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談小學數學思想及其在教學中的滲透
摘要：數學思想是從某些具體數學認識過程中提煉和概括，在后繼的認識活動中被反復證實其正確性，帶有一般意義和相對穩定的特征。在小學數學教育中有意識地向學生滲透一些基本數學思想方法是提高學生數學能力和思維品質的重要手段，是數學教育中實現從傳授知識到培養學生分析問題、解決問題能力的重要思維活動，且它本身也蘊涵了情感素養的熏染。這點也是新課程標準充分強調的。
關鍵詞：數學思想;滲透;符號思想;類比思想;分類思想;方程與函數思想;建模思想。
數學思想是從某些具體數學認識過程中提煉和概括，在后繼的認識活動中被反復證實其正確性，帶有一般意義和相對穩定的特征。它揭示了數學發展中普遍的規律，對數學的發展起著指引方向的作用，它直接支配著數學的實踐活動，是數學的靈魂。而數學方法則體現了數學思想，在自然辯證法一書的導言中，恩格斯敘述了笛卡兒制定了解析幾何，耐普爾制定了對數，來布尼茨和牛頓制定了微積分后指出:“最重要的數學方法基本上被確定了”，對數學而言，可以說最重要的數學思想也基本上被確定了。
《九年制義務教育全日制小學數學課程標準》(試驗稿)提出:“學生通過學習，能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法�！币虼耍谛W數學教學階段有意識地向學生滲透一些基本數學思想方法可以加深學生對數學概念、公式、定理、定律的理解，是提高學生數學能力和思維品質的重要手段，是數學教育中實現從傳授知識到培養學生分析問題、解決問題能力的重要途徑，也是小學數學教學進行素質教育的真正內涵之所在。在小學階段，數學思想主要有符號思想、類比思想、分類思想、方程與函數思想、建模思想等。
一、符號思想
西方較早地在數學研究中引進了符號，十六世紀數學家韋達對數學符號作了很多改進，并且第一個有意識地系統地用字母表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學研究的重大拓展，奠定了符號代數的基礎，后來大數學家笛卡兒對韋達使用的字母又作了改進。用符號化的語言(包括字母、數字、圖形和各種特定的符號)來描述數學的內容，這就是符號思想。在數學中各種量的關系，量的變化以及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式來表達大量的信息，如乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c，這里的a、b、c不僅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……長方形的面積計算公式s=a×b，不管世界上有多少個不同的長方形，都可用它計算出來。又如在“有余數的除法”教學中，最后出現一道思考題:“六一”聯歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個藍氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你能知道第24個氣球是什么顏色的嗎?解決這個問題，學生可以有多種方法。如，用書寫簡便的字母a、b、c分別表示紅、黃、藍氣球，則按照題意可以轉化成如下符號形式:aaabbc aaabbc aaabbc……從而可以直觀地找出氣球的排列規律，并推出第24個氣球是藍色的。
上例所分析的這些都是符號思想的具體體現，它們將所有的數據實例集為一體，把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，便于記憶，便于運用，正如華羅庚所說的“數學的特點是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應用性與優越性”。這種用符號來體現的數學語言是世界性語言，是一個人數學素養的綜合反映。
把客觀存在的事物和現象及它們相互之間的關系抽象概括為數學符號和公式，有一個從具體到表象再抽象符號化的過程，小學生在數學學習中，從接受到運用會遇到較多的困難，需要教師在平時地教學中，從介紹字母使用的歷史入手，循循善誘，加強培養和訓練。
