淺析小學數學教學中的反思能力
摘要：數學反思能力是在數學反思活動過程中表現出來的一種穩定的個性心理特征。分析數學反思能力的基本含義、特征、發展特點以及與其他數學能力的關系是準確把握數學反思能力的實質，是提高學生數學反思能力的重要保證，對提高教學效益、推動數學課程改革也有重要的現實意義。
關鍵詞：數學反思；數學反思能力；特征；關系
一、數學反思能力的基本含義
數學反思能力是在數學反思活動過程中表現出來的一種穩定的個性心理特征。從理論的高度思考與研究數學反思能力的本質及其相關問題，對數學教學與學習有著十分重要的作用與價值。由于數學反思能力與反思有著天然的聯系，所以，我們先討論反思的含義。
反思的思想由來已久：我國古代就有“捫心自問”“吾日三省吾身”等經典說法；西方哲學史上從第一位哲學家泰勒斯，到蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德，再到笛卡兒、康德，都隨時在自己的思想園地里檢討種種思想問題，在進行反思。在現實的教育研究與學術討論中，反思也是一個高頻詞，但是人們對反思的含義卻仁者見仁，智者見智，通常有以下幾種見解。
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洛克在《人類理解論》中，談到“反省”是對獲得觀念的心靈的返觀自照。在這種返觀自照中，心靈獲得不同于感覺得來的觀念的觀念。洛克所說之“反省”（即我們所說的反思）是人們自覺地把心理活動作為活動對象的一種認識活動，是對思維的思維。反思的結果是得到不同于感覺得來的觀念的觀念，他強調的是觀念的來源。這里把反思看成了一種“內省”的心理活動。
（二）反思是一種認識論方法
斯賓諾莎把自己的認識論方法稱做“反思的知識”，而“反思的知識”，即“觀念的觀念”是認識所得的結果，它本身又是理智認識的對象。對于認識結果的觀念的再認識和對于這種再認識之觀念的再認識──這種理智向著認識深度的不斷推進，即“反思”。他以既得觀念為對象，通過不斷反思抽象使既得觀念不斷升華形成新的認識。因而思維的結果是他“反思”的對象，獲得新的觀念是其反思的目的。
（三）反思是一種思維活動，有“思考”之意
杜威的反思是“對任何信念或假定的知識形式，根據支持它的基礎和它趨于達到的進一步結論而進行的堅持不懈的和仔細的考慮”，它包括“這樣的一種有意識和自愿的努力”，即在證據、理性和堅實基礎上建立的信念。杜威所說的“考慮”即是一種反思思維活動。
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博伊德與費勒斯認為反思是“一個變化的理性觀念的自我（與自我聯系的自我和與世界聯系的自我）澄清經驗的意義的過程”。[1]博伊德和費勒斯的反思突出了“自我價值”，明確了反思的對象是“自我”，反思的目的是“澄清經驗的意義”構建“自我”連續體，突出了反思的完整過程。
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伯萊克認為“反思是立足于自我之外的批判性地考察自己行動及情景的能力，它與思維的批判性是一致的”。
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熊川武教授用“元認知”這個術語來代替反思這個概念。他指出，從元認知理論的角度來看，反思就是主體對自己的認知活動過程，以及活動過程中涉及的有關的事物（材料、信息、思維、結果等）的特征的反向思考，通過調節，控制自身的認知過程，以達到認知的目的。[2]
