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淺談數(shù)學(xué)與建筑的論文
數(shù)學(xué)與建筑
富勒、網(wǎng)格球頂和巴基球
21世紀(jì)的建筑──充填空間的立體
拱──曲線數(shù)學(xué)
建筑與雙曲拋物面
箱子的破壞
力學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的樂園，因?yàn)槲覀冊(cè)谶@里獲得數(shù)學(xué)的果實(shí)。
──倫納多·達(dá)·芬奇
幾千年來(lái)，數(shù)學(xué)一直是用于設(shè)計(jì)和建造的一個(gè)很寶貴的工具。它一直是建筑設(shè)計(jì)思想的一種來(lái)源，也是建筑師用來(lái)得以排除建筑上的試錯(cuò)技術(shù)的手段。下表可能看來(lái)內(nèi)容豐富，其實(shí)不過是多少世紀(jì)以來(lái)曾經(jīng)用在建筑上的數(shù)學(xué)概念的一部分：
·角錐 ·棱柱 ·黃金矩形 ·視錯(cuò)覺 ·立方體 ·多面體 ·網(wǎng)格球頂 ·三角形·畢達(dá)哥拉斯定理 ·正方形，矩形 ·平行四邊形 ·圓，半圓 ·球，半球 ·多邊形·角 ·對(duì)稱 ·拋物線 ·懸鏈線 ·雙曲拋物面 ·比例 ·弧 ·重心 ·螺線 ·螺旋線 ·橢圓 ·鑲嵌圖案 ·透視
影響一個(gè)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)的有它的周圍環(huán)境、材料的可得性和類型，以及建筑師所能依靠的想像力和智謀。
一些歷史上的例子是──
·為建造埃及、墨西哥和尤卡坦的金字塔而計(jì)算石塊的大小、形狀、數(shù)量和排列的工作，依靠的是有關(guān)直角三角形、正方形、畢達(dá)哥拉斯定理、體積和估計(jì)的知識(shí)。
·秘魯古跡馬丘比丘的設(shè)計(jì)的規(guī)則性，沒有幾何計(jì)劃是不可能的。
·希臘雅典的巴臺(tái)農(nóng)神廟的構(gòu)造依靠的是利用黃金矩形、視錯(cuò)覺、精密測(cè)量和將標(biāo)準(zhǔn)尺寸的柱子切割成呈精確規(guī)格（永遠(yuǎn)使直徑成為高度的 1／3）的比例知識(shí)。
·埃皮扎夫羅斯古劇場(chǎng)的布局和位置的幾何精確性經(jīng)過專門計(jì)算，以提高音響效果，并使觀眾的視域達(dá)到最大。
·圓、半圓、半球和拱頂?shù)膭?chuàng)新用法成了羅馬的建筑師引進(jìn)并加以完善的主要數(shù)學(xué)思想。
·拜占庭時(shí)期的建筑師將正方形、圓、立方體和半球的概念與拱頂漂亮地結(jié)合在一起，就像君士坦丁堡的圣索菲亞教堂中所用的那樣。
·哥特式教堂的建筑師用數(shù)學(xué)確定重心，以構(gòu)成一個(gè)可調(diào)整的幾何設(shè)計(jì)，使拱頂匯于一點(diǎn)，將石結(jié)構(gòu)的巨大重量引回地面，而不是橫向引出。
·文藝復(fù)興時(shí)期的石結(jié)構(gòu)顯示出對(duì)稱方面的精心設(shè)計(jì)，它是依靠明和暗、實(shí)和虛來(lái)實(shí)現(xiàn)的。
隨著新建筑材料的發(fā)現(xiàn)，人們便用一些新的數(shù)學(xué)思想來(lái)使這些材料的潛力達(dá)到最大。利用品種繁多的現(xiàn)成建筑材料──石、木、磚、混凝土、鐵、鋼、玻璃、合成材料（如塑料）、鋼筋混凝土、預(yù)應(yīng)力混凝土，建筑師們實(shí)際上已經(jīng)能設(shè)計(jì)任何形狀。我們現(xiàn)在已經(jīng)目睹了各種構(gòu)造：雙曲拋物面（舊金山的圣瑪麗教堂）、巴克明斯特?富勒的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)、保羅?索萊里的模數(shù)制設(shè)計(jì)、拋物線飛機(jī)吊架、模仿游牧民帳篷的立體合成結(jié)構(gòu)、支撐東京奧林匹克體育館的懸鏈線纜索，甚至還有帶著橢圓形圓頂天花板的八邊形住宅。
建筑是一個(gè)進(jìn)展中的領(lǐng)域。建筑師們研究、改進(jìn)、提高、再利用過去的思想，同時(shí)創(chuàng)造新思想。歸根到底，建筑師有想像任何設(shè)計(jì)的自由，只要存在著支持所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)和材料。
有關(guān)希爾伯特的兩個(gè)小故事