二、類比思想
數學上的類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。就遷移過程來分，有些類比十分明顯、直接、比較簡單，如由加法交換律a+b=b+a的學習遷移到乘法分配律a×b=b×a的學習;而有些類比需在建立抽象分析的基礎上才能實現，比較復雜。
例如有這么一道數學奧林匹克競賽題:某科學考察組進行科學考察，要越過一座山。上午8時上山，每小時行3千米，到達山頂時休息1小時。下山時，每小時行5千米，下午2時到達山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米?分析:此題表面上看似一道行程問題，但實質上只不過是一道典型的“雞兔同籠”問題的變化題型。其特征是:
(1)已知兩種事物的單值:上山速度為3千米;下山速度為5千米。
(2)已知這兩種不同事物的總個數:除去休息1小時的5小時;全程19千米。
(3)要求的是這兩種不同事物的個數:上山和下山的時間各是多少?可見此題的解答方法與"雞兔同籠"問題的解答方法完全相同。假設5小時都是上山時間，則共走路程為3×5=15(千米)，比實際走的19千米少了19-15=4(千米)，原因是由于把下山時間也當作了上山時間，則下山時間為4÷(5-3)=2(小時)。從而可以推出下山路程是5×2=10(千米)，上山路程是19-10=9(千米)。當然我們也可以假設5小時都是下山時間來類推求解。數學中所有公式定理的運用就是類比思想的直接反映。
目前，小學數學教材中類比思想的內容很多，雜志上發表得較多的某些定理，問題的延伸，推論，拓廣也是類比思想的反映，這就要求教師去發掘去實施，如長方形的面積公式為長×寬=a×b，通過類比，三角形的面積公式也可以理解為長(底)×寬(高)÷2=a×b(h)÷2。類似的，圓柱體體積公式為底面積×高，那么錐體的體積可以理解為底面積×高÷。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔，從而可以激發起學生的創造力，正如數學家波利亞所說:"我們應該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發現的偉大源泉。"
三、分類思想
數學中每一個概念都有其特有的本質特征，它又是按照一定的規律擴展變化的，它們之間都存在著質變到量變的關系。要正確的認識這些概念，就需要具體的概念依據具體的標準具體分析，這就是數學的分類思想，是指按某種標準，將研究地數學對象分成若干部分進行分析研究。
一般我們分類時要求滿足互斥，無遺漏、最簡便的原則。如整數以能否被2整除為例，可分為奇數和偶數;若以自然數的約數個數來分類，則可分為質數、合數和1。幾何圖形中的分類更常見，如學習"角的分類"時，涉及到許多概念，而這些概念之間的關系滲透著量變到質變的規律。其中幾種角是按照度數的大小，從量變到質變來分類的，由此推理到在三角形中以最大一個角大于、等于和小于90°為分類標準，可分為鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形。而三角形以邊的長短關系為分類標準，又可分為不等邊三角形和等邊三角形，等邊三角形又可分為正三角形和等腰三角形。不同的分類標準會有不同的分類結果，從而產生新的數學概念和數學知識的結構。 由于分類討論，一則在學習數學的過程中，學生潛移默化地受到了辨證唯物主義思想的啟蒙教育;又一則對學生能力有明顯的區別功能，再加上現實世界需要分類研究的普遍性，作為一種數學思想必然會引起人們的重視。
例如在教學多位數讀寫法后，設計了這樣一道開放題:下面五張卡片上分別寫有數字0、0、1、2、3，可以利用它們組成許多不同的五位數，求所有五位數的平均數。分析:以最高位上的數字為標準，把所有能組成的五位數分成三類，再依從小到大的順序列表如下。
(1)10023 (2)20013 (3)30012
10032 20031 30021
10203 20103 30102
10230 20130 30120
10302 20301 30201
10320 20310 30210
