淺談小學數(shù)學的研究性學習
一、小學數(shù)學研究性學習的意義和目的
《九年制義務教育全日制小學數(shù)學教學大綱》闡明了數(shù)學的重要作用：“數(shù)學是學習現(xiàn)代科學技術必不可少的基礎和工具。它在日常生活、生產(chǎn)建設和科學研究中，有著廣泛的應用。因此掌握一定的數(shù)學基礎知識和基礎技能，是我國公民應當具備的文化素養(yǎng)之一。”又指出：“小學數(shù)學是義務教育的一門重要學科。從小給學生打好數(shù)學的初步基礎，發(fā)展思維能力，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，養(yǎng)成良好的學習習慣，對于貫徹德、智、體、美全面發(fā)展的教育方針，培養(yǎng)有理想、有道德、有文化、有紀律的社會主義公民，提高全民族的素質(zhì)具有十分重要的意義�！�
小學數(shù)學教學要求我們以唯物辯證法為指導，理論聯(lián)系實際，使學生在掌握基礎知識的同時，發(fā)展智力，培養(yǎng)能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和求知欲，充分調(diào)動學生學習的積極性和主動性，小學數(shù)學的研究性學習則是在教師的指導下，是學生自己發(fā)現(xiàn)問題，帶著問題運用觀察、比較、分析、判斷、推理等研究手段自己獲取新的知識，使問題得到解決的一種學習活動。這種學習能有效地提高學生學習的興趣，提高學生數(shù)學邏輯推理的思維能力，提高學生問題解決的策略能力，從而達到小學數(shù)學教學的目標要求。
施良方教授在《教育理論：課堂教學的原理、策略與研究》一書提到“廣義的知識包括兩大類：一類是陳述性知識，即‘知什么’；另一類是程序性知識，即‘知如何’，它包括理智技能和認知策略，此外還包括動作技能中的認知成分�！背绦蛐灾R中的智慧技能、認知策略的形成則是研究性學習所要達成的目標，尤其是認知策略，學生只有通過自己學，才能掌握有意注意，思維，記憶等過程的技能。使學生學會學習，只有在教師的指導下，學生對學習材料通過自己的研究性學習，才能在學習的過程中不斷地領悟認知策略，才能逐步地掌握怎么學，才能使他們能夠在走出學校之后，不斷地有效地學習。
數(shù)學教育的核心是問題的解決。偉大的數(shù)學家希爾伯特說：“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預示著獨立發(fā)展的衰亡或終止。……數(shù)學研究也需要自己的問題，正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點，達到更為廣闊和自由的境界�！毙W數(shù)學的研究性學習正是要引導學生去發(fā)現(xiàn)他所未知的問題，通過數(shù)學手段來解決問題，且能用數(shù)學解決問題的策略遷移到其它問題的解決上。小學數(shù)學習題的研究性學習，既要注意生活實際中顯示的數(shù)學問題，更要注意一些有一定研究價值的體現(xiàn)數(shù)學方法的習題。如小學數(shù)學中的行程問題，小學生學習后可能今后再也不可能碰到這樣的問題，那么這類問題有否研究價值呢？學習研究解決行程問題，恰是一種程序性知識的學習。研究這類問題將會告訴我們：如何從問題出發(fā)，尋找解決問題的條件，如何利用已有的條件探索條件之間復雜的隱含聯(lián)系，從而創(chuàng)造出更新更直接的條件建立數(shù)學模型解決問題。這種問題解決策略正是通過對各種數(shù)學習題的研究性學習才得以形成。發(fā)現(xiàn)問題，研究問題，構建解決問題和認知策略，這就是小學數(shù)學研究性學習的目的和意義。
二、小學數(shù)學研究性學習的內(nèi)容
研究性學習可以分成形成型研究性學習，應用型研究性學習等等。小學數(shù)學研究性學習的內(nèi)容大致也可以有這幾種。
