屆初三數學上期中考試題

2016屆初三數學上期中考試題

　　書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。下面是小編整理的2016屆初三數學上期中考試題，歡迎大家試做。

　　一、單項選擇題：(每小題3分，共45分)

　　1.下列方程中是關于x的一元二次方程的是(　　)

　　A. B. ax2+bx+c=0

　　C. (x﹣1)(x+2)=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0

　　2.拋物線y=2(x+1)2﹣1的頂點坐標是(　　)

　　A. (﹣1，1) B. (1，﹣1) C. (﹣1，﹣1) D. (1，1)

　　3.若x：y=6：5，則下列等式中不正確的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　4.如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求.根據他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是(　　)

　　A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形

　　5.如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，則坡面AB的長是(　　)

　　A. 10m B. m C. 15m D. m

　　6.如圖，空心圓柱的左視圖是(　　)

　　A. B. C. D.

　　7.拋物線y=x2+6x+8與y軸的交點坐標是(　　)

　　A. (0，8) B. (0，﹣8) C. (0，6) D. (﹣2，0)和(﹣4，0)

　　8.雙曲線 與 在第一象限內的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為(　　)

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　9.△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有 +(2sinA﹣ )2=0，則△ABC是(　　)

　　A. 直角(不等腰)三角形 B. 等腰直角三角形

　　C. 等腰(不等邊)三角形 D. 等邊三角形

　　10.函數y=﹣x2﹣4x+3圖象頂點坐標是(　　)

　　A. (2，﹣7) B. (2，7) C. (﹣2，﹣7) D. (﹣2，7)

　　11.如圖，在8×4的矩形網格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則tan∠ACB的值為(　　)

　　A. B. C. D. 3

　　12.如圖，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=(　　)

　　A. 9 B. 10 C. 12 D. 13

　　13.若二次函數y=(x﹣m)2﹣1.當x≤l時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是(　　)

　　A. m=l B. m>l C. m≥l D. m≤l

　　14.如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP(P為AB中點)所在的直線上，得到經過點D的折痕DE.則∠DEC的大小為(　　)

　　A. 78° B. 75° C. 60° D. 45°

　　15.如圖，一次函數y1=k1+2與反比例函數y2= 的圖象交點A(m，4)和B(﹣8，﹣2)兩點，若y1>y2，則x的取值范圍是(　　)

　　A. x<﹣8或04或﹣84

　　二、填空題：(每小題3分，共18分)

　　16.為了估計池塘里有多少條魚，從池塘里捕捉了100條魚，做上標記，然后放回池塘里，經過一段時間后，等有標記的魚完全混合于池塘中魚群后，再捕第二次樣本魚200條，發現其中有標志的魚25條，你估計一下，該池塘里現在有魚　　　　　　條.

　　17.我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形.現有一個對角線分別為6cm和8cm的菱形，它的中點四邊形的兩條對角線長之和是　　　　　　 cm.

　　18.在一次同學聚會時，大家一見面就相互握手.有人統計了一下，大家一共握了45次手，參加這次聚會的同學共有多少人?若參加聚會有x名同學，可列方程　　　　　　.

　　19.反比例函數y= 的圖象上有一點A(x，y)，且x，y是方程a2﹣a﹣1=0的兩個根，則k=

　　20.如圖，四邊形ABCD為正方形，AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE、CE與DB相交于點F，則∠AFD=　　　　　　度.

　　21.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為(4，0)，(8，2)，(6，4).已知△A1B1C1的兩個頂點的坐標為(1，3)，(2，5)，若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為　　　　　　.

　　三、解答題(要有必要的解答過程和相應的文字說明)

　　22.(1)解方程：2x2﹣3x=0;

　　(2)如圖，AC是菱形ABCD的對角線，點E，F分別在AB，AD上，且AE=AF.求證：CE=CF.

　　23.(1)計算：2﹣1+(π﹣3.14)0+sin60°﹣|﹣ |

　　(2)如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinC= ，點D是BC上一點，且DC=AC.求BD的長.

