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高中不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
在平日的學(xué)習(xí)中，是不是聽到知識(shí)點(diǎn)，就立刻清醒了？知識(shí)點(diǎn)是指某個(gè)模塊知識(shí)的重點(diǎn)、核心內(nèi)容、關(guān)鍵部分。為了幫助大家更高效的學(xué)習(xí)，下面是小編收集整理的高中不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，希望能夠幫助到大家。
一、 知識(shí)點(diǎn)
1.不等式性質(zhì)
比較大小方法：
(1)作差比較法
(2)作商比較法
不等式的基本性質(zhì)
�、賹�(duì)稱性：a > bb > a
�、趥鬟f性: a > b, b > ca > c
�、劭杉有�: a > b a + c > b + c
④可積性: a > b, c > 0ac > bc;
a > b, c < 0ac < bc;
�、菁臃ǚ▌t: a > b, c > d a + c > b + d
�、蕹朔ǚ▌t：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd
⑦乘方法則：a > b > 0, an > bn (n∈N)
�、嚅_方法則：a > b > 0,
2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理：
(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào))
(2)如果a、b∈R+,那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào))推廣：如果為實(shí)數(shù)，則
重要結(jié)論
1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y是定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，和xy有最大值S2/4。
3.證明不等式的常用方法：
比較法：比較法是最基本、最重要的方法。當(dāng)不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式，則選擇作差比較法;當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)且它們的商能與1比較大小，則選擇作商比較法;碰到絕對(duì)值或根式，我們還可以考慮作平方差。
綜合法：從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式。綜合法的放縮經(jīng)常用到均值不等式。
分析法：不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚，通過尋找不等式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化，直到尋找到易證或已知成立的結(jié)論。
4.不等式的解法
(1) 不等式的有關(guān)概念
同解不等式：兩個(gè)不等式如果解集相同，那么這兩個(gè)不等式叫做同解不等式。
同解變形：一個(gè)不等式變形為另一個(gè)不等式時(shí)，如果這兩個(gè)不等式是同解不等式，那么這種變形叫做同解變形。
提問：請(qǐng)說出我們以前解不等式中常用到的同解變形
去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)
(2) 不等式ax > b的解法
①當(dāng)a>0時(shí)不等式的解集是{x|x>b/a};
�、诋�(dāng)a<0時(shí)不等式的解集是{x|x
�、郛�(dāng)a=0時(shí),b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。
(3) 一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系
(4)絕對(duì)值不等式
|x|0)的解集是{x|-a
o o
-a 0 a
|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，幾何表示為：
o o
-a 0 a
小結(jié)：解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是-去絕對(duì)值符號(hào)(整體思想，分類討論)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式，通常有下列三種解題思路：
(1)定義法：利用絕對(duì)值的意義，通過分類討論的方法去掉絕對(duì)值符號(hào);
(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a
(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)幾何意義。
(5)分式不等式的解法
(6)一元高次不等式的解法
數(shù)軸標(biāo)根法
把不等式化為f(x)>0(或<0)的形式(首項(xiàng)系數(shù)化為正)，然后分解因式，再把根按照從小到大的順序在數(shù)軸上標(biāo)出來，從右邊入手畫線，最后根據(jù)曲線寫出不等式的解。
(7)含有絕對(duì)值的不等式
定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
|a| - |b|≤|a+b|
中當(dāng)b=0或|a|>|b|且ab<0等號(hào)成立
|a+b|≤|a| + |b|
中當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0等號(hào)成立
推論1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|
推廣：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|
推論2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|
二、常見題型專題總結(jié)：
專題一：利用不等式性質(zhì)，判斷其它不等式是否成立
1、a、b∈R,則下列命題中的真命題是( C )
A、若a>b，則|a|>|b| B、若a>b，則1/a<1/b
C、若a>b，則a3>b3 D、若a>b，則a/b>1
2、已知a<0.-1
A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a
C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a
3、當(dāng)0
A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b
C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b
4、若loga3>logb3>0，則a、b的關(guān)系是( B )
A、0a>1
C、0
5、若a>b>0，則下列不等式①1/a<1 a2="">b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是( A )
A、①②③④ B、①②③ C、①② D、③④
(二)比較大小
1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，則( A )
A、ab C、ab<1 ab="">2
2、a、b為不等的正數(shù)，n∈N，則(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符號(hào)是( C )
A、恒正 B、恒負(fù)
C、與a、b的大小有關(guān) D、與n是奇數(shù)或偶數(shù)有關(guān)
3、設(shè)1lg2x>lg(lgx)
4、設(shè)a>0,a≠1,比較logat/2與loga(t+1)/2的大小。
分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊值估測(cè)各式大小關(guān)系，然后用比較法(作差)即可。
(三)利用不等式性質(zhì)判斷P是Q的充分條件和必要條件
