非常規(guī)數(shù)學(xué)問題解法探微
有一些數(shù)學(xué)問題,例如操作問題、邏輯推理問題等,不能用通常的數(shù)學(xué)方法來解;還有一些實際問題,研究的是事物的某種狀態(tài)或性質(zhì),其本身與數(shù)量無關(guān),也不能用通常的數(shù)學(xué)方法來解。人們習(xí)慣上將上述的這類問題稱為非常規(guī)數(shù)學(xué)問題。非常規(guī)數(shù)學(xué)問題近年來在各種數(shù)學(xué)競賽、數(shù)學(xué)建模競賽及數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽等賽題中頻頻出現(xiàn),特別是它與實際問題密切聯(lián)系,因此受到廣泛關(guān)注。
非常規(guī)數(shù)學(xué)問題需要非常規(guī)的特殊解法,本文就最常用的圖解法、賦值法、抽屜原理及邏輯推理等四種方法,結(jié)合實際例子作一探討。
1 圖解法
例1(柳卡問題)假設(shè)每天中午有一艘輪船由哈佛開往紐約,同時也有一艘輪船由紐約開往哈佛,航行時間都為七晝夜,且均沿同一航線航行。問今天中午從哈佛開出的一艘輪船將會遇到幾艘從紐約開來的同一公司的輪船?
這是十九世紀在一次世界科學(xué)會議期間,法國數(shù)學(xué)家柳卡向在場的數(shù)學(xué)家們提出的一個問題,它難倒了在場的所有數(shù)學(xué)家,連柳卡本人也沒有徹底解決。后來有一位數(shù)學(xué)家通過下面的圖解法,才使問題最終得到解決。
這種方法是:用兩條橫線分別表示紐約港和哈佛港,某天中午(記作第0天)從哈佛出發(fā)的輪船在第7天中午到達紐約,用從下到上的一條斜線表示。用從上到下的斜線依次表示每天中午由紐約開出的輪船經(jīng)7晝夜到達哈佛。顯然兩種斜線的交點總數(shù)就是相遇的輪船數(shù),共15艘。
值得注意的是,上述圖解法,不但給出這一問題的一種簡單、美妙、不用數(shù)字計算的非常規(guī)解法,更有意義的是它可作為一種模型,來解決這一類型的問題,請看下例:
例2某路電車,由Ａ站開往Ｂ站,每5分鐘發(fā)一輛車,全程為20分鐘。有一人騎車從Ｂ站到Ａ站,在他出發(fā)時恰有一輛電車進站,當他到達Ａ站時又恰有一輛電車出站,問:
(1)若騎車人在中途共遇到對面開來的10輛電車,則他出發(fā)后多少分鐘到達Ａ站?
(2)如果騎車人由Ｂ站到Ａ站共用50分鐘時間,則他一共遇到多少輛迎面開來的電車?
(3)若騎車人同某輛電車同時出發(fā)由Ａ站返回Ｂ站,騎車人用40分鐘到達Ｂ站時也恰有一輛電車進站,問在中途有多少輛電車超過他?
