靜定結構受力分析和特性

靜定結構受力分析和特性

　　靜定結構是沒有多余約束的幾何不變體系，是結構工程師考試的主要考點，下面為大家介紹一下靜定結構受力分析和特性，一起來看看!

　　一、靜定結構的定義

　　在任意荷載作用下，其全部支座反力和內 力都可由靜力平衡條件確定，即滿足靜力平衡條件的靜定結構的反力和內力的解答是唯一 的。但必須指出，靜定結構任意截面上的應力和應變卻不能僅由靜力平衡條件確定，還需要附加其他條件和假設才能求解。

　　二、計算靜定結構反力和內力的基本方法

　　在靜定結構的受力分析中不涉及結構材料的性質，將整個結構或結構中的任一桿件都 作為剛體看待。靜定結構受力分析的基本方法有以下三種。

　　(一)數解法

　　將受力結構的整體及結構中的某個或某些隔離體作為計算對象，根據靜力平衡條件建 立力系的平衡方程，再由平衡方程求解結構的支座反力和內力。

　　(二)圖解法

　　靜力平衡條件也可用力系圖解法中的閉合力多邊形和閉合索多邊形來代替。其中閉合 力多邊形相當于靜力投影平衡方程，閉合索多邊形相當于力矩平衡方程。據此即可用圖解 法確定靜定結構的支座反力和內力。

　　(三)基于剛體系虛位移原理的方法

　　受力處于平衡的剛體系，要求該力系在滿足剛體系約束條件的微小的虛位移上所做的 虛功總和等于零。據此，如欲求靜定結構上某約束力(反力或內力)時，可去除相應的約束， 使所得的機構沿該約束力方向產生微小的虛位移，然后由虛位移原理即可求出該約束力。

　　三、直桿彎矩圖的疊加法

　　繪制線彈性結構中直桿段的彎矩圖，采用直桿彎矩圖的疊加法。直桿彎矩圖的疊加法 可敘述為：任一直桿，如果已知兩端的彎矩，則桿件的彎矩圖等于在兩端彎矩坐標的連線上再疊加將該桿作為簡支梁在荷載作用下的彎矩圖，如圖2-1所示。作彎矩圖時，彎矩值坐標繪在桿件受拉一邊，彎矩圖中不要標明正、負號。

　　(a) (b)

　　圖2-1

　　四、直桿內力圖的特征

　　在直桿中，根據荷載集度q，彎矩M、剪力V之間的微分關系dV/dx=q，dM/dx=V、d2M/dx2=q，可推出荷載與內力圖的一些對應關系，這些對應關系構成了彎矩圖與剪力圖的形狀特征(表2—1)。

　　表2—1

梁上情況	無外力區段	均布力q作用區段		集中力P作用處		集小力偶M。作用處	鉸處
剪力圖	水平線	斜直線	為零處	有突變(突變值＝P)	如變號	無變化
彎矩圖	一般為斜直線	拋物線(凸出方向同q指向)	有極值	有尖角(尖角指向同P指向)	有極值	有突變(突變值—M。)	為零

　　注意到截面上軸力與剪力是互相垂直的，只要根據剪力圖的特征，并結合桿件上的荷載情況，就可得到軸力圖的特征。熟悉掌握內力圖的特征，便于繪制和校核內力圖。

　　五、靜定多跨梁

　　(一)靜定多跨梁的組成

　　由中間鉸將若干根單跨梁相連，并用若干支座與地基連接而成的靜定梁，稱為靜定多跨梁。圖2—2(a)、圖2—3(a)所示為靜定多跨梁的兩種基本形式，也可由這兩種基本形式組成混合形式。

　　圖2—2(a)中的AB桿與基礎組成的幾何不變體能單獨承受荷載，稱為基本部分。而其余的CD、EF部分，則必須依靠基本部分才能保持為幾何不變，稱為附屬部分。圖11—2-2(b)為表示這種基本部分與附屬部分關系的層疊圖。