數(shù)學新知識、新概念的學習與形成如果與學生已有的認知結構與具體經(jīng)驗很接近，即處于學生的最近發(fā)展區(qū)，這部分的學習內(nèi)容可以作為研究性學習的內(nèi)容。如：小數(shù)乘法的學習。學生已有整數(shù)乘法運算的知識與技能，小數(shù)乘法的計算方法的學習完全可以在教師的指導下完成。教師可以先讓學生觀察在整數(shù)乘法中，因數(shù)擴大或縮小和積擴大或縮之間的倍數(shù)關系，那么如果小數(shù)因數(shù)去掉小數(shù)點變成整數(shù)后計算得到的積和原來的積有什么關系呢？讓學生思考研究。經(jīng)過多題的比較研究，學生可明白因數(shù)擴大若干倍積也擴大相同的倍數(shù)，如果小數(shù)乘法變成整數(shù)乘法來計算，積擴大了若干倍，要恢復成原來的積，只要把擴大的積縮小相同的倍數(shù)即可。教師繼續(xù)可引導學生去觀察：小數(shù)乘法中積的小數(shù)位數(shù)與因數(shù)的小數(shù)位數(shù)之間的聯(lián)系，找找規(guī)律，找找原因，學生就能得到小數(shù)乘法的計算法則。再如：學習三角形面積的計算，教師給出一個三角形圖形，請學生量量算算它的`面積大小，學生可能會用各種方法來試圖計算它的面積大小，如用畫方格的方法等。教師可以再給出一個完全一樣的三角形，讓學生想辦法，看能不能用這兩個完全一樣的三角形，不用畫方格的方法來計算出其中一個的面積。能不能用已學過的平行四邊形面積計算的方法試一試，學生經(jīng)過討論、試驗，會試圖把這兩個三角形拼成一個平行四邊形，再測量出平行四邊形的底和高的長度，并會發(fā)現(xiàn)這樣一個三角形的面積恰好是拼成的平行四邊形面積的一半，并計算出平行四邊形的面積除以2就是等底等高三角形的面積。雖然拼的方法不同但計算的結果都一樣，這樣就順理成章地推導出三角形面積的計算方法。象這類舉不勝舉的數(shù)學基礎知識和概念的形成性學習材料，都可以作為小學數(shù)學形成型研究性學習的內(nèi)容。
目前小學數(shù)學教學中教師普遍重視知識與技能形成性的研究性學習，而對另一種更重要的研究性學習，即問題解決的研究性學習或應用型的研究性學習卻沒有引起足夠的重視。小學數(shù)學教學中對數(shù)學習題的知識功能較重視，而對它的教育功能不夠重視，數(shù)學習題的解答往往停留在簡單模仿的水平上，沒有認識到數(shù)學習題是一個載體，通過解答數(shù)學習題可使學生的思維活動有一定水平的目的性、方向性、確定性和辨別性，從而成為培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)的重要工具。在數(shù)學習題解答的研究性學習中，有的放矢地轉(zhuǎn)化解題方法，從一種途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑可以培養(yǎng)思維的靈活性。堅持數(shù)學運算速度的要求，同時使學生掌握合理的運算技巧和探索問題的方法，可以培養(yǎng)學生思維的敏捷性。分析數(shù)學習題條件的實質(zhì)，以及條件之間的相互聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)其中的隱含條件，可以培養(yǎng)學生思維的深刻性。善于發(fā)現(xiàn)問題，提出質(zhì)疑，及時摒棄自己的錯誤，可以培養(yǎng)學生思維的批判性。在解題中引導學生重視常規(guī)而又不墨守成規(guī)，尋求變異，從多角度，全方位考慮問題，可以培養(yǎng)學生思維的廣闊性。在解題中鼓勵學生主動地、獨立地、別出心裁地提出新方法、新見解、不因循守舊，不迷信權威，善于聯(lián)想、善于類比、可以培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性。研究解答好思維性強的習題使學生得益匪淺。
如學生學習了分解質(zhì)因數(shù)知識后，可以出這樣一道題，兩個整數(shù)的積是144，差是10，這兩個整數(shù)分別是幾？學生可能會把乘積是144的兩個整數(shù)都找出來列成一表：
123468912
14472483624181612
這樣可發(fā)現(xiàn)只有18與8是相差10，則18與8即是本題的答案。如果進一步提出還有沒有別的方法可以解決這個問題呢？經(jīng)過研究，可得到這樣的一個結論，如果兩個整數(shù)的積相等，那么這兩個整數(shù)所含有的質(zhì)因數(shù)的種類與個數(shù)完全一樣，知道兩個整數(shù)的積，只要把積所含有的質(zhì)因數(shù)進行重新搭配，就能找出各種各樣的乘法算式，如果因數(shù)是整數(shù)，則這些乘法算式的個數(shù)是有限的。同學們還會根據(jù)這個結論去編出很多相關的應用題。這樣就把分解質(zhì)因數(shù)這樣一個數(shù)學知識巧學活用了。
