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概稱句本質與概念
【內容提要】概稱句一方面具有某種全稱性，另一方面又容忍反例，這是概稱句最重要的特點，也是概稱句研究的主要困難所在。這一特點使概稱句呈現內涵性。在概稱句內涵語義的基礎上，借助于形式化方法，本文通過構造可能世界到內涵域冪集的映射，發現概稱句是表達概念內涵的句子，揭示了概稱句的本質，使得關于概稱句的一些現象得到合理的解釋。但是這個發現的成立，依賴于概念是可能世界到內涵的映射、概念的內涵是概念承載詞涵義的全體概稱后承等觀點的成立，而這些觀點與現行概念理論并不相符。為此，本文對概念進行了從最底層性質開始的分析和考察，提出了關于概念的七條基本性質，在具體說明概念和語言、概念和認識關系的基礎上，對上述觀點進行了論證。這部分內容構成了新的概念理論。
【英文摘要】Generic sentences appear to have universal quantifications. They, nevertheless, tolerate exceptions.This is the main feature of generics and also the most puzzling problem to be solved in the researches about them.This feature indicates that generics express something involving intensionality.Based on intensional semantics, this paper uses a formal method to reveal that generic sentences express the intensions of concepts, and shows that what generics are about.Thus, some puzzling phenomena around generics are explained with satisfaction.This discovery relies on several assumptions:Concepts are functions mapping from a set of possible worlds to the power set of a set of intensions;the intension of a concept is the set of all generic consequences derived from the sense of the term that expresses the concept;etc.However,these assumptions are not in accord with the traditional views.To make the results presented here more conclusive, the fundamental properties from the bottom line of the concepts are discussed and analyzed.They are summarized to be seven basic properties of concepts.The positions proposed in this paper are argued for and enforced by exploring the relation between concept and language, as well as the relation between concept and knowledge.These arguments consist of a new theory of concept.