　　24.如圖①，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的邊.如圖②，地毯中央的矩形圖案長6米、寬3米，整個地毯的面積是40平方米.求花邊的寬.

　　25.甲乙兩名同學做摸球游戲，他們把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.

　　(1)求從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率;

　　(2)從袋中隨機摸出一球后放回，搖勻后再隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標號之和為偶數時，則甲勝;若兩次摸出的球的標號之和為奇數時，則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.

　　26.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E(4，n)在邊AB上，反比例函數 (k≠0)在第一象限內的圖象經過點D、E，且tan∠BOA= .

　　(1)求邊AB的長;

　　(2)求反比例函數的解析式和n的值;

　　(3)若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長.

　　27.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經過點A(1，0)和B(3，0)，點C(m， )在拋物線的對稱軸上.

　　(1)求拋物線的函數表達式.

　　(2)求證：△ABC是等腰三角形.

　　(3)動點P在線段AC上，從點A出發以每鈔1個單位的速度向C運動，同時動點Q在線段AB上，從B出發以每秒1個單位的速度向A運動.當Q到達點A時，兩點同時停止運動.設運動時間為t秒，求當t為何值時，△APQ與△ABC相似.

　　28.如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H.

　　(1)求證： ;

　　(2)設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值;

　　(3)當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動(當點Q與點C重合時停止運動)，設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，當0≤t<4時，求S與t的函數關系式.

　　參考答案

　　一、單項選擇題：(每小題3分，共45分)

　　1.下列方程中是關于x的一元二次方程的是(　　)

　　A. B. ax2+bx+c=0

　　C. (x﹣1)(x+2)=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0

　　考點： 一元二次方程的定義.

　　專題： 方程思想.

　　分析： 一元二次方程必須滿足四個條件：

　　(1)未知數的最高次數是2;

　　(2)二次項系數不為0;

　　(3)是整式方程;

　　(4)含有一個未知數.由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案.

　　解答： 解：A、原方程為分式方程;故A選項錯誤;

　　B、當a=0時，即ax2+bx+c=0的二次項系數是0時，該方程就不是一元二次方程;故B選項錯誤;

　　C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求;故C選項正確;

　　D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有兩個未知數;故D選項錯誤.

　　故選：C.

　　點評： 本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2.

　　2.拋物線y=2(x+1)2﹣1的頂點坐標是(　　)

　　A. (﹣1，1) B. (1，﹣1) C. (﹣1，﹣1) D. (1，1)

　　考點： 二次函數的性質.

　　分析： 直接利用頂點式的特點可求頂點坐標.

　　解答： 解：因為y=2(x+1)2﹣1是拋物線的頂點式，

　　根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為(﹣1，﹣1)，

　　故選C.

　　點評： 主要考查了求拋物線的對稱軸和頂點坐標的方法.牢記二次函數的頂點式是解答本題的關鍵.

　　3.若x：y=6：5，則下列等式中不正確的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 比例的性質.

　　分析： 根據比例設x=6k，y=5k，然后分別代入對各選項進行計算即可判斷.

　　解答： 解：∵x：y=6：5，

　　∴設x=6k，y=5k，

　　A、 = = ，故本選項錯誤;

　　B、 = = ，故本選項錯誤;

　　C、 = =6，故本選項錯誤;

　　D、 = =﹣5，故本選項正確.

　　故選D.

　　點評： 本題考查了比例的性質，利用“設k”法表示出x、y可以使計算更加簡便.

　　4.如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求.根據他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是(　　)

　　A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形

　　考點： 菱形的判定;線段垂直平分線的性質.

　　專題： 壓軸題.

　　分析： 根據垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關系進而得出四邊形一定是菱形.

　　解答： 解：∵分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，

　　∴AC=AD=BD=BC，

　　∴四邊形ADBC一定是菱形，

　　故選：B.

　　點評： 此題主要考查了線段垂直平分線的性質以及菱形的判定，得出四邊形四邊關系是解決問題的關鍵.

　　5.如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，則坡面AB的長是(　　)

　　A. 10m B. m C. 15m D. m

　　考點： 解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

　　專題： 壓軸題.

　　分析： 由河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案.

