280-200)÷(60×2)。從而求得兩列車(chē)的速度。
例8、 五年級(jí)三個(gè)班共有學(xué)生148人。如果把1班的3名學(xué)生調(diào)到2班,兩班人數(shù)相等;如果把2班的1名學(xué)生調(diào)到3班,3班還比2班少3人。三個(gè)班原來(lái)各有學(xué)生多少人?
由“如果把1班的3名學(xué)生調(diào)到2班,兩班人數(shù)相等”,可知,1班學(xué)生人數(shù)比2班多3×2=6人;由“如果把2班的1名學(xué)生調(diào)到3班,3班還比2班少3人”可知,2班學(xué)生人數(shù)比3班多1×2+3=5人。如果確定以2班學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn),由“三個(gè)班共有學(xué)生148人”和“1班學(xué)生人數(shù)比2班多3×2=6人,2班學(xué)生人數(shù)比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的學(xué)生人數(shù)。
(148-3×2+1×2+3)÷3=49人……2班
甲丙班略
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已知兩人的年齡,求他們之間的某種數(shù)量關(guān)系;或已知兩人年齡之間的數(shù)量關(guān)系,求他們的年齡等,這類(lèi)問(wèn)題叫做年齡應(yīng)用題問(wèn)題。
年齡問(wèn)題的主要特點(diǎn)是:大小年齡差是個(gè)不變量。差是定值的兩個(gè)量,隨時(shí)間的變化,倍數(shù)關(guān)系也會(huì)發(fā)生變化。
這類(lèi)應(yīng)用題往往是和差應(yīng)用題、和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題的綜合應(yīng)用。
例1、 小方今年11歲,他爸爸今年43歲,幾年以后,爸爸的年齡是小方年齡的3倍?
因?yàn)樾》脚c爸爸的年齡差43-11=32不變。以幾年后小方的年齡為1份數(shù),爸爸的年齡就是3份的數(shù)。根據(jù)差倍應(yīng)用題的解法,可求出小方幾年后的年齡。
(43-11)÷(3-1)=16歲
16-11=5年
例2、 媽媽今年比兒子大24歲,4年后媽媽年齡是兒子的5倍。今年兒子幾歲?
“媽媽今年比兒子大24歲“,4年后也同樣大24歲,根據(jù)差倍應(yīng)用題的解法,可求得4年后兒子的年齡,進(jìn)而求得今年兒子的年齡。
24÷(5-1)-4=2歲
例3、 今年甲乙兩人年齡和為50歲,再過(guò)5年,甲的年齡是乙的4倍。今年甲乙兩人各幾歲?
今年甲乙兩人年齡和為50歲,再過(guò)5年,兩人的年齡和是50+5×2=60歲。根據(jù)和倍應(yīng)用題的解法 ?汕蟮5年后乙的年齡,從而求得今年乙的年齡和甲的年齡。
例4、 小高5年前的年齡等于小王7年后的年齡。小高4年后與小王3年前的年齡和是35歲。今年兩人各是多少歲?
由“小高5年前的年齡等于小王7年后的年齡“可知,小高比小王大5+7歲;他們倆今年年齡的和為:35+3-4=30歲,根據(jù)和差應(yīng)用題的解法,可求得今年兩人各是多少歲。
由第一個(gè)條件可知,小高比小王在5+7=12歲。由第二個(gè)條件可知,他們的年齡和為35+3-4=34歲。文檔頂端
“根據(jù)兩個(gè)差求未知數(shù)”是指分析問(wèn)題的思考方法!皟蓚(gè)差”是指題目中有這樣的數(shù)量關(guān)系。例如:總量之差與單位量之差;時(shí)間之差與速度之差或距離之差等等。解題時(shí)可以找出題目中的兩個(gè)差,再根據(jù)兩個(gè)這間的相應(yīng)關(guān)系使總量得到解決。
例1、 百貨商場(chǎng)上午賣(mài)出洗衣機(jī)8臺(tái),下午賣(mài)出同樣的洗衣機(jī)12臺(tái),下午比上午多收售貨款6600元,每臺(tái)洗衣機(jī)售價(jià)多少元?
6600÷(12-8)=1650元
例2、 一輛汽車(chē)上午行駛120千米,下午行駛210千米。下午比上午多行駛1.5小時(shí)。平均每小時(shí)行駛多少千米?
(210-120)÷1.5=60千米
例3、 新建一個(gè)圖書(shū)室和一個(gè)辦公室。室內(nèi)地面共有234平方米。已知辦公室比圖書(shū)室小54平方米。用同樣的磚鋪地,圖書(shū)室比辦公室多用864塊。圖書(shū)室和辦公室地面各用磚多少塊?
由“辦公室比圖書(shū)室小54平方米”和“圖書(shū)室比辦公室多用864塊”可求得“平均每平方米需用磚多少塊”;由“室內(nèi)地面共有234平方米”和“辦公室比圖書(shū)室小54平方米”,可求得“”。從而求得各用磚多少塊。
例4、 甲乙兩人同時(shí)從東村出發(fā)去西村,甲每分鐘行76米,乙每分鐘行68米。到達(dá)西村時(shí),乙比甲多用了4分鐘。東西兩村間的路程是多少米?
甲乙兩人同時(shí)從東村出發(fā),當(dāng)甲到達(dá)西村時(shí),乙距西村還有4分鐘的路程。乙每分鐘行68米,4分鐘能行68×4=272米。也就是說(shuō),在相同的時(shí)間內(nèi),甲比乙多行272米。這是路程這差。每分鐘甲比慚多行76-68=8米,這是速度這差。根據(jù)這兩個(gè)差,可以求出甲走完全程所用的時(shí)間,從而求得兩村之間的路程。
76×[68×4÷(76-68)]=2584米
例5、 冰箱廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)電冰箱40臺(tái),改進(jìn)工藝后,實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)5臺(tái)這樣,提前2天完成了這批生產(chǎn)任務(wù)外,還比原計(jì)劃多生產(chǎn)了35臺(tái)。實(shí)際生產(chǎn)電冰箱多少臺(tái)?
要求“實(shí)際生產(chǎn)電冰箱多少臺(tái)”,需要知道“實(shí)際每天生產(chǎn)多少臺(tái)”和“實(shí)際生產(chǎn)了多少天”。
如果實(shí)際上再生產(chǎn) 2 天后話,還能生產(chǎn)(40+5)×2=90臺(tái),雙知比原計(jì)劃還多生產(chǎn)35臺(tái),實(shí)際上比原計(jì)劃多生產(chǎn)了90+35=125臺(tái),這是一個(gè)總量之差。又知實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)5臺(tái),這是生產(chǎn)效率之差。根據(jù)這兩個(gè)差可以求出原計(jì)劃生產(chǎn)的天數(shù)。從而求得實(shí)際生產(chǎn)電冰箱的臺(tái)數(shù)
40×{[(40+5)×2+35]÷5}+35=1035臺(tái)
例6、 食品廠運(yùn)來(lái)一批煤,原計(jì)劃每天生產(chǎn)480千克,燒了預(yù)定的時(shí)間后,還剩下1680千克;改進(jìn)燒煤方法后,實(shí)際每天燒400千克,燒了同樣的時(shí)間后,還剩下4080千克。這批煤共有多少千克?
要求這批煤共有多少千克,先要求出預(yù)定燒的天數(shù)。計(jì)劃燒后還剩1680千克,實(shí)際燒后還剩4080千克可求得實(shí)際比墳?zāi)苟嗍6嗌偾Э,這是剩下總量之差,實(shí)際每天燒400千克,計(jì)劃每天燒480千克,可求得每天燒煤量之差。根據(jù)這兩個(gè)差,可求得燒了多少天。進(jìn)而可求得燒了多少千克,這批煤共有多少千克。
400×[(4080-1680)÷(480-400)]+4080=16080千克
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有關(guān)栽樹(shù)以及與栽樹(shù)相似的一類(lèi)應(yīng)用題,叫做植樹(shù)問(wèn)題。植樹(shù)問(wèn)題通常有兩種形式。一種是在不封閉的線路上植樹(shù),另一種是在封閉的線路上植樹(shù)。
1、 不封閉線路上植樹(shù)
如果在一條不封閉的線路上可不可能,而且兩端都植樹(shù),那么,植樹(shù)的棵數(shù)比段數(shù)多。其數(shù)量關(guān)系如下:
棵數(shù)=總長(zhǎng)÷株距+1
總長(zhǎng)=株距×(棵數(shù)-1)
株距=總長(zhǎng)÷(棵數(shù)-1)
2、 在封閉的線路上植樹(shù),那么植樹(shù)的棵數(shù)與段數(shù)相等。其數(shù)量關(guān)系如下:
棵數(shù)=總長(zhǎng)÷株距
總長(zhǎng)=株距×棵數(shù)
株距=總長(zhǎng)÷棵數(shù)
例1、 有一條公路全長(zhǎng)500米,從頭至尾每隔5米種一棵松樹(shù)?煞N松樹(shù)多少棵?
500÷5 +1=101棵
例2、 從校門(mén)口到街口,一共插有30面紅旗,相鄰兩面紅旗相隔6米。從校門(mén)口到街口長(zhǎng)多少米?