【關鍵詞】概稱句/概念/內涵/涵義 generic sentence/concept/intension/sense
概稱句（注：“概稱句”是作者對generic sentence的翻譯。這里是首次正式在國內文獻中使用這一譯名。）(generic sentence)是我們日常思維中最為常用的一種句子。關于概稱句的研究始于上世紀70年代，目前已提出了多種理論和形式處理，但因尚未形成統一和公認的理論，仍處于初期階段。概稱句研究在非單調推理、人工智能以及語言學研究等多方面都有重要意義。本文的研究屬于概稱句的條件句邏輯和模態邏輯研究方向。在這個研究中我們發現，概稱句涉及到概念和概念的內涵，因此對概稱句本質的認識涉及到概念理論，此二者有相互照應的關系。在概稱句分析和語義的基礎上[1]，借助于形式化方法，本文對概稱句和概念進行了分析，在兩個方面都提出了新的觀點和理論。
一、關于概稱句的說明
概稱句又稱特征句，指的是“鳥會飛”，“馬鈴薯含維生素C”等這類句子。概稱句有不同的種類。與本文有關的概稱句是“鳥會飛(Birds fly)”這類概稱句。這類概稱句從句子的語言結構上看有兩個特點：(1)表現為主謂結構。如“鳥會飛”，其中鳥是主項（或主語），記作S，“會飛”是謂項（或謂語），記作P。這種概稱句通常又記作SP。(2)主項S是復數，或用通常普通邏輯類教科書的術語，S是“普遍詞項”或“普遍概念”。這種概稱句是我們最常用的概稱句。
概稱句一方面是某種意義上的全稱句，另一方面又容忍反例。比如，概稱句“人能思維”，有“人都能思維”的意思，但同時又不會因為有些人不能思維而使“人能思維”為假，即“人能思維”與“有些人不能思維”并不矛盾。這是概稱句最重要的特點，也是研究的主要困難所在。對此各種研究提出了關于概稱句意義理解方面的不同看法和觀點，乃至于形式刻畫等方面的不同處理。在總結各研究的基礎上，我們提出了新的觀點和分析，給出了一個關于概稱句的語義。[1]這個分析有以下幾個要點：
1.所有主謂結構的概稱句SP，都可以被精確化為“S（在正常情況下P）”。如果S是復數名詞，又可進一步精確化為“（正常的S）（在正常情況下P）”。我們把這樣的形式稱為概稱句的典范形式。這一形式有兩層全稱概括，外層的全稱概括作用于相對于主謂項的正常個體，內層的概括作用于相對某個正常個體的正常環境。以“鳥會飛”為例。不會飛的不正常的鳥被外層的全稱量詞略去，正常的鳥在不正常環境里而不會飛的現象由內層的全稱量詞排除。于是，“鳥會飛”應該理解為，“在正常的情況下，正常的鳥會飛”，更嚴格地說，即“對任意的個體x，如果x是正常的鳥，那么，x在正常的情況下會飛。”
2.這里出現了兩個“正常的”，分別是兩個不同的模態算子。用于正常情況的“正常的”是二元命題算子，在條件句邏輯中已有比較成熟的研究。特別是在常識推理研究中對這一算子的改造[2]，使得我們可以直接引用已有結果。用于主項的“正常的”是謂詞算子，即以謂詞為變元的函數，以下稱為正常函數。什么是正常的S，這個函數該如何定義，是建立概稱句語義的關鍵。
3.首次定義正常函數為一個二元函數。在將來的形式解釋中，它的兩個變目分別被稱為主項內涵和謂項內涵。直觀地看，該函數是以主謂項的意義來決定正常主項（如“正常鳥”）的意思，再由此在各可能世界中選出所有正常個體。第二個變目的引入，給正常函數選擇正常個體提供了一個與謂項涵義相關的選取參數。這體現了正常主項的相對性。
4.對選取正常個體的正常函數有兩項限制。第一，選擇出來的正常主項的內涵包含了主項的內涵，即對任意的內涵。在“鳥會飛”的例子中，該限制的意思是，“正常鳥”必須首先是“鳥”。第二，與謂項內涵相關的選取參數同謂項的肯定和否定無關，即對任意的內涵。還用“鳥會飛”的例子，這一條件的意思是，我們對于鳥和會飛，以及對于鳥和不會飛，選出的正常個體是相同的。滿足這一限制條件的正常函數避免了把“對于飛來說是正常的鳥”定義為“會飛的鳥是正常的”這樣一種循環定義的嫌疑。
