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基于改進的BPR路段阻抗函數研究城市道路交通阻抗
摘 要: 在交通分配的過程中，目前廣泛采用的路阻函數是美國公路局提出的 BPR 函數， 但在實際應用中推薦的 BPR 參數得到的結果并不符合實際，而且在城市道路交通分配的交 通阻抗模型研究中，很少考慮到交叉口作為一個節點阻抗對模型的影響。在文獻[1]中，作 者推導了路段流量和路段通行時間之間的關系式，比較了 BPR 函數和推導關系式之間的差 異，并提出了較好的擬和方程。本文在此基礎上注重了交叉口在研究交通阻抗中的重要性， 將改進的路阻函數和本文提到的節點函數結合在一起， 運用多元線性回歸分析方法研究城市 道路交通阻抗，這對于研究城市道路交通分配中的交通阻抗函數有著重要的意義。
關鍵詞：改進的 BPR 函數;交通阻抗;節點阻抗;多元線性回歸分析
1 問題的提出
交通阻抗包括路段阻抗和節點阻抗，在交通分配中交通阻抗作為一個重要因素被研究 人員重視。所謂阻抗就是指車輛在路網中未能按照理想的狀態運行而造成的損失費用總和， 阻抗分為路段阻抗和節點阻抗， 節點阻抗主要是指車輛在交叉口處造成的損失費用。 由于交 叉口處有流向不確定等因素， 大多數只考慮路段阻抗， 將交叉口作為節點阻抗研究的并不多。 但是在實際的城市道路中，交叉口的寬度占所有道路的 5%以上[ 2]。它的影響程度更會遠遠超過 5%，所以研究交叉口的尺寸、車道分配、綠信比等在節點阻抗中的作用是非常必要的。 路段阻抗函數在交通分配中起到至關重要的作用， 和節點阻抗函數一起決定著分配過程中路 徑的選擇。在 BPR 函數中包含了 α 和 b 兩個參數，美國公路局的推薦使用值分別為 0.15 和 4。文獻[1]詳細論述了改進的 BPR 函數的推導及應用，并在實例檢驗中有較好的結果。所 以本文的交通阻抗函數的路段函數部分直接引用改進的 BPR 函數。
2 路段行駛時間和流量關系的推導
u(K ) = u f ? uf Kj
[ 3]、 ] Greenshields 在 1963 年提出了描述速度-密度關系的線性表達式
K
(1)
又知速度、流量、密度之間的關系式
q =u?K
式中，u 為路段行車速度;
(2)
uf
為自由流時的路段行駛速度;K 為路段車流密度;
Kj
為
路段擁堵至車流速度為零時的密度; q 為路段車流量。 由式(1) (2)可以得到車流和密度的關系式
q( K ) = u f K ?
uf Kj
K2
(3)
dq 1 1 =0 u = uf K = Kj 2 ， 2 時，式(3)有最大值 上述表達式令 dk ，得當
C=
1 uf Kj 4
(4)
式(4)中， C 稱之為路段的通行能力。 將速度-密度表達式(1)化作
K=
Kj uf
(u f ? u )
(5)
將表達式(5)代入流量和密度的關系式(3)并化簡得到流量-速度表達式
q=?
Kj uf
u 2 + K ju
(6)
假定某路段 a 的長度為 l ，則有
t0 =
l uf
u=
，
l t
(7)
式中，
t 0 為自由流狀態下路段 a 的行駛時間。
2
將表達式(7)代入流量和速度的關系式(6)可得
2 2 ? l ? K j ? l ?2 l ? ? ? K j u f ? l ? + l ? K j u f ? l ? = ?4C ? t 0 ? + 4C t 0 q=? ? ? ? ? + K j = ?? ? ? ? ? ? uf ?t ? t uf t ?t ? ?t ? ?t ? ?uf ?
(8)
t0 將上式(8)看作 t 的一元二次方程，解之得到 t0 1 1 q = ± 1? t C 2 2
(9)
進一步變形可得到路段流量和路段行駛時間的關系式
? ? 2 t = t0 ? ? q ?1± 1? C ?