1、設(shè)x、y∈R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關(guān)系
⑴命題甲：x>0且y>0， 命題乙：x+y>0且xy>0 充要條件
⑵命題甲：x>2且y>2， 命題乙：x+y>4且xy>4 充分不必要條件
2、已知四個(gè)命題，其中a、b∈R
�、賏2
3、"a+b>2c"的一個(gè)充分條件是( C )
A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c D、a>c且b
(四)范圍問題
1、設(shè)60
2、若二次函數(shù)y=f(x)的圖象過原點(diǎn)，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的范圍。
(五)均值不等式變形問題
1、當(dāng)a、b∈R時(shí),下列不等式不正確的是( D )
A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab
C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)
2、x、y∈(0,+∞)，則下列不等式中等號(hào)不成立的是( A )
C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2
3、已知a>0,b>0,a+b=1，則(1/a21)(1/b21)的最小值為( D )
A、6 B、7 C、8 D、9
4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c≥9
5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：
(六)求函數(shù)最值
1、若x>4,函數(shù)
5、大、-6
2、設(shè)x、y∈R, x+y=5，則3x+3y的最小值是( )D
A、10 B、 C、 D、
3、下列各式中最小值等于2的是( )D
A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x
4、已知實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。
5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。
(七)實(shí)際問題
1、98(高考)如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2cm的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為am，高度為bm，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60m2，問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B孔的面積忽略不計(jì))。
解一：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，
由題意y=k/ab，其中k為比例系數(shù)(k>0)
據(jù)題設(shè)2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)
由a>0,b>0可得0
令t=2+a，則a=t-2從而當(dāng)且僅當(dāng)t=64/t，即t=8,a=6時(shí)等號(hào)成立�！鄖=k/ab≥k/18
當(dāng)a=6時(shí),b=3，
綜上所述，當(dāng)a=6m,b=3m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
解二：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意y=k/ab，其中k為比例系數(shù)(k>0)
要求y的最小值，即要求ab的最大值。
據(jù)題設(shè)2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30
即a=6,b=3時(shí)，ab有最大值，從而y取最小值。
綜上所述，當(dāng)a=6m,b=3m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
2、某工廠有舊墻一面長(zhǎng)14米,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126 米2的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費(fèi)用為a元;②修1米舊墻的費(fèi)用為a/4元;③拆去1米舊墻用所得材料建1米新墻的費(fèi)用為a/2元.經(jīng)過討論有兩種方案：⑴利用舊墻的一段x(x<14)米為矩形廠房的一面邊長(zhǎng);⑵矩形廠房的一面長(zhǎng)為x(x≥14).問如何利用舊墻，即x為多少米時(shí)，建墻費(fèi)用最省?⑴⑵兩種方案哪種方案最好?
解：設(shè)總費(fèi)用為y元，利用舊墻的一面矩形邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為126/x米。
⑴若利用舊墻的一段x米(x<14)為矩形的一面邊長(zhǎng)，則修舊墻的費(fèi)用為x?a/4元，剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費(fèi)用為(14-x)?a/2元，其余的建新墻的費(fèi)用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費(fèi)用 當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)等號(hào)成立，∴x=12時(shí)ymin=7a(6-1)=35a。
⑵若利用舊墻的一段x米(x≥14)為矩形的一面邊長(zhǎng)，則修舊墻的費(fèi)用為x?a/4元，建新墻的費(fèi)用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費(fèi)用
設(shè)f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，則f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)
=(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上遞增，∴f(x)≥f(14)
∴x=14時(shí)ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a
綜上所述，采用方案⑴，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長(zhǎng)，建墻費(fèi)用最省。
(八)比較法證明不等式
1、已知a、b、m、n∈R+,證明：am+n+bm+n≥ambn+anbm
變：已知a、b∈R+,證明：a3/b+b3/a≥a2+b2
2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)
(九)綜合法證明不等式
1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：
2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3
3、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，且abc=1,求證：
4、已知a、b∈R+，a+b=1,求證：
(十)分析法證明不等式
1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c
2、已知函數(shù)f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求證：
3、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足y+x2=0,0
(十一)反證法、放縮法、構(gòu)造法、判別式法、換元法等證明不等式
1、設(shè)f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于1/2。
2、若x2+y2≤1,求證|x2+2xy-y2|≤.
