數學模型的創意平板折疊桌優化設計研究
隨著社會的發展和進步，能夠有效節省空間的“創意平板折疊桌”應運而生，它不僅可以滿足人們對空間的需求，而且能夠有效節省空間。那么，如何進行創意平板折疊桌數學模型的優化設計呢?
數學模型的創意平板折疊桌優化設計研究篇一：
【摘要】本文針對創意平板折疊桌的設計問題，應用幾何思想，通過建立桌面半徑和長度、鋼筋位置相應的數學模型，描述了折疊桌的動態變化過程。同時，對折疊桌的設計加工參數等進行了數學描述。最后通過Lingo和Matlab軟件編程給出了最優加工參數。
【關鍵詞】折疊桌;非線性規劃模型;幾何思想;Lingo和Matlab軟件
隨著社會的不斷進步，城市化進程的加快，高樓大廈密集，城市道路四通八達，但是與此同時，用地緊張、生存空間擁擠等問題也接踵而來，各行各業都開始廣泛關注空間的有效利用，盡可能地節省空間。空間對于人們的生活環境在功能性和實用性上有著舉足輕重的作用，它是蘊含豐富、用之不竭的寶貴資源。當然，一塊木板變成一張桌子，通過對折疊桌的動態變化過程的分析與研究(如圖1所示)，我們需要解決以下三個問題:問題1:建立模型描述此折疊桌的動態變化過程，在此基礎上給出此折疊桌的設計加工參數和桌腳邊緣線的數學描述。問題2:對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優設計加工參數:平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。問題3:根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優設計加工參數。
1模型準備
1.1問題分析
通過觀察折疊桌的動態變化過程，我們發現折疊桌的變化是一個復雜的過程，由平板到立體折疊桌的過程中主要與折疊桌的條數、木條的長度、桌面距離地面的高度、各木條折疊的角度、開槽長度、各木條折疊角度變化的范圍、鋼筋位置等有關。同時，又要考慮到加工過程所造成的誤差，模型建立過程理想化部分對折疊過程中的影響，以及折疊桌輕巧方便、美觀大方、加工方便、用材最少、穩固性好、功能性強的特點。分析折疊桌結構可以發現:在折疊桌打開的過程中，隨著最外側的桌腿與地面夾角的不斷變化，每根桌腿與地面之間的角度也都發生了改變，通過它們之間的變化關系，可以寫出相關方程式并建立非線性規劃數學模型對折疊桌的動態變化過程加以描述。對于任意已給折疊桌高度和圓形桌面直徑，要求折疊桌的設計做到用材最少，這是可以用數學模型進行量化，也是要求最高的因素，因此可主要圍繞用材最少這個要求，建立約束條件下的非線性規劃模型。通過分析影響因素，尋找目標函數和約束條件，可得到折疊桌設計的最優加工參數。
1.2符號說明
根據對問題的分析，可以將不同參數用不同的字母符號代替:L:木板的長度;G:木板的寬度;li:每根木條的長度;k:木條的厚度;gi:每根木條的寬度;z:相鄰兩根木條之間的間隔距離;d:圓桌的直徑;r:圓桌的半徑;Qi:圓形內的.弦長;a:木條與圓桌之間所留活動間隔的長度;i:木條與以圓桌表面為水平面的夾角;Yi:第一塊木條與第i塊木條之間的角度之差;y:圓桌面弧長的一半;e:鋼條到圓桌中心的距離;Ci:開槽長度;Pi:鋼條到對應圓弧區域切線的距離;f:槽的最低端到圓上的最短距離;h:圓桌到地面的距離;o:木條與圓桌之間的間隔。
1.3模型假設
假設平板活動的過程中木條之間的摩擦忽略不計;假設切割木條時縫隙的寬度忽略不計;假設在折疊過程中，鋼筋不會發生彎曲;假設圓桌直徑等于給定的長方形平板的寬度。
2模型建立與求解