6×(30-1)=174米
例3、 在一條長(zhǎng)150米的大路兩旁各栽一行樹(shù),起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽,一共栽了102棵。每相鄰兩棵樹(shù)之間的距離相等。相鄰兩棵樹(shù)之間的距離有多少米?
150÷(102÷2-1)=3米
例4、 在一個(gè)周長(zhǎng)為600米的池塘周?chē)矘?shù),每隔10米栽一棵楊樹(shù),在相鄰兩棵楊樹(shù)之間每隔2米栽1棵柳樹(shù)。楊樹(shù)和柳樹(shù)各栽了多少棵?
根據(jù)“棵數(shù)=總長(zhǎng)÷株距”,可以求出楊樹(shù)的棵數(shù)
在每?jī)煽脳顦?shù)之間可分為10÷2=5段,栽柳樹(shù)4-1=4棵。由此,可以求得柳樹(shù)的棵數(shù)。
楊樹(shù):600÷10=60棵
柳樹(shù):(10÷2-1)×60=240棵
例5、 一條馬路一側(cè),原有木電線桿97根,每相鄰的兩根相距40米,F(xiàn)在計(jì)劃全部換用大型水泥電線桿,每相鄰兩根相距60米。需要大型水泥電線桿多少根?
1、 這條路全長(zhǎng)多少米
40×(97-1)=3840米
2、 需要大型水泥電線桿多少根
3840÷60+1=65根
例6、 一座大橋長(zhǎng)200米,計(jì)劃在大橋兩側(cè)的欄桿上共安裝32塊圖案,每塊圖案長(zhǎng)2米,靠近橋兩端的圖案離橋端10.5米。相鄰兩圖案之間的距離是多少米?
在橋兩側(cè)共裝32塊圖案,即每側(cè)裝16塊,圖案之間的間隔有16-1=15個(gè)。用總長(zhǎng)減去16塊圖案的距離就可以知道15個(gè)間隔的長(zhǎng)度。
。200-2×(32÷2)-10.5×2]÷(32÷2-1)
文檔頂端 相向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 同向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(追及問(wèn)題) 背向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(相離問(wèn)題)
在行車(chē)、行船、行走時(shí),按照速度、時(shí)間和距離之間的相依關(guān)系,已知其中的兩個(gè)量,要求第三個(gè)量,這類(lèi)應(yīng)用題,叫做行程應(yīng)用題。也叫行程問(wèn)題。
行程應(yīng)用題的解題關(guān)鍵是掌握速度、時(shí)間、距離之間的數(shù)量關(guān)系:
距離=速度×?xí)r間
速度=距離÷時(shí)間
時(shí)間=距離÷速度
按運(yùn)動(dòng)方向,行程問(wèn)題可以分成三類(lèi):
1、 相向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(相遇問(wèn)題)
2、 同向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(追及問(wèn)題)
3、 背向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(相離問(wèn)題)
十、行程應(yīng)用題
相向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(相遇問(wèn)題),是指地點(diǎn)不同、方向相對(duì)所形成的一種行程問(wèn)題。兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體由于相向運(yùn)動(dòng)而相遇。
解答相遇問(wèn)題的關(guān)鍵,是求出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的速度之和。
基本公式有:
兩地距離=速度和×相遇時(shí)間
相遇時(shí)間=兩地距離÷速度和
速度和=兩地距離÷相遇時(shí)間
例1、 兩列火車(chē)同時(shí)從相距540千米的甲乙兩地相向而行,經(jīng)過(guò)3.6小時(shí)相遇。已知客車(chē)每小時(shí)行80千米,貨車(chē)每小時(shí)行多少千米?
例2、 兩城市相距138千米,甲乙兩人騎自行車(chē)分別從兩城出發(fā),相向而行。甲每小時(shí)行13千米,乙每小時(shí)行12千米,乙在行進(jìn)中因修車(chē)候車(chē)耽誤1小時(shí),然后繼續(xù)行進(jìn),與甲相遇。求從出發(fā)到相遇經(jīng)過(guò)幾小時(shí)?
因?yàn)橐以谛羞M(jìn)中耽誤1小時(shí)。而甲沒(méi)有停止,繼續(xù)行進(jìn)。也可以說(shuō),甲比乙多行1小時(shí)。如果從總路程中把甲單獨(dú)行進(jìn)的路程減去,余下的路程就是跽兩人共同行進(jìn)的。
(138-13)÷(13+12)+1=6小時(shí)
例3、 計(jì)劃開(kāi)鑿一條長(zhǎng)158米的隧道。甲乙兩個(gè)工程隊(duì)從山的兩邊同時(shí)動(dòng)工,甲隊(duì)每天挖2.5米,乙隊(duì)每天挖進(jìn)1.5米。35天后,甲隊(duì)調(diào)往其他工地,剩下的由乙隊(duì)單獨(dú)開(kāi)鑿,還要多少天才能打通隧道?
要求剩下的乙隊(duì)開(kāi)鑿的天數(shù),需要知道剩下的工作量和乙隊(duì)每天的挖進(jìn)速度。
要求剩下的工作量,要先求兩隊(duì)的挖進(jìn)速度的和,35天挖進(jìn)的總米數(shù),然后求得剩下的工作量。
[158-(2.5+1.5)×35]÷1.5=12天
例4、 一列客車(chē)每小時(shí)行95千米,一列貨車(chē)每小時(shí)的速度比客車(chē)慢14千米。兩車(chē)分別從甲乙兩城開(kāi)出,1.5小時(shí)后兩車(chē)相距46.5千米。甲乙兩城之間的鐵路長(zhǎng)多少千米?
已知1.5小時(shí)后兩車(chē)還相距46.5千米,要求甲乙兩城之間的鐵路長(zhǎng),需要知道1.5小時(shí)兩車(chē)行了多少千米?要求1.5小時(shí)兩車(chē)共行了多少千米。需要知道兩車(chē)的速度。
(95-14+95)×1.5+46.5=310.5千米
例5、 客車(chē)從甲地到乙地需8小時(shí),貨車(chē)從乙地到甲地需10小時(shí),兩車(chē)分別從甲乙兩地同時(shí)相向開(kāi)出?蛙(chē)中途因故停開(kāi)2小時(shí)后繼續(xù)行駛,貨車(chē)從出發(fā)到相遇共用多少小時(shí)?
假設(shè)客車(chē)一出發(fā)即發(fā)生故障,且停開(kāi)2小時(shí)后才出發(fā),這時(shí)貨車(chē)已行了全程的 ×2= ,剩下全程的1- = ,由兩車(chē)共同行駛。
(1- ×2)÷( - )+2= 小時(shí)
例6、 甲乙兩地相距504千米,一輛貨車(chē)和一輛客車(chē)分別從兩地相對(duì)開(kāi)出。貨車(chē)每小時(shí)行72千米,客車(chē)每小時(shí)行56千米。如果要使兩車(chē)在甲乙兩地中間相遇,客車(chē)需要提前幾小時(shí)出發(fā)?
要求“如果要使兩車(chē)在甲乙兩地中間相遇,客車(chē)需要提前幾小時(shí)出發(fā)”要先求出貨車(chē)和客車(chē)行一半路程各需要多少小時(shí)。
1、 貨車(chē)行至兩地中間需要多少小時(shí)。
504÷2÷72=3.5小時(shí)
2、 客車(chē)行至兩地中間需要多少小時(shí)。
504÷2÷56=4.5小時(shí)
3、 客車(chē)要提前幾小時(shí)出發(fā)?
4.5-3.5=1小時(shí)
例7、 甲乙兩人分別以均勻速度從東西兩村同時(shí)相向而行,在離東村36千米處相遇。后繼續(xù)前進(jìn),到達(dá)西村后及時(shí)返回,又在離東村54千米處相遇,東西兩村相距多少千米?
36千米
54千米
兩人第一次相遇,合走了一個(gè)全程,第二次相遇,2合走了3個(gè)全程。
兩人合走了3個(gè)全程時(shí),甲走了兩個(gè)全程少54千米。
(36×3+54)÷2=81千米
例8、 甲從A地到B地需5小時(shí),乙從B地到A地,速度是甲的 。現(xiàn)在甲乙兩人分別從AB兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,在途中相遇后繼續(xù)前進(jìn)。甲到B地后立即返回,乙到A地后也立即返回,他們?cè)谕局杏忠淮蜗嘤觥纱蜗嘤鳇c(diǎn)相距72千米。AB兩地相距多少千米?
要求AB兩地相距多少千米,關(guān)鍵是找出兩次相遇點(diǎn)的距離占全程的幾分之幾
1、甲每小時(shí)行全程的幾分之幾
1÷5=
2、 乙每小時(shí)行全程的幾分之幾
× =
3、 第一次相遇用了多少小時(shí)
1÷( + )=
4、 兩人合行了2個(gè)全程,甲行了全程的幾分之幾
× ×2=
5、 兩人合行了2個(gè)全程,乙行了全程的幾分之幾
× ×2=
6、 兩次相遇點(diǎn)的距離占全程的幾分之幾十、行程應(yīng)用題
兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體同向而行,一快一慢,慢在前快在后,經(jīng)過(guò)一定時(shí)間快的追上慢的,稱(chēng)為追及。
解答追及問(wèn)題的關(guān)鍵,是求出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的速度之差;竟接校
追及距離=速度差×追及時(shí)間
追及時(shí)間=追及距離÷速度差
速度差=追及距離÷追及時(shí)間
例1、 甲乙兩人在相距12千米的AB兩地同時(shí)出發(fā),同向而行。甲步行每小時(shí)行4千米,乙騎車(chē)在后面,每小時(shí)速度是甲的3倍。幾小時(shí)后乙能追上甲?
