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數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)淺談
一、數(shù)學(xué)技能的含義及作用
技能是順利完成某種任務(wù)的一種動(dòng)作或心智活動(dòng)方式。它是一種接近自動(dòng)化的、復(fù)雜而較為完善的動(dòng)作系統(tǒng)，是通過有目的、有計(jì)劃的練習(xí)而形成的。數(shù)學(xué)技能是順利完成某種數(shù)學(xué)任務(wù)的動(dòng)作或心智活動(dòng)方式。它通常表現(xiàn)為完成某一數(shù)學(xué)任務(wù)時(shí)所必需的一系列動(dòng)作的協(xié)調(diào)和活動(dòng)方式的自動(dòng)化。這種協(xié)調(diào)的動(dòng)作和自動(dòng)化的活動(dòng)方式是在已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上經(jīng)過反復(fù)練習(xí)而形成的。如學(xué)習(xí)有關(guān)乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法計(jì)算技能，就是在掌握其運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上通過多次的實(shí)際計(jì)算而形成的。數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)上的區(qū)別。它們的區(qū)別主要表現(xiàn)為：技能是對(duì)動(dòng)作和動(dòng)作方式的概括，它反映的是動(dòng)作本身和活動(dòng)方式的熟練程度；知識(shí)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)的概括，它反映的是人們對(duì)事物和事物之間相互聯(lián)系的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)；能力是對(duì)保證活動(dòng)順利完成的某些穩(wěn)定的心理特征的概括，它所體現(xiàn)的是學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中反映出來的個(gè)體特征。三者之間的聯(lián)系，可以比較清楚地從數(shù)學(xué)技能的作用中反映出來。
數(shù)學(xué)技能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用可概括為以下幾個(gè)方面：
第一，數(shù)學(xué)技能的形成有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握；
第二，數(shù)學(xué)技能的形成可以進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)；
第三，數(shù)學(xué)技能的形成有助于數(shù)學(xué)問題的解決；
第四，數(shù)學(xué)技能的形成可以促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展；
第五，數(shù)學(xué)技能的形成有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；
第六，調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性。
二、數(shù)學(xué)技能的分類
小學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，按照其本身的性質(zhì)和特點(diǎn)，可以分為操作技能（又叫做動(dòng)作技能）和心智技能（也叫做智力技能）兩種類型。
l．?dāng)?shù)學(xué)操作技能。操作技能是指實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)任務(wù)活動(dòng)方式的動(dòng)作主要是通過外部機(jī)體運(yùn)動(dòng)或操作去完成的技能。它是一種由各個(gè)局部動(dòng)作按照一定的程序連貫而成的外部操作活動(dòng)方式。如學(xué)生在利用測(cè)量工具測(cè)量角的度數(shù)、測(cè)量物體的長(zhǎng)度，用作圖工具畫幾何圖形等活動(dòng)中所形成的技能就是這種外部操作技能。操作技能具有有別于心智技能的一些比較明顯的特點(diǎn)：一是外顯性，即操作技能是一種外顯的活動(dòng)方式；二是客觀性，是指操作技能活動(dòng)的對(duì)象是物質(zhì)性的客體或肌肉；王是非簡(jiǎn)約性，就動(dòng)作的結(jié)構(gòu)而言，操作技能的每個(gè)動(dòng)作都必須實(shí)施，不能省略和合并，是一種展開性的活動(dòng)程序。如用圓規(guī)畫圓，確定半徑、確定圓心、圓規(guī)一腳繞圓心旋轉(zhuǎn)一周等步驟，既不能省略也不能合并，必須詳盡地展開才能完成圓圓的任務(wù)。