德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（1862～1943）是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是巨大的和多方面的，研究領(lǐng)域涉及代數(shù)不變式，代數(shù)數(shù)域，幾何基礎(chǔ)，變分法，積分方程，無(wú)窮維空間，物理學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等。他在1899年出版的《幾何基礎(chǔ)》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動(dòng)形成了“數(shù)學(xué)公理化學(xué)派”，可以說希爾伯特是近代形式公理學(xué)派的創(chuàng)始人。1900年希爾伯特38歲時(shí)在巴黎舉行的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。在講演中，他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢(shì)，以卓越的遠(yuǎn)見和非凡的洞察力，提出了新世紀(jì)所面臨的23個(gè)問題。這23個(gè)問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分重要領(lǐng)域（著名的哥德巴赫猜想就是第8個(gè)問題中的一部分），對(duì)這些問題的研究有力地推動(dòng)了20世紀(jì)各個(gè)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。
本文介紹關(guān)于希爾伯特青年時(shí)代的兩個(gè)小故事。
一、老師在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推
1880年秋天，18歲的希爾伯特進(jìn)人家鄉(xiāng)的哥尼斯堡大學(xué)，他不顧當(dāng)法官的父親希望他學(xué)習(xí)法律的愿望，毫不猶豫地進(jìn)了哲學(xué)系學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（當(dāng)時(shí)的大學(xué)，數(shù)學(xué)還設(shè)在哲學(xué)系內(nèi)）。希爾伯特發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)的大學(xué)生活要多自由有多自由。意想不到的自由，使許多年輕人把大學(xué)第一年的寶貴時(shí)光都花費(fèi)在學(xué)生互助會(huì)的傳統(tǒng)活動(dòng)飲酒和斗劍上，然而對(duì)希爾伯特來(lái)說，大學(xué)生活的更加迷人之處卻在于他終于能自由地把全部精力給予數(shù)學(xué)了。
大學(xué)的第一學(xué)期，希爾伯特選學(xué)了積分學(xué)，矩陣論和曲面的曲率論三門課。根據(jù)規(guī)定。第二學(xué)期可以轉(zhuǎn)到另一所大學(xué)聽課，希爾伯特選擇了海德爾堡大學(xué)，這是當(dāng)時(shí)德國(guó)所有大學(xué)中最討人喜歡和最富浪漫色彩的學(xué)校。希爾伯特在海德爾堡大學(xué)選聽拉撒路·富克斯的課。富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和線性微分方程幾乎成了同義語(yǔ)。他講課確實(shí)與眾不同，給人的印象很深。課前他不大做準(zhǔn)備，對(duì)要講的內(nèi)容，在課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推。于是常常發(fā)生這樣的情形，某個(gè)問題在黑板上推不下去了，這時(shí)他就再想另外一種方法，有時(shí)一連要換好幾種方法，但他最后總能推導(dǎo)出結(jié)果來(lái)。他就是這樣，習(xí)慣于在課堂上把自己置于危險(xiǎn)的境地。這樣的課學(xué)生們?nèi)绾慰茨�？他的一位學(xué)生后來(lái)回憶時(shí)寫道：這樣的課，使學(xué)生們“得到一個(gè)機(jī)會(huì)，瞧一瞧最高超的數(shù)學(xué)思維的實(shí)際過程�！蔽覀兛梢韵胂�，善于思考和學(xué)習(xí)的希爾伯特肯定會(huì)從中領(lǐng)悟到一個(gè)數(shù)學(xué)家是如何思考問題的，這種包括幾經(jīng)碰壁終于找到解法的探索過程在教科書上無(wú)論如何是看不到的。把思考問題的實(shí)際過程展現(xiàn)給學(xué)生看，這樣做實(shí)際上是非常富于啟發(fā)性的。我國(guó)著名的數(shù)學(xué)方法論專家徐利治教授認(rèn)為這一點(diǎn)對(duì)希爾伯特的成長(zhǎng)肯定起過很好的作用。我想這一點(diǎn)對(duì)我們今天也很有啟發(fā)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)會(huì)這道題的解法，而且更要學(xué)會(huì)這個(gè)解法是如何找到的。即學(xué)會(huì)思考。
二、蘋果樹下的例行出步
希爾伯特在海德爾堡上了一學(xué)期以后，接下來(lái)的一個(gè)學(xué)期，本來(lái)可以允許他再轉(zhuǎn)到柏林去聽課，但他深深地依戀自己的家鄉(xiāng)，于是他又回到了哥尼斯堡大學(xué)。再下一個(gè)學(xué)期──1882年春天，希爾伯特仍決定留在哥尼斯堡。