根據以上要點，概稱句SP的直觀意思是，“對任意的個體x，如果x是相對于P或非P來說正常的S，那么，在正常情況下，x是P”。下面給出關于概稱句的形式語言和形式語義，就是要把這個意思嚴格地表達出來。
二、概稱句的形式語義
概稱句的形式語言可以在一階語言基礎上擴張得到。
一階語言 有可數無窮多個變元符號、常項符號以及一元謂詞符號（注：為簡單起見，本文只討論一元謂詞的概稱句，所以這里只有一元謂詞符號。），這三類符號的集合分別記作Var,C,Pred，并有命題常項符號⊥，聯結詞→，量詞符號。中的項和公式定義如常。所有公式的集合記作F。語法符號x,y,z等表示任意的變元符號，c表示任意的常項符號，t表示任意的項，P,Q等表示任意謂詞符號。α，β，γ等表示任意的公式。各類語法符號均可加下標或上標。被定義符號有。
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至此我們給出了關于概稱句的形式語義。對任意的模型，一個概稱句在其中的任一可能世界上都有確定的真值。在這個基礎上可以進行關于概稱句推理的研究。下面我們將繼續關于概稱句的分析來討論相關問題。
三、概稱句本質
首先要說明，在上節里，我們將任意框架上得到的集合中的元素稱為“內涵”，這只是使用了在這類問題討論中的通常術語，它不是我們在談論概念時所說的“概念都有內涵和外延”這個意義下的內涵。如果我們將一個框架看作獨立外在的客觀世界，還沒有和我們的語言（或認識）產生關系，那么，一個中的元素只是一個指向（或指派）。該指向對每個可能世界指定一個D的子集。只有當我們將W看作可能世界，將D看作個體域，并且，將一個語言表達式（通常為語詞）賦予該指向的意義，即將該語言表達式與這個指向相聯系，這是在結構或模型層次才有的東西，那么，這時這個指向才成了該表達式的涵義。由這個指向所確定的東西，就是該表達式的指稱。按通常的觀點，概念的內涵決定外延，詞項的涵義決定指稱，因此，人們把概念的內涵或詞項的涵義看成從可能世界到外延的函數（可能世界集到個體域的冪集的映射）。正是在這個背景下，中的元素被稱為“內涵”。而實際上，無論內涵還是涵義都是和語言相關的東西。沒有語言，自然也就不存在什么內涵或涵義。
還有兩點需要說明：(1)即使與語言相關，也只有通過語言得到或建立的指向，即通過語言的表述我們得以確定其指稱的指向，一個語詞才有涵義。通過其他方式，如手的指示行為得到的指向，不構成相應語言表達式的涵義（參見下節概念特征(3)）。(2)“概念”、“內涵”、“外延”，以及“語詞（詞項）”、“涵義”和“指稱”，是兩個不同系列的術語。主要是在“概念”、“內涵”以及“語詞（詞項）”、“涵義”上，二者有很大的區別。對目前所討論的問題來說，我們所用的實際上是后一系列的術語。因為，語詞及其涵義是語言層面的東西，而概念及其內涵是思想層面的東西，與認知主體相關。語詞的涵義一般來說是語言的使用者在語言的使用之前就被規定的，也是使用者們都必須共同遵守的，因而具有公眾性和某種客觀性。而概念及其內涵作為認知主體的某種思想，與其自身的認知能力、認知行為等有較大的關系，因而有一定的主觀性。再有，我們是通過涵義的理解和掌握來形成概念的，因此概念及其內涵比語詞的涵義要復雜。這個問題將在下節討論（參見下節概念特征(2)）。在上節我們給出的是語言的解釋，只是語詞意義的規定以及由此得到公式的真值，不涉及語言的使用者，更不涉及語言使用者的思想。
