小議用圖像法解方法
一、由一道中考數(shù)學(xué)題引起的思考有這樣一道中考試題：
利用圖像解一元二次方程x -2x-1=0時(shí)，我們采用的一種方法是：在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線y=x2和直線y=2x+1，兩圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解．
(1)請(qǐng)?jiān)俳o出一種利用圖像求方程x2-2x-1=0的解的方法．
(2)已知函數(shù)y=x 的圖像(如圖)：求方程x -x-2=0的解．(結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字)
這是一道新課程初中數(shù)學(xué)利用函數(shù)圖像求方程的近似解，主要考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想綜合解決問(wèn)題的能力．該題的設(shè)計(jì)非常有創(chuàng)意和開(kāi)放性，以全新的方式考查學(xué)生的估算能力和解題策略，體現(xiàn)了新課程的理念，特別注重解決問(wèn)題的策略，突出地體現(xiàn)了對(duì)問(wèn)題的類(lèi)比與探索意識(shí)，如果死記硬背知識(shí)點(diǎn)是難以解決的．從中考統(tǒng)計(jì)結(jié)果看，該題得分率相當(dāng)?shù)�，尤其是第�?）小題．學(xué)生對(duì)出題的意圖理解不夠，把得出方程的解看成最終目的，忽視了考查解題過(guò)程才是題目的初衷．這都說(shuō)明學(xué)生解題的策略、方法掌握不夠，造成思路單一，解法不活．究其原因，主要是目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題不夠重視，許多教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)膚淺，解決問(wèn)題方法比較單一，如僅限于教材的一些材料，缺少必要的滲透和引領(lǐng)，使學(xué)生不會(huì)通過(guò)所學(xué)多角度地思考問(wèn)題．所以有必要對(duì)當(dāng)前初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)的現(xiàn)狀作分析，以引起數(shù)學(xué)教師的反思．
二、對(duì)當(dāng)前用圖像法解方程的教學(xué)現(xiàn)狀的分析
新人教版教材在八年級(jí)下、九年級(jí)下學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)時(shí)都對(duì)利用函數(shù)圖像估算有一些具體的體現(xiàn)與落實(shí)，如
（3）利用函數(shù)圖像解不等式：5x-1﹥2x+5
（2）利用函數(shù)圖像求方程x -2x-2=0的實(shí)數(shù)根（精確到0.1）．
教材的目的是讓學(xué)生親歷自主探索、動(dòng)手操作、合情推理來(lái)理解方程、不等式、函數(shù)的互相關(guān)系，滲透了類(lèi)比、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從而考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力．但根據(jù)筆者的調(diào)查，該內(nèi)容的實(shí)際教學(xué)情況卻不盡如人意．有的由于教師對(duì)于畫(huà)圖標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有明確的要求，學(xué)生畫(huà)圖的準(zhǔn)確性差異很大，導(dǎo)致給出的答案誤差較大；有的教師看到學(xué)生花費(fèi)的時(shí)間太長(zhǎng)，影響課堂教學(xué)進(jìn)度，就沒(méi)等學(xué)生完成匆匆一對(duì)答案了之；有的比較機(jī)靈的學(xué)生則先直接解得方程（組）的解，然后再畫(huà)圖，使問(wèn)題只成為沒(méi)有意義的問(wèn)題． 造成以上情況的原因是教材選材上受知識(shí)范圍所束縛,選取的是一元一次方程組和一元二次方程（組）．這些方程學(xué)生都已掌握了成熟、準(zhǔn)確的代數(shù)解法，再來(lái)探索利用圖像的近似求解法，就不能真正體現(xiàn)圖像法的優(yōu)勢(shì)，于是就出現(xiàn)了先用代數(shù)法解方程再在圖像上描近似點(diǎn)的倒置現(xiàn)象，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題完全成了一種作秀，顯得比較勉強(qiáng)，以致一些教師、學(xué)生都認(rèn)為這類(lèi)問(wèn)題缺乏思考的深度和必要，不如直接解方程更方便，對(duì)圖像發(fā)解決問(wèn)題所得結(jié)果的合理性與準(zhǔn)確性缺乏足夠的認(rèn)識(shí)．再加上學(xué)生沒(méi)有體會(huì)到圖像法的應(yīng)用價(jià)值，因此大部分學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”的意識(shí)比較薄弱．而且作圖很繁瑣，便不太接受這種方法，所以課堂教學(xué)效果不是很好，不能真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合實(shí)用價(jià)值．教師也很難把握估算教學(xué)的尺度，尤其對(duì)過(guò)程和方法較難控制，我認(rèn)為這應(yīng)該是教材的一個(gè)不足之處．
以上試題將課程標(biāo)準(zhǔn)“加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)”這一要求很好地落到實(shí)處,充分發(fā)揮評(píng)價(jià)的導(dǎo)向作用，彌補(bǔ)了教材的不足．試題采用了三次函數(shù)，就避開(kāi)了學(xué)生可以用已有的代數(shù)法解方程的知識(shí)，并提供函數(shù)圖像，避免超出初中階段的知識(shí)范圍，很好地考查了學(xué)生對(duì)“經(jīng)歷用觀察、畫(huà)圖手段估計(jì)方程解”方法的掌握情況．該題除了體現(xiàn)圖像法本身在數(shù)學(xué)知識(shí)體系和數(shù)學(xué)思想方法上的重大價(jià)值外，也會(huì)對(duì)準(zhǔn)確理解、把握《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)形結(jié)合教學(xué)起到良好的導(dǎo)向作用．
