小議用圖像法解方法
一、由一道中考數學題引起的思考有這樣一道中考試題：
利用圖像解一元二次方程x -2x-1=0時，我們采用的一種方法是：在直角坐標系中畫出拋物線y=x2和直線y=2x+1，兩圖像交點的橫坐標就是該方程的解．
(1)請再給出一種利用圖像求方程x2-2x-1=0的解的方法．
(2)已知函數y=x 的圖像(如圖)：求方程x -x-2=0的解．(結果保留2個有效數字)
這是一道新課程初中數學利用函數圖像求方程的近似解，主要考查學生運用數形結合思想綜合解決問題的能力．該題的設計非常有創意和開放性，以全新的方式考查學生的估算能力和解題策略，體現了新課程的理念，特別注重解決問題的策略，突出地體現了對問題的類比與探索意識，如果死記硬背知識點是難以解決的．從中考統計結果看，該題得分率相當低，尤其是第（2）小題．學生對出題的意圖理解不夠，把得出方程的解看成最終目的，忽視了考查解題過程才是題目的初衷．這都說明學生解題的策略、方法掌握不夠，造成思路單一，解法不活．究其原因，主要是目前初中數學教學對數形結合解決問題不夠重視，許多教師對數形結合思想認識膚淺，解決問題方法比較單一，如僅限于教材的一些材料，缺少必要的滲透和引領，使學生不會通過所學多角度地思考問題．所以有必要對當前初中數學數形結合教學的現狀作分析，以引起數學教師的反思．
二、對當前用圖像法解方程的教學現狀的分析
新人教版教材在八年級下、九年級下學習一次函數、二次函數時都對利用函數圖像估算有一些具體的體現與落實，如
（3）利用函數圖像解不等式：5x-1﹥2x+5
（2）利用函數圖像求方程x -2x-2=0的實數根（精確到0.1）．
教材的目的是讓學生親歷自主探索、動手操作、合情推理來理解方程、不等式、函數的互相關系，滲透了類比、化歸、數形結合的數學思想，從而考查學生的數學綜合應用能力．但根據筆者的調查，該內容的實際教學情況卻不盡如人意．有的由于教師對于畫圖標準沒有明確的要求，學生畫圖的準確性差異很大，導致給出的答案誤差較大；有的教師看到學生花費的時間太長，影響課堂教學進度，就沒等學生完成匆匆一對答案了之；有的比較機靈的學生則先直接解得方程（組）的解，然后再畫圖，使問題只成為沒有意義的問題． 造成以上情況的原因是教材選材上受知識范圍所束縛,選取的是一元一次方程組和一元二次方程（組）．這些方程學生都已掌握了成熟、準確的代數解法，再來探索利用圖像的近似求解法，就不能真正體現圖像法的優勢，于是就出現了先用代數法解方程再在圖像上描近似點的倒置現象，數形結合解決問題完全成了一種作秀，顯得比較勉強，以致一些教師、學生都認為這類問題缺乏思考的深度和必要，不如直接解方程更方便，對圖像發解決問題所得結果的合理性與準確性缺乏足夠的認識．再加上學生沒有體會到圖像法的應用價值，因此大部分學生運用“數形結合法”的意識比較薄弱．而且作圖很繁瑣，便不太接受這種方法，所以課堂教學效果不是很好，不能真正體現數形結合實用價值．教師也很難把握估算教學的尺度，尤其對過程和方法較難控制，我認為這應該是教材的一個不足之處．
以上試題將課程標準“加強數形結合思想培養”這一要求很好地落到實處,充分發揮評價的導向作用，彌補了教材的不足．試題采用了三次函數，就避開了學生可以用已有的代數法解方程的知識，并提供函數圖像，避免超出初中階段的知識范圍，很好地考查了學生對“經歷用觀察、畫圖手段估計方程解”方法的掌握情況．該題除了體現圖像法本身在數學知識體系和數學思想方法上的重大價值外，也會對準確理解、把握《課程標準》中的數形結合教學起到良好的導向作用．
三、提高認識，加強數形結合解決問題能力的培養
數學研究的對象是數量關系和空間形式，即“形”與“數”兩個方面.“形”與“數”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯系.在一維空間，實數與數軸上的點建立了一一對應的關系，在二維空間，實數對與坐標平面上的點建立了一一對應的關系，進而可以使函數解析式與函數圖像、方程與曲線建立起一一對應的關系，使得數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究；反之，也可以使圖形性質的研究轉化為數量關系的研究.這種數學問題過程中“形”與“數”相互轉化的研究策略，即是數形結合的思想.在使用過程中，由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識，因此，數形結合思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化．
數形結合能力是一種比較特殊的能力，它可以使我們把抽象的數據之間的關系轉化為直觀的圖形性質，在解決一些日常實際問題和檢驗計算結果合理性時特別有用，它比復雜的筆算更有價值，同時對于培養學生的數學意識，發展學生的思維能力很有幫助．通過數形結合的教學可以逐步提高學生解決問題的能力，有效改善學生的數學思維品質，發展學生的數與形的感覺，形成良好的認知結構和知識結構．數形結合教學的主要目的不在于獲得問題的結果，而是使學生通過經歷解決問題的過程學會用數形結合方法和數學的觀點認識客觀世界的規律．所以數形結合能力在學生的學習和生活中都有著十分廣泛的應用，教師應逐步培養學生的這種意識和技能，提高學生的數學素養．
基于數形結合的現實意義，《數學課程標準》提出了讓學生從“數”到“形”和從“形”到“數”之間的合理轉化的教學要求，將數形結合能力作為一條重要的課程標準．能使學生經歷用觀察、畫圖或計算等手段估計方程解的過程；根據一次函數的圖像求二元一次方程組的近似解；用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解．
例如：圖像求方程x -2x-2=0的實數根．問題不僅僅在于求解，更重要的是讓學生能直觀地探究方程的性質，并用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程的解．如果直接解方程，就會使學生看不到方程與函數、數據與圖像的密切聯系，思維的發展就不會很全面．用函數的圖像來估計方程的解看似繁瑣，但切不可因此而忽視，不能只是一味要求培養計算精確答案的技能，所以教師要舍得花時間，讓學生充分體驗，真正了解數相結合的思想方法和價值．
所以我們教師要更新教育觀念，大力增強數形結合意識的培養．教師要提高數形結合教學對于促進學生形成良好數感重要性的認識，尤其要加強方法指導．根據函數的圖像求方程（組）的近似解；用計算機作圖（如幾何畫板）觀察估計方程（組）的近似解等．這些方法要有機結合，滲透于學生平時的練習與實踐中，潛移默化地讓學生積累和運用數形結合的思想、技能、技巧，提高解決問題的能力．
教師應善于創造性地使用教材，充分挖掘教學資源，尤其是結合學生的生活和實踐開展生動活潑、富有意義的估算教學，在多樣化的選擇中使他們體會到數形結合的必要性和優越性，將這種能力內化為一種自覺，自主的意識，進而形成一種習慣．
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