12÷(4×3-4)=1.5小時(shí)
例2、 一個(gè)通訊員騎摩托車(chē)追趕前面部隊(duì)乘的汽車(chē)。汽車(chē)每小時(shí)行48千米,摩托車(chē)每小時(shí)行60千米。通訊員出發(fā)后2小時(shí)追上汽車(chē)。通訊員出發(fā)的時(shí)候和部隊(duì)乘的汽車(chē)相距多少千米?
要求距離差,需要知道速度差和追及時(shí)間。
距離差=速度差×追及時(shí)間
(60-48)×2=24千米
例3、 一個(gè)人從甲村步行去乙村 ,每分鐘行80米。他出發(fā)以后25分鐘,另一個(gè)人騎自行車(chē)追他,10分鐘追上。騎自行車(chē)的人每分鐘行多少米?
要求“騎自行車(chē)的人每分鐘行多少米”,需要知道“兩人的速度差”;要求“兩人的速度差”需要知道距離差和追及時(shí)間
80×25÷10+80=280米
例4、 甲乙兩人從學(xué)校步行到少年宮。甲要走20分鐘,乙要走30分鐘。如果乙先走5分鐘,甲需要幾分鐘才能追上乙?
×5÷( - )-10分鐘
例5、 甲乙兩人騎自行車(chē)同時(shí)從學(xué)校出發(fā),同方向前進(jìn),甲每小時(shí)行15千米,乙每小時(shí)行10千米。出發(fā)半小時(shí)后,甲因事又返回學(xué)校,到學(xué)校后又耽擱1小時(shí),然后動(dòng)身追乙。幾小時(shí)后可追上乙?
先要求得甲先后共耽擱了多少小時(shí),甲開(kāi)始追時(shí),兩人相距多少千米
10×(0.5×2+1)÷(15-10)=4小時(shí)
例6、 甲乙丙三人都從甲地到乙地。早上六點(diǎn)甲乙兩人一起從甲地出發(fā),甲每小時(shí)行5千米,乙每小時(shí)行4千米。丙上午八點(diǎn)才從甲地出發(fā),傍晚六點(diǎn),甲、丙同時(shí)到達(dá)乙地。問(wèn)丙什么時(shí)候追上乙?
要求“兩追上乙的時(shí)間”,需要知道“丙與乙的距離差”和“速度差”。
要先求丙每小時(shí)行多少千米,再求丙追上乙要多少時(shí)間
1、 丙行了多少小時(shí)
18-8=10小時(shí)
2、 丙每小時(shí)比甲多行多少千米
5×2÷10=1千米
3、 丙每小時(shí)行多少千米
5+1=6千米
4、 丙追上乙要用多少小時(shí)
4×2÷(6-4)=4小時(shí)
例7、 快中慢三輛車(chē)同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā),沿著同一條公路追趕前面的一個(gè)騎車(chē)人。這三輛車(chē)分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車(chē)人,F(xiàn)在知道快車(chē)每小時(shí)行24千米,中車(chē)每小時(shí)行20千米,那么慢車(chē)每小時(shí)行多少千米?
快中慢三輛車(chē)出發(fā)時(shí)與騎車(chē)人的距離相同,根據(jù)快車(chē)和中車(chē)追上騎車(chē)人的路程差和時(shí)間差可求得騎車(chē)人的速度,進(jìn)而求慢車(chē)每小時(shí)行多少千米。
單位換算略。6分鐘= 小時(shí) 10分鐘= 小時(shí) 12分鐘= 小時(shí)
1、 快車(chē) 小時(shí)行多少千米
24× =2.4千米
2、 中車(chē) 小時(shí)行多少千米
20× = 千米
3、 騎車(chē)人每小時(shí)行多少千米
( -2.4)÷( - )=14千米
4、 慢車(chē)每小時(shí)行多少千米
(20-14)× ÷ +14=19千米
例8、 甲乙兩人步行速度的經(jīng)是7:5,甲乙兩人分別由AB兩地同時(shí)出發(fā),如果相向而行,0.5小時(shí)相遇;如果他們同向而行,那么甲追上乙需要多少小時(shí)?
設(shè)具體數(shù)解題。
設(shè)甲乙兩人步行的速度分別為每小時(shí)7千米和5千米。
由相向而行,可求得AB兩地韹距離,進(jìn)而由速度差,求得追及時(shí)間。
1、 AB之間的路程是多少千米
(7+5)×0.5=6千米
2、 甲追上乙要多少小時(shí)
6÷(7-5)=3小時(shí)
十、行程應(yīng)用題
背向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(相離問(wèn)題),是指地點(diǎn)相同或不同,方向相反的一種行程問(wèn)題。兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體由于背向運(yùn)動(dòng)而相離。
解答背向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵,是求出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走的距離(速度和);竟接校
兩地距離=速度和×相離時(shí)間
相離時(shí)間=兩地距離÷速度和
速度和=兩地距離÷相離時(shí)間
例1、 甲乙兩車(chē)同時(shí)同地相反方向開(kāi)出,甲車(chē)每小時(shí)行40千米,乙車(chē)乙車(chē)每小時(shí)快5.5千米。4小時(shí)后,兩車(chē)相距多少千米?
例2、 甲乙兩車(chē)從AB兩地的中點(diǎn)同時(shí)相背而行。甲車(chē)以每小時(shí)40千米的速度行駛,到達(dá)A地后又以原來(lái)的速度立即返回,甲車(chē)到達(dá)A地時(shí),乙車(chē)離B地還有40千米。乙車(chē)加快速度繼續(xù)行駛,到達(dá)B地后也立即返回,又用了7.5小時(shí)回到中點(diǎn),這時(shí)甲車(chē)離中點(diǎn)還有20千米。乙車(chē)加快速度后,每小時(shí)行多少千米?
乙車(chē)在7.5小時(shí)內(nèi)行駛了(40×7.5+40+20)千米的路程,這樣可以求得乙車(chē)加快后的速度。
。40×7.5+40+20)÷7.5=48(千米)
例3、 甲乙兩車(chē)同時(shí)同地同向而行,3小時(shí)后甲車(chē)在乙車(chē)前方15千米處;如果兩車(chē)同時(shí)同地背向而行,2小時(shí)后相距150千米。甲乙兩車(chē)每小時(shí)各行多少千米?
根據(jù)“3小時(shí)后甲車(chē)在乙車(chē)前方15千米處”,可求得兩車(chē)的速度差;根據(jù)“兩車(chē)同時(shí)同地背向而行,2小時(shí)后相距150千米”,可求得兩車(chē)的速度和。從而求得甲乙兩車(chē)的速度(和差問(wèn)題)
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流水問(wèn)題就是船在水中航行的行程問(wèn)題。它有幾種速度:
靜水速度,船本身的速度,即船在靜水中航行的速度。
水流速度,水流動(dòng)的速度,即沒(méi)有外力的作用水中漂浮的速度。
順?biāo)俣,?dāng)船航行方向與水流方向一致時(shí)的速度。
逆水速度,當(dāng)船航行方向與水流方向相反時(shí)的速度。
它們的關(guān)系如下:
順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度
逆水速度=靜水速度–水流速度
例1、兩碼頭相距108千米,一艘客輪順?biāo)型耆绦枰?0小時(shí),逆水行完全程需要12小時(shí)。求這艘客輪的靜水速度和水流速度。
1、 順?biāo)俣龋?08÷10=10.8千米
2、 逆水速度:108÷12=9千米
3、 靜水速度:(10.8–9)÷2=9.9千米
例2、一客輪順?biāo)叫?20千米需要8小時(shí),水流速度每小時(shí)5千米。逆水每小時(shí)航行多少千米?這一客輪逆水行完全程,需要用幾小時(shí)?
要求逆水速度,需要知道順?biāo)俣群退魉俣;知道了逆水速度,就可求得行完全程所需時(shí)間。
1、 順?biāo)俣龋?20÷8=40千米
2、 逆水速度:40-15×2=10千米
3、 逆水行完全程,需用幾小時(shí):320÷10=32小時(shí)
例3、某往返于甲乙兩港,順?biāo)叫忻啃r(shí)行15千米;逆水航行每小時(shí)行12千米,已知順?biāo)型耆瘫饶嫠儆?小時(shí),求甲乙兩港的距離。
順?biāo)型耆瘫饶嫠儆?小時(shí),就是說(shuō),逆水行完全程多用2小時(shí)。行完全程逆水比順?biāo)?2×2=24千米。順?biāo)啃r(shí)比逆水快15-12=3千米,由此,求得順?biāo)型耆趟钑r(shí)間,進(jìn)而求得兩港的距離。
15×[12×2÷(15–12)]=120千米
例4、 甲船逆水航行360千米需18小時(shí),返回原地需10小時(shí);乙船逆水航行同樣一段距離需15小時(shí),返回原地需多少小時(shí)?