再如學生學習了正方形、長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積計算方法后，讓學生去研究這樣一道題，由兩個正方形組成的如圖所示的圖形，只知小正方形的邊長為6，求陰影部分三角形的面積，開始學生會覺得很簡單，因為它與知道兩個正方形邊長的題目很相似，再仔細一看，發(fā)覺缺少一個條件，即缺少大正方形邊長，于是陷入一種困惑。
這時，不妨讓學生試一試憑直覺你覺得面積應是幾？很多人會猜是18！那么為什么呢？不妨再讓學生去假設大正方形邊長為已知條件，長度可以隨意定，讓學生去計算陰影部分面積，于是大家發(fā)現(xiàn)結果驚人的一致，都是18。這又是為什么呢？學生可以肯定陰影部分面積與小正方形有密切關系，而與大正方形沒有多大的關系。此時讓學生去觀察三角形AEF與梯形CBEF的大小，有沒有辦法證明是一樣大。再觀察三角形AHB與三角形CHF的大小關系，會發(fā)現(xiàn)這里有一個等量替換的關系而恍然大悟。象這樣：猜想----假設----驗證----推理的研究過程將會激發(fā)學生極大的學習興趣，也可能悟出一些問題解決的策略。要使數(shù)學習題成為小學數(shù)學的研究性學習的內(nèi)容，僅依靠現(xiàn)有的教材是不夠的，需要我們教師不斷地根據(jù)學生的知識現(xiàn)狀與能力去創(chuàng)造，從而使數(shù)學習題的教育功能得到充分體現(xiàn)。當然這部分研究性學習的內(nèi)容并不是每個學生每一次都能得出研究的結果，因此在內(nèi)容的選擇上，應該從易到難，從簡單到復雜，而且要強調(diào)研究性學習中團隊合作的精神，一個人想不出不等于大家想不出，一個人在一個問題中思考研究出一個方面，群體就可以解決一個較難的問題。數(shù)學習題的研究性學習是一個很重要的內(nèi)容，必須引起我們數(shù)學教師，尤其是小學數(shù)學教師的關注。
三、小學數(shù)學研究性學習的策略
小學數(shù)學的研究性學習主要是通過學生自己的研究去發(fā)現(xiàn)認識數(shù)學知識，或利用數(shù)學知識去解決實際問題。因而在小學數(shù)學研究性學習中一般采用這樣一些策略。
第一，教師要準備可供研究的材料，要根據(jù)兒童的心理特征設計內(nèi)容，抽象邏輯思維也具有很大成分的具體形象性的特點，教師要設置問題情境，引導學生觀察各種數(shù)學現(xiàn)象或數(shù)字的顯著特點，并逐步縮小觀察范圍，把注意力集中于某個中心點。教師提供材料開始都應該是直觀形象的。
第二，直觀形象的材料要讓學生經(jīng)過實際操作，動手算算、劃劃、分分、拼拼，引導學生提出假設，適時提出問題，引起學生思考、分析、比較，對各種信息進行轉(zhuǎn)換與重新組合，以事實為依據(jù)來驗證假設，并且不斷地對假設進行修正和完善，以推導出概括性的結論。?
第三，教師在整個研究過程中，要幫助學生理清思維過程，并能用比較清晰的、有條理的語言來表述整個思考與研究過程，這樣有利于學生通過研究獲得新知識與認知策略，并納入到自己的認知結構中。
第四，教師還可以提供相類似的材料，以便學生將研究所獲得的結論或方法，運用于新的問題情景中，使其得以鞏固和深入，形成問題解決策略的遷移能力。
第五，教師要適當?shù)亟M織學生分組，最好能按學生學習能力的強弱交叉分組，發(fā)揮互補優(yōu)勢，以體現(xiàn)互助合作精神。
下面僅以一例，說明以上策略的應用。教師給出一個問題解決的材料，現(xiàn)在有一個比薩餅，如果切10刀，最多能切出多少塊大大小小的比薩餅。（這個問題適宜于中、高年級的學生思考）。教師可先引導學生去畫一個大圓代替比薩餅，然后用直線代替切刀，先試切一刀，二刀，三刀……等等，學生動手操作，最后結論可能是不同的！切一刀，都是二塊；切二刀，就有三塊、四塊之分；切三刀；更有四塊、五塊、六塊、七塊等多種答案。教師應及時提醒學生介紹他是如何切的。學生可能一開始也不是能切出7塊的，可能也是4塊與5塊，但他及時注意到了問題的特殊要求，再繼續(xù)嘗試，結果切出7塊。這時教師要讓學生分組討論，讓他們討論切4刀怎么樣？怎樣切才能使分成的塊數(shù)最多。經(jīng)過討論，學生會得出這樣的假設，如果以直線代替刀，則要使每兩條直線都相交，并且交點不重疊，才有可能分出最多塊。然后再讓學生試5刀、6刀，這時學生會發(fā)現(xiàn)第5條直線、第6條直線已經(jīng)很難畫上去，圓也越畫越大。教師可適時提出，我們能不能對已研究得出的結果排列出一張有序的數(shù)據(jù)表，來思考一下其中的規(guī)律呢？