三、提高認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)
數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“形”與“數(shù)”兩個(gè)方面.“形”與“數(shù)”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系.在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在二維空間，實(shí)數(shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，進(jìn)而可以使函數(shù)解析式與函數(shù)圖像、方程與曲線建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使得數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究；反之，也可以使圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究.這種數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，即是數(shù)形結(jié)合的思想.在使用過(guò)程中，由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)，因此，數(shù)形結(jié)合思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化．
數(shù)形結(jié)合能力是一種比較特殊的能力，它可以使我們把抽象的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形性質(zhì)，在解決一些日常實(shí)際問(wèn)題和檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果合理性時(shí)特別有用，它比復(fù)雜的筆算更有價(jià)值，同時(shí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的思維能力很有幫助．通過(guò)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)可以逐步提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，有效改善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)與形的感覺(jué)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)形結(jié)合教學(xué)的主要目的不在于獲得問(wèn)題的結(jié)果，而是使學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合方法和數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)客觀世界的規(guī)律．所以數(shù)形結(jié)合能力在學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活中都有著十分廣泛的應(yīng)用，教師應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生的這種意識(shí)和技能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
基于數(shù)形結(jié)合的現(xiàn)實(shí)意義，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了讓學(xué)生從“數(shù)”到“形”和從“形”到“數(shù)”之間的合理轉(zhuǎn)化的教學(xué)要求，將數(shù)形結(jié)合能力作為一條重要的課程標(biāo)準(zhǔn)．能使學(xué)生經(jīng)歷用觀察、畫(huà)圖或計(jì)算等手段估計(jì)方程解的過(guò)程；根據(jù)一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的近似解；用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解．
例如：圖像求方程x -2x-2=0的實(shí)數(shù)根．問(wèn)題不僅僅在于求解，更重要的是讓學(xué)生能直觀地探究方程的性質(zhì)，并用觀察、畫(huà)圖或計(jì)算器等手段估計(jì)方程的解．如果直接解方程，就會(huì)使學(xué)生看不到方程與函數(shù)、數(shù)據(jù)與圖像的密切聯(lián)系，思維的發(fā)展就不會(huì)很全面．用函數(shù)的圖像來(lái)估計(jì)方程的解看似繁瑣，但切不可因此而忽視，不能只是一味要求培養(yǎng)計(jì)算精確答案的技能，所以教師要舍得花時(shí)間，讓學(xué)生充分體驗(yàn)，真正了解數(shù)相結(jié)合的思想方法和價(jià)值．
所以我們教師要更新教育觀念，大力增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)的培養(yǎng)．教師要提高數(shù)形結(jié)合教學(xué)對(duì)于促進(jìn)學(xué)生形成良好數(shù)感重要性的認(rèn)識(shí)，尤其要加強(qiáng)方法指導(dǎo)．根據(jù)函數(shù)的圖像求方程（組）的近似解；用計(jì)算機(jī)作圖（如幾何畫(huà)板）觀察估計(jì)方程（組）的近似解等．這些方法要有機(jī)結(jié)合，滲透于學(xué)生平時(shí)的練習(xí)與實(shí)踐中，潛移默化地讓學(xué)生積累和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、技能、技巧，提高解決問(wèn)題的能力．
教師應(yīng)善于創(chuàng)造性地使用教材，充分挖掘教學(xué)資源，尤其是結(jié)合學(xué)生的生活和實(shí)踐開(kāi)展生動(dòng)活潑、富有意義的估算教學(xué)，在多樣化的選擇中使他們體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的必要性和優(yōu)越性，將這種能力內(nèi)化為一種自覺(jué)，自主的意識(shí)，進(jìn)而形成一種習(xí)慣．
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