由題中甲船逆水、順?biāo)叫械木嚯x和時(shí)間,可以求得甲船速度與水速的和及差,從而可以求出水速。
由乙船逆水航行的距離和時(shí)間,可以求得乙船在逆水中的速度;由乙船逆水速度水速可以求得乙船順?biāo)俣,從而求得乙船返回原地需要的時(shí)間。
1、 甲船的順?biāo)俣?/p>
360÷10=36千米
2、 甲船的逆水速度
360÷18=20千米
3、 水流速度
(36-20)÷2=8千米
4、 乙船逆水速度
360÷15=24千米
5、 乙船順?biāo)俣?/p>
24+8×2=40千米
6、 乙船返回原地時(shí)間
360÷40=9小時(shí)
例5、 AB兩港相距120千米,甲乙兩船從AB兩港相向而行6小時(shí)后相遇。甲船順?biāo)叫,甲船比乙船多?8千米,水速每小時(shí)1.5千米。求甲乙兩船的靜水速度。
要求甲乙兩船的靜水速度,只需求出甲乙兩船的靜水速度的和與靜水速度的差。
1、 甲船順?biāo)俣扰c乙船逆水速度的和
120÷6=20千米
2、 甲乙兩船靜水速度的和
甲順?biāo)俣?乙逆水速度=(甲靜水速度+1.5)+(乙靜水速度-1.5)= 甲靜水速度+乙靜水速度=20千米
3、 甲船順?biāo)俣扰c乙船逆水速度的差
48÷6=8千米
4、 甲乙兩船靜水速度的差
甲順?biāo)?乙逆速=(甲靜速+1.5)-(乙靜速-1.5)=甲靜速-乙靜速+1.5×2=8
甲靜速-乙靜速、8-1.5×2=5千米
5、 甲船的靜水速度。
(20+5)÷2=12.5千米
6、 乙船的靜水速度
(20-5)÷2=7.5千米
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把一定數(shù)量的東西平均分配,如果多分,東西不足;少分,東西有余。分物時(shí)出現(xiàn)盈(有余)、虧(不足)或盡(剛好分完)幾種情況,這類(lèi)問(wèn)題叫做盈虧問(wèn)題。
解答盈虧問(wèn)題有下列幾個(gè)公式:
1、 一盈一虧類(lèi)
(盈數(shù)+虧數(shù))÷再次分物數(shù)量差=分物對(duì)象的個(gè)數(shù)
2、 一盈一盡類(lèi)
盈數(shù)÷兩次分物數(shù)量的個(gè)數(shù)=分物對(duì)象的個(gè)數(shù)
3、 一虧一盡類(lèi)
虧數(shù)÷兩次分物數(shù)數(shù)量差=分物對(duì)象的個(gè)數(shù)
4、 兩盈類(lèi)
(大盈數(shù)–小盈數(shù))÷兩次分物數(shù)量差=分物對(duì)象的個(gè)數(shù)
例1、 同學(xué)們?nèi)澊。如果每條船坐5人,有14人沒(méi)有座位;如果每條船坐7人,多4個(gè)空位。問(wèn)有多少條船?學(xué)生多少人?
比較一下兩次安排,第一次有14人沒(méi)有座位,第二次又多4個(gè)座位,一盈一虧。兩次相差14+4=18人。
這18人是由于第二次安排時(shí)每條船比第一次多坐7-5=2人,多出18人有幾條船呢?
(14+4)÷(7-5)=9條
5×9+14=59人
或7×9-4=49人
例2、 學(xué)校分配宿舍,每個(gè)房間住3人,則多出20人;每個(gè)房間住5人,剛好安排好。部有房間多少個(gè)?學(xué)生多少人?
比較一下兩次安排,第一次多出20人,第二次剛好,兩次相差20人。這20人是疏于第二次安排時(shí),每個(gè)房間比第一次多住5-3=2人
例3、 學(xué)校買(mǎi)來(lái)一批新書(shū)。如果每人借5本則少150本;如果每人借3本則少70本。借書(shū)的學(xué)生有多少人?買(mǎi)來(lái)新書(shū)多少本?
(150-70)÷(5-3)=40人
5×40-150=50本
例4、 猴子分桃子。每只小猴分5個(gè)還多23個(gè);每只小猴分9個(gè)還多3個(gè)。這堆桃子有多少個(gè)?小猴有多少只?
(23-3)÷(9-5)=5只
9×5+3=48個(gè)
例5、 一列火車(chē)裝運(yùn)一批貨物,原計(jì)劃每節(jié)車(chē)皮裝46噸,結(jié)果有100噸貨物沒(méi)有裝上去;后來(lái)改進(jìn)裝車(chē)方法,使每節(jié)車(chē)皮多裝4噸,結(jié)果把這批貨物全部裝完,而且還剩下兩節(jié)空車(chē)皮。問(wèn)這列火車(chē)有多少節(jié)車(chē)皮?這批貨物有多少?lài)崳?/p>
。100+(46+4)×2]÷4=50節(jié)……車(chē)皮
46×50+100=2400噸……貨物
例6、 把許多橘子分給一些小朋友。如果其中3人,每人分給3只,其余小朋友每人分給3只,還余9只;如果其中2人分給3只,其余小朋友每人分給5只,恰好分盡。問(wèn)橘子有多少只?小朋友有多少人?
將第一種分配方案轉(zhuǎn)述為:每人分3只,還多(4-3)×3+9=12只;將第二種分配方案轉(zhuǎn)述為:每人分5只,還少5-3=2只。
1、 每人分3只,還多多少只?
(4-3)×3+9=12只
2、 每人分5只,還少多少只?
5-3=2只
3、 小朋友有多少人
(12+2)÷(5-3)=7人
4、 橘子有多少只
4×3+3×(7-3)+9=33只
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已知大小不相等的兩部分,移多補(bǔ)少使兩部分同樣多的應(yīng)用題,叫做差額平分問(wèn)題。
通常的解答方法是:先求出兩部分?jǐn)?shù)量的差(差額),再將其差平均分成兩份,取其中一份,使兩部分相等。
例1、 有甲乙兩個(gè)書(shū)架。甲書(shū)架上有書(shū)940本,乙書(shū)架上有書(shū)1280本。要使兩書(shū)架上書(shū)的本數(shù)相等,應(yīng)從乙書(shū)架取多少本書(shū)放入甲書(shū)架?
先求出乙書(shū)架上的書(shū)比甲書(shū)架多多少本。再把差額平分成兩份。
(1280-940)÷2=170
例2、 一班有學(xué)生52人,調(diào)6人到二班,兩個(gè)班的學(xué)生人數(shù)相等。二班原來(lái)有學(xué)生多少人?
由“調(diào)6人到二班,兩個(gè)班的學(xué)生人數(shù)相等”,可知,原來(lái)一班比二班多6×2=12人。由此求得二班原有人數(shù)。
52-6×2=40人
例3、 甲倉(cāng)有大米1584袋,乙倉(cāng)有大米858袋,每天從甲倉(cāng)運(yùn)33袋到乙倉(cāng),幾天后兩倉(cāng)的大米袋數(shù)相等?
要求“要運(yùn)多少天”,先要求甲倉(cāng)總共要運(yùn)多少大米到乙倉(cāng),再求每天運(yùn)33袋,要運(yùn)多少天>
(1584-858)÷2÷33=11天
例4、 甲乙丙三個(gè)組各拿出相等的錢(qián)去習(xí)同樣的數(shù)學(xué)書(shū)。分配時(shí),甲組要22本,乙組要23本,丙組要30本。因此,丙組還給甲組13.5元,丙組還要還給乙組多少元?
先要求平均時(shí),各組應(yīng)分得多少本,甲組少分了多少本,乙組少分了多少本。每本多少元,然后再求丙組還要給乙組多少元。
1、 平均分時(shí),各組應(yīng)得多少本
(22+23+30)÷3=25本
2、 甲少分了多少本
25-22=3本
3、 乙少分了多少本
25-23=2本
4、 每本多少元
13.5÷3=4.5元
5、 丙組還應(yīng)給乙組多少元
4.5×2=9元
例5、 、甲乙丙三校合買(mǎi)一批樹(shù)苗。分配時(shí),甲校比乙丙兩校多分60棵,因此,甲校還給乙、丙兩校各160元。每棵樹(shù)苗多少元?
1、 乙丙兩校各少分了多少棵
60÷3=20棵
2、 每棵樹(shù)苗多少元
160÷20=8元
例6、 甲倉(cāng)有糧食100噸,乙倉(cāng)有糧食20噸。從甲倉(cāng)調(diào)多少?lài)嵓Z食到乙倉(cāng),乙倉(cāng)的糧食是甲倉(cāng)的2倍?