我們在一開始就指出，概稱句最重要的特點是容忍反例。對此，我們的基本分析或主張的基本觀點是，所以出現這種現象，是因為我們對概稱句中詞項的理解與其實際的所指（即相應的外延或指稱）不一致，而在這個不一致中，我們偏向了涵義，采取了內涵性的觀點，放棄了外延的觀點。例如，對“人能思維”這一句子來說，“人”的外延并不包含于“能思維”的外延。因此，從外延的觀點看，并非每個人都能思維。所以當我們說“并非所有人都能思維”時，我們也都能理解，并認為這是個真句子。但是另一方面，我們仍然接受“人能思維”，并且不認為這兩個句子是矛盾的。這說明我們是在與外延觀點不同的意義上理解或解讀“人能思維”這個句子的，而這個不同的意義只能是涵義的或內涵上的意義。
根據這個基本的出發點，我們給出了以上概稱句語義。關鍵是引入了詞項（主項和謂項）涵義（根據上面的說明，這里應該是“涵義”，而不是“內涵”）。這個引入有兩個方面：在語形方面，引入了λ－表達式；在語義方面，首先在對象上，引入了“內涵”（即中的映射），其次建立了λ－表達式到“內涵”的聯系，即將每個λ－表達式解釋為一個中的映射。在這個解釋下，一個λ－表達式的解釋，如，自身為一個映射，對每個可能世界確定一個個體集，相當于某個一元謂詞在這個世界中的指稱。這可以理解為，λχα是一個關于性質的表述，對每個可能世界，選出具有這個性質的那些個體。從這個角度看，是一個由α及其變目x確定的一元謂詞的涵義。通過這樣的辦法，概稱句的真值得到合理的解釋。特別是命題2.1，揭示了概稱句命題是關于主項涵義和謂項涵義的函數，這使得我們對概稱句的認識前進了重要的一步。這個對于概稱句的解釋可以稱為涵義的解釋。
根據涵義的解釋，我們已經得到了概稱句的真值。但是這個解釋還不夠透徹。有兩個問題：(1)主項涵義和謂項涵義之間究竟是什么聯系？(2)我們為什么會偏向涵義，原因是什么？
關于(2)，合理的看法是，我們所以明知道“并非所有人都能思維”而仍不放棄“人能思維”，是因為對于人這類事物來說，在認識上“人能思維”有更重要的意義，或者說，“能思維”是被我們認識到的人的重要屬性，它已經構成了我們的“人”這個概念的一部分，是這個概念的一項重要內容。因此，在上述不一致中，我們寧愿固守我們的概念而放松外延上的要求，于是我們偏向于對“人”這個概念的理解和掌握，導致了在概稱句解讀時的內涵性傾向。所以，在這個偏向中，不完全是詞項涵義的問題，還有我們的理解和思想方面的因素，即與概念有關。
如果這個看法是正確的，以上關于概稱句的形式語義也是合適的，那么在這個形式語義的基礎上，我們希望、也應該可以進一步給出體現概稱句與概念因素相關的形式刻畫。以下定義和命題就是對這個問題的解決。
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根據這個結果，可以看出，概稱句所表達的東西本質上是概念（主項）與其內涵（謂項）的關系。簡單地說，概稱句是表達概念內涵的句子。這個結果徹底說明了概稱句主項涵義和謂項涵義的關系，回答了問題(1)。
概稱句這個性質的明確可以使我們對概稱句的意義有新的理解：概稱句在于明確、生成、豐富概念，以及傳遞和接受概念等方面有重要作用，是我們進行這些思維和交流活動的基本語言形式。例如，考慮概念的豐富問題。對于概稱句“土豆含有維生素C”來說，如果我們的“土豆”的概念足夠豐富，其中已有“含有維生素C”這一內涵，那么我們自然會認為“土豆含有維生素C”是一個真句子。或者，我們的“土豆”的概念還不夠豐富，通過接受概稱句“土豆含有維生素C”，即認定該句子是一個真句子，在我們的“土豆”的概念中增加“含有維生素C”這一內涵，使我們的“土豆”的概念得到豐富。其他情況可以類似推廣得到。如概念的生成、明確可以看成內涵從零開始的豐富。概念的傳遞、接受，又可看成是豐富概念的基本方式。
我們一再談到概稱句容忍反例的特點，現在根據解釋(*)給出的“概念”，“內涵”和“外延”，可以更清楚地解釋這個特點。當我們說“人能思維”時，說的只是“能思維”是人的概念的一個內涵，或人這類對象有“能思維”的屬性。這是依據“相對于思維來說，正常的人在正常的情況下能思維”來確定的。但是從外延上看，顯然不是所有被我們稱為“人”的那些對象都是相對于思維來說的正常的人，并且也處在正常情況中。對這些人來說，他們自然不能思維。“有人不能思維”，就是面對這種情況的句子。簡單地說，“人能思維”中的“人”表達概念，“有人不能思維”中的“人”用于其外延，二者當然并不矛盾。