這時(shí)赫爾曼·閱可夫斯基從柏林學(xué)習(xí)了三個(gè)學(xué)期后也回到了哥尼斯堡大學(xué)。閩可夫斯基從小就數(shù)學(xué)才能出眾，據(jù)說有一次上數(shù)學(xué)課，老師因把問題理解錯(cuò)了而“掛了黑板”，同學(xué)們異口同聲叫道：“閉可夫斯基去幫幫忙！”在柏林上學(xué)時(shí)，他因?yàn)槌錾臄?shù)學(xué)工作曾得到過一筆獎(jiǎng)金。這時(shí)，年僅17歲的閱可夫斯基正沉浸在一項(xiàng)很深?yuàn)W的研究之中──解巴黎科學(xué)院出榜征解的一個(gè)問題：把一個(gè)數(shù)表成五個(gè)平方數(shù)的和。一年后，1883年春天，18歲的閱可夫斯基和英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家史密斯共享巴黎科學(xué)院的這項(xiàng)大獎(jiǎng)。這件事轟動(dòng)了整個(gè)哥尼斯堡。希爾伯特的父親因此曾告
誡自己的兒子不要冒冒失失地去和“這樣知名的人”交朋友。但由于對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛和共同的信念，希爾伯特和比他小兩歲的閩可夫斯基很快成了好朋友。
1884年春天，年輕的數(shù)學(xué)家阿道夫·赫維茨從哥廷根來(lái)到哥尼斯堡擔(dān)任副教授，年齡還不到25歲，在函數(shù)論方面已有出色的研究成果。希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關(guān)系。他們這三個(gè)年輕人每天下午準(zhǔn)5點(diǎn)必定相會(huì)去蘋果樹下散步。希爾伯特后來(lái)回憶道：“日復(fù)一日的散步中，我們?nèi)悸耦^討論當(dāng)前數(shù)學(xué)的實(shí)際問題；相互交換我們對(duì)問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計(jì)劃�！痹谒麄�?nèi)酥校站S茨有著廣泛“堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，又經(jīng)過很好的整理，”所以他是理所當(dāng)然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠(chéng)服。當(dāng)時(shí)希爾伯特發(fā)現(xiàn)，這種學(xué)習(xí)方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續(xù)了整整八年半之久。以這種最悠然而有趣的學(xué)習(xí)方式，他們探索了數(shù)學(xué)的“每一個(gè)角落”，考察著數(shù)學(xué)世界的每一個(gè)王國(guó) 高三，希爾伯特后來(lái)回憶道：“那時(shí)從沒有想到我們竟會(huì)把自己帶到那么遠(yuǎn)！”三個(gè)人就這樣“結(jié)成了終身的友誼�！�
正如徐利治教授所指出的，良師益友間的互相切磋討論對(duì)希爾伯特的成長(zhǎng)發(fā)展也起了十分重要的作用，可以想見那段時(shí)間是希爾伯特才、學(xué)、識(shí)獲得迅速成長(zhǎng)的重要階段，假如沒有這段經(jīng)歷，那么希爾伯特在1900年竟能在許多重要領(lǐng)域中一次提出那么多著名難題，倒是不易想象的了。
有關(guān)希爾伯特散步的這個(gè)小故事告訴我們，師生除了在課堂上的活動(dòng)以外，師生在課外的交流以及同學(xué)間的課外交流，也是一種重要的學(xué)習(xí)方式，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常有益。而且，在散步中交流因?yàn)闆]有書本，也不用紙和筆，因此沒有繁瑣的推導(dǎo)和計(jì)算，只能交談那些能用話“說出來(lái)”的東西，即對(duì)問題的理解，分析總是中的思想和方法，挖掘統(tǒng)帥形式推導(dǎo)的靈魂，......而這些對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)非常重要。同學(xué)們不妨經(jīng)常邀幾位要好的同學(xué)一起散步交談，肯定會(huì)其樂無(wú)究的。
參考資料；
�。�1）康斯坦斯·瑞德著《希爾伯特》，上�？萍汲霭嫔�，1982年。
�。�2）徐利治著《數(shù)學(xué)方法論選講》（第二版），武漢：華中工學(xué)院出版社，1988年。
選自《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2001年8月上
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