高一數學暑假作業習題附答案
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個備選答案中，有且僅有一個是正確的)
1.已知集合M={-1,1}，N={x|14<2x-1<2，x∈Z}，則M∩N=( )
A.{-1,1} B.{-1}
C.{1} D.{-1,0}
[答案] C
[解析] ∵N={x|14<2x-1<2，x∈Z}
={x|2-2<2x-1<2，x∈Z}
={x|-2
={x|-1
={0,1}，
∴M∩N={1}.
2.化簡3aa的結果是( )
A.a B.a
C.a2 D.3a
[答案] B
[解析] 3aa=3aa12=3a32=(a32 )13 =a12 =a.
3.已知f(2x)=x，則f(7)等于( )
A.27 B.72
C.log27 D.log72
[答案] C
[解析] ∵f(2x)=x，令2x=t>0，∴x=log2t，
∴f(x)=log2x，∴f(7)=log27.
4.已知a=log23，那么log38-2log29用a表示為( )
A.-a B.-1a
C.3a-4a D.3a-2a2
[答案] C
[解析] log38-2log29=3log32-4log23
=3log23-4log23=3a-4a.
5.若集合A={y|y=x13 ，-1≤x≤1}，B={x|y=1-x}，則A∩B=( )
A.(-∞，1] B.[-1,1]
C. D.{1}
[答案] B
[解析] ∵y=x13 ，-1≤x≤1，∴-1≤y≤1，∴A={y|-1≤y≤1}，又B={x|y=1-x}={x|x≤1}，
∴A∩B={x|-1≤x≤1}，故選B.
6.12523+116-12+4912 12 的值是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
[答案] C
[解析] 原式=[(53) 23 +(2-4)-12+(72)12 ]12
=(52+22+7) 12 =3612 =6.
7.(2013～2014學年度湖南懷化市懷化三中高一期中測試)設f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)內近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區間( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能確定
[答案] B
[解析] ∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴f(1.5)f(1.25)<0，故選B.
8.函數f(x)=x-4lgx-1的定義域是( )
A.[4，+∞) B.(10，+∞)
C.(4,10)∪(10，+∞) D.[4,10)∪(10，+∞)
[答案] D
[解析] 由題意，得x-4≥0x>0lgx-1≠0，解得x≥4且x≠10，故選D.
9.f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函數，則a等于( )
A. 12 B.-1
C.-12 D.0
[答案] C
[解析] 解法一： f(-x)=lg(10-x+1)-ax=f(x)
=lg(10x+1)+ax，
∴2ax=lg(10-x+1)-lg(10x+1)=lg10-x+110x+1
=lg10-x=-x，
∴(2a+1)x=0，又∵x∈R，∴2a+1=0，∴a=-12.
解法二：特值法：由題已知f(-1)=f(1)，即lg1110-a=lg11+a，∴2a=lg1110-lg11=lg110=-1，
∴a=-12.
10.函數y=(12)x-1的值域是( )
A.(-∞，0) B.(0,1]
C.[1，+∞) D.(-∞，1]
[答案] B
[解析] ∵x-1≥0，∴(12)x-1≤1，
又∵(12)x-1>0，∴函數y=(12)x-1的值域為(0,1].
11.給出f(x)=12x x≥4fx+1 x<4，則f(log23)的值等于( )
A.-238 B.111
C. 119 D.124
[答案] D
[解析] ∵1
=f(2+log23)=f(3+log23)
12.(2013～2014學年度人大附中高一月考)已知鐳經過100年的剩余量為原來的95.76%，設質量為1的鐳經過x年的剩余量為y，則x、y的關系為( )
A.y=(0.957 6) x100 B.y=(0.957 6)100x
C.y=(0.957 6100)x D.y=1-0.424 6100x
[答案] A
[解析] 本題考查指數函數的應用.設質量為1的鐳經過1年的剩余量為上一年的r，則經過x年的剩余量為原來的rx.當x=100時，r100=0.957 6，
∴r=(0.957 6) 1100 ，
∴x、y的關系式為y=(0.957 6) x100 ，故選A.
二、填空題(本大題共4個小題，每空4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13.(2013～2014學年度天津市五區縣高一期中測試)冪函數f(x)=xα的圖象過點(2，22)，則f(4)=________.