通過觀察發現，折疊桌的長度是兩根相同木條的和加上木條與圓桌之間的間隔長度，再加上圓桌面弧長的2倍。折疊桌的寬度就是圓形桌的直徑，同時也等于每根木條的寬度之和加上所有相鄰兩根木條間隔距離之和:G=2r，n=2a。同時，折疊桌的寬度等于每根木條的寬度之和加上所有木條間隔距離之和G=ngi+(n-1)z。木板的長度是木板兩邊木條的長度和再加上兩邊木條與圓桌之間的間隔之和以及對應圓桌的弧長之和:L=2li+2o+2yi。圓桌的高度:由幾何關系得到h=lisini。最短木條的最大變化角度，通過該結果可以判斷左右兩端木條的變化范圍，我們想要得到木條的變化范圍完全可以通過計算木條的角度變化范圍判斷。在此，我們通過計算最短木條的角度變化范圍mmax=π-arccosrlm，m≤mmax此外，若想求得參數還需要有一些輔助條件:首先，求得和圓桌面相關的條件:yi=r2-(i•gi+(i-1)•2-r)槡2，該結果是求解木板長度不可缺少的條件。鋼條到圓桌中心的距離:e=fi+yi，根據該結果確定鋼條的活動范圍。槽的最低端到圓上的最短距離:fi=kli，fi=f1sin1sini，fi=Ci+pi，e=pi+yi，Yi=yi-y，12L≥fm+ym，0.1≤z≤0.3，0≤i≤5π12，結果為開槽長度的變化范圍。假設客戶要求制定一個高為50厘米，圓桌直徑為50厘米的桌子，我們用Lingo軟件和Matlab軟件求解，得出最優加工參數如下(實物模型參看圖2):本文通過建立數學模型并利用計算機軟件編程等知識來確定其所需材料的尺寸，鋼筋的位置和每根桌腿的開槽長度等加工參數，使制成的折疊桌不但可以展開成桌子，而且還可以折疊成平板以節省空間，既輕巧方便，又美觀大方，同時還具有加工方便、用材最少、穩固性好、功能性強等特點。同時，本文對針折疊桌的設計所建立的模型能夠可以推廣到其它零件的設計，應用甚廣。
參考文獻:
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高等數學在經濟學中的應用探討篇二：
摘要：高等數學是高等院校經濟、管理類一門很重要的基礎課程，它雖然是一門理論學科，但在經濟學、管理學、物理學、生物學、工學等諸多領域都有著廣泛的應用。本文主要探討高等數學在經濟學方面的應用，介紹最小二乘法、積分、微分方程等三個方面在經濟學中的應用，并給出具體實例加以說明。
關鍵詞：高等數學;理論;經濟;應用。
0引言
高等數學是高等院校經濟、管理類學生必修的一門基礎理論課。該課程主要是為后續專業課程學習提供必備的數學知識，但這門課在教學過程中往往過于注重講授理論知識，忽略了其應用性。另外，由于當前高等院校招生規模擴大，生源質量總體下降，無故曠課、遲到、作業抄襲等現象普遍存在，學生認為學習這門課沒有用，學習積極性不高，即使考題很簡單，考試通過率也不高，達不到預期效果。為了改善當前學生學習的狀態、提高學生學習興趣，我們在教學中有意識地穿插一些與經濟學專業相關的知識，強調其應用性。下面主要探討高等數學在經濟類專業中的應用。
1最小二乘法在經濟學中的應用
在自然科學和經濟活動中進行定量分析的時候，根據實驗所得到的一系列數據，建立各個量之間的關系是非常必要的`。由于實際問題中的函數關系較為復雜，找出變量間的關系較為困難，我們盡可能找與實際情況相近的表達式，比較常用的方法就是最小二乘法。例1，為了做好商品的短期市場需求預測，需要建立起銷售量對價格的依賴關系。已知該商品1月至6月的銷售記錄如表1。試根據以上資料，建立該商品的月銷售量與價格的經驗公式，并估算4月份的銷售量是多少?解：將以上數據進行分析，變量x和y之間近似為線性關系，設所求經驗公式為：y=ax+b根據以上數據計算可得：5i=1Σxi=0.9+1.0+1.1+1.0+0.8=4.85i=1Σx2i=0.92+1.02+1.12+1.02+0.82=4.665i=1Σyi=1600+1200+1000+1300+1800=69005i=1Σxiyi=1600×0.9+1200×1.0+1000×1.1+1300×1.0+1800×1.8=6480代入方程組，得：4.66a+4.8b=64804.8a+5b=690Σ0解之得a≈-571.4，b≈1928.5則所求經驗公式為y=-571.4+1928.5由經驗公式可估算出4月份的銷售量大約為y=-571.4×1.0+1928.5=1357.1千克。