　　解答： 解：河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，

　　即tan∠BAC= = = ，

　　∴∠BAC=30°，

　　∴AB=2BC=2×5=10m，

　　故選：A.

　　點評： 此題考查的是解直角三角形的應用，關鍵是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB.

　　6.如圖，空心圓柱的左視圖是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 簡單組合體的三視圖.

　　分析： 找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的棱都應表現在左視圖中.

　　解答： 解：圓柱的左視圖是矩形，里面有兩條用虛線表示的看不到的棱，

　　故選：C.

　　點評： 本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖;注意看得到的棱畫實線，看不到的棱畫虛線.

　　7.拋物線y=x2+6x+8與y軸的交點坐標是(　　)

　　A. (0，8) B. (0，﹣8) C. (0，6) D. (﹣2，0)和(﹣4，0)

　　考點： 二次函數圖象上點的坐標特征.

　　專題： 計算題.

　　分析： 根據y軸上點的坐標特征把x=0代入解析式求出函數值即可確定拋物線與y軸的交點坐標.

　　解答： 解：把x=0代入得y=8，

　　所以拋物線y=x2+6x+8與y軸的交點坐標是(0，8).

　　故選A.

　　點評： 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上的坐標滿足其解析式.也考查了二次函數的性質.

　　8.雙曲線 與 在第一象限內的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為(　　)

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　考點： 反比例函數系數k的幾何意義.

　　分析： 如果設直線AB與x軸交于點C，那么△AOB的面積=△AOC的面積﹣△COB的面積.根據反比例函數的比例系數k的幾何意義，知△AOC的面積=5，△COB的面積=3，從而求出結果.

　　解答： 解：設直線AB與x軸交于點C.

　　∵AB∥y軸，

　　∴AC⊥x軸，BC⊥x軸.

　　∵點A在雙曲線y= 的圖象上，∴△AOC的面積= ×10=5.

　　點B在雙曲線y= 的圖象上，∴△COB的面積= ×6=3.

　　∴△AOB的面積=△AOC的面積﹣△COB的面積=5﹣3=2.

　　故選B.

　　點評： 本題主要考查反比例函數的比例系數k的幾何意義.反比例函數圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系，即S= |k|.

　　9.△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有 +(2sinA﹣ )2=0，則△ABC是(　　)

　　A. 直角(不等腰)三角形 B. 等腰直角三角形

　　C. 等腰(不等邊)三角形 D. 等邊三角形

　　考點： 特殊角的三角函數值;非負數的性質：絕對值;非負數的性質：偶次方.

　　分析： 一個數的絕對值以及平方都是非負數，兩個非負數的和是0，因而每個都是0，就可以求出tanB，以及sinA的值.進而得到∠A，∠B的度數.判斷△ABC的形狀.

　　解答： 解：∵ +(2sinA﹣ )2=0，

　　根據非負數的性質，tanB= ;2sinA﹣ =0.

　　∴∠B=60°，∠A=60°.

　　則∠C=60°，△ABC為等邊三角形.

　　故選D.

　　點評： 本題考查特殊角三角函數值的計算，特殊角三角函數值計算在中考中經常出現，題型以選擇題、填空題為主.

　　【相關鏈接】非負數的性質(之一)：有限個非負數的和為零，那么每一個加數也必為零，即若a1，a2，…，an為非負數，且a1+a2+…+an=0，則必有a1=a2=…=an=0.

　　10.函數y=﹣x2﹣4x+3圖象頂點坐標是(　　)

　　A. (2，﹣7) B. (2，7) C. (﹣2，﹣7) D. (﹣2，7)

　　考點： 二次函數的性質.

　　分析： 先把二次函數化為頂點式的形式，再得出其頂點坐標即可.

　　解答： 解：∵原函數解析式可化為：y=﹣(x+2)2+7，

　　∴函數圖象的頂點坐標是(﹣2，7).

　　故選D.

　　點評： 本題考查的是二次函數的性質，根據題意把二次函數的解析式化為頂點式的形式是解答此題的關鍵.