盡管在不同時期和不同場合人們理解和應用反思的含義不同，但對反思所思考問題的角度以及反思的對象和反思的目的的認識是共同的。反思的對象是思維本身，而反思的目的是為了指導未來的思維活動。因此，我們認為從元認知的角度來研究數學反思和數學反思能力，能比較全面地透視數學反思及數學反思能力的本質。數學反思就是認知者對自身數學思維活動過程和結果的自我覺察、自我評價、自我探究、自我監控、自我調節；而數學反思能力就是在數學反思活動過程中反映出來的一種穩定的個性心理特征，是元認知在數學思維中發揮作用的基本形式。因此數學反思能力就是認知者在數學思維活動中對自己數學認知過程的自我意識、自我評價、自我探究、自我監控、自我調節的能力。它是以反思的體驗、反思的知識和反思的技能為基礎，并在對數學認知過程的評價、控制和調節中顯示出來的高層次思維活動，它對數學認知活動起指導、支配、決定、監控的作用。因此，數學反思能力中的核心就是進行數學反思。
二、數學反思的核心要素
通過分析數學反思的過程我們可以知道，數學反思的`知識、技能與數學反思的內容是數學反思的核心要素。這些要素是在數學反思體驗的基礎上形成發展起來的。
（一）數學反思的知識
1.數學反思的陳述性知識：掌握有關數學反思過程中通常有哪些策略和技能可以應用，而且了解這些技能和策略的“長處”和“短處”以及在什么情況下應用比較合適的知識。2.數學反思的程序性知識：有關如何使用各種策略、技能進行數學反思的知識，即掌握各種策略和技能的操作方法。3.數學反思的情景性知識：它告訴人們應該在什么情景之中運用什么知識和技能，即時間、地點、環境（包括社會文化、人際關系等）以及為什么要采用這些知識和技能的知識。
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1.經驗技能：認知主體借助于經驗對認知過程、結果及相關事物的直覺的反思能力。2.理論技能：認知主體以特定的理論為根據進行相對理性的反思能力。3.分析技能：是理解解釋描述認知過程、結果必需的，是指能夠選擇最優的策略，對數學思維活動進行科學分析的能力。4.評價技能：主體根據不同的認知目的對認知過程及結果以及所采用的策略等進行價值判斷的能力，即能夠對分析的結果進行效能判斷并正確歸因的能力。5.策略技能：能夠恰當地應用各種策略進行反思的能力，即對反思中找出的問題設計改進的途徑和方法的能力。6.實踐技能：能夠將反思得到的結果付諸實踐以達到調節和控制目的的能力。
其實，數學反思的知識與技能還需要動機、興趣、毅力等因素的維持與推進。認知主體能在數學反思過程中長期堅持不懈地保持充沛的精力，并能堅韌頑強、不屈不撓地去克服困難、排除干擾、形成并完善自己的數學知識體系，是與這些因素息息相關的。
（三）數學反思的內容
1.從數學反思活動發生的時間來看
數學反思的主要作用是對數學思維活動的監察、評價、調控，因此它可以發生在數學思維活動的前、中、后：在數學思維活動之前，反思思維計劃的合理性和有效性；在數學思維活動中反思思維的嚴密性、準確性、開放性等；在數學思維活動后，反思整個思維計劃的執行結果，對得與失進行總結。其實，數學思維過程中隨時都有誘發反思的因素，而數學思維過程中的反思是一種內隱的過程，無法從外表覺察，故只有采用口語報告法或事后回憶法方能體會到。因此數學思維活動前和中的反思一般很難引起注意，而對數學思維活動結束后的反思都比較重視，研究的也比較多，這是由于數學思維活動結束后，活動的結果已經很明顯，問題也很容易暴露，而且事后回憶往往比較好操作。
2.從數學思維活動的過程來看
數學思維活動有三個要素：對象、過程、結果。因此數學反思也可以相應地分為對數學思維活動對象、過程和結果的反思。對數學思維活動對象的反思包括：對數學問題的問題特征進行反思，對數學問題所涉及的數學知識、思想方法的反思，對數學命題、數學語言以及與數學思維活動有聯系的問題的反思。對數學思維活動過程的反思包括：對思考的過程、理解的過程、推理的過程、運算的過程、想象的過程（即解決問題過程）的反思。對數學思維活動結果的反思包括對解題思路的反思、對語言表述的反思以及對數學結論進行的反思。
3.從數學反思問題的性質來看
�。�1）經驗性反思：旨在總結解決問題的經驗，著重反思問題涉及了哪些知識，哪些能力。（2）概括性反思：旨在對同一類數學問題的解法進行篩選、概括，形成一種解題思路，進而上升為一種數學思想。（3）創造性反思：對數學問題的重新認識，以及推廣、引申和發展。（4）錯誤性反思：注重對解答問題的失誤的糾正、辨析，從而找到產生問題的根源。