解:仿柳卡問題圖解法,畫出下面的圖:
由圖可知:(1)騎車人從Ｂ站總共遇到12輛從對面開來的電車到達Ａ站所用的時間,恰好等于Ａ站開出7輛車的時間,即35分鐘。
(2)若騎車人一共用50分鐘走完全程(即由0到10的那條由下到上的斜線),可知一共遇到15輛電車。
(3)由上到下畫一條斜線(由0到8)即表示騎車人由Ａ站出發(fā)40分鐘后到達Ｂ站,可見中途共有3輛電車超過他。
2 賦值法
賦值法解題,是對本身與數(shù)量無關(guān)的問題巧妙地賦于某些特殊的數(shù)值(如±1、0與1等)將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問題,然后利用整除性、奇偶性或正負號等的討論,使問題得以解決。
例3 在圓周上均勻地放4枚圍棋子,然后作如下操作:若原來相鄰的兩枚棋子是同色,就在其間放一枚黑子;若是異色,就在其間放一枚白子,然后將原來的4枚棋子取走,以上算一次操作。證明:不論原來4枚棋子的黑白顏色如何排列,最多只須作4次操作,就可使剩下的4枚棋子全是黑子。
解 因為只有黑白兩色棋子,所以可以用1記黑子,-1記白子。又規(guī)定在同色兩子之間放黑子,正好符合1·1=1,(-1)(-1)=1;在異色兩子之間放白子,正好符合1·(-1)=(-1)·1=-1,因此,這樣賦值后就將原來的問題轉(zhuǎn)化為+1和-1的討論問題。
將圓周上的4枚棋子依次記為ｘ1、ｘ2、ｘ3、ｘ4(繼續(xù)數(shù)下去記ｘ5=ｘ1,ｘ6=ｘ2……)按上面的賦值方法可知:
ｘ2ｉ=1,ｘｉｘｉ+1=1�。榕cｘｉ+1同色-1 ｘｉ與ｘｉ+1異色
這樣,判斷在ｘｉ與ｘｉ+1兩棋子之間該放黑子還是白子,就由ｘｉ·ｘｉ+1的乘積符號的正、負來確定;乘積為+1時放黑子,為-1時放白子。按此方法,將各次操作后的正、負號列成下表:(將圓周上的棋子排在直線上)
第一次操作 ｘ3 �。�4 ｘ1 �。�2 ｘ3 �。�4 �。�1 �。�2
ｘ3ｘ4 ｘ4ｘ1 �。�1ｘ2 �。�2ｘ3 ｘ3ｘ4 �。�4ｘ1 �。�1ｘ2
第二次 ｘ3ｘ24ｘ1
操 作 =ｘ3ｘ1 �。�4ｘ2 �。�1ｘ3 ｘ2ｘ4 �。�3ｘ1 ｘ4ｘ2
第三次操作 ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4�。�1ｘ2ｘ3ｘ4ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4
第四次 (ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4)2
操 作 =1 1 1 1
由上表可見,經(jīng)第4次操作后,符號皆為正,故4枚棋子都應(yīng)放黑子。
用數(shù)學(xué)歸納法可以證明,一般情況下,若圓周上原來擺著2ｎ枚棋子,最多操作2ｎ次后一定全剩下黑子。
例4 有11只杯子都口朝上放著,然后將它們?nèi)我夥紨?shù)只算一次操作(翻過的也可以再翻)。證明:無論操作多少次,都不能使11只杯子都口朝下。
解 將口朝上的杯子記為1,口朝下的記為-1,然后計算每操作一次后11只杯子乘積的正負號:
開始,11只杯子都口朝上,所以乘積的符號為:111=1。
當翻動ｎ個杯子(ｎ為偶數(shù)且ｎ≤10)使其口朝下時,乘積的符號為:
111-ｎ·(-1)ｎ=1·1=1
繼續(xù)討論可知,無論ｎ是小于11的什么偶數(shù),乘積的正負號均為正,而11只杯子都口朝下時,乘積為(-1)11=-1,故不可能辦到。
本問題的一般結(jié)論是:奇數(shù)個杯子每次翻動偶數(shù)個或偶數(shù)個杯子每次翻動奇數(shù)個,都不能使所有杯子都口朝下。
3 抽屜原理抽屜原理是證明“存在性”問題的有力工具,其最基本形式是:將ｎ+1(或更多)個元素任意放入ｎ個抽屜中,則至少有一個抽屜中至少有兩個(或更多)元素。抽屜原理的正確性簡單而顯然,但具體運用并不容易,困難之處在于怎樣設(shè)置抽屜,把一個實際問題轉(zhuǎn)化為抽屜原理問題。
例5 世界上任意6個人中,總有3個人,或彼此都認識,或彼此都不認識。
這是有名的Ｒａｍｓｅｙ問題,要用抽屜原理來解。