　　11.如圖，在8×4的矩形網格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則tan∠ACB的值為(　　)

　　A. B. C. D. 3

　　考點： 銳角三角函數的定義.

　　專題： 網格型.

　　分析： 結合圖形，根據銳角三角函數的定義即可求解.

　　解答： 解：由圖形知：tan∠ACB= = ，

　　故選A.

　　點評： 本題考查了銳角三角函數的定義，屬于基礎題，關鍵是掌握銳角三角函數的定義.

　　12.如圖，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=(　　)

　　A. 9 B. 10 C. 12 D. 13

　　考點： 相似三角形的判定與性質.

　　專題： 計算題.

　　分析： 求出 的值，推出△AEF∽△ABC，得出 = ，把S四邊形BCFE=8代入求出即可.

　　解答： 解：∵ = ，

　　∴ = = ，

　　∵EF∥BC，

　　∴△AEF∽△ABC，

　　∴ = = ，

　　∴9S△AEF=S△ABC，

　　∵S四邊形BCFE=8，

　　∴9(S△ABC﹣8)=S△ABC，

　　解得：S△ABC=9.

　　故選A.

　　點評： 本題考查了相似三角形的性質和判定的應用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目.

　　13.若二次函數y=(x﹣m)2﹣1.當x≤l時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是(　　)

　　A. m=l B. m>l C. m≥l D. m≤l

　　考點： 二次函數的性質.

　　分析： 根據二次函數的性質，利用二次函數的對稱軸不大于1列式計算即可得解.

　　解答： 解：二次函數y=(x﹣m)2﹣1的對稱軸為直線x=﹣m，

　　∵當x≤l時，y隨x的增大而減小，

　　∴m≥1，

　　故選C.

　　點評： 本題考查了二次函數的性質，主要利用了二次函數的增減性，熟記性質并列出不等式是解題的關鍵.

　　14.如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP(P為AB中點)所在的直線上，得到經過點D的折痕DE.則∠DEC的大小為(　　)

　　A. 78° B. 75° C. 60° D. 45°

　　考點： 翻折變換(折疊問題);菱形的性質.

　　專題： 計算題.

　　分析： 連接BD，由菱形的性質及∠A=60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，進而求出∠PDC=90°，由折疊的性質得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的內角和定理即可求出所求角的度數.

　　解答： 解：連接BD，

　　∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，

　　∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，

　　∵P為AB的中點，

　　∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP=∠BDP=30°，

　　∴∠PDC=90°，

　　∴由折疊的性質得到∠CDE=∠PDE=45°，

　　在△DEC中，∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.

　　故選：B.

　　點評： 此題考查了翻折變換(折疊問題)，菱形的性質，等邊三角形的性質，以及內角和定理，熟練掌握折疊的性質是解本題的關鍵.

　　15.如圖，一次函數y1=k1+2與反比例函數y2= 的圖象交點A(m，4)和B(﹣8，﹣2)兩點，若y1>y2，則x的取值范圍是(　　)

　　A. x<﹣8或04或﹣84

　　考點： 反比例函數與一次函數的交點問題.

　　專題： 計算題.

　　分析： 根據反比例函數與一次函數的交點問題，先把B點坐標代入y2= 可計算出k2，確定反比例函數解析式，再把A(m，4)代入反比例函數解析式確定A點坐標，然后根據圖象，找出一次函數圖象在反比例函數圖象上方所對應的自變量的取值范圍即可.

　　解答： 解：把B(﹣8，﹣2)代入y2= 得k2=﹣8×(﹣2)=16，

　　則分別漯河市解析式為y2= ，

　　把A(m，4)代入y2= 得4m=16，解得m=4，

　　所以A點坐標為(4，4)，

　　當﹣84時，y1>y2.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

　　二、填空題：(每小題3分，共18分)

　　16.為了估計池塘里有多少條魚，從池塘里捕捉了100條魚，做上標記，然后放回池塘里，經過一段時間后，等有標記的魚完全混合于池塘中魚群后，再捕第二次樣本魚200條，發現其中有標志的魚25條，你估計一下，該池塘里現在有魚　800　條.