在關于概稱句的理解方面，解釋(*)說明了一些現象，與我們的直觀相符合。現在的問題是，這個解釋在概念的方面是否成立？
解釋(*)提出了兩個重要觀點：①概念的內涵不是單一映射，而是一個映射集，其中的映射本身是涵義，所以這個映射集也是涵義集。我們通常所說的“概念的內涵”首先指的應該是這個集合（或類）。其中的任一涵義，可以稱為概念的一個內涵。我們以前是在這兩個不同層次上使用“概念的內涵”這一術語的。②概念是從可能世界到涵義集的冪集的映射。因為一個涵義集可以看成一個概念的內涵，所以，這個觀點也可以簡單表述為，概念是從可能世界到內涵的映射。
這樣的關于概念內涵和概念的說法是否符合我們關于它們的直觀？也就是說，實際上是要回答：在直觀上，什么是概念，什么是概念的內涵？語詞、涵義與概念和內涵又是什么關系？
四、概念、內涵與涵義
根據通常的看法，概念是反映事物特有屬性（固有屬性或本質屬性）的思維形態。概念有內涵和外延兩個方面。概念的內涵是概念所反映的事物的特有屬性。外延是具有概念所反映的特有屬性的事物。[3](P18、22)或者，概念是反映對象本質屬性的思維形式。概念的內涵是反映在概念中的對象的本質屬性。概念的外延是具有概念所反映的本質屬性的對象。[4](P18、20)這是目前國內兩個有代表性的說法。其他各種版本的表述與此類似。此外，也都談到了概念和語詞的關系：概念要用語詞來表達。沒有離開語詞的概念。語詞是概念的語言形式，概念是語詞的思想內容。[3](P20-22)[4](P19-20)以上是關于概念的傳統理論。與此相關地，還有弗雷格提出的涵義決定指稱的觀點，以及在可能世界語義產生后，提出的內涵是可能世界到外延的映射的觀點。這些內容構成了目前關于概念的主流理論。
從現有的概念理論看，解釋(*)與此并不吻合。主要表現在解釋(*)所提出的兩個觀點上。對于觀點①，撇開內涵的本身是什么，是屬性的反映還是涵義，如果我們用技術術語，把內涵看成某種映射，那么，內涵是單一的映射，還是映射的集合？解釋(*)主張后者。傳統理論雖然沒有明確提出這個問題，但實際上是默認前者。對于觀點②，解釋(*)對概念、內涵以及涵義有明確的界定，它們的層次各不相同。而傳統理論對概念和內涵沒有嚴格區別。盡管根據傳統理論，概念是奉質屬性的反映，內涵是所反映的本質屬性，應該是有區別的，但是，因為“本質屬性的反映”和“所反映的本質屬性”的界線并不十分清楚，所以概念和內涵被經常混同。再加上詞項、涵義和指稱的提出，本來這是把問題限制到語言，以使問題更明確，更易于討論，也是通常所謂認識論到語言哲學轉向的實質，但在一些地方反而使得概念、內涵、涵義的關系更為混亂。例如，有著作認為，“詞項都有內涵和外延，亦稱涵義和所指。詞項的內涵就是該詞項所表達的概念。”[5](P276)因為概念和內涵的混同，再根據內涵是可能世界到外延的映射的觀點，于是概念也就成了可能世界到外延的映射。
這個不吻合原因只能是以下二者之一：(1)解釋(*)不成立，即依據形式語義的技術上的結果并不是關于概念的事實。(2)現有的概念理論不足，是這個理論沒有反映關于概念的事實。我認為是后一情況。為此，我們必須對概念作新的考察和分析。
忽略枝節爭議，我們把關于概念的理解降低到最低限度，到概念最基本的性質上，概念是思想性的東西，將一個概念看作是一個思想，這一點總是成立的。如果一個東西連這樣的思想都不是，那它不可能是概念。下面從這個基礎出發，再考慮概念的其他性質，逐步明確關于概念的概念。
(0)一個概念是一個思想。這個思想有如下基本性質：
(1)它是由一定的語言表達式（通常是語詞或詞組）所承載或表達的。