要求“從甲倉(cāng)調(diào)多少?lài)嵓Z食到乙倉(cāng),乙倉(cāng)的糧食是甲倉(cāng)的2倍”,需要知道“調(diào)糧后甲倉(cāng)有多少?lài)崱薄?/p>
兩倉(cāng)一共有存糧多少?lài)崳覀}(cāng)是甲倉(cāng)的2倍,根據(jù)和倍應(yīng)用題的解答方法,可求得調(diào)糧后甲倉(cāng)有糧多少?lài)?再求要調(diào)出糧食多少?lài)崱?/p>
1、 兩倉(cāng)共有糧食多少?lài)?/p>
100+20=120噸
2、 調(diào)糧后甲倉(cāng)有糧多少?lài)?/p>
120÷(2+1)=40噸
3、 甲倉(cāng)要調(diào)出多少?lài)嵉揭覀}(cāng)
100-40=60噸
100-(100+20) ÷(2+1) =60噸
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糖與糖水重量的比值叫做糖水的濃度;鹽與鹽水的重量的比值叫做鹽水的濃度。我們習(xí)慣上把糖、鹽、叫做溶質(zhì)(被溶解的物質(zhì)),把溶解這些 物質(zhì)的液體,如水、汽油等叫做溶劑。把溶質(zhì)和溶劑混合成的液體,如糖水、鹽水等叫做溶液。
一些與濃度的有關(guān)的應(yīng)用題,叫做濃度問(wèn)題。
濃度問(wèn)題有下面關(guān)系式:
濃度=溶質(zhì)質(zhì)量÷溶液質(zhì)量
溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×濃度
溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量÷濃度
溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量
溶劑質(zhì)量=溶液重量×(1–濃度)
例1、 濃度為25%的鹽水120千克,要稀釋成濃度為10%的鹽水,應(yīng)該怎樣做?
加水稀釋后,含鹽量不變。所以要先求出含鹽量,再根據(jù)含鹽量求得稀釋后鹽水的重量,進(jìn)而求得應(yīng)加水多少克。
120×25%÷10%-120=180克
例2、 濃度為70%的酒精溶液500克與濃度為50%酒精溶液300克,混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少?
要求混合后的溶液濃度,需要知道混合后溶液的總重量及所含純酒精的重量。
(500×70%+300×50%)÷(500+300)=62.5%
例3、 有含鹽8%的鹽水40千克,要配制含鹽20%的鹽水100千克需加水和鹽各多少千克?
根據(jù)“要配制含鹽20%的鹽水100千克”可求得新的鹽水中鹽和水的重量。
加鹽多少千克:100×20%-40×8%=16.8千克
例4、 從裝滿100克濃度為80%的鹽水杯中倒出40克鹽水后,再倒入清水將倒?jié)M,攪拌后再倒出40克鹽水,然后再倒入清水將杯倒?jié)M。這樣重復(fù)三次后,杯中鹽水的濃度是多少?
最后杯中鹽水的的重量仍為100克,因此只需要求出最后鹽水中含有多少鹽,就可求得最后鹽水的濃度。要求剩下的鹽,需要求出三次倒出的鹽水中含有多少鹽,每次倒出的鹽水雖然都是40克,但是由于濃度不同,所以含鹽量不相同。
1、 原來(lái)杯中鹽水含鹽多少克?
100×80%=80克
2、 第一次倒出的鹽水中含鹽多少克?
40×80%=32克
3、 加滿清水后,鹽水濃度為多少?
(80-32)÷100=48%
4、 第二次倒出的鹽水中含鹽多少克?
40×48%=19.2克
5、 加滿清水后,鹽水濃度為多少?
。80-32-19.2)÷100=28.8%
6、 第三次倒出的鹽水中含鹽多少克?
40×28.8%=11.52克
7、 加滿清水后,鹽水濃度為多少?
(80-32-19.2-11.52)÷100=17.28%
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應(yīng)用最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)方法求解的應(yīng)用題,叫做公約數(shù)與人數(shù)公倍數(shù)問(wèn)題。
解題的關(guān)鍵是先求出幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)或最小公倍數(shù),然后按題意解答要求的問(wèn)題。
例1、 有三根鐵絲,一佷長(zhǎng)18米,一根長(zhǎng)24米,一根長(zhǎng)30米,F(xiàn)在要把它們截成同樣長(zhǎng)的小段。每段最長(zhǎng)可以有幾米?一共可以截成多少段?
截成的小段一定是18、24、30的最大公約數(shù)。先求這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),再求一共可以截成多少段。
。18、24、30)=6
。18+24+30)÷6=12段
例2、 一張長(zhǎng)方形紙,長(zhǎng)60厘米,寬36厘米,要把它截成同樣大小的長(zhǎng)方形,并使它們的面積盡可能大,截完后又正好沒(méi)有剩余,正方形的邊長(zhǎng)可以是多少厘米?能截多少正方形?
要使截成的正方形面積盡可能大,也就是說(shuō),正方形的邊長(zhǎng)要盡可能大,截完后又正好沒(méi)有剩余,這樣正方形邊長(zhǎng)一定是60和36的最大公約數(shù)。
。36、60)=12
。60÷12)×(36÷12)=15個(gè)
例3、 用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每個(gè)花束里的紅玫瑰花的朵數(shù)相同,白玫瑰花的朵數(shù)也相同,最多可以做多少個(gè)花束?每個(gè)花束里至少要有幾朵花?
要把96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束,每束花里的紅白花朵數(shù)同樣多,那么做成花束的的個(gè)數(shù)一定是96和72的公約數(shù),又要求花束的個(gè)數(shù)要最多,所以花束的個(gè)數(shù)應(yīng)是96和72的最大公約數(shù)>
1、 最多可以做多少個(gè)花束
。96、72)=24
2、 每個(gè)花束里有幾朵紅玫瑰花
96÷24=4朵
3、 每個(gè)花束里有幾朵白玫瑰花
72÷24=3朵
4、 每個(gè)花束里最少有幾朵花
4+3=7朵
例4、 公共汽車(chē)站有三路汽車(chē)通往不同的地方。第一路車(chē)每隔5分鐘發(fā)車(chē)一次,第二路車(chē)每隔10分鐘發(fā)車(chē)一次,第三路車(chē)每隔6分鐘發(fā)車(chē)一次。三路汽車(chē)在同一時(shí)間發(fā)車(chē)以后,最少過(guò)多少分鐘再同時(shí)發(fā)車(chē)?
這個(gè)時(shí)間一定是5的倍數(shù)、10的倍數(shù)、6的倍數(shù),也就是說(shuō)是5、10和6的公倍數(shù),“最少多少時(shí)間”,那么,一定是5、10、6的最小公倍數(shù)。
。5、10、6]=30
例5、 某廠加工一種零件要經(jīng)過(guò)三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成3個(gè);第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完12個(gè);第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成5個(gè)。要使流水線能正常生產(chǎn),各道工序每小時(shí)至少安適幾個(gè)工人最合理?
安排每道工序人力時(shí),應(yīng)使每道工序在相同的時(shí)間內(nèi)完成同樣多的零件個(gè)數(shù)。這個(gè)零件個(gè)數(shù)一定是每道工序每人每小時(shí)完成零件個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。至少安排的人數(shù),一定是每道工序每人每小時(shí)完成零件個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
1、 在相同的時(shí)間內(nèi),每道工序完成相等的零件個(gè)數(shù)至少是多少?
。3、12、5]=60
2、 第一道工序應(yīng)安排多少人
60÷3=20人
3、 第二道工序應(yīng)安排多少人
60÷12=5人
4、 第三道工序應(yīng)安排多少人
60÷5=12人
例6、 有一批機(jī)器零件。每12個(gè)放一盒,就多出11個(gè);每18個(gè)放一盒,就少1個(gè);每15個(gè)放一盒,就有7盒各多2個(gè)。這些零件總數(shù)在300至400之間。這批零件共有多少個(gè)?
每12個(gè)放一盒,就多出11個(gè),就是說(shuō),這批零件的個(gè)數(shù)被12除少1個(gè);每18個(gè)放一盒,就少1個(gè),就是說(shuō),這批零件的個(gè)數(shù)被18除少1;每15個(gè)放一盒,就有7盒各多2個(gè),多了2×7=14個(gè),應(yīng)是少1個(gè)。也就是說(shuō),這批零件的個(gè)數(shù)被15除也少1個(gè)。
如果這批零件的個(gè)數(shù)增加1,恰好是12、18和15的公倍數(shù)。
1、 剛好能12個(gè)、18個(gè)或15個(gè)放一盒的零件最少是多少個(gè)
[12、18、15]=180
2、 在300至400之間的180的倍數(shù)是多少
180×2=360
3、 這批零件共有多少個(gè)
360-1=359個(gè)
例7、 一個(gè)數(shù)除193余4,除1089余9。這個(gè)數(shù)最大是多少?
這個(gè)數(shù)除(193-4),沒(méi)有余數(shù),這個(gè)數(shù)除(1089-9)沒(méi)有余數(shù)。這個(gè)數(shù)一定是(193-4)和(1089-9)的公約數(shù)。要求這個(gè)數(shù)最大,那么一定是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
193-4=189
1089-9=1080
。189、1080)=27
例8、 公路上一排電線桿,共25根。每相鄰兩根間的距離原來(lái)都是45米,現(xiàn)在要改成60米,可以有幾根不需要移動(dòng)?
不需要移動(dòng)的電線桿,一定既是45的倍數(shù)又是60的倍數(shù)。要先求45和60的最小公倍數(shù)和這條公路的全長(zhǎng),再求可以有幾根不需要移動(dòng)。
1、 從第一根起至少相隔多少米的一根電線桿不需移動(dòng)?
。45、60]=180
2、 全路長(zhǎng)多少米?
45×(25-1)=1080米
3、 可以有幾根不需要移動(dòng)?