　　考點： 用樣本估計總體.

　　專題： 計算題.

　　分析： 利用第二次樣本魚200條，其中有標志的魚25條估計池塘里現在有標志的魚的百分比，于是可得100：x=25：200，然后解方程即可.

　　解答： 解：設該池塘里現在有魚x條，根據題意得100：x=25：200，解得x=800，

　　所以可估計該池塘里現在有魚800條.

　　故答案為800.

　　點評： 本題考查了用樣本估計總體：用樣本估計總體是統計的基本思想，用樣本的數字特征估計總體的數字特征(主要數據有眾數、中位數、平均數、標準差與方差 ).

　　17.我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形.現有一個對角線分別為6cm和8cm的菱形，它的中點四邊形的兩條對角線長之和是　10　 cm.

　　考點： 中點四邊形.

　　分析： 根據順次連接這個菱形各邊中點所得的四邊形是矩形，且矩形的邊長分別是菱形對角線的一半，問題得解.

　　解答： 解：∵E、F、G、H分別為各邊中點

　　∴EF∥GH∥AC，EF=GH= AC，

　　EH=FG= BD，EH∥FG∥BD

　　∵DB⊥AC，

　　∴EF⊥EH，

　　∴四邊形EFGH是矩形，

　　∵EH= BD=3cm，EF= AC=4cm，

　　∴HF= =5(cm)，

　　∴它的中點四邊形的兩條對角線長之和是：5+5=10(cm).

　　故答案為：10.

　　點評： 本題考查了菱形的性質，菱形的四邊相等，對角線互相垂直，連接菱形各邊的中點得到矩形，且矩形的邊長是菱形對角線的一半以及勾股定理的運用.

　　18.在一次同學聚會時，大家一見面就相互握手.有人統計了一下，大家一共握了45次手，參加這次聚會的同學共有多少人?若參加聚會有x名同學，可列方程　 =45　.

　　考點： 由實際問題抽象出一元二次方程.

　　分析： 設這次聚會的同學共x人，則每個人握手(x﹣1)次，而兩個人之間握手一次，因而共握手 次，即可列方程求解.

　　解答： 解：設參加聚會的同學共有x人，由題意，得

　　=45.

　　故答案為 =45.

　　點評： 本題考查理解題意的能力，每個人握了(x﹣1)次，共有x人，但有重復的，從而得到方程.

　　19.反比例函數y= 的圖象上有一點A(x，y)，且x，y是方程a2﹣a﹣1=0的兩個根，則k=　﹣1

　　考點： 待定系數法求反比例函數解析式;根與系數的關系.

　　分析： 利用一元二次方程的根與系數的關系可以計算兩根的積，而k=xy，據此即可求解.

　　解答： 解：x、y是方程a2﹣a﹣1=0的根，

　　則有xy=﹣1，

　　又∵點A(x，y)在反比例函數y= 的圖象上，

　　∴xy=k，∴k=﹣1.

　　點評： 本題考查了一元二次方程的根與系數的關系.x1+x2=﹣ ，x1x2= .

　　20.如圖，四邊形ABCD為正方形，AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE、CE與DB相交于點F，則∠AFD=　60　度.

　　考點： 正方形的性質;三角形內角和定理;等邊三角形的性質.

　　分析： 根據正方形及等邊三角形的性質求得∠AFE，∠BFE的度數，再根據外角的性質即可求得答案.

　　解答： 解：∵∠CBA=90°，∠ABE=60°，

　　∴∠CBE=150°，

　　∵四邊形ABCD為正方形，三角形ABE為等邊三角形

　　∴BC=BE，

　　∴∠BEC=15°，

　　∵∠FBE=∠DBA+∠ABE=105°，

　　∴∠BFE=60°，

　　在△CBF和△ABF中，

　　，

　　∴△CBF≌△ABF(SAS)，

　　∴∠BAF=∠BCE=15°，

　　又∠ABF=45°，且∠AFD為△AFB的外角，

　　∴∠AFD=∠ABF+∠FAB=15°+45°=60°.

　　故答案為60.