? ? ? ? ? ?
(10)
t q t 0 為縱坐標，以 C 為橫坐標對公式(10)繪 為方便起見，稱公式(10)為推導式。以
圖，見圖 1。
t/t
0
1
2 q/c
圖1 路段流量-行駛時間關系圖
圖 1 中曲線分為①②兩個部分， ①部分對應公式 (10) 中的 + 號， ②部分對應公式 (10) 中的 - 號。 圖 1 中①部分表示當流量由 0 開始增大時，路段上的速度逐漸減小，通過路段的時間
q =1 隨之增長，當流量達到路段通行能力時(即 c 時) ，路段流量達到最大，此時對應最佳
車流密度和最佳車速;當車流密度繼續增大時，如圖中②部分所示，由于擁擠效應，車速開
始減小，通過路段的時間開始增大，當車流密度達到 過路段的時間理論上為無限長。
Kj
q =0 時，路段流量為 0(即 c ) ，通
3 拋物線擬合及改進的 BPR 路段阻抗函數
BPR 函數是美國公路局(U.S. Bureau of public Roads)通過大量路段進行交通調查，回歸 分析得到的一個公式，通過路段 a 的時間和路段上流量的存在以下關系
β ? ?q? ? t = t ?1 + α ? ? ? ?C ? ? ? ? ?
0
(11)
美國公路局推薦使用參數 α = 0.15 和 β = 4 。
t q t 同樣以 0 為縱坐標，以 C 為橫坐標對式(11)進行繪圖，見圖 2。
比較可以看出，推導式與 BPR 函數存在很大差異，可以對推導式曲線進行擬合，以重 新得到路阻函數或 BPR 函數參數，具體擬合過程請參看文獻[1]。最后
t/t
0
q/c
圖2
q3 q2 q 0.2404 + 0.5305 ? 0.0393 C C C
函數曲線
[1]
得到路段通行時間與路段流量之間的擬合關系式
。
t =e t0
(12)
將公式(11)進行變形
? ?t ?q? ln? ? 1? = ln α + β ln? ? ? ?t ?C ? ? ? 0
(13)
? ?t ?q? y = ln? ? 1? x = ln? ? ? ?t ? ， b = ln α ， ? 0 ? C ? ，將式(13)線性化 令 y = b + βx (14)
利用式(14)對推導式曲線的非擁擠部分進行擬合，擬合效果與實際相符。得擬合方
2 程 y = 1.4434 x ? 0.5677 ，相關系數 R = 0.9497 。于是，α = 0.5668 ， β = 1.4431 。因
此擬合得到 BPR 函數為
1.4431 ? ? ?q? t = t 0 ?1 + 0.5668? ? ? ?C ? ? ? ? ?
(15)
4 節點阻抗函數模型的研究與建立
由于交叉口處存在的流量流向不確定等因素，在大多數交通阻抗的研究中，節點阻抗 研究相對較少， 不過它是實際存在的， 且不能忽略。 在城市道路交通分配的交通阻抗分析中， 交叉口阻抗(節點阻抗)是主要的，其影響要大于路段阻抗，如果只考慮路段阻抗分配得到 的結果與實際情況會相差很多。 影響節點阻抗的因素有很多，主要有平面交叉口是否由信號燈控制、有信號燈控制的 交口某方向的綠信比、 交叉口尺寸及進口道車道數、 有無方向禁行、 有無自行車專用車道 (機 非是否分離)等。為了便于研究和便于將節點阻抗函數同改進的 BPR 函數的有效結合成交 通阻抗函數，下面將這些影響節點阻抗的因素運用多元線性回歸模型[ 4]的方法得到車輛在交叉口的行車延誤(包括停車延誤) 。
t 2 = b0 + b1 x1 + b2 x 2 + L + b j x j
i i i i i i i
i
，
t2 = ∑ t2
i =1
n
i
(16)
式(16)中， t 2 是車輛在路段的第 i 個交叉口上的行車延誤;
i
t 2 是車輛在路段的 n 個交叉口上的行車延誤總量
; (注： t1 是該路段的路段阻抗值，以下述)
