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中考數(shù)學(xué)第九章復(fù)習(xí)資料
第九章：三角形
知識(shí)點(diǎn)：
一、關(guān)于三角形的一些概念：
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。
1、三角形的角平分線：三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)與內(nèi)角平分線和對(duì)邊交線間的距離）
2、三角形的中線：
三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)間的距離）
3、三角形的高：
三角形的高線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離）
注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。
如圖2－1， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分線，它們都在△ABC內(nèi)
如圖2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中線，它們都在△ABC內(nèi)
而圖2－3，說明高線不一定在 △ABC內(nèi)，
圖2－3—（1），中三條高線都在△ ABC內(nèi)，
圖2－3－（2），中高線CD在△ABC內(nèi)，而高線AC與BC是三角形的邊；
圖2－3一（3），中高線BE在△ABC內(nèi)，而高線AD、CF在△ABC外。
三、三角形三條邊的關(guān)系：
三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。
等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項(xiàng)角。
三角形接邊相等關(guān)系來分類：
用集合表示，見圖2－4
推論三角形兩邊的差小于第三邊。
不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。
例如三條線段長(zhǎng)分別為5，6，1人因?yàn)?＋6＜12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。
四、三角形的內(nèi)角和：
定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°
由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求得。
如已知△ABC的兩個(gè)角為∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C＝180°–90°–40°＝50°
由定理可以知道，三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角。
推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
三角形按角分類：
用集合表示，見圖
三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角。
推論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。
推論3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。
例如圖2—6中
∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；
∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。
五、全等三角形：
能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。
兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。
全等用符號(hào)“≌”表示
△ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`，B和B`， C和C`是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
如圖2—7，△ABC≌△A `B`C`，則有A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A`、B`、C`；AB、BC、CA的對(duì)應(yīng)邊是A`B`、B`C`、C`A`。
∠A，∠B，∠C的對(duì)應(yīng)角是∠A`、∠B`、∠C`。
∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`
六、全等三角形的判定：
1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）
注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。
2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角“或“ASA”）
3、推論有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊’域“AAS”）
4、邊邊邊公理有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）
由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。
除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個(gè)三角形全等。
5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊，直角邊”或“HL”）
七、角的平分線：
定理1、在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。
定理2、一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。
由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。
可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)（交于一點(diǎn)）
在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個(gè)做原命題，那么另一個(gè)叫它的逆命題。
如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理，其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定
理。
例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。
一個(gè)定理不一定有逆定理，例如定理：“對(duì)頂角相等”就沒逆定理，因?yàn)椤跋嗟鹊慕鞘菍?duì)頂角”這是一個(gè)假命顆。
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