　　點評： 本題考查等邊、等腰三角形的性質及三角形內角和定理的綜合運用.

　　21.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為(4，0)，(8，2)，(6，4).已知△A1B1C1的兩個頂點的坐標為(1，3)，(2，5)，若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為　(3，4)或(0，4)　.

　　考點： 位似變換;坐標與圖形性質.

　　分析： 首先由題意可求得直線AC、AB、BC的解析式與過點(1，3)，(2，5)的直線的解析式，即可知過這兩點的直線與直線AC平行，則可分別從①若A的對應點為A1(1，3)，C的對應點為C1(2，5)與②若C的對應點為A1(1，3)，A的對應點為C1(2，5)去分析求解，即可求得答案.

　　解答： 解：設直線AC的解析式為：y=kx+b，

　　∵△ABC的頂點坐標分別為(4，0)，(8，2)，(6，4)，

　　∴ ，

　　解得： ，

　　∴直線AC的解析式為：y=2x﹣8，

　　同理可得：直線AB的解析式為：y= x﹣2，直線BC的解析式為：y=﹣x+10，

　　∵△A1B1C1的兩個頂點的坐標為(1，3)，(2，5)，

　　∴過這兩點的直線為：y=2x+1，

　　∴過這兩點的直線與直線AC平行，

　�、偃鬉的對應點為A1(1，3)，C的對應點為C1(2，5)，

　　則B1C1∥BC，B1A1∥BA，

　　設直線B1C1的解析式為y=﹣x+a，直線B1A1的解析式為y= x+b，

　　∴﹣2+a=5， +b=3，

　　解得：a=7，b= ，

　　∴直線B1C1的解析式為y=﹣x+7，直線B1A1的解析式為y= x+ ，

　　則直線B1C1與直線B1A1的交點為：(3，4);

　�、谌鬋的對應點為A1(1，3)，A的對應點為C1(2，5)，

　　則B1A1∥BC，B1C1∥BA，

　　設直線B1C1的解析式為y= x+c，直線B1A1的解析式為y=﹣x+d，

　　∴ ×2+c=5，﹣1+d=3，

　　解得：c=4，d=4，

　　∴直線B1C1的解析式為y= x+4，直線B1A1的解析式為y=﹣x+4，

　　則直線B1C1與直線B1A1的交點為：(0，4).

　　∴△A1B1C1的第三個頂點的坐標為(3，4)或(0，4).

　　故答案為：(3，4)或(0，4).

　　點評： 此題考查了位似圖形的性質.此題難度適中，注意掌握位似圖形的對應線段互相平行，注意掌握待定系數法求一次函數解析式的知識，注意分類討論思想與數形結合思想的應用.

　　三、解答題(要有必要的解答過程和相應的文字說明)

　　22.(1)解方程：2x2﹣3x=0;

　　(2)如圖，AC是菱形ABCD的對角線，點E，F分別在AB，AD上，且AE=AF.求證：CE=CF.

　　考點： 菱形的性質;解一元二次方程-因式分解法;全等三角形的判定與性質.

　　分析： (1)將方程左邊的多項式提取公因式x，分解因式后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.

　　(2)根據菱形的性質，利用SAS判定△ACE≌△ACF，從而求得CE=CF.

　　解答： (1)解：x(2x﹣3)=0，

　　x=0或2x﹣3=0，

　　∴x1=0，x2= ;

　　(2)證明：∵四邊形ABCD是菱形，

　　∴∠EAC=∠FAC，

　　又∵AE=AF，AC為公共邊，

　　在△ACE和△ACF中，

　　，

　　∴△ACE≌△ACF(SAS)，

　　∴CE=CF.

　　點評： (1)此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解.

　　(2)本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.

　　23.(1)計算：2﹣1+(π﹣3.14)0+sin60°﹣|﹣ |

　　(2)如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinC= ，點D是BC上一點，且DC=AC.求BD的長.

　　考點： 解直角三角形;實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.