在概念和語詞的關系上，基本上沒有分歧。一般都認為概念是語詞的思想內容，語詞是概念的語言形式或載體。承載概念的語詞以后稱為概念的承載詞。每個概念都有自己的承載詞。不存在沒有承載詞的概念。并非所有的語詞都承載概念。同一個概念可以有不同的承載詞，同一個語詞也可以作為不同概念的承載詞。
(2)與承載詞的涵義是不同層次的東西。
語詞有自己的語形和語義兩個方面。語形方面指的是語詞的符號或文字及相應的語法組合法則，語義方面指的是語詞的意義(meaning)。這個意義又有兩方面，涵義(sense)和指稱(reference)。語詞的指稱是語詞表達或代表的對象。語詞的涵義是可以由關于這個語詞的解釋性短語等表達的東西。通過涵義的理解和掌握，我們可以確定語詞的指稱。因此，涵義可以被看作可能世界到指稱的映射，以及在涵義和指稱的關系上，形成了涵義決定指稱的觀點。
語詞表達概念，語詞具有涵義，這使得容易將概念與涵義混淆。在概念和內涵不清楚的情況下，還容易將概念、內涵、涵義三者混淆。這里特別要強調的是概念不同于涵義。概念是思想，語詞的涵義是語言層次上的規定，盡管這個規定并不能完全脫離語言使用者的思想，是在使用者的思想中產生的，也是在使用者的思想中才能實現的，從這個意義上說，涵義也是某種思想，但概念和涵義畢竟是不同層面的東西。涵義是凝固在語言中的思想。概念是語言使用者的思想，通過掌握涵義而形成的思想，因此概念是比涵義高階的東西。
(3)具有指向性。
這個指向性指的是概念這種思想到其對象的指向，通過這個指向，一個概念在我們的思維中代表一定的對象，使得我們可以對這個一定的對象進行思考。
概念都有承載詞。概念的指向性是借助于承載詞實現的。這個實現有兩種方式，或者說，有兩種不同的指向：①通過意指行為的指向。例如，指著水里的一些東西說，“這就是魚”，于是，關于魚的思想（或反映）就借助于“魚”這個語詞通過指向行為指定到了這樣一些對象上。②通過語言的使用與一定對象相聯系從而形成的指向。這里的“語言的使用”包括兩個方面，語言的語法方面和語義方面。例如，“人”所代表的概念，可以通過“能制造和使用工具的動物”表達的涵義指到相應的對象上。這個指向的形成，涉及到“制造”、“使用”、“工具”、“動物”等語詞，還涉及到它們的語法組合和語義組合。
前種指向以后稱為行為指向，后種指向稱為語言指向。行為指向是最原初的指向，語言指向是在行為指向的基礎上形成的。語言指向有更重要的意義。因為有了語言指向，才使得我們不必總是依賴直接的指向行為，而只須通過語言的使用，就可以確定對象，表達思想，以進行思考和交流。只有這樣，才使語言真正成為思維和交流的工具。
具有這兩種不同指向性的概念，以后也分別稱為行為指向概念和語言指向概念。我們通常所說的概念，指的是語言指向概念。對于前者來說，我們甚至不認為它們是概念。例如，設A是一個語詞，｛2，咖啡，藍的｝是一個集合。如果我們只是通過某種到對象｛2，咖啡，藍的｝的指示，說“這就是A”，那么，我們一般不會認為有了A的概念。因為我們沒有一個語言表達式，通過它所表達的涵義我們能將A和｛2，咖啡，藍的｝相聯系。但是從概念的基本性質看，應該接受這類思想也是一種概念（即下面所說的“零概念”）。
(4)有內涵和外延兩個方面。
概念通過其指向性得到的對象是概念的外延。概念又是由承載詞表達的。所以，這個對象首先也是由承載詞表達的。因此，概念的外延就是其承載詞的指稱。
概念是具有指向性的思想。如果一個概念是通過由語言表達式的涵義形成指向的，那么這些涵義的全體（集合），就是這個概念的內涵。內涵是可以由語言表達的思想。否則，只有行為指向，而無語言表達，如上例A到集合｛2，咖啡，藍的｝的指向，我們自然不認為A有什么內涵。因此，只有語言指向概念才有內涵。對這類概念來說，明確概念的內涵，也就是明確概念的指向，據此概念的外延得到確定。在這個意義上，概念的內涵決定外延。