如果對整個數學反思的過程作一剖析，反思的內容可概括為以下三部分：
第一，對數學問題解決過程中所使用的各種數學技能或技術的有效性進行反思；
第二，對數學問題解決過程中所使用的學習策略的合理性進行反思；
第三，對數學思維活動的目標以及思維活動的動力──非智力因素進行反思。
前面所談的反思的大部分內容都可歸入經驗性反思中去，而（2）（3）是更深層次的反思，是給數學思維活動提供持久的動力和更高的有效性的反思。
三、數學反思能力的基本特征
（一）強烈的問題意識
數學反思能力使認知者在數學思維過程中有了心理上的一道“警戒線”，使得主體對“問題”的出現有一種敏感性，能主動地去監視思維過程，收集有關信息，一旦可疑即進入反思的狀態，這是他們主動關心思維的目的與結果以及解題技能技巧的有效性而形成的直覺的自我覺察意識。
（二）高度的責任心
數學反思能力表現為反思者對自己學習和前途高度負責的精神，因而能夠意識到問題的存在，能夠以更高的標準檢查思維活動過程中的得與失，能夠縱橫比較地分析與思考思維過程中的一些現象，正確地評估思維中出現的一些問題，主動地調節認知過程，支配數學思維的發展方向。
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數學知識的高度抽象性和數學問題的復雜性使得在數學思維的過程中更易產生困難，并且更深層次的反思在某種程度上也是一種自我否定的過程，是一種誘發痛苦的行為，有時會動搖其信念、改變其態度、削弱其意志以及影響其價值觀，因而較高水平的數學反思者有忍受挫折、克服困難、長時間反思的執著的精神和堅強的毅力，能夠為進行反思的思維活動提供不竭的動力。
（四）更大的開放性和靈活性
思維的開放性和靈活性主要表現在：1.更易接納新信息，對思維過程產生的信息敏感并能及時吸收，在制訂改進措施時能夠聽取別人的建議；2.對現成的結論如課本知識及別人的建議持有一種“健康”的懷疑，不機械地接受、盲從或拒絕，而會根據自己的經驗進行分析比較，有選擇性地吸收；3.能夠恰當地評價自己，對自己的缺點能夠正確地進行估計并能采取積極有效的措施。
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多方面多角度對數學問題進行探索和研究，對收集的各種改進方案進行評價、估計，按反思的結果去行動，有選擇地進行最優處理，而不滿足于一般性地解決。
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數學反思能力水平較高者，由于對思維過程有很強的覺察、調節、控制能力，因而表現出良好的具有批判性、深刻性、廣闊性的數學思維品質和堅強的意志力，從而對學習產生更高的期望、更高的堅持性和更多的投入，最終成為一個自律性的終身學習者。[3]
四、數學反思能力發展的一般特點
數學反思能力的發展與數學思維水平有關。初中生和高中生的數學思維水平是有區別的，盡管初中生開始能夠有意識地調節、支配、檢查和分析自己的思維過程，在學習上和生活上有更大的獨立性和自覺性，但批判性還是不夠的，容易產生片面性和表面性；在運算過程中雖能自覺地檢查和發現錯誤并進行糾正，但是不善于尋找錯誤的原因，也不能及時地調整解題步驟和方法；運算的正確率較高，但不能正確地選取一些結論和有用條件；在推理過程中雖能占用數學材料，但推理的目的性不強。在正常情況下，高中生思維的批判性比較強：他們在考慮問題時，不肯盲從，喜歡探求事物表面現象的根本原因；他們在提出爭論的觀點時，往往要求自己給出具有一定說服力的邏輯論證。但是對高中生而言，反思的意識仍然不強，反思的技能不高，反思的方法欠缺，使得他們對一些問題的理解帶有片面性和主觀性，容易產生死摳教條的毛病。由于反思能力屬于認知活動的一種監控能力，它的發展受到許多因素的制約，所以發展得較晚。林崇德教授研究表明，從初中二年級開始，學生的抽象邏輯思維由經驗型水平向理論型水平轉化，直到高中二年級，這種轉化才初步形成。[4]這個轉化過程是離不開反思思維的，因為抽象邏輯思維本身就是一種反思的思維。學生只有在對抽象概括的數學材料學習過程中不斷地反思自己的思維過程，調整思維方法，糾正思考錯誤，才能順利實現這一過程，而在這一過程中反思的能力也就逐漸地成熟起來了。學生的反思能力的發展主要經歷以下幾個發展階段。