　　分析： (1)分別根據0指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值即絕對值的性質計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可;

　　(2)過點A作AE⊥BC于點E，根據等腰三角形的性質得出BE=CE，在Rt△ACE中根據AC=10，sin∠C= ，得出AE=6，由勾股定理求出CE的值，再由BD=BC﹣BD=BC﹣AC即可得出結論.

　　解答： (1)解：原式= +1+ ﹣

　　= ;

　　(2)解：過點A作AE⊥BC于點E，

　　∵AB=AC，

　　∴BE=CE，

　　在Rt△ACE中，AC=10，sin∠C= ，

　　∴AE=6，

　　∴CE= =8，

　　∴BD=2CE=16，

　　∴BD=BC﹣BD=BC﹣AC=6.

　　點評： 本題考查的是解直角三角形，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

　　24.如圖①，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的邊.如圖②，地毯中央的矩形圖案長6米、寬3米，整個地毯的面積是40平方米.求花邊的寬.

　　考點： 一元二次方程的應用.

　　專題： 幾何圖形問題.

　　分析： 本題可根據地毯的面積為40平方米來列方程，其等量關系式可表示為：

　　(矩形圖案的長+兩個花邊的寬)×(矩形圖案的寬+兩個花邊的寬)=地毯的面積.

　　解答： 解：設花邊的寬為x米，

　　根據題意得(2x+6)(2x+3)=40，

　　解得x1=1，x2=﹣ ，

　　x2=﹣ 不合題意，舍去.

　　答：花邊的寬為1米.

　　點評： 本題可根據關鍵語句和等量關系列出方程，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

　　25.甲乙兩名同學做摸球游戲，他們把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.

　　(1)求從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率;

　　(2)從袋中隨機摸出一球后放回，搖勻后再隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標號之和為偶數時，則甲勝;若兩次摸出的球的標號之和為奇數時，則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.

　　考點： 游戲公平性;概率公式;列表法與樹狀圖法.

　　專題： 探究型.

　　分析： (1)由把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案;

　　(2)首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與甲勝，乙勝的情況，即可求得求概率，比較大小，即可知這個游戲是否公平.

　　解答： 解：(1)由于三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，

　　故從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率為： ;

　　(2)這個游戲不公平.

　　畫樹狀圖得：

　　∵共有9種等可能的結果，兩次摸出的球的標號之和為偶數的有5種情況，兩次摸出的球的標號之和為奇數的有4種情況，

　　∴P(甲勝)= ，P(乙勝)= .

　　∴P(甲勝)≠P(乙勝)，

　　故這個游戲不公平.

　　點評： 本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

　　26.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E(4，n)在邊AB上，反比例函數 (k≠0)在第一象限內的圖象經過點D、E，且tan∠BOA= .

　　(1)求邊AB的長;

　　(2)求反比例函數的解析式和n的值;

　　(3)若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長.

　　考點： 反比例函數綜合題.

　　專題： 綜合題.

　　分析： (1)根據點E的縱坐標判斷出OA=4，再根據tan∠BOA= 即可求出AB的長度;

　　(2)根據(1)求出點B的坐標，再根據點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數法求函數解析式求出反比例函數解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值;

　　(3)先利用反比例函數解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據折疊的性質可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度.

　　解答： 解：(1)∵點E(4，n)在邊AB上，

　　∴OA=4，

　　在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，

　　∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2;

　　(2)根據(1)，可得點B的坐標為(4，2)，

　　∵點D為OB的中點，

　　∴點D(2，1)

　　∴ =1，

　　解得k=2，

　　∴反比例函數解析式為y= ，

　　又∵點E(4，n)在反比例函數圖象上，

　　∴ =n，

　　解得n= ;

　　(3)如圖，設點F(a，2)，

　　∵反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，

　　∴ =2，

　　解得a=1，

　　∴CF=1，

　　連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，

　　在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，

　　即t2=(2﹣t)2+12，

　　解得t= ，

　　∴OG=t= .

　　點評： 本題綜合考查了反比例函數的知識，包括待定系數法求函數解析式，點在函數圖象上，銳角三角函數的定義，以及折疊的性質，求出點D的坐標，然后求出反比例函數解析式是解題的關鍵.