2．?dāng)?shù)學(xué)心智技能。數(shù)學(xué)心智技能是指順利完成數(shù)學(xué)任務(wù)的心智活動(dòng)方式。它是一種借助于內(nèi)部言語進(jìn)行的認(rèn)知活動(dòng)，包括感知、記憶、思維和想象等心理成分，并且以思維為其主要活動(dòng)成分。如小學(xué)生在口算、筆算、解方程和解答應(yīng)用題等活動(dòng)中形成的技能更多地是一些數(shù)學(xué)心智技能。數(shù)學(xué)心智技能同樣是經(jīng)過后天的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練而形成的，它不同于人的本能。另外，數(shù)學(xué)心智技能是一種合乎法則的心智活動(dòng)方式，“所謂合乎法則的活動(dòng)方式是指活動(dòng)的動(dòng)作構(gòu)成要素及其次序應(yīng)體現(xiàn)活動(dòng)本身的客觀法則的要求，而不是任意的”。這些特性，反映了數(shù)學(xué)心智技能和數(shù)學(xué)操作技能的共性。數(shù)學(xué)心智技能作為一種以思維為主要活動(dòng)成分的認(rèn)知活動(dòng)方式，它也有著區(qū)別于數(shù)學(xué)操作技能的個(gè)性特征，這些特征主要反映在以下三個(gè)方面。
第一，動(dòng)作對(duì)象的觀念性。數(shù)學(xué)心智技能的直接對(duì)象不是具有物質(zhì)形式的客體本身，而是這種客體在人們頭腦里的主觀映象。如20以內(nèi)退位減法的口算，其心智活動(dòng)的直接對(duì)象是“想加法算減法”或其他計(jì)算方法的觀念，而非某種物質(zhì)化的客體。
第二，動(dòng)作實(shí)施過程的內(nèi)隱性。數(shù)學(xué)心智技能的動(dòng)作是借助內(nèi)部言語完成的，其動(dòng)作的執(zhí)行是在頭腦內(nèi)部進(jìn)行的，主體的變化具有很強(qiáng)的內(nèi)隱性，很難從外部直接觀測(cè)到。如口算，我們能夠直接了解到的是通過學(xué)生的外部語言所反映出來的計(jì)算結(jié)果，學(xué)生計(jì)算時(shí)的內(nèi)部心智活動(dòng)動(dòng)作是無法看到的。
第三，動(dòng)作結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)縮性。數(shù)學(xué)心智技能的動(dòng)作不像操作活動(dòng)那樣必須把每一個(gè)動(dòng)作都完整地做出來，也不像外部言語那樣對(duì)每一個(gè)動(dòng)作都完整地說出來，它的活動(dòng)過程是一種高度壓縮和簡(jiǎn)化的自動(dòng)化過程。因此，數(shù)學(xué)心智技能中的動(dòng)作成分是可以合并、省略和簡(jiǎn)化的。如20以內(nèi)進(jìn)位加法的口算，學(xué)生熟練以后計(jì)算時(shí)根本沒有去意識(shí)“看大數(shù)”、“想湊數(shù)”、“分小數(shù)”、“湊十”等動(dòng)作，整個(gè)計(jì)算過程被壓縮成一種脫口而出的簡(jiǎn)略性過程。
三、數(shù)學(xué)技能的形成過程
1．?dāng)?shù)學(xué)操作技能的形成過程。
數(shù)學(xué)操作技能作為一種外顯的操作活動(dòng)方式，它的形成大致要經(jīng)過以下四個(gè)基本階段。
�。�1）動(dòng)作的定向階段。這是操作技能形成的起始階段，主要是學(xué)習(xí)者在頭腦里建立起完成某項(xiàng)數(shù)學(xué)任務(wù)的操作活動(dòng)的定向映象。包括明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，激起學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，了解與數(shù)學(xué)技能有關(guān)的知識(shí)，知道技能的操作程序和動(dòng)作要領(lǐng)以及活動(dòng)的最后結(jié)果等內(nèi)容。概括起來講，這一階段主要是了解“做什么”和“怎樣做”兩方面的內(nèi)容。如畫角，這一階段主要是了解需畫一個(gè)多少度的角（即知道做什么）和畫角的步驟（即怎么做），以此給畫角的操作活動(dòng)作出具體的定向。動(dòng)作定向的作用是在頭腦里初步建立起操作的自我調(diào)節(jié)機(jī)制；通過對(duì)“做什么”和“怎么做”的了解而明確實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)的程序與步驟，從而保證在操作中更好地掌握其動(dòng)作的活動(dòng)方式。