內涵是對象的本質屬性的反映，還是特有屬性的反映，在傳統概念理論中這是一個有爭議的問題。從現在的觀點看，既不是前者，也不是后者，而是所有這些反映的集合。當然在這些涵義中，作為認識結果，有的涵義的得到更來之不易，更深刻，更為重要，因而也更容易將其與相應概念的內涵等同看待。
由語言指向得到的外延是類。因為語言指向總是通過一定的描述實現的。其結果是，凡是符合這個描述的對象就構成了相應概念的外延，這樣的外延只能是類。
按傳統的觀點和術語，一個概念的外延如果是一類對象，那么這個概念就是類概念（注：這里的“一類對象”指的是多個元素的類。對于外延是單個元素的類，如摹狀詞表達的概念，通常不把它們看成類概念。），如果是一個性質，那么它就是性質概念或屬性概念。基于前面的技術處理，目前我們只討論個體類的類概念和個體的性質概念。
有兩個特殊情況需要說明。(1)如果通過內涵得到的外延是個空類，那么，這樣的思想有內涵，無外延，這就是傳統概念理論中的空概念或虛概念。(2)如果內涵是個空類（或空集），如行為指向概念的內涵，那么，類似于把0也算作自然數，這樣的思想可以稱為零概念。
一個概念，無論它是否有內涵或是否有外延，它都有內涵和外延兩個方面。在這里，所謂“有內涵”即相應的涵義集不空，“有外延”即相應的外延類不空。
(5)與認知主體相關。
思想總是一定的思想主體或認知主體的思想。這個認知主體可以是一個人，一個群體，甚至還可以是人工的認知主體，抽象的認知主體，與某個理論對應的認知主體等。比如數學理論所對應的認知主體，是由數學家群體形成的認知主體。因為與認知主體相關，所以概念這種思想又有以下特點：
①對于具體的認知主體來說，會受到其自身多方面因素的影響。如知識背景，語言的掌握水平，甚至會受到各種心理因素的影響。其中特別是由于認知能力有限，思想是變化的、發展的，表現為概念的內涵的產生，修正、豐富等。比如，某個涵義事實上應該成為一個概念的內涵，但受認識的局限性，在某個時期，它還不是這個概念的內涵，后來隨著認識的發展才成為這個概念的一個內涵。一個涵義是不是某個概念的內涵，是通過我們的認識確定的。反過來，一個概念，因為它有通過認識得到的內涵，也就成了我們先前認識的結晶。
②因為受認知主體的自身因素影響，不同的認知主體可以對同一承載詞形成不同的概念。因此，概念不同于涵義，有某種主觀性，個體（個人）性。
③對每個認知主體來說，概念包含知識，或概念本身就是這個主體的一種知識。如果一個認知主體掌握子一個概念，或具有一個被我們稱為概念的思想，那么它也就掌握或具有了關于相應對象的一定的知識。
(6)承載詞涵義是其最初的內涵，在此基礎上形成這個思想的內涵或豐富其內涵。
作為具體認知主體的概念來說，概念的內涵的產生與形成是一個認識的過程，概念的承載詞是這個過程的起點。如果一個概念是通過語言指向確定外延的，那么，形成這個指向的承載詞的涵義就自然成為這個概念的內涵，從這個意義上說，也是最初的內涵。例如，鋰，根據字典的解釋，是“一種金屬元素，銀白色，質軟，金屬中最輕的元素，可制合金。”這些解釋表達的東西就是“鋰”的涵義。如果我們原來不知道鋰，那么現在通過這些表述的涵義，就有了鋰的概念，而這些涵義，就是這個概念的最初內涵。我們還可以通過進一步的學習、認識，豐富鋰的概念的內涵，如鋰的原子數為3，是比熱最大的金屬等等。
概念的形成也可以開始于零概念。可以設想，在最初人們只是用一些符號或語音通過行為指向，即簡單的命名活動，將自己的思想與一些對象相聯系，如“魚”，“鳥”等。這時關于這些對象的思想沒用內涵。后來隨著認識的發展，得到對例如魚的一些認識，并用語言表達式固定下來，成為可以表達的思想，如魚是水生的脊椎動物，有鱗，有鰓，冷血等，這時人們就有了魚的概念的內涵。同時，一些語言表達式之間的關系也被這個語言固定下來，標志之一，就是寫入這個語言的詞典，成為這個語言使用者的共同規范。這時“魚”成為有涵義的語詞。后人再了解魚時，只需通過這些涵義，就可以形成由“魚”表達的具有指向性的思想，得到魚的概念的內涵。對他們來說，魚的概念就成了語言指示概念。