1.日常反思階段：是指認知主體對認知活動無意識地監控、調節，反思的目的性極弱的階段。
2.被動反思階段：是指認知主體對認知活動中出現的困惑問題被迫進行反思的階段。
3.主動反思階段：是指認知主體對認知活動主動地有意識地監控、調節的階段。
4.自覺反思階段：是指認知主體對認知活動過程的監控達到了不假思索、油然而生的境界，即達到了“自我意識”的階段。
在高中階段學生雖然普遍具有反思的意識，有了一定的反思能力，但是反思能力的發展很不平衡，造成這種狀況的因素是比較多的。一方面，由于反思能力的發展受到其他能力的限制，另一方面，反思能力是一種較高層次的認知活動，其發展本身也比較遲，還與學生的認知風格、學生的反思的知識和技巧的掌握情況，以及教師的有意識培養等分不開。高中學生的反思能力的水平主要處于第二個層次，而達到第三、第四個層次的較少。
五、影響數學反思能力發展的因素分析
影響數學反思能力發展的因素眾多，有其內在與外在因素之分，內在因素主要指認知主體的認知結構、智能結構、心理特征等；外在因素主要指教學環境、學習環境、人際交往等。根據筆者十多年的教學經驗和對有關調查、研究分析后發現，影響中學生數學反思能力發展的主要因素（主要指外在因素）有以下方面。
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曲阜師范大學數學系邵光華老師對近120名中學數學教師所做的關于數學教學方法采用問題的調查結果表明：93.3%的教師認為自己采用的仍是傳統的“講練結合”與“精講多練”法。[5]筆者先后聽過不同層次的教研課200多節，也發現教師大都采用傳統的方法上課，想做到點滴不漏，對概念、公式的講解非常細致，但在解決問題時往往容易忘記有關的要求，教學效果并不理想。究其原因，傳統教法是以傳授正確的知識為主，對知識的理解力求一步到位，很少暴露自己對問題的思考過程，更少暴露通過反思錯誤想法從中調整思路，最終解決這個問題的思維過程；問題的解法選擇最簡單的方法傳授，很少從幾種不同的方法中去選擇、比較、反思。這樣的教學中，師生的交流很少，教師不示范反思的方法、技巧，學生沒有反思的機會和時間，也無法模仿學習反思，造成學生反思性情景知識的缺失。
（二）教材呈現方式
數學教材的編寫者一般采用學生易于理解、便于接受的方式呈現，即所用材料都是經過教育心理學理論加工而成的：省去了知識的形成過程，問題的條件和結論都是經過抽象，理想化形成的，推理也是正確的。因此當學生閱讀時只要順著編寫者的思路就基本上理解了，但是換個情景，則往往束手無策，這種現象在高中生中常見，究其原因，問題的解決方法是編寫者強加給學生的，不是學生通過自己的探索思考得到的，因而不能順利地納入到自己的知識結構中去。從數學知識發生發展的歷史來看，許多中學生難以理解的知識如負數、無理數、虛數、極限、無窮大等概念曾一度使古代的數學家感到迷惑，甚至出現過相互矛盾的認識，一代代的數學家們正是通過反思前人和自己的認識，最后才達成共識的。但是教材中不會呈現這種激烈的斗爭，采取了回避的態度。學生在閱讀過程中看不到人類對數學概念認識的曲折過程，看不到前人不斷地反思自己認識的思維軌跡，因而無法模仿學習得到反思的知識、方法和技巧，從而限制了學生反思能力的形成。
�。ㄈ┙虒W質量評價