　　圖2-2

　　圖2—3(a)所示的梁，在豎向荷載作用下，AB、EF部分為基本部分，CD則為附屬部分，其層疊圖如圖2—3(b)所示。

　　圖2-3

　　靜定多跨梁的支座反力數等于三個整體靜力平衡方程數與連接桿件的單鉸數之和。

　　(二)靜定多跨梁的計算

　　因為作用在基本部分上的荷載對附屬部分的內力不產生影響，而作用在附屬部分上的荷載，對支撐它的基本部分要產生內力，因此，靜定多跨梁的內力計算，一般可按以下步驟計算。

　　1.區分基本部分和附屬部分，繪出層疊圖。

　　2.根據層疊圖，從最上層的附屬部分開始，依次計算各單跨梁的支座反力井繪制內力圖。在計算中要將附屬部分的反力傳至支撐它的基本部分。

　　3.對反力和內力圖進行校核。

　　支座反力一般可根據靜定多跨梁的整體平衡條件校核。彎矩圖、剪力圖一般可根據表2-1中M圖與y圖的形狀特征進行校核，也可以從梁中截取任一隔離體由平衡條件校核。

　　[例2-1] 求作圖2-4(a)所示靜定多跨梁的彎矩圖和剪力圖。

　　圖2-4

　　[解] 層疊圖如圖2-4(b)所示。各附屬部分、基本部分的計算過程如圖2-4(c)所示。彎矩圖和剪力圖分別如圖2-4(d)所示。其中剪力圖的正、負號規定與材料力學中的規定相同。

　　容易看出，當跨度和荷載均相同時，靜定多跨梁的彎矩比簡支梁的彎矩小，并且只要調整靜定多跨梁中間鉸的位置，就可使梁的各截面彎矩值的相對比值發生變化，這是靜定多跨梁的優點。但由于中間鉸的存在，構造就復雜一些。

　　六、靜定平面剛

　　部分結點或全部結點是剛性連接的結構稱為剛架。各桿軸線、支座及荷載均在同一平面內的靜定剛架稱為靜定平面剛架。

　　靜定平面剛架的內力計算，通常是先求出支座反力及鉸接處的約束力，再由截面法求 出各桿端截面的內力，然后根據荷載情況及內力圖的特征，逐桿繪制內力圖。

　　[例2-2] 繪制圖2-5(a)所示剛架的彎矩、剪力、軸力圖。

　　圖2-5

　　[解] (1)計算支座反力

　　根據剛架的整體平衡條件，由

　　ΣX=0，得HA=4qa;

　　ΣMA=0，得VB=2qa;

　　ΣY=0，得VA=2qa。

　　(2)計算各桿端截面的彎矩、剪力、軸力。由截面法可得各桿端截面的內力值為：

　　AC桿：MAC=0，MCA=16qa2(左側受拉);VAC=4qa，VCA=—12qa;NAC=2qa，

　　NCA=2qa(軸力以拉力為正)。

　　BE桿：MBD=0，MDB=18qa2(右側受拉);VBD=—1.2qa，VDB=8.4qa;NBD=—1.6qa，NDB=—8.8qa。

　　CD桿：MCD=16qa2(上側受拉)，MDC=24qa2(上側受拉);VCD=—2qa，VDC=—2qa;

　　NCD=—12qa，NDC=—12qa。

　　(3)作彎矩、剪力、軸力圖

　　根據上述計算結果及各桿的荷載情況，應用直桿彎矩圖的疊加法，并按照內力圖的特 征，就可作出剛架的M、V、N圖，分別如圖2—5(b)、(c)、(d)所示。

　　(4)校核

　　為校核平衡條件，可任取剛架的某些局部為隔離體，如圖2-5(e)所示的隔離體，滿 足平面一般力系的三個平衡條件：

　　ΣX=0;

　　ΣM=0;

　　ΣY=0。

　　圖2—5(f)所示結點D隔離體，滿足平面一般力系的三個平衡條件：

　　ΣX=0;

　　ΣMD=0;

　　ΣY=0。

　　七、三鉸拱和三鉸剛架的內力計算

　　圖2—6(a)所示由曲桿組成的結構在豎向荷載作用下將產生水平反力，這種結構稱為 拱形結構。而圖2—6(b)所示的結構，在豎向荷載作用下其水平支座反力等于零，這種結 構稱為曲梁。圖2—6(c)所示為兩個曲桿由三個不共線的鉸與地基兩兩相連的三鉸拱，它 是工程中常用的靜定拱形結構，由于它的支座產生水平推力，基礎應具有相應的抗力，故 有時做成圖2—6(d)所示的拉桿拱，水平推力由拉桿來承擔。