3、已知a>b>c,求證：
4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求證：.
5、已知a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等號(hào)何時(shí)成立。
分析：整理成關(guān)于a的二次函數(shù)f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2
∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0
∴f(a)≥0
6、已知：x2-2xy + y2 + x + y + 1=0，求證：1/3≤y/x≤3
7、在直角三角形ABC中，角C為直角，n≥2且n∈N，求證：cn≥an + bn
(十二)解不等式
1、解不等式：
2、解關(guān)于x的不等式：
拓展
高中數(shù)學(xué)不等式的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)
1.不等式的定義：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a
�、� 其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來定義兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)。
②可以結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明這個(gè)熟悉的知識(shí)背景，來認(rèn)識(shí)作差法比大小的理論基礎(chǔ)是不等式的性質(zhì)。
作差后，為判斷差的符號(hào)，需要分解因式，以便使用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則。
2.不等式的性質(zhì)：
�、� 不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運(yùn)算性質(zhì)兩部分。
不等式基本性質(zhì)有：
(1) abb
(2) acac (傳遞性)
(3) ab+c (cR)
(4) c0時(shí)，abc
c0時(shí)，abac
運(yùn)算性質(zhì)有：
(1) ada+cb+d。
(2) a0, c0acbd。
(3) a0anbn (nN, n1)。
(4) a0isin;N, n1)。
應(yīng)注意，上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“”和“”即推出關(guān)系和等價(jià)關(guān)系。一般地，證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的等價(jià)變換。因此，要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。
�、� 關(guān)于不等式的性質(zhì)的考察，主要有以下三類問題：
(1)根據(jù)給定的不等式條件，利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式能否成立。
(2)利用不等式的性質(zhì)及實(shí)數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)，判斷實(shí)數(shù)值的大小。
(3)利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。
不等式的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)內(nèi)容就是這些，希望考生可以深入理解，全面把握。
高中數(shù)學(xué)關(guān)于集合不等式和簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)點(diǎn)
重點(diǎn)知識(shí)歸納、總結(jié)
(1)集合的分類
(2)集合的運(yùn)算
�、僮蛹�，真子集，非空子集;
�、贏∩B={xx∈A且x∈B}
�、跘∪B={xx∈A或x∈B}
�、� A={xx∈S且x A}，其中A S.
2、不等式的解法
(1)含有絕對(duì)值的不等式的解法
�、賦0) -a
x>a(a>0) x>a，或x<-a.
�、趂(x)
f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).
�、踗(x)<g(x) [f(x)]2<[g(x)]2 [f(x)+g(x)]·[f(x)-g(x)]<0.
④對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值符號(hào)的絕對(duì)值不等式，利用“零點(diǎn)分段討論法”去絕對(duì)值. 如解不等式：x+3-2x-1<3x+2.
3、簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)
邏輯聯(lián)結(jié)詞 “或”、“且”、“非”是判斷簡(jiǎn)單合題與復(fù)合命題的依據(jù);真值表是由簡(jiǎn)單命題和真假判斷復(fù)合命題真假的依據(jù)，理解好四種命題的關(guān)系，對(duì)判斷命題的真假有很大幫助;掌握好反證法證明問題的步驟。
(2)復(fù)合命題的真值表
非p形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示.
p 非p
真 假
假 真
p且q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示.
p或q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示.
(3)四種命題及其相互之間的關(guān)系
一個(gè)命題與它的逆否命題是等價(jià)的.
(4)充分、必要條件的判定
�、偃魀 q且q p，則p是q的充分不必要條件;
�、谌魀 q且q p，則p是q的必要不充分條件;
�、廴魀 q且q p，則p是q的充要條件;
�、苋魀 q且q p，則p是q的既不充分也不必要條件.
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