對6個人中的.任一個人,不妨設(shè)為Ａ來說,除Ａ外的其余5人可分為同Ａ相識或不同Ａ相識兩類(即兩個抽屜),由抽屜原理可知,至少有一類中至少有3個人。分別討論如下:
如果同Ａ都認識的那一類中至少有3人,若有3人互相都不認識,則結(jié)論成立;否則至少有兩個人互相認識,而這兩人又都同Ａ認識,故有3人互相認識,結(jié)論也成立。
如果同Ａ都不認識的那一類中至少有3人,若其中有3人互相認識,則結(jié)論成立;否則,至少有兩人彼此不認識,但這二人又都與Ａ互不認識,故這時有3人互相不認識,結(jié)論也成立。
此問題也可以用染色法來證明:
在平面上用Ａ1,Ａ2………Ａ6來代表6個人,設(shè)它們無三點共線。將互相認識的兩人連一條紅線,否則連一條藍線。問題就轉(zhuǎn)化為:在這15條連線中要證明至少有一個同顏色的三角形。
證明:考慮由Ａ1出發(fā)的5條線,因為只有紅、藍兩種顏色(兩個抽屜),所以至少有3條為同色,不妨設(shè)Ａ1Ａ2、Ａ1Ａ3、Ａ1Ａ4為紅色。其次,再考慮△Ａ2Ａ3Ａ4三邊的顏色,若均為藍色則結(jié)論成立(此三人互相不認識);否則,至少有一條邊為紅色,例如Ａ2Ａ3,則△Ａ1Ａ2Ａ3的三邊都為紅色,結(jié)論也成立(此三人彼此都認識)。
例6 已知某學(xué)者在五年期間內(nèi)每月至少發(fā)表一篇文章,又知他每年至多發(fā)19篇,則可得結(jié)論:他必在某連續(xù)的幾個月內(nèi)恰好發(fā)文24篇,試證明之。
解 設(shè)此人在5年內(nèi)(60個月)每月發(fā)文數(shù)為ａ1,ａ2……ａ60,又設(shè)此數(shù)列前ｎ項和為Ｓ1,Ｓ2,…,Ｓ60≤19×5=95。
如果他在某連續(xù)的幾個月內(nèi)恰發(fā)文24篇,則說明存在兩個編號ｉ和ｊ,使得
Ｓｊ=Ｓｉ+24 (1≤ｉ<ｊ≤60)成立。
又Ｓ1+24,Ｓ2+24…,Ｓ60+24≤95+24=119共60個數(shù),連同Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60共120個數(shù),將它們寫在一起,即
1≤Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60,Ｓ1+24…Ｓ60+24≤119
上式表明,在區(qū)間〔1,119〕中寫了20個整數(shù)(元素),但〔1,119〕上只有119個不同的整數(shù)(設(shè)為抽屜),由抽屜原理知,在Ｓ1,Ｓ2…Ｓ60+24這120個整數(shù)中必有兩個相等。又因為Ｓ1<Ｓ2…<Ｓ60彼此不相等,從而Ｓ1+20<Ｓ2+24<…<Ｓ60+24也各不相等,因此彼此相等的那兩個數(shù)必來自兩組之中,不妨設(shè)為Ｓｊ與Ｓｉ+24相等,即Ｓｊ=Ｓｉ+24成立。
4 邏輯推理有一些涉及邏輯推理方面的問題,可通過邏輯推理方法,將矛盾結(jié)論排除,找出合理結(jié)論。推理順序有順推法和逆推法。
例7 要分派Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五人去執(zhí)行一項任務(wù),但按實際情況必須滿足以下條件:
(1)若Ａ去,Ｂ也去;
(2)Ｂ、Ｃ兩人中至少有一人去;
(3)Ｂ、Ｃ兩人中必須去且只能去一人;
(4)Ｃ、Ｄ都去或都不去;
(5)Ｅ若去,則Ａ、Ｄ都去。
問:應(yīng)派誰們?nèi)?
解 (逆推):
若Ｅ去→Ａ、Ｄ都去→Ｂ去→Ｃ不去→Ｄ不去,導(dǎo)自矛盾。
所以Ｅ不能去。Ｅ不去→Ｄ去→Ｃ去→Ｂ不去→Ａ不去,符合所有條件。
∴應(yīng)當派Ｃ、Ｄ去。
例8 有4個人對話:甲說:我們當中只有一個人說假話。乙說:我們當中僅有兩個人說假話。丙說:我們當中恰有三個人說假話。丁說:我們都說假話。試問:到底誰說的是真話?
解:因為四個人說的話彼此矛盾,所以不會有兩個人都說真話,至多有一個人說真話。
但四個人不都說假話(因為這時丁說的就是真話)。
由上推理可知,恰有一個人(即丙)說真話,其他人都說假話。
作者：晉東南師專數(shù)學(xué)系 吳鳳玖
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