（2）動(dòng)作的分解階段。這是操作技能進(jìn)入實(shí)際學(xué)習(xí)的最初階段，其作法是把某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能的全套動(dòng)作分解成若干個(gè)單項(xiàng)動(dòng)作，在老師的示范下學(xué)生依次模仿練習(xí)，從而掌握局部動(dòng)作的活動(dòng)方式。如用圓規(guī)按照給定的半徑畫圓，在這一階段就可把整個(gè)操作程序分解成三個(gè)局部動(dòng)作：①把圓規(guī)的兩腳張開，按照給定的半徑定好兩腳間的距離；②把有針尖的一腳固定在一點(diǎn)上，確定出圓心；③將有鉛筆尖的一腳繞圓心旋轉(zhuǎn)一周，畫出圓。通過對(duì)這三個(gè)具有連續(xù)性的局部動(dòng)作的依次練習(xí)，即可掌握畫圓的要領(lǐng)。學(xué)生在這一階段學(xué)習(xí)的方式主要是模仿，一方面根據(jù)老師的示范進(jìn)行模仿；另一方面也可以根據(jù)有關(guān)操作規(guī)則的文字描述進(jìn)行模仿，如根據(jù)幾何作圖規(guī)則對(duì)各個(gè)動(dòng)作活動(dòng)方式的表述進(jìn)行模仿。模仿不一定都是被動(dòng)的和機(jī)械的，“模仿可以是有意的和無意的；可以是再造性的，也可以是創(chuàng)造性的�！雹谀７率菙�(shù)學(xué)操作技能形成的一個(gè)不可缺少的條件。
�。�3）動(dòng)作的整合階段。在這一階段，把前面所掌握的各個(gè)局部動(dòng)作按照一定的順序連接起來，使其形成一個(gè)連貫而協(xié)調(diào)的操作程序，并固定下來。如畫圓，在這一階段就可將三個(gè)步驟綜合起來形成一體化的操作系統(tǒng)。這時(shí)由于局部動(dòng)作之間尚處在銜接階段，所以動(dòng)作還難以維持穩(wěn)定性和精確性，動(dòng)作系統(tǒng)中的某些環(huán)節(jié)在銜接時(shí)甚至還會(huì)出現(xiàn)停頓現(xiàn)象。不過，總的來講這一階段動(dòng)作之間的相互干擾逐步得到排除，操作過程中的多余動(dòng)作也明顯減少，已形成完整而有序的動(dòng)作系統(tǒng)。
（4）動(dòng)作的熟練階段。這是操作技能形成的最后階段，在這一階段通過練習(xí)而形成的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式能適應(yīng)各種變化情況，其操作表現(xiàn)出高度完善化的特點(diǎn)。動(dòng)作之間相互干擾和不協(xié)調(diào)的現(xiàn)象完全消除，動(dòng)作具有高度的正確性和穩(wěn)定性，并且不管在什么條件下全套動(dòng)作都能流暢地完成。如這時(shí)的畫圓，不需要意志控制就能順利地完成全套動(dòng)作，并且能充分保證其正確性。上述分析表明，數(shù)學(xué)操作技能的形成要經(jīng)過“定向→分解→整合→熟練”的發(fā)展過程。在這一過程中每一個(gè)發(fā)展階段都有自己的任務(wù)：定向階段的主要任務(wù)是掌握操作的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和每一個(gè)步驟操作的要領(lǐng)；分解階段的主要任務(wù)是對(duì)活動(dòng)的操作系列進(jìn)行分解，并逐一模仿練習(xí)；整合階段的主要任務(wù)是在動(dòng)作之間建立聯(lián)系，使活動(dòng)協(xié)調(diào)一體化；熟練階段的任務(wù)則主要是使整個(gè)操作過程高度完善化和自動(dòng)化。
2．?dāng)?shù)學(xué)心智技能的形成過程。
關(guān)于數(shù)學(xué)心智技能形成過程的研究，人們比較普遍地采用了原蘇聯(lián)心理學(xué)家加里培林的研究成果。加里培林認(rèn)為，心智活動(dòng)是一個(gè)從外部的物質(zhì)活動(dòng)到內(nèi)部心智活動(dòng)的轉(zhuǎn)化過程，既內(nèi)化的過程。據(jù)此，在這里我們把小學(xué)生數(shù)學(xué)心智技能的形成過程概括為以下四個(gè)階段。
�。�1）活動(dòng)的認(rèn)知階段。這是數(shù)學(xué)心智活動(dòng)的認(rèn)知準(zhǔn)備階段，主要是讓學(xué)生了解并記住與活動(dòng)任務(wù)有關(guān)的知識(shí)，明確活動(dòng)的過程和結(jié)果，在頭腦里形成活動(dòng)本身及其結(jié)果的表象。如學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算技能，在這一步就是讓學(xué)生回憶并記住除法商不變性質(zhì)和除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則等知識(shí)，在此基礎(chǔ)上明確計(jì)算的程序和每一步計(jì)算的具體方法，以此在頭腦里形成除數(shù)是小數(shù)除法計(jì)算過程的表象。認(rèn)知階段實(shí)際上也是一種心智活動(dòng)的定向階段，通過這一階段，學(xué)習(xí)者可以建立起進(jìn)行數(shù)學(xué)心智活動(dòng)的初步自我調(diào)節(jié)機(jī)制，為后面順利進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)提供內(nèi)部控制條件。這一階段的主要任務(wù)是在頭腦里確定心智技能的活動(dòng)程序，并讓這種程序的動(dòng)作結(jié)構(gòu)在頭腦里得到清晰的反映。