[答案] 12
[解析] 由題意知，2α=22，∴α=-12.
∴f(4)=4-12 =12.
14.計算(lg14-lg25)÷100-12 =________.
[答案] -20
[解析] (lg14-lg25)÷100-12 =(lg1100)÷10-1=-2×10=-20.
15.(2013～2014學年度徐州市高一期中測試)已知a=(23)34 ，b=(32)34 ，c=log223，則a，b，c從小到大的排列為____________.
[答案] c
[解析] ∵函數y=x34 在(0，+∞)上為增函數，
∴(23)34 <(32)34 34="">0，
c=log223
16.已知函數f(x)滿足①對任意x1
[答案] f(x)=2x(不惟一)
[解析] 由x1
又f(x1+x2)=f(x1)(x2)可知是指數函數具有的性質.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)如果(m+4) -12 <(3-2m) -12 ，求m的取值范圍.
[解析] ∵冪函數f(x)=x-12 的定義域是(0，+∞)，且在定義域上是減函數.
∴0<3-2m
∴-13
18.(本小題滿分12分)化簡、計算：
(1)(2a-3b-23 )(-3a-1b)÷(4a-4b-53 );
(2)log2512log45-log13 3-log24+5log5 2.
[解析] (1)原式=[2(-3)÷4](a-3a-1a4)(b-23 bb53 )=-32b2.
(2)原式=(-12)log52(12log25)+1-2+5 log5 4
=(-14)log52log25-1+4
=-14-1+4=-14+3=114.
19.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=loga(1+x)，g(x)=loga(1-x)，其中a>0，a≠1.設h(x)=f(x)-g(x).
(1)判斷h(x)的奇偶性，并說明理由;
(2)若f(3)=2，求使h(x)>0成立的x的集合.
[解析] (1)依題意得1+x>0,1-x>0，
∴函數h(x)的定義域為(-1,1).
∵對任意的x∈(-1,1)，-x∈(-1,1)，
h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)
=g(x)-f(x)=-h(x)，
∴h(x)是奇函數.
(2)由f(3)=2，得a=2.
此時h(x)=log2(1+x)-log2(1-x)，
由h(x)>0即log2(1+x)-log2(1-x)>0，
∴log2(1+x)>log2(1-x).
由1+x>1-x>0，解得0
故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0
20.(本小題滿分12分)已知a=(2+3)-1，b=(2-3)-1，求(a+1)-2+(b+1)-2的值.
[解析] (a+1)-2+(b+1)-2
=12+3+1-2+12-3+1-2
=3+32+3-2+3-32-3-2
=2+33+32+2-33-32
=2+33-362+2-33+362
=16×4=23.
21.(本小題滿分12分)已知函數f(x2-1)=logmx22-x2(m>0，且m≠1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)判斷f(x)的奇偶性.
[解析] (1)令x2-1=t，則x2=t+1.
∵f(t)=logmt+12-t+1=logm1+t1-t，
由x22-x2>0，解得0
∴-1
∴f(x)=logm1+x1-x(-1
(2)由(1)知函數f(x)的定義域關于原點對稱.
f(-x)=logm1-x1+x=logm(1+x1-x)-1
=-logm1+x1-x=-f(x)，
∴函數f(x)為奇函數.
22.(本小題滿分14分)家用電器(如冰箱)使用的'氟化物釋放到大氣中會破壞臭氧層.經測試，臭氧的含量Q隨時間t(年)的變化呈指數函數型，滿足關系式Q=Q0e-0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量.
(1)隨時間t(年)的增加，臭氧的含量是增加還是減少?
(2)多少年以后將會有一半的臭氧消失(參考數據：ln2≈0.693)?
[解析] (1)∵Q=Q0e-0.0025t=Q0(1e)0.0025t，
又0<1e<1且q0>0，
所以函數Q=Q0(1e)0.0025t在(0，+∞)上是減函數.
故隨時間t(年)的增加，臭氧的含量是減少的.
(2)由Q=Q0e-0.0025t≤12Q0，得
e-0.0025t≤12，即-0.0025t≤ln12，
所以t≥ln20.0025≈277，即277年以后將會有一半的臭氧消失.
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