12003 21003 31002
12030 21030 31020
12300 21300 31200
13002 23001 32001
13020 23010 32010
13200 23100 32100
這36個數的平均數，萬位上的數字是2，可由(1+2+3)÷3=2確定，其他數位上的數字都是1，可由(1+2+3)×6÷36=1確定。平均數是21111。
四、方程和函數思想
在已知數與未知數之間建立一個等式，把生活語言“翻譯”成代數語言的過程就是方程思想。笛卡兒曾設想將所有的問題歸為數學問題，再把數學問題轉化成方程問題，即通過問題中的已知量和未知量之間的數學關系，運用數學的符號語言轉化為方程(組)，這就是方程思想的由來。
在小學階段，學生在解應用題時仍停留在小學算術的方法上，一時還不能接受方程思想，因為在算求解題時，只允許具體的已知數參加運算，算術的結果就是要求未知數的解，在算術解題過程中最大的弱點是未知數不允許作為運算對象，這也是算術的致命傷。而在代數中未知數和已知數一樣有權參加運算，用字母表示的未知數不是消極地被動地靜止在等式一邊，而是和已知數一樣，接受和執行各種運算，可以從等式的一邊移到另一邊，使已知與未知之間的數學關系十分清晰，在小學中高年級數學教學中，若不滲透這種方程思想，學生的數學水平就很難提高。例如稍復雜的分數、百分數應用題、行程問題、還原問題等，用代數方法即假設未知數來解答比較簡便，因為用字母x表示數后，要求的未知數和已知數處于平等的地位，數量關系就更加明顯，因而更容易思考，更容易找到解題思路。在近代數學中，與方程思想密切相關的是函數思想，它利用了運動和變化觀點，在集合的基礎上，把變量與變量之間的關系，歸納為兩集合中元素間的對應。數學思想是現實世界數量關系深入研究的必然產物，對于變量的重要性，恩格斯在自然辯證法一書有關“數學”的論述中已闡述得非常明確:“數學中的轉折點是笛卡兒的變數，有了變數，運動進入了數學;有了變數，辨證法進入了數學;有了變數，微分與積分也立刻成為必要的了�！睌祵W思想本質地辨證地反映了數量關系的變化規律，是近代數學發生和發展的重要基礎。在小學數學教材的練習中有如下形式:
6×3= 20×5= 700×800=
60×3= 20×50= 70×800=
600×3= 20×500= 7×800=
有些老師，讓學生計算完畢，答案正確就滿足了。有經驗的老師卻這樣來設計教學:先計算，后核對答案，接著讓學生觀察所填答案有什么特點(找規律)，答案的變化是怎樣引起的?然后再出現下面兩組題:
45×9= 1800÷200=
15×9= 1800÷20=
5×9= 1800÷2=
通過對比，讓學生體會“當一個數變化，另一個數不變時，得數變化是有規律的”，結論可由學生用自己的話講出來，只求體會，不求死記硬背。研究和分析具體問題中變量之間關系一般用解析式的形式來表示，這時可以把解析式理解成方程，通過對方程的研究去分析函數問題。中學階段這方面的內容較多，有正反比例函數，一次函數，二次函數，冪指對函數，三角函數等等，小學雖不多，但也有，如在分數應用題中十分常見，一個具體的數量對應于一個抽象的分率，找出數量和分率的對應恰是解題之關鍵;在應用題中也常見，如行程問題，客車的速度與所行時間對應于客車所行的路程，而貨車的速度與所行時間對應于貨車所行的路程;再如一元方程x+a=b等等。 學好這些函數是繼續深造所必需的;構造函數，需要思維的飛躍;利用函數思想，不但能達到解題的要求，而且思路也較清晰，解法巧妙，引人入勝。
五、建模思想
目前，由世界著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾提出的“現實數學教育”觀點得到國際數學教育界的普遍認同，也為廣大數學教師所接受。這一思想表明，一則學校數學具有現實的性質，數學來源于現實生活，再運用到現實生活中去;二則學生應該用現實的方法學習數學，即學生通過熟悉的現實生活，自己逐步發現和得出的數學結論。這就意味著數學課程的應用性和實踐性成為國際數學課程改革的一個基本趨勢。