觀察結果，學生會發(fā)現(xiàn)前一個塊數(shù)加上后一個直線條數(shù)，即是后一個分成的最多塊數(shù)。這樣就很順利地推導出切5刀，切6刀，甚至切10刀的塊數(shù)。學生的研究性學習獲得了第一個成果。教師這時應提出更高的要求，提出更新的問題。如果要切49刀，50刀等，這樣推算是不是太麻煩？能不能找出2，4，7，11，16……這樣一串數(shù)與1，2，3，4，5……之間的關系，找找有什么規(guī)律性的東西，學生分組討論研究，在小組討論的基礎上，由小組代表發(fā)言，形成大組討論的形式，最后能推導出一個計算公式：（刀數(shù)＋1）×刀數(shù)÷2＋1＝塊數(shù)，然后再進行逐個數(shù)據(jù)的驗證，證明是切實可行的。這樣就完成了一個完整的研究過程，取得了研究成果的高級形式----直線分割平面的方法和計算。最后還需請幾個學生用完整的語言敘述整個研究的過程以及其中的思維活動，以利于學生構建認知結構與問題解決的策略。這樣一個從形象到抽象，從具體到一般，再回到具體的研究思維過程。是源于教師在其中的指導作用是參謀而不是主謀，到位而不越位。
四、小學數(shù)學的研究性學習和接受性學習
小學數(shù)學的研究性學習優(yōu)點是明顯的。
第一，促進智力的發(fā)展。通過學生自己的發(fā)現(xiàn)、研究去學習，可以使學生按照促使信息更迅速地用于解決問題的方式去獲得信息。
第二，激發(fā)學生的學習興趣。學生體驗到研究中的樂趣，從而將學習的外部動機轉(zhuǎn)化為內(nèi)部動機，調(diào)動學生學習的積極性。
第三，培養(yǎng)學生掌握問題解決的策略和研究的方法。有利于學生再學習，而這種研究方法的雛形對將來進行科學探索和研究具有十分重要的價值和遷移作用。
第四，提升學生記憶品質(zhì)。學生自己研究得到的成果，會把整個研究過程形成的記憶產(chǎn)生豐富的“再生力”而長期保持下去。
但是研究性學習也有其明顯的局限性：第一，通過研究性學習來掌握知識，效率較低。第二，研究性學習有一定的適用范圍。第三，研究性學習要求學生具備相應的實踐經(jīng)驗。對于小學生來說，如不能實踐操作的，就不能建立有效的假設，那么研究的結果就變成一種盲目亂猜，變成一種形式主義。第四，一個人不可能只憑發(fā)現(xiàn)、研究去學習，沒有扎實的知識基礎，任何研究都是不現(xiàn)實的。
接受性學習也有其優(yōu)點與局限，其優(yōu)點表現(xiàn)為它可以使學生在相對短的時間內(nèi)掌握大量的科學文化知識；有助于使學生掌握的知識達到系統(tǒng)化；有助于培養(yǎng)學生從書本中獲取知識的習慣和能力；另外接受性學習對教育設施的要求較低，成本低，經(jīng)濟易行。但接受性學習也有其缺陷：首先，對于低年級兒童，接受學習受到很大限制，因為他們對新知識的學習只依賴于自己的具體經(jīng)驗。中、高年級學生對于新知識的學習在一定程度上仍需要自己的具體經(jīng)驗為依據(jù)。因此小學階段的數(shù)學教學光靠接受性學習是不夠的；其次，接受性學習對培養(yǎng)學生的探究精神、創(chuàng)造精神，讓學生掌握科學探究方法等方面的作用明顯不如研究性學習。
綜上所述：接受性學習與研究性學習是相互制約、相互促進的。沒有具備一定的知識基礎而進行研究性學習，其效率必然是很低下的，學生只能盲目地、機械地進行“試誤”式的研究。而有效的研究性學習賴以發(fā)生的知識基礎從何而來呢，可以來自接受性學習，也可以來自研究性學習，但主要的是來自接受性學習。另一方面，研究性學習也是促進接受學習的一個重要條件，接受性學習在一定程度上需要具體經(jīng)驗作支柱，而研究性學習是學生通過自身體驗獲得具體經(jīng)驗的重要途徑，因此研究性學習又是接受性學習的基礎。再者，在研究學習中要運用過去所獲得的知識，包括接受學習中獲得知識，通過運用知識來解決問題，而使知識及其運用策略得到鞏固并獲得新的理解。同時，研究性學習在使學生掌握科學發(fā)現(xiàn)，探究方法等方面具有獨特的功能，也是學生理解抽象的、概括性知識的必要途徑。顯然，這些作用都是接受性學習所不能替代的。總之，學校教學應以接受學習與研究學習并存，并隨教育層次的變化相應地有所變化。學生受教育的過程就是從接受走向研究的過程，小學數(shù)學教學也不例外。最重要的是，教師必須根據(jù)教育對象的特點、教學的材料等具體條件，選擇教學方式，只有真正適應學生學習的學習方式才是好方法。
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