1080÷180+1=7米
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順次差1 的幾個(gè)整數(shù)叫做連續(xù)數(shù)。
順次差2的幾個(gè)偶數(shù)叫做連續(xù)偶數(shù)。
順次差2的幾個(gè)奇數(shù)叫做連續(xù)奇數(shù)。
已知幾個(gè)連續(xù)數(shù)的和,求這幾個(gè)連續(xù)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。叫做連續(xù)數(shù)問(wèn)題。
連續(xù)數(shù)的每一個(gè)數(shù)叫一項(xiàng)。最前面的項(xiàng)叫首項(xiàng),最后面的項(xiàng)叫末項(xiàng),轉(zhuǎn)眼間的項(xiàng)叫中項(xiàng)。各個(gè)項(xiàng)數(shù)的和叫總和。
它的計(jì)算方法是:
{和–[1+2+3+……+(項(xiàng)數(shù)–1)]}÷項(xiàng)數(shù)=最小項(xiàng)(首項(xiàng))
{和+[1+2+3+……+(項(xiàng)數(shù)–1)]}÷項(xiàng)數(shù)=最大項(xiàng)(末項(xiàng))
總和÷項(xiàng)數(shù)=中間項(xiàng)(中項(xiàng))
(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2=總和
例1、 7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是84,這7個(gè)數(shù)各是多少?
可以先求最大數(shù),也可以先求最小數(shù),還可以先求中間數(shù)。
解法一:先求最大數(shù):
。84+1+2+3+4+5+6)÷7=15
連續(xù)的各數(shù)是:9、10、11、12、13、14、15。
解法二:(84-1-2-3-4-5-6)÷7=9
連續(xù)的各數(shù)是:9、10、11、12、13、14、15
解法三:當(dāng)連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),一般可以先求中間數(shù)。
84÷7=12
連續(xù)的各數(shù)是:9、10、11、12、13、14、15
例2、 6個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是150,這6個(gè)偶數(shù)各是多少?
解法一:先求最大數(shù):(150+2+4+6+8+10)÷6=30
6個(gè)連續(xù)偶數(shù)是:20、22、24、26、28、30。
解法二:先求最小數(shù)(150-2-4-6-8-10)=20
6個(gè)連續(xù)偶數(shù)是:20、22、24、26、28、30。
例3、 有七個(gè)連續(xù)奇數(shù),第七個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)的3倍。求各數(shù)。
第七個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大2×(7-2)=10,第七個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)的3倍,根據(jù)“差倍應(yīng)用題”的計(jì)算方法,就可先求得第二個(gè)數(shù)。
[2×(7-2)]÷[3-1]=5
七個(gè)連續(xù)奇數(shù)是:3、5、7、9、11、13、15。
例4、 有七張電影票,座號(hào)是連續(xù)的單號(hào)。其座號(hào)的和是49,這些票各是多少號(hào)?
解法一:先求最大號(hào):
(49+2+4+6+8+10+12)÷7=13
七個(gè)連續(xù)的單號(hào)是:1、3、5、7、9、11、13。
解法二:先求最小號(hào)
解法三先求中間號(hào):(略)
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我們知道,求兩個(gè)數(shù)的和,只要直接相加就可得到結(jié)果。但是在有的情況下,卻不能直接相加,它關(guān)系到重疊部分的數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題,我們把這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為“重疊問(wèn)題”。
解答重疊問(wèn)題的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形。在計(jì)算一個(gè)問(wèn)題時(shí),可以把總量分成幾個(gè)分量來(lái)計(jì)算,先把每個(gè)分量加起來(lái),然后再減去重疊計(jì)算的部分。
例1、 同學(xué)們?nèi)ゲ杉瘶?biāo)本。采集昆蟲(chóng)標(biāo)本的有32人,采集花草標(biāo)本的有25人,兩種標(biāo)本都采集的有16人。去采集標(biāo)本的共有多少人?
要求去采集標(biāo)本的總?cè)藬?shù),不能用32人和25人相加得到。在32人中包含有16人,在25人中也包含有16人。重復(fù)包含的16人加了兩次。所以,還要減去重復(fù)計(jì)算的16人。
32+25-16=41人
例2、 某班36個(gè)同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中,答對(duì)第一題的有25人,答對(duì)第二題的有23人,兩題都對(duì)的有15人。問(wèn)有幾個(gè)同學(xué)兩題都不對(duì)?
要求有幾個(gè)同學(xué)兩題都不對(duì),先要求做對(duì)其中一題的有幾人。
1、 做對(duì)其中一題的有幾人
25+23-15=33人
2、 有幾人兩題都不對(duì)
36-33=3人
例3、 一個(gè)班有學(xué)生45人,參加體育隊(duì)的有32人,參加文藝隊(duì)的有27人,每人至少參加一個(gè)隊(duì)。 問(wèn)這個(gè)班兩隊(duì)都參加的有多少人?
32+27=59人,總數(shù)超過(guò)了全班人數(shù)。因?yàn)橛幸徊糠滞瑢W(xué)參加了兩隊(duì)。所以只要在總數(shù)中減去全班的人數(shù),就是兩隊(duì)都參加的人數(shù)
32+27-45=14人
例4、 某班數(shù)學(xué)、英語(yǔ)期中考試的成績(jī)?nèi)缦拢河⒄Z(yǔ)得100分的有12人,數(shù)學(xué)得100分的有10人,兩門(mén)功課都得100分的有3人,兩門(mén)功課都未得100分的有26人。這個(gè)班有學(xué)生多少人?
26人
3人
10人
12人
全班?人
從圖中可以明顯地看出,兩門(mén)功課都得100分的有3人,在10人中計(jì)算了一次,在12人中又計(jì)算了一次。
26+(10+12-3)=45人
例5、 某班共有學(xué)生50人,其中35人會(huì)游泳,38人會(huì)騎自行車(chē),40人會(huì)溜冰,46人會(huì)打乒乓球。問(wèn)四項(xiàng)活動(dòng)都會(huì)的人數(shù)至少有多少人?
要求四項(xiàng)活動(dòng)都會(huì)的人數(shù)至少有多少人,首先要求出有一個(gè)項(xiàng)目不會(huì)的至多有多少人,然后從總?cè)藬?shù)中減去它。
1、 不會(huì)游泳的有多少人?
50-35=15人
2、 不會(huì)騎自行車(chē)的有多少人?
50-38=12人
3、 不會(huì)溜冰的有多少人?
50-40=10人
4、 不會(huì)打乒乓球的有多少人?
50-46=4人
5、 有一個(gè)項(xiàng)目不會(huì)的至多有多少人?
15+12+10+4=41人
6、 四個(gè)項(xiàng)目都會(huì)的至少有多少人?
50-41=9人
例6、 有三個(gè)面積都是60平方厘米的圓,兩兩相交的面積分別為9、13、15平方厘米。三個(gè)圓相交部分的面積為5平方厘米?傮w圖形蓋住的面積是多少平方厘米?
先求得三個(gè)圓面積的和,再減去兩兩相交的重疊部分。這樣三個(gè)圓相交部分的面積多減了一次,要加上它。
6×3-9-13-15+5=148平方厘米
例7、 在26名同學(xué)中會(huì)打乒乓球的有13人,會(huì)打網(wǎng)球的有12人,會(huì)打羽毛球的有9人,既會(huì)打乒乓球又會(huì)打羽毛球的有2人,既會(huì)打羽毛球又會(huì)打網(wǎng)球的有3人。但沒(méi)有人這三種球都會(huì)打,也沒(méi)有人這三種球都不會(huì)打。有多少人既會(huì)打乒乓球又會(huì)打網(wǎng)球?
設(shè)既會(huì)打乒乓球又會(huì)打網(wǎng)球的有X人。
由圖可知,只會(huì)打乒乓球的有(11-X)人;只會(huì)打網(wǎng)球的有(9-X)人;只會(huì)打羽毛球的有4人。一共有26人。由此可以列出方程。
11-X+9-X+4+X+2+3=26
X=3
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以鐘表上的時(shí)針和分針行走的速度、時(shí)間、距離等方面計(jì)算為內(nèi)容的應(yīng)用題,叫做時(shí)鐘問(wèn)題。
時(shí)鐘問(wèn)題可以理解為分針追時(shí)針的追及問(wèn)題。解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是求“速度差”。
分針走60格的同時(shí),時(shí)針只走了5格。也就是分針走一格,時(shí)針走 = 格。分針每分鐘比時(shí)針多走1– = 格。這個(gè)速度差是固定不變的。
例1、 現(xiàn)在是下午4時(shí)正,5時(shí)以前時(shí)針與分針正好重合的時(shí)刻是幾時(shí)幾分?
這是分針追及時(shí)針的問(wèn)題。4時(shí)正,分針在時(shí)針后20小格,兩針重合的時(shí)刻也就是分針追上時(shí)針的時(shí)刻。分針與時(shí)針的速度差為每分鐘1– 格。
20÷(1– )= 分
例2、 現(xiàn)在是下午1時(shí),再過(guò)多少時(shí)間,時(shí)針與分針第一次成直線(反方向)?
時(shí)針與分針成直線時(shí),兩針兩針之間差30格。1點(diǎn)鐘時(shí),分針還在時(shí)針的后面,這時(shí)兩針不可能成直線。顯然,分針必須在越過(guò)時(shí)針后,才能出現(xiàn)兩針成直線的情況。也就是說(shuō),從1點(diǎn)起,分針必須比時(shí)針多走(5+30)=35格
。5+30)÷(1- )= 分
例3、 2點(diǎn)與3點(diǎn)之間,時(shí)鐘的兩針第一次成直角的時(shí)刻是幾時(shí)幾分?