2積分在經濟學中的應用
積分在經濟學中應用比較廣泛，下面通過兩個例子來具體說明高等數學在經濟學中的應用。例2：設某產品邊際成本為C'(q)=10+0.02q邊際收益為R'(q)=15-0.01q(C和R的單位均為萬元，產量q的單位為百臺)，試求產量由15單位增加到18單位時，總成本、總收益、總利潤的增量。解：當產量由15單位增加到18單位時的總成本增量為(萬元)：ΔC=1815乙C'(q)dq=1815乙(10+0.02q)dq=29.01(萬元)這時，總收益的增量為：ΔR=1815乙R'(q)dq=1815乙(15-0.01q)dq=44.505(萬元)因此，總利潤的增量為：ΔL=44.505-29.01=15.495(萬元)例3：已知一個企業每月的邊際收入與邊際成本是日產量x的函數，r(x)=104-8x，C'(x)=x2-8x+40，如果日固定成本為250元，求：①日總利潤函數L(x);②日獲利最大時的產量。解：①日總收入函數為：R(x)=x0乙r(t)dt=x0乙(104-8t)dt=104x-4x2因為日固定成本為250元，即C(0)=0，所以日總成本函數為：C(x)=[C(x)-C(0)]+C(0)=x0乙C'(t)dt+C(0)=x0乙(t2-8t+40)dt+250=13x3-4x2+40x+250則日總利潤函數為：L(x)=R(x)-C(x)=104x-4x2-(13x3-4x2+40x+250)=-13x3+64x-250②日獲利最大時的產量，即為利潤函數的最大值點，令：L'(x)=64-x2=0得在(0，+∞)內唯一駐點x=8;又L''(x)=-2x|x=8<0因此當x=8時，L(x)有極大值，也是最大值，所以日獲利最大時的產量為8個單位。
3微分方程在經濟學中的應用
微分方程在高等數學占有很重要的地位，在許多實際問題中，表達量與量之間依賴關系和變化規律的函數往往不能直接得到，根據問題的實際意義及所給的條件，可以建立相應的微分方程模型。下面我們將介紹微分方程在經濟學中的應用。例4：在宏觀經濟研究中，發現某地區國民收入y、國民儲蓄x和投資I是時間t的函數，若在t時刻，儲蓄額是國民收入的110，投資額是國民收入增長率的13，當時間t=0時，國民收入為4億元，試求國民收入函數y=y(t)。(假定t時刻儲蓄全部用于投資)解：由題意知t時刻時，s=110y，I=13dydt可得：y10=13dydt分離變量可得：dyy=0.3dt兩邊同時積分可得方程通解為：y=Ce0.3t因為，當t=0時，y=4，可得C=4，故該方程的特解為y=4e0.3t。例5：某養豬場由于場地原因最多能養豬5000頭，設在t時刻養豬場內豬的頭數y與時間t有函數關系式y=y(t)，其變化率與豬的頭數y及時間t的乘積成正比，比例系數為k(k>0)，已知養豬場里現有豬500頭，3個月后養豬場里有豬700頭，求養豬場內豬的頭數y與時間t的關系式y=y(t)，5個月后養豬場大約有豬多少頭?解：由題意可知：dydt=kyt分離變量可得：dyy=ktdt兩邊同時積分可得：lny=12kt2+c1，即y=ce12kt2，又因為y(0)=500，y(3)=700可得：c=500，k=29ln75則y=500e19ln75t2，y(5)≈1480頭。
4總結
總之，通過以上所舉例子可發現高等數學在經濟學上應用廣泛、高等數學與經濟學是互相融合的、高等數學是經濟學的有力工具，所以在教學中要注重理論實際相結合，介紹一些相關的經濟數學模型，從而使得理論知識沒有脫離實際，讓學生能夠學有所用。
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