高中數學教學-三角函數的性質及應用
一. 教學內容： 三角函數的圖像與性質
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二. 教學目標：
了解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義。
三. 知識要點：
1. 正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像
2. 三角函數的單調區間：
的遞增區間是
，遞減區間是
;
的遞增區間是
，遞減區間是
的遞增區間是
， 3. 函數
最大值是
，最小值是
，周期是
，頻率是
，相位是
，初相是
;其圖象的對稱軸是直線
，凡是該圖象與直線
的交點都是該圖象的對稱中心。 4. 由y=sinx的圖象變換出y=sin(ωx+
)的圖象一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑，才能靈活地進行圖象變換。
利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經常出現.無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。
途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)
先將y=sinx的圖象向左(
>0)或向右(
<0=平移|
|個單位，再將圖象上各點的橫坐標變為原來的
倍(ω>0)，便得到y=sin(ωx+
)的圖象。
途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。
先將y=sinx的圖象上各點的橫坐標變為原來的
倍(ω>0)，再沿x軸向左(
>0)或向右(
<0，平移
個單位，便得到y=sin(ωx+
)的圖象。
5. 對稱軸與對稱中心：
的對稱軸為
，對稱中心為
;
的'對稱軸為
，對稱中心為
; 對于
和
來說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點相聯系。 6. 五點法作y=Asin(ωx+
)的簡圖：五點法是設X=ωx+
，由X取0、
、π、
、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。
【典型例題】
例1. 把函數y=cos(x+
)的圖象向左平移
個單位，所得的函數為偶函數，則
的最小值是( ) A.
B.
C.
D.
解：先寫出向左平移4個單位后的解析式，再利用偶函數的性質求解。
向左平移
個單位后的解析式為y=cos(x+
+
) 則cos(-x+
+
)=cos(x+
+
)， cosxcos(
+
)+sinxsin(
+
)=cosxcos(
+
)-sinxsin(
+
) ∴sinxsin(
+
)=0，x∈R. ∴
+
=kπ，∴
=kπ-
>0 ∴k>
，∴k=2，∴
=
答案：B
例2. 試述如何由y=
sin(2x+
)的圖象得到y=sinx的圖象。解：y=
sin(2x+
)
另法答案：
(1)先將y=
sin(2x+
)的圖象向右平移
個單位，得y=
sin2x的圖象; (2)再將y=
sin2x上各點的橫坐標擴大為原來的2倍(縱坐標不變)，得y=
sinx的圖象; (3)再將y=
sinx圖象上各點的縱坐標擴大為原來的3倍(橫坐標不變)，即可得到y=sinx的圖象。例3. 求函數y=sin4x+2
sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并寫出該函數在[0，π]上的單調遞增區間。解：y=sin4x+2
sinxcosx-cos4x =(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+
sin2x =
sin2x-cos2x =2sin(2x-
). 故該函數的最小正周期是π;最小值是-2;單調遞增區間是[0，
]，[
，π] 點評：把三角函數式化簡為y=Asin(ωx+
)+k(ω>0)是解決周期、最值、單調區間問題的常用方法。例4. 已知電流I與時間t的關系式為
。 (1)下圖是
(ω>0，
) 在一個周期內的圖象，根據圖中數據求
的解析式;
(2)如果t在任意一段
秒的時間內，電流
都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數值是多少?
解：本小題主要考查三角函數的圖象與性質等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力。
(1)由圖可知 A=300
設t1=-
，t2=
則周期T=2(t2-t1)=2(
+
)=
∴ω=
=150π 將點
代入 ∴
=
故所求的解析式為
(2)依題意，周期T≤
，即
≤
，(ω>0)
∴ω≥300π>942，又ω∈N*
故最小正整數ω=943.
點評：本題解答的開竅點是將圖形語言轉化為符號語言.其中，讀圖、識圖、用圖是形數結合的有效途徑。
【模擬試題】
1. 在(0，2π)內，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是( )
A. (
，
)∪(π，
) B. (
，π) C. (
，
) D. (
，π)∪(
，
)
2. 如果函數f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π=的最小正周期是T，且當x=2時取得最大值，那么( )
A. T=2，θ=
B. T=1，θ=π C. T=2，θ=π D. T=1，θ=
3. 設函數f(x)=A+Bsinx，若B<0時，f(x)的最大值是
，最小值是-
，則A=_______，B=_______。 4. 已知函數y=tan(2x+
)的圖象過點(
，0)，則
可以是( ) A. -
B.
C. -
D.
5. 函數y=sin(
-2x)+sin2x的最小正周期是( ) A. 2π B. π C.
D. 4π
6. 若f(x)sinx是周期為π的奇函數，則f(x)可以是( )
A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x
7. 函數y=2sin(
-2x)(x∈[0，π])為增函數的區間是( ) A. [0，
] B. [
，
] C. [
，
] D. [
，π] 8. 把y=sinx的圖象向左平移
個單位，得到函數__________的圖象;再把所得圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數__________的圖象。
9. 函數y=lg(cosx-sinx)的定義域是_______.
10. f(x)=2cos2x+
sin2x+a(a為實常數)在區間[0，
]上的最小值為-4，那么a的值等于( )
A. 4 B. -6 C. -4 D. -3
【試題答案】
1. 答案：C
2. 解析：T=
=2，又當x=2時，sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=
。
答案：A
3. 解析：根據題意，由
可得結論答案：
-1 4. 解析：將(
，0)代入原函數可得，tan(
+
)=0，再將A、B、C、D代入檢驗即可。
答案：A
5. 解析：y=
cos2x-
sin2x+sin2x=
cos2x+
sin2x=sin(
+2x)，T=π.
答案：B
6. 答案：B
7. 解析：對于y=2sin(
-2x)=-2sin(2x-
)，其增區間可由y=2sin(2x-
)的減區間得到，即2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
，k∈Z。 ∴kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z.令k=0，故選C.
答案：C
8. 解析：向左平移
個單位，即以x+
代x，得到函數y=sin(x+
)，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以
x代x，得到函數：y=sin(
x+
)。答案：y=sin(x+
) y=sin(
x+
) 9. 解析：由cosx-sinx>0
cosx>sinx.由圖象觀察，知2kπ-
(k∈Z) 答案：2kπ-
(k∈Z) 10. 解析：f(x)=1+cos2x+
sin2x+a=2sin(2x+
)+a+1. ∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]. ∴f(x)的最小值為2×(-
)+a+1=-4
∴a=-4.
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