兩針成直角時(shí),兩針之間相差15格,2點(diǎn)時(shí),分針落后時(shí)針10格,必須讓分針趕上時(shí)針,并超過(guò)時(shí)針15格,才能成直角,也就是說(shuō),分針要比時(shí)針多走10+15=25格。
10+15÷(1- )= 分
例4、 時(shí)鐘的時(shí)針和分針由第一次成反方向開(kāi)始到第二次再成反方向?yàn)橹,中間一共需要多少時(shí)間?
第一次成反方向時(shí),分針落后(或超過(guò))時(shí)針30格,到第二次再成反方向時(shí),分針必須比時(shí)針多走30+30=60格
。30+30)÷(1- )=65 分=1時(shí)5分 秒
例5、 9時(shí)與10時(shí)之間,時(shí)針與分針正好成60度角,這時(shí)候的時(shí)間是多少?
60度即鐘盤(pán)上10格。有兩種情況:
1、 分針與時(shí)針重合以前成60度角。9時(shí),兩針相差45格。即分針要比時(shí)針多走45-10=35格
(45-10)÷(1- )= 分
2、 分針與時(shí)針重合以后成60度角。分針要比時(shí)針多走45+10=55格
。45+10)÷(1- )=60分
例6、 兩針正好成60度角的時(shí)刻是5點(diǎn)40分,不需多少時(shí)間兩針第一次重合?
解法一:可以考慮兩針從現(xiàn)在時(shí)刻到第一次重合的路程差及速度差,直接求出所需時(shí)間。
1、 兩針的路程差。
20+30- ×20= 格
2、 所需時(shí)間
÷(1- )= 分
綜合算式
。20+30- ×20)÷(1- )= 分
解法二:
將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:先求出從6時(shí)正開(kāi)始到第一次重合所需時(shí)間然后加上前面的20分鐘。
1、 從6時(shí)至兩針重合所需時(shí)間。
30÷(1- )= 分
2、 從5時(shí)40分至兩針重合所需時(shí)間
20+ = 分
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工程問(wèn)題是一種典型的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。這類(lèi)應(yīng)用題的特點(diǎn)是:題中不給出工作量的具體數(shù)量,而用整體“1”來(lái)表示;工作效率以單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾來(lái)表示,而后根據(jù)工作量、工作效率、和工作時(shí)間三者的關(guān)系來(lái)解答。
基本數(shù)量關(guān)系式是:
工作量÷工作效率=工作時(shí)間
在運(yùn)用上面數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答時(shí),要注意工作量必須與完成這些工作量所需要的時(shí)間相對(duì)應(yīng)。
例1、 甲乙兩隊(duì)合作某一項(xiàng)工程,12天可以完成;如果甲隊(duì)工作2天,乙隊(duì)工作3天,他們只能完成這項(xiàng)工程的20%。甲乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程,各需多少天?
解法一:
把“甲隊(duì)工作2天,乙隊(duì)工作3天,只能完成這項(xiàng)工程的20%”轉(zhuǎn)換成“甲乙兩隊(duì)合作2天,乙再工作1天”。
把這項(xiàng)工程看作單位“1”,甲乙合做1天可完成這項(xiàng)工程的 ,合做2天可完成這項(xiàng)工程的 ×2,從而求得乙的工作效率:
。20%- ×2)÷(3-2)=
乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的天數(shù)
1÷ =30天
甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的天數(shù)
1÷( - )=20天
解法二:
假定甲與乙一樣工作3天,完成的工作量為 ×3= ,這時(shí)工作量必定超過(guò)20%,超過(guò)部分 +20%,就是甲隊(duì)一天的工作量。
甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需時(shí)間
1÷( ×3-20%)=20天
乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需時(shí)間
1÷( - )=30天
例2、 甲乙丙三個(gè)車(chē)隊(duì)運(yùn)輸一批貨物。甲乙兩個(gè)車(chē)隊(duì)在6天內(nèi)運(yùn)完 ,以后由乙丙兩個(gè)車(chē)隊(duì)合運(yùn)2天,完成了余下貨物的 ,最后甲乙丙三個(gè)車(chē)隊(duì)合運(yùn)5天才運(yùn)完。甲隊(duì)、乙隊(duì)、丙隊(duì)單獨(dú)運(yùn)輸這批貨物,各需多少天?
要求甲乙丙三隊(duì)單獨(dú)運(yùn)輸,各需多少天,要設(shè)法求得甲乙丙三隊(duì)的工作效率。
甲乙兩隊(duì)的工作效率為 ÷6= ;
乙丙兩隊(duì)的工作效率為(1- )× ÷2= ;
三隊(duì)合做的工作效率為(1- )×(1- )÷5= 。
由此,可求得甲隊(duì)、乙隊(duì)、丙隊(duì)的工作效率。
1、 甲乙兩隊(duì)的工作效率
÷6=
2、 乙丙兩隊(duì)的工作效率
。1- )× ÷2=
3、 三隊(duì)合做的工作效率
(1- )×(1- )÷5=
4、 甲隊(duì)單獨(dú)運(yùn)完這批貨物所需天數(shù)
1÷( - )=60天
5、 乙隊(duì)單獨(dú)運(yùn)完這批貨物所需天數(shù)
1÷[ -( - )]= 天
6、 丙隊(duì)單獨(dú)運(yùn)完這批貨物所需天數(shù)
1÷( - )=
例3、 一項(xiàng)工程,原定100人,工作90天完成;工程進(jìn)行15天后,由于采用先進(jìn)工具和技術(shù),平均每人工效提高了50%。完成這項(xiàng)工程可提前幾天?
要求完成這項(xiàng)工程,可以提前幾天,先要求出實(shí)際所用的天數(shù);要求實(shí)際所用的天數(shù),先要求出完成余下的工程所用的天數(shù)。全工程原定100人90天完成,那么,平均每人每天要完成全工程的 ;100人工作15天完成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的(1- ×100×15)。采用先進(jìn)技術(shù)后,每人工作效率是:[ ×(1+50%)],進(jìn)而求得余下的工程所用的天數(shù)。
1、 100人工作15天后,還余下全工程的幾分之幾?
1- ×100×15=
2、 改進(jìn)技術(shù)后,100人1天可以完成這項(xiàng)工程的幾分之幾?
×(1+50%)×100=
3、 余下的工程要用多少天?
÷ =50天
4、 可提前多少天?
90-15-50=25天
綜合算式:
90-15-(1- ×100×15)÷[ ×(1+50%)×100]=25天
例4、 有一水池,裝有甲乙兩個(gè)注水管,下面裝有丙管排水?粘貢r(shí),單開(kāi)甲管5分鐘可注滿;單開(kāi)乙管10分鐘可注滿。水池注滿水后,單開(kāi)丙管15分鐘可將水放完。如果在空池時(shí),將甲乙丙三管齊開(kāi),2分鐘后關(guān)閉乙管,還要幾分鐘可以注滿水池?
分析與解:
先求出甲乙丙三管齊開(kāi)2分鐘后,注滿了水池的幾分之幾,還余下幾分之幾。再求余下的要幾分鐘。
1、 三管齊開(kāi)2分鐘,注滿了水池的幾分之幾?
。 + - )×2=
2、 還余下幾分之幾?
1- =
3、 余下的還要幾分鐘?
÷( - )=4分鐘
例5、 一隊(duì)割麥工人要把兩塊麥地的麥割去。大的一塊麥地比小的一塊大一倍。全隊(duì)成員先用半天時(shí)間割大的一塊麥地,到下午,他們對(duì)半分開(kāi),一半仍留在大麥地上,到傍晚時(shí)正好把大麥地的麥割完;另一半到小麥地去割,到傍晚時(shí)還剩下一小塊,這一小塊第二天由1人去割,正好1天割完。這個(gè)割麥隊(duì)共有多少人?
分析與解:
把大的一塊麥地算作單位“1”,小的一塊麥地為 。根據(jù)題意,一半成員半天割了 ,一天割了 ,全隊(duì)成員一天可割 ×2= 。
1、 全隊(duì)成員一天可割幾分之幾?
×2=
2、 所剩的一小塊面積是幾分之幾?
-( -1)=
3、 全隊(duì)有多少人?
。1+ - )÷ =8人
例6、 一項(xiàng)工程,甲工程隊(duì)每天工作8小時(shí),3天可以完成;乙工程隊(duì)每天工作9小時(shí),8天可以完成。如果兩工程隊(duì)合作,每天工作6小時(shí),幾天可以完成?
分析與解:
要求兩隊(duì)合做,幾天可以完成,先要求出甲工程隊(duì)每小時(shí)可以完成全工程的幾分之幾,乙工程隊(duì)每小時(shí)可以完成全工程的幾分之幾。
1、 甲工程隊(duì)每小時(shí)可以完成全工程的幾分之幾?
1÷(8×3)=
2、 乙工程隊(duì)每小時(shí)可以完成全工程的幾分之幾?