�。�2）示范模仿階段。這是數(shù)學(xué)心智活動(dòng)方式進(jìn)入具體執(zhí)行過程的開始，這一階段學(xué)生把在頭腦里已初步建立起來的活動(dòng)程序計(jì)劃以外顯的操作方式付諸執(zhí)行。不過，這種執(zhí)行通常是在老師指導(dǎo)示范下進(jìn)行的，老師的示范通常是采用語言指導(dǎo)和操作提示相結(jié)合的方式進(jìn)行的，即在言語指導(dǎo)的同時(shí)呈現(xiàn)活動(dòng)過程中的某些步驟。如計(jì)算乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法時(shí)，一方面根據(jù)運(yùn)算法則指導(dǎo)運(yùn)算步驟；另一方面在表述運(yùn)算規(guī)定的同時(shí)重點(diǎn)示范用乘數(shù)十位上的數(shù)去乘被乘數(shù)所得的部分積的對(duì)位，以此讓學(xué)生在老師的幫助、指導(dǎo)下順利地掌握兩位數(shù)乘多位數(shù)計(jì)算的活動(dòng)方式。在這一階段，學(xué)生活動(dòng)的執(zhí)行水平還比較低，通常停留在物質(zhì)活動(dòng)和物質(zhì)化活動(dòng)的水平上�！八^物質(zhì)活動(dòng)是指動(dòng)作的客體是實(shí)際事物，所謂物質(zhì)化活動(dòng)是指活動(dòng)不是借助于實(shí)際事物本身，而是以它的代替物如模擬的教具、學(xué)具，乃至圖畫、圖解、言語等進(jìn)行的”。③如解答復(fù)合應(yīng)用題，在這一步學(xué)生通常就是借助線段圖進(jìn)行分析題中數(shù)量關(guān)系的智力活動(dòng)的。
�。�3）有意識(shí)的言語階段。這一階段的智力活動(dòng)離開了活動(dòng)的物質(zhì)和物質(zhì)化的客體而逐步轉(zhuǎn)向頭腦內(nèi)部，學(xué)生通過自己的言語指導(dǎo)而進(jìn)行智力活動(dòng)，通常表現(xiàn)為一邊操作一邊口中念念有詞。如兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算，在這一步學(xué)生往往是一邊計(jì)算，口中一邊念：相同數(shù)位對(duì)位，從個(gè)位加起，個(gè)位滿十向十位進(jìn)1。很明顯，這時(shí)的計(jì)算過程是伴隨著對(duì)法則運(yùn)算規(guī)定的復(fù)述進(jìn)行的。在這一階段，學(xué)生出聲的外部言語活動(dòng)還會(huì)逐步向不出聲的外部言語活動(dòng)過渡，如兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算，在本階段的后期學(xué)生往往是通過默想法則規(guī)定的運(yùn)算步驟進(jìn)行計(jì)算的。這一活動(dòng)水平的出現(xiàn)，標(biāo)志著學(xué)生的活動(dòng)已開始向智力活動(dòng)水平轉(zhuǎn)化。
�。�4）無意識(shí)的內(nèi)部言語階段。這是數(shù)學(xué)心智技能形成的最后的一個(gè)階段，在這一階段學(xué)生的智力活動(dòng)過程有了高度的壓縮和簡(jiǎn)化，整個(gè)活動(dòng)過程達(dá)到了完全自動(dòng)化的水平，無需去注意活動(dòng)的操作規(guī)則就能比較流暢地完成其操作程序。如用簡(jiǎn)便方法計(jì)算45＋99×99＋54，在這一階段學(xué)生無需去回憶加法交換律和結(jié)合律、乘法分配律等運(yùn)算定律，就能直接先合并45和54兩個(gè)加數(shù)，然后利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，即原式＝（45＋54）＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900，整個(gè)計(jì)算過程完全是一種流暢的自動(dòng)化演算過程。在這一階段，學(xué)生的活動(dòng)完全是根據(jù)自己的內(nèi)部言語進(jìn)行思考的，并且總是用非常簡(jiǎn)縮的形式進(jìn)行思考的，活動(dòng)的中間過程往往簡(jiǎn)約得連自己也察覺不到了，整個(gè)活動(dòng)過程基本上是一種自動(dòng)化的過程。
四、
數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)方法