例如美國數學教師協會數學課程標準和2000年標準的基本特點之一都是強調數學應用;荷蘭從60年代起就開始了現實數學教育的改革歷程，到90年代初，幾乎所有的荷蘭中小學生都已經在使用根據現實數學教育思想編寫的數學課本，注重培養學生數學應用意識與實踐能力;日本的數學課程設置了綜合課題學習，同樣也體現了數學知識綜合應用的關注。這一系列實際上強調的是一種數學建模思想。
所謂數學模型是對于現實世界的某一特定研究對象，為了某個目的，在作了一些必要的簡化和假設之后運用適當的數學工具，并通過數學語言表達出來的一個數學結構。而數學建模思想就是把現實世界中有待解決或未解決的問題，從數學的角度發現問題、提出問題、理解問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去，并綜合運用所學的數學知識與技能求得解決的一種數學思想和方法。
數學中的各種基本概念都以各自相應的現實模型作背景。如自然數集是用以描述離散數量的模型;各類幾何圖形也都是從現實中抽象出來的數學模型。那些基本的數學模型使我們能對與之聯系的實際問題，舉一反三，觸類旁通。
例如在平面圖形面積一章復習中，設計了這樣一個綜合學習課題:自主運用已學圖形為自己的房間進行簡單的鑲嵌設計。
學生能順利解決問題，關鍵在于理清各種平面圖形之間的知識聯系，在教學中，可以建立一個平面求積的模型S=ab，從長方形求積公式出發推導出正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形的求積公式，溝通了各平面圖形的內在聯系;同時又隨著相關邊長的變化，展示出這些平面圖形可以相互轉化。學生學會了建模，有頓悟之感。
在此基礎上，進一步讓學生通過探索平面圖形的鑲嵌，知道三角形、四邊形或者正六邊形可以鑲嵌平面，然后自行設計房間鑲嵌方案。在這整個過程中，強調了數學學習經歷“問題情境──建立模型──分類求解──解釋與應用”的基本過程，引導學生主動參與、親身實踐、獨立思考、合作探究，實現了學習方式的轉變，改變了單一的記憶、接受、模仿的被動學習方式，發展了學生搜集和處理信息的能力，以及交流與合作的能力。
當然，在數學教育中，加強數學思想和數學方法的滲透不只是單存的思維活動，它本身就蘊涵了情感素養的熏染。而這一點在傳統的數學教育中往往被忽視了。我們在強調學習知識和技能的過程和方法的同時，更加應該關注的是伴隨這一過程而產生的積極情感體驗和正確的價值觀�！稑藴省钒选扒楦信c態度”作為四大目標領域之一，與“知識技能”、“數學思考”、“解決問題”三大領域相提并論，這充分說明新一輪的數學課程標準改革對培養學生良好的情感與態度的高度重視。它應該包括能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心與求知欲。在數學學習活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。初步認識數學與人類生活的密切聯系及對人類歷史發展的作用，體驗數學活動充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性，形成實事求是的態度以及進行質疑和獨立思考的習慣。另一方面引導學生在學習知識的過程中，學會合作學習，培養探究與創造精神，形成正確的人格意識。
現代數學思想方法的內涵極為豐富，諸如還有集合思想、極限思想、優化思想、統計思想、猜想與證明等等，小學數學教學中都有所涉及。我們廣大小學數學教師要做教學有心人，有意滲透，有意點撥，重視數學史的滲透，重視課堂教學小結，要以適應小學生年齡特點的大眾化、生活化方式呈現教學內容，讓學生通過現實活動，主動參與、自主探究，學會用數學思維方法提出問題、分析問題、解決問題，從而讓學生的數學思維能力得到切實、有效地發展，進而提高全民族的數學文化素養。
主要參考文獻:
1. 《九年制義務教育全日制小學數學課程標準》(試驗稿)
2. 和學新，《新一輪基礎教育課程改革解讀》，《教學與管理》2002-2-1
3. 徐斌艷，《“現實數學教育”中基于情境性問題的教學模式分析》，《外國教育資料》2000-4
4.孔企平，《近年來國際數學課程改革的若干趨勢》，《外國教育資料》2000-6
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