(7)與可能世界相關。
一個概念是一個與一定對象相聯系的思想。這個聯系的建立總是處在一定的可能世界中，因此，概念總是與可能世界有關的。同一個概念在不同的世界可以有不同的內涵，因而可以有不同的外延。
以上從第(0)條“一個概念是一個思想”開始，加上后面的7條，基本上說明了什么是概念，其中重要的有以下幾點：(1)具體地說明了語言對概念的作用。(2)揭示了概念的本質：概念是可能世界到內涵的映射。(3)說明語詞涵義與概念內涵的聯系與區別。內涵是一個涵義的集合，而不是某個單一的本質屬性或特有屬性的反映。(4)強調了概念與認識的關系，概念是認知主體的概念，是發展的。
最后我們考察形式處理與直觀的符合問題。
首先，在直觀上概念是有指向性的思想，在形式語義方面概念可以處理成映射，符合直觀性質(0)、(3)。其次，在形式語義方面概念是由λ－表達式表達的，λ－表達式就是概念的承載詞，符合直觀性質(1)。這里需要作一些說明。通常我們會認為“鳥”，“魚”這樣的語詞表達概念。它們看起來并不是λ－表達式。如果要寫成λ－表達式，那么應該是λx鳥(x)，λx魚(x)，與直觀不符。但是，這正是體現了由弗雷格所深刻分析并確立的思想，一個概念是一個帶空位的函數。[6](P54-75)λ－表達式中的符號λ和變元x就是起著表示空位的作用。只是在自然語言中，我們把這些重要的內容隱去了，用的是概念表達的省略形式，實際上，概念的嚴格表達恰恰應該是λ－表達式。
再有，在形式語義中，概念是到內涵的映射，內涵是涵義的集合，體現了概念與涵義是不同層面的東西，概念是比涵義高階的映射，符合直觀性質(2)。還有，在形式語義方面，符合直觀性質(4)、(6)。最后，在形式語義方面概念是從可能世界出發的映射，符合直觀性質(7)。
以上的這些方面，形式結果與直觀分析都是吻合的。只是有一點，概念與認知主體有關，在我們的形式語義中沒用充分體現。
所謂與認知主體有關，最明顯的表現是概念的發展性，而這個發展性主要體現在內涵的豐富上。在形式語義中，一個概念的內涵是其承載詞的全體概稱后承。于是，對于給定的語言，一個模型一旦給定，對任一承載詞，它的概稱后承也就完全確定了。但是這并不符合我們人這樣的認知主體關于概念的實際情況。因為人的認知能力有限，不可能做到這一點。從這個意義上說，該形式結果不是對人這種主體的概念的刻畫，而是一種極端的情況：對于給定語言，面對給定的世界，從邏輯上看，每個概念都有完全內涵或絕對內涵。這樣的概念可以看作在給定語言和對象世界條件下可能得到的絕對概念或極限概念。如果考慮到認知主體，那么，這樣的概念可以看成是完全掌握該給定語言并且完全認識了該給定對象世界的認知主體的概念，或者說，是完全掌握其所用語言并且具有無限認知能力的全能認知主體的概念。在這個意義上說，我們在形式語義中刻畫的概念只是全能認知主體的概念。任何人都不是全能認知主體，而只能是有限能力的認知主體。盡管如此，這并不妨礙該形式語義以及解釋(*)對概念本質的揭示。
五、關于概念的幾點結論
一個概念是有一個由語言的承載詞表達的具有指向性的思想。這個指向性可以表示為從可能世界到語詞涵義集冪集的映射。
概念有內涵和外延兩個方面。概念的內涵和外延都與可能世界有關。一個概念在一可能世界上的內涵是其承載詞涵義在該世界上的所有概稱后承。如果考慮到認知主體，那么，一個概念在一可能世界上的內涵是其承載詞涵義在該世界上被該認知主體認定（或認知）的所有概稱后承。一個概念在一可能世界上的外延是其承載詞在該世界上的指稱。概念的內涵決定外延。
概念在思維中起著指向一定的對象的作用，并同時提供關于該對象的知識，使擁有或掌握概念的主體可以對其對象及相關問題進行思考和思想上的交流。
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