1．?dāng)?shù)學(xué)操作技能的學(xué)習(xí)方法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)操作技能的基本方法是模仿練習(xí)法和程序練習(xí)法。前者是指學(xué)生在學(xué)習(xí)中根據(jù)老師的示范動(dòng)作或教材中的示意圖進(jìn)行模仿練習(xí)，以掌握操作的基本要領(lǐng)，在頭腦里形成操作過程的動(dòng)作表象的一種學(xué)習(xí)方法。用工具度量角的大小、測(cè)量物體的長(zhǎng)短、幾何圖形的作圖、幾何圖形面積和體積計(jì)算公式推導(dǎo)過程中的圖形轉(zhuǎn)化等技能一般都可以通過模仿練習(xí)法去掌握。如推導(dǎo)平行四邊形面積計(jì)算公式時(shí)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的操作技能就可模仿（人教版）教材插圖（如圖所示）的操作過程去練習(xí)和掌握。小學(xué)生的學(xué)習(xí)更多的是模仿老師的示范動(dòng)作，所以老師的示范對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)動(dòng)作技能的形成尤為重要。教師要充分運(yùn)用示范與講解相結(jié)合、整體示范與分步示范相結(jié)合等措施，讓學(xué)生準(zhǔn)確無誤地掌握操作要領(lǐng)，形成正確的動(dòng)作表象。所謂程序練習(xí)法，就是運(yùn)用程序教學(xué)的原理將所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)動(dòng)作技能按活動(dòng)程序分解成若干局部的動(dòng)作先逐一練習(xí)，最后將這些局部的動(dòng)作綜合成整體形成程序化的活動(dòng)過程。如用量角器量角的度數(shù)、用三角板畫垂線和平行線、畫長(zhǎng)方形等技能的學(xué)習(xí)都可以采用這種方法。用這種方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)動(dòng)作技能，分解動(dòng)作時(shí)注意突出重點(diǎn)，重點(diǎn)解決那些難以掌握的局部動(dòng)作，這樣可以有效地提高學(xué)習(xí)效率。
2．?dāng)?shù)學(xué)心智技能的學(xué)習(xí)方法。學(xué)生的心智技能主要是通過范例學(xué)習(xí)法和嘗試學(xué)習(xí)法去獲得的。范例學(xué)習(xí)法是指學(xué)習(xí)時(shí)按照課本提供的范例，將數(shù)學(xué)技能的思維操作程序一步一步地展現(xiàn)出來，然
后根據(jù)這種程序逐步掌握技能的心智活動(dòng)方式。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則計(jì)算，課本幾乎都提供了計(jì)算的范例，學(xué)習(xí)時(shí)只需要根據(jù)范例有序地進(jìn)行計(jì)算即可掌握計(jì)算方法。如被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0的除法的簡(jiǎn)便算法，課本安排了如下范例,學(xué)習(xí)時(shí)只需要明確范例所反映的計(jì)算程序和方法，并按照這種程序和方法進(jìn)行計(jì)算即可掌握被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0的除法簡(jiǎn)便計(jì)算的技能。嘗試學(xué)習(xí)法是指在學(xué)習(xí)中主要由學(xué)生自己去嘗試探索問題解決的方法和途徑，并在不斷修正錯(cuò)誤的過程中找出解決問題的操作程序，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)技能。這是一種探究式的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)法，總結(jié)運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)并運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算、解答復(fù)合應(yīng)用題、求某些比較復(fù)雜的組合圖形的面積或體積等技能都可以運(yùn)用這種學(xué)習(xí)方法去掌握。這種方法較多地運(yùn)用于題目本身具有較強(qiáng)探究性的變式問題解決的學(xué)習(xí)，如用簡(jiǎn)便方法計(jì)算1001÷12.5，由于學(xué)生在前面已經(jīng)掌握除法商不變性質(zhì)，練習(xí)時(shí)就可通過將除數(shù)和被除數(shù)部乘以8使除數(shù)變成100的途徑去實(shí)現(xiàn)計(jì)算的簡(jiǎn)便。嘗試學(xué)習(xí)法雖然有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和解決問題的能力，但耗時(shí)太多，學(xué)習(xí)時(shí)最好是將它和范例學(xué)習(xí)法結(jié)合起來，兩種學(xué)習(xí)方法互為補(bǔ)充，這樣數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)就會(huì)更加富有成效。
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