　　圖2-6

　　三鉸拱由于存在水平推力，故拱軸截面中的彎矩比相同跨度相同荷載的簡支梁的彎矩要小，使拱成為主要是承受壓力的結構，可采用受壓性能強而受拉性能差的材料建造。與簡支梁相比，拱形結構可以跨越更大的跨度。

　　三鉸拱的有關術語表示在圖2—6(c)中，工程中常用的矢跨比f/l=0.5～1，常用的拱軸方程有二次拋物線，圓弧線，懸鏈曲線等。

　　(一)三鉸平拱在豎向荷載作用下的支座反力及內力計算

　　拱腳鉸在同一水平線上的三鉸拱稱為三鉸平拱。

　　支座反力

　　由圖2—7(a)所示三鉸拱的整體平衡條件及頂鉸C處彎矩為零的條件，可得支座反力的計算公式為

　　VA=VA0 (2—1)

　　VB=VB0 (2—2)

　　HA=HB=H=MC0 /f (2—3)

　　式中VA0、VB0、MC0分別為與三鉸拱相同跨度、相同荷載簡支梁(簡稱為三鉸拱的代 梁，圖2—7b)支座A、B處的支座反力及截面C的彎矩。

　　式(2—3)表明，在給定的豎向荷載作用下，三鉸拱的水平推力只與三個鉸的位置有關，而與拱軸線的形狀無關。當荷載與拱跨不變時，推力H與矢高f成反比，f愈大即拱愈高時H愈小，f愈小即拱愈平時H愈大。若f=0，則H為無窮大，這時三鉸已共線，體系為瞬變體系。

　　取圖2—7c所示的隔離體，并由隔離體的平衡條件，可得任意截面D的彎矩、剪力、軸力計算公式為

　　MD=MD0—HyD (2—4)

　　VD=VD0cosφD-HsinφD (2—5)

　　ND=VD0sinφD+HcosφD (2—6)

　　式中MD、VD、ND的正方向如圖2—7c所示，MD0、VD0為代梁D截面的彎矩、剪力，yD、φD的含意如圖2—7a所示。在圖示坐標系中，φD在左半拱內為正，在右半拱內為負。

　　三鉸拱的內力計算，除上述數解法外，還可用圖解法進行，可通過繪制三鉸拱的力多 邊形及壓力線(索多邊形)來確定其內力。

　　圖2-7

　　(二)三鉸拱的合理拱軸

　　在某種固定荷載作用下，拱的所有截面的彎矩均為零的軸線稱為合理拱軸。

　　圖2-8

　　三鉸拱在豎向荷載作用下合理拱軸的一般表達式，可根據合理拱軸的定義，令式 (2—4)等于零，得合理拱軸方程為

　　y=M0/H (2—7)

　　圖2—8a所示三鉸拱承受滿跨均布荷載q作用，其具體的合理拱軸方程可按式(2-7)推導如下：

　　按圖2—8a所示坐標系，將代梁(圖2—8b)的彎矩方程

　　M0=qx(l-x)/2

　　及拱的水平推力

　　H=MC0/f=ql2/8f

　　代人式(2—7)得拱的合理拱軸方程為

　　y=4fx(l-x)/l2 (2—8)

　　順便指出，三鉸拱在滿跨填料重量作用下的合理拱軸為懸鏈曲線;在徑向均布荷載作用下的合理拱軸為圓弧線。

　　(三)三鉸剛架的內力計算

　　分析圖2—9a所示的三鉸剛架，繪制其彎矩、剪力、軸力圖。

　　1.計算支座反力

　　計算三鉸剛架的支座反力與三鉸拱是類似的，除了應用三個整體平衡條件外，還需要利用鉸C處彎矩等于零的條件。經計算得

　　HA=1.33qa;VA=24qa

　　HB=13.33qa;VB=46qa

　　2.計算各桿端截面內力并繪制內力圖

　　支座反力求出后，各桿端截面內力計算及各內力圖的繪制方法，與前述簡支剛架的方 法都是相同的，得出的M、V、N圖，分別如圖2-9b、c、d所示。

　　( d )

　　圖2-9

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