1÷(9×8)=
3、 兩隊(duì)合作幾天可以完成
1÷( + )÷6=3天
綜合算式:
1÷[1÷(8×3)+1÷(9×8)]÷6=3天
例7、 一件工作,3個(gè)男工和4個(gè)女工一天能完成 ;3個(gè)女工和4個(gè)男工一天能完成 。如果由1個(gè)女工獨(dú)做,幾天可以完成?
分析與解:
要求由1個(gè)女工獨(dú)做,幾天可以完成,先要求得1個(gè)女工的工作效率;要求1個(gè)女工的工作量,先要求1個(gè)男工和2個(gè)女工一天的工作量。
“3個(gè)男工和4個(gè)女工一天能完成 ”和“3個(gè)女工和4個(gè)男工一天能完成 ”把這句話合并成;“7個(gè)男工和7個(gè)女工一天能完成這件工作的 + !
1、 7個(gè)男工和7個(gè)女工一天的工作量。
+ =
2、 一個(gè)男工和一個(gè)女工一天的工作量。
÷7=
3、 一個(gè)女工一天的工作量
- ×3=
4、 一個(gè)女工獨(dú)做需要多少天
1÷ =18天
例8、 一項(xiàng)工程,甲獨(dú)做10天完成,乙獨(dú)做12天可以完成,丙獨(dú)做15天完成,F(xiàn)在三人合作甲中途因病休息了幾天,結(jié)果6天完成任務(wù)。甲休息了幾天?
如果甲沒(méi)有休息,那么甲乙丙都工作了6天,完成了工程量的幾分之幾,超過(guò)了幾分之幾,然后求得甲休息了幾天。
1、 三人合做6天,完成了工程量的幾分之幾?
。 + + )×6=
2、 超額完成了工程的幾分之幾?
-1=
3、 甲休息了幾天?
÷ =5天
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牛頓問(wèn)題也叫牛吃草問(wèn)題。由于這個(gè)問(wèn)題是由偉大的科學(xué)家牛頓提出來(lái)的,所以以后就把這類(lèi)問(wèn)題叫做牛頓問(wèn)題。牛頓問(wèn)題的特點(diǎn)是隨著時(shí)間的增長(zhǎng)所研究的量也等量地增加,解答時(shí),要抓住這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題,也就是要求出原來(lái)的量和增加的量各是多少。
牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草,每天勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天,可供15頭牛吃10天。供25頭牛吃幾天?
牧草的總量不定,它是隨時(shí)間的增加而增加。但是不管它怎樣增長(zhǎng),草的總量總是由牧場(chǎng)原有草量和每天長(zhǎng)出的草量相加得來(lái)的。
10頭牛20天吃的總草量比15頭牛10天吃的草量多,多出部分相當(dāng)于10天新長(zhǎng)出的草量。
設(shè)法求出一天新長(zhǎng)出的草量和原有草量。
1、10頭牛20天吃的草可供多少牛吃一天?
10×20=200頭、
2、15頭牛10天吃的草可供多少 頭牛吃一天
15×10=150頭
3、(20–10)天新長(zhǎng)出的 草可供多少頭牛吃一天?
50÷10=5頭
4、每天新長(zhǎng)出的草可供多少頭牛吃一天?
50÷10=5頭
5、20天(或10天)新長(zhǎng)出的草可供多少頭牛吃一天?
5×20=100頭 或5×10=50頭
6、原有的草可供多少頭牛吃一天?
200–100=100頭 或150–50=100頭
7、每天25頭牛中,如果有5頭牛去吃新長(zhǎng)出的草,其余的牛吃原有的草,可吃幾天?
100÷(25–5)=5天
例2、有一水井,連續(xù)不斷涌出泉水,每分鐘涌出的水量相等。如果用3 臺(tái)抽水機(jī)抽水,36分鐘可以抽完;如果用5臺(tái)抽水機(jī)抽水,20分鐘可以抽完,F(xiàn)在12分鐘要抽完井水,需要抽水機(jī)多少臺(tái)?
隨著時(shí)間的增長(zhǎng)涌出的泉水也不斷增多,但原來(lái)水量和每分鐘涌出的水量不變。
1、 3臺(tái)抽水機(jī)的抽水量。
3×36=108臺(tái)分
2、 5臺(tái)抽水機(jī)的抽水量。
5×20=100臺(tái)分
3、 使用3 臺(tái)抽水機(jī)比用5臺(tái)抽水機(jī)多用多少分鐘?
36–20=16分
4、 使用3臺(tái)抽水機(jī)比用5臺(tái)抽水機(jī)少抽的水量。
108–100=8臺(tái)分
5、 泉水每分鐘涌出的水量,算出需要抽水機(jī)多少臺(tái)?
8÷16= 臺(tái)
6、 水井分鐘涌出的水量。
×36=18臺(tái)分
7、 水井原有的水量。
108–18=90臺(tái)分
8、 水井原有水量加上12分鐘涌出的水量。
×12=6臺(tái)分
9、 水井原有水量加上12分鐘涌出的水量。
90+6、12臺(tái)分
10、 需要抽水機(jī)多少臺(tái)?
96÷12=8臺(tái)
例3、一片青草,每天生長(zhǎng)速度相等。這片青草可共10頭牛吃20天,或共60只羊吃10天。如果1頭牛吃的草量等于4 只羊吃的草量,那么10頭牛與60只羊一起吃,可以吃多少天?
先把題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化。因?yàn)?頭牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此,題目可以轉(zhuǎn)換成:這片青草可供(4×10)只羊吃20天,或供60只羊吃10天,問(wèn)(4×10+60)只羊吃多少天?
1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天?
4×10×20=800只天
2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天?
60×10=600只天
3、(20–10)天新長(zhǎng)出的草可供多少只羊吃一天?
800–600=200只
4、每天的新長(zhǎng)出的草可供多少只羊吃一天?
200÷10=20只
5、 20天新長(zhǎng)出的草可供多少只羊吃一天?
20×20=400只
6、 原有草可供多少只羊吃一天?
800–400=400只
7、 可吃多少天?
400÷(4×10+60–20)=5天
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漢朝大將韓信善于用兵。據(jù)說(shuō)韓信每當(dāng)部隊(duì)集合,他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7報(bào)數(shù)后,報(bào)告一下特各次的余數(shù),便可知道出操公倍數(shù)和缺額。
這個(gè)問(wèn)題及其解法,大世界數(shù)學(xué)史上頗負(fù)盛名,中外數(shù)學(xué)家都稱(chēng)之為“孫子定理”或“中國(guó)剩余定理”。
這類(lèi)問(wèn)題的解題依據(jù)是:
1、 如果被除數(shù)增加(或減少)除數(shù)的若干倍,除數(shù)不變,那么余數(shù)不變。例如:
20÷3=6……2
(20-3×5)÷3=21……2
(20+3×15)÷3=1……2
2、 如果被除數(shù)擴(kuò)大(縮小)若干倍,除數(shù)不變,那么余數(shù)也擴(kuò)大(縮小)同樣的倍數(shù)。例如:
20÷9=2……2
(20×3)÷9=6……6
(20÷2)÷9=1……1
例1、 一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2。求適合這些條件的最小的數(shù)。
1、 求出能被5和7整除,而被3除余1的數(shù),并把這個(gè)數(shù)乘以2。
70×2=140
2、 求出能被3和7整除,而被5除余1的數(shù),并把這個(gè)數(shù)乘以3。
21×3=63
3、 求出能被5和3整除,而被7除余1的數(shù),并把這個(gè)數(shù)乘以2。
15×2=30
4、 求得上面三個(gè)數(shù)的和
140+63+30=233
5、 求3、57的最小公倍數(shù)
。3、5、7]=105
6、 如果和大于最小公倍數(shù),要從和里減去最小公倍數(shù)的若干倍
233–105×2=23
例2、 一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余2,除以7余4,求適合這些條件的最小的數(shù)。
解法一:
70×2+21×2+15×4=242
[3、5、7]=105
242–105×2=32
解法二、
35+21×2+15×4=137
。3、5、7]=105
137–105=32
例3、 一個(gè)數(shù)除以5余3,除以6余4,除以7余1,求適合這些條件的最小的數(shù)。
1、 因?yàn)椋?、7]=42,而42÷5余2,根據(jù)第二個(gè)依據(jù),42×4÷5應(yīng)余8(2×4),實(shí)際余3,所以取42×4=168
2、 因?yàn)椋?、5]=35,而35÷6余5,則取35×2=70
3、 [5、6]=30,30÷7余2,則取30×4=120
4、 [5、6、7、]=210
5、 168+70+120–210=148
例4、 我國(guó)古代算書(shū)上有一道韓信點(diǎn)兵的算題:衛(wèi)兵一隊(duì)列成五行縱隊(duì),末行一人;列成六行縱隊(duì)末行五人;列成七行縱隊(duì),末行四人;列成十一行縱隊(duì),末行十人。求兵數(shù)。
1、[6、7、11]=462
462÷5余2
462×3÷5余1
取462×3=1386
2、[7、11、5]=385
385÷6余5
385×5÷6余5
取385×5=1925
3、[11、5、6]=330
330÷7余1
220×4÷7余4
取330×4=1320
4、[5、6、7]=210
210÷11余1
210×10÷11余10
取210×10=2100
5、求四個(gè)數(shù)的和
1386+1925+1320+2100=6731
6、[5、6、7、11]=2310
7、6731–2310×2=2111
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