? ?1i , 第i個交叉口有信號燈控制 x1 = ? i ?ν 1 ，第i個交叉口無信號燈控制 ;
i
? g i ? K , 第i個交叉口有信號燈控制 i x2 = ? 2 ? K，第i個交叉口無信號燈控制 ;
; (注： K 是一固定值， g 2 是第 i 個信號交叉口路段方向的綠信比)
i
x3
i
是第 i 個交叉口尺寸; (注：單位， m )
2
x 4 是第 i 個交叉口路段方向上的進口道車道數; ? φ5 i , 第i個交叉口有方向禁行 x5 = ? i ?? 5 ，第i個交叉口無方向禁行 ;
i
i
? λ i , 第i個交叉口有自行車專用車道 i x6 = ? 6i ?π 6 ，第i個交叉口無自行車專用車道 ;
b0
i
是車輛在路段的第 i 交叉口上的平均停車延誤; 是 t2 對
i
bj
i
xj
i
的回歸系數;
i = 1,2,L , n ， j = 1,2,L ,6 。
i i i i i i i i x x x b b 通過交通調查收集 t 2 、 x1 、 x 2 、 3 、 x 4 、 5 、 6 的統計數據，擬合得到 0 、 j ( i = 1,2, L , n ， j = 1,2,L ,6 )的值。將得到的回歸系數代入式(16)中，即得節點阻抗 i
函數的模型表達式。
5 交通阻抗函數模型的研究
在城市道路交通阻抗中，路段阻抗與節點阻抗的貢獻量隨著路況的變化而發生改變， 所以不能將它們簡單的相加就得到交通阻抗值。這里引入一個參數 B ，交口數/千米，即
B=
n l ，其中 n 為路段 L 上的交口數，l 為路段 L 的長度。下面用線性方程來定義出城市道
路交通阻抗公式：
B ? ? t = A? t1 + t 2 ? 2 ? ?
將式(15)(16)代入上式可得： 、
1.4331 ? ? ? B n i? ? ? ?q? t = A?t 0 ?1 + 0.5668? ? ? + ∑ t2 ? ?C ? ? ? ? 2 i =1 ? ? ? ? ?
(17)
(18)
式(18)中，
t 0 為自由流狀態下車輛在路段上的行駛時間;
∑t
i =1
n
i 2
= ∑ (b0 + b1 x1 + b2 x 2 + L + b j x j )
i i i i i i i i =1
n
;
A 為待定系數。
6 結束語
本文在研究交通阻抗函數模型中借鑒了文獻[1]中的 “改進的路段阻抗函數公式” 不僅 ， 吸取了美國公路局 BPR 函數的優點，又更符合我國當前的城市道路現狀。在節點阻抗函數 和交通阻抗函數的研究中， 本篇論文開創性的提出了運用多元線性回歸模型來解決交叉口節 點阻抗問題。將信號控制、交叉口尺寸、綠信比、方向禁行等主要影響因素綜合考慮，最后 給出了城市道路交通阻抗函數模型，體現了總體思考的研究方法。 但由于研究面臨的現實困難，沒有用實例來研究說明公式(18)的實用性和可靠性， 式中大量的回歸系數、待定系數沒有用調查數據加以擬合。另外，各影響因素之間的相互影 響沒有予以充分研究， 如何回避回歸系數的負相關性也有待于進一步深入研究。 以上問題仍 需廣大交通同仁共同參與研究解決!
參考文獻
[1] 王樹盛，黃衛，等. 路阻函數關系式推導及其擬合分析研究. 南京.東南大學.ITS 研究中心.1002-0268 (2006)04-0107-04.
[2] 張渭軍，王華. 城市道路最短路徑的 Dijkstra 算法優化.西安. 長安大學.地球科學與國土資源學院.1671-8879(2005)06-0062-04.
[3] 王煒，過秀成.《交通工程學》 ，2000，東南大學出版社.
[4] 劉舒燕.《交通運輸系統工程》 ，1997，人民交通出版社.
[5] 王殿海.《交通流理論》 ，2002，人民交通出版社.
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