　　27.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經過點A(1，0)和B(3，0)，點C(m， )在拋物線的對稱軸上.

　　(1)求拋物線的函數表達式.

　　(2)求證：△ABC是等腰三角形.

　　(3)動點P在線段AC上，從點A出發以每鈔1個單位的速度向C運動，同時動點Q在線段AB上，從B出發以每秒1個單位的速度向A運動.當Q到達點A時，兩點同時停止運動.設運動時間為t秒，求當t為何值時，△APQ與△ABC相似.

　　考點： 二次函數綜合題.

　　專題： 綜合題.

　　分析： (1)將點A、點B的坐標代入拋物線解析式可得出a、b的值，繼而得出拋物線的函數表達式;

　　(2)由拋物線解析式可得出m的值，求出CA、CB的長度，即可得出結論;

　　(3)分兩種情況討論，①當∠APQ=∠ACB時，△APQ∽△ACB，②當∠APQ=∠ABC時，△APQ∽△ABC，利用對應邊成比例解出t的值即可.

　　解答： 解：(1)把A(1，0)和B(3，0)代入y=ax2+bx+3得： ，

　　解得： ，

　　∴拋物線的函數解析式是y=x2﹣4x+3.

　　(2)拋物線的對稱軸是x=2，

　　∵點C(m， )在拋物線對稱軸上，

　　∴m=2，

　　∴點C(2， )，

　　∴CA= =4，CB= =4，

　　∴CA=CB

　　∴△ABC是等腰三角形.

　　(3)∠A是公共角，

　�、佼�∠APQ=∠ACB時，△APQ∽△ACB，

　　∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，

　　∴ = ，

　　解得：t= .

　�、诋�∠APQ=∠ABC時，△APQ∽△ABC，

　　∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，

　　∴ = ，

　　∴t= ，

　　∴當t= 或t= 時，△APQ與△ABC相似.

　　點評： 本題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求二次函數解析式、等腰三角形的判定及相似三角形的判定與性質，難點在第三問，關鍵是分類討論，不要漏解，注意相似三角形的對應邊成比例.

　　28.如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H.

　　(1)求證： ;

　　(2)設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值;

　　(3)當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動(當點Q與點C重合時停止運動)，設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，當0≤t<4時，求S與t的函數關系式.

　　考點： 相似形綜合題.

　　分析： (1)首先判斷出△AEF∽△ABC，即可推得 ;然后判斷出△AEH∽△ABD，即可推得 .

　　(2)首先求出EQ的值是多少;然后根據S矩形EFPQ=EF•EQ，求出S矩形EFPQ關于x的函數關系式，再應用配方法，求出當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大，以及S矩形EFPQ的最大值是多少即可.

　　(3)首先判斷出△FPC是等腰直角三角形，求出PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9;然后設EF、PF分別交AC于點M、N，判斷出△MFN是等腰直角三角形，推得FN=MF=t，求出S與t的函數關系式即可.

　　解答： (1)證明：∵四邊形EFPQ是矩形，

　　∴EF∥QP，

　　∴△AEF∽△ABC，

　　∴ ，

　　又∵△AEH∽△ABD，

　　∴ ，

　　∴ .

　　(2)解：由(1)得 = ，

　　∴AH= x，

　　∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣ x，

　　∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8﹣ x)=﹣ x2+8x=﹣ (x﹣5)2+20，

　　∵﹣ <0，

　　∴當x=5時，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20.

　　(3)解：如圖1，

　　由(2)得EF=5，EQ=8﹣ =8﹣4=4，

　　∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形，

　　∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=5+4=9.

　　如圖2， ，

　　當0≤t<4時，

　　設EF、PF分別交AC于點M、N，

　　∵∠MFN=90°，∠FMN=∠C=45°，

　　∴FNM=45°，

　　∴△MFN是等腰直角三角形，

　　∴FN=MF=t，

　　∴S=S矩形EFPQ﹣S△MFN=20﹣ t2=﹣ t2+20.

　　點評： (1)此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數形結合思想的應用，要熟練掌握.

　　(2)此題還考查了三角形相似的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似;②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似;③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

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