對當地學生的問卷調查表明，48.1%的學生學習數學的目的是為了考個好大學，而其他如興趣、滿足虛榮心、提高智力分別占18.5%、16.7%、11.1%。由此可見，學生學習數學的主要動力來自外在的因素──數學成績的提高。然而，眾所周知，數學成績提高比較緩慢，而且與試題的難易程度密切相關，因此，能否使學生長期堅持克服困難，進行反思性數學學習，提高反思能力，關鍵在于對數學考試成績的評定。盡管《數學課程標準》對評價提出了多元化的要求，但長期受片面追求升學率的影響，教育行政部門、家長對學校的評價還是以升學率為標準，而學校對教師、學生的評價也還是以考試成績為準，這種長期以結果為標準的終結性評價，導致絕大多數學生都有失敗的體驗，多次的失敗就會導致學生不能正確地評價反思自己：他們往往將數學成績提高緩慢歸因于一些不可控制的因素，如智力、天賦等，從而失去了學習數學的動力，也就不可能深入地反思自己的學習以形成反思能力。
當對這樣的評價稍微加以改進，即將考試成績的評定放在動態的過程中，從縱向和橫向兩個方面進行分析，進行相對的評定，如同一學生幾次的成績變化、與同類同學成績相比的變化、班內名次的變化等，總可以使得學生從某一方面看到自己的進步，從而改變對自己錯誤的評價，體驗到反思的好處。由此可見，外在的評價影響學生內在的評價，從而影響了學生反思的積極性。
總之，從影響數學反思能力形成的因素分析來看，學生反思能力缺失主要是缺乏反思的動力和反思的方法、反思的時間造成的。據筆者調查，缺乏動力的占42.6%，缺乏反思方法和知識的占40.7%，缺乏時間的占9.25%，另外，缺乏毅力和對反思的誤解也是不可忽視的因素，占7.4%。
六、數學反思能力和其他數學能力的關系
人們對數學能力的認識隨著時代的進步和數學的發展經歷了不同的階段，許多數學家和數學教育家都給出過不同的答案。如蘇聯克魯捷斯基在其權威著作《中小學生數學能力心理學》中給出了九種數學能力，分別是：①數學材料的形式化；②概括數學發現共同點；③應用數學符號運算；④連貫而有節奏的邏輯推理；⑤縮短推理的結構進行簡潔推理；⑥逆向推理能力；⑦思維的靈活性；⑧數字記憶；⑨空間概括。[6]
我國長期流行數學運算能力、空間想象能力和邏輯推理能力三大能力的提法，以后經過幾次改動形成了數學運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力以及分析和解決問題的能力的說法。
任子朝先生及其課題組從高考的角度分析了國內外有關的數學活動的理論論述，認為數學能力是一種復合能力，它由數學觀察能力、數學記憶能力、數學化能力、數學思維能力、空間想象能力五種成分構成，每一種成分又包括許多亞因子。
張奠宙教授等在其新著《數學教育學導論》中提出數學能力有十個方面：①數學感覺與判斷能力；②數據的收集與分析；③幾何直覺與空間想象；④數學表示與數學建模；⑤數學運算與數學變換；⑥歸納猜想與合情推理；⑦邏輯思考與演繹證明；⑧數學聯結與數學洞察；⑨數學計算與算法設計；理性思維與建構體系。[6]
綜觀各個時期關于數學能力的提法，其內容和提法都有變化，但都不包括數學反思能力，這主要與數學思維的本質有關，數學反思是對數學思維活動的自我意識和自我監控，是對認知的認知，因而人們歷來都從策略的角度加以研究，不可能包括在以上的關于數學能力的論述中�，F在人們把反思能力歸于元認知能力，屬于另一種范疇的能力，它與認知能力不同，但與歸納猜想、合情推理、演繹證明、理性思維和理論建構等能力之間有密切的聯系，這些能力成分中都包含有反思，因而弗賴登塔爾認為“反思是數學思維活動中的核心和動力”。
一方面，數學反思能力通過對數學思維活動的調控間接地促進其他數學能力的發展，數學認知能力的發展為數學反思能力的發展提供了基礎，只有具備了很強的數學觀察、記憶、理解、思維能力，才能提高對問題情景中各種線索的敏感度，抓住反思的機會，及時調節思維的方向，對各種解決問題的策略進行權衡、預見，從而提高控制水平，豐富元認知知識，加深元認知體驗。數學思維力的發展特別是抽象思維能力的發展，極大地豐富了學生反思的技能，為提高學生的反思水平和預見能力打下了基礎；數學化能力的發展為反思提供了更大的廣闊空間和機會。另一方面，數學反思能力的發展，提高了認知效率，縮短了認知時間，因此，數學反思能力與其他數學能力是統一在數學思維活動中的一種相互促進、互為基礎的關系。
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