數(shù)學(xué)中的美
摘要：通過認(rèn)識發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，如：黃金數(shù)、勾股定理、美妙的對稱等，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)中有很多美的東西，使學(xué)生變“苦學(xué)”為“樂學(xué)”。這樣不僅陶冶了情操，又讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)感受到數(shù)學(xué)的美，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。關(guān)鍵詞：和諧；黃金數(shù)；勾股定理；對稱美
隨著數(shù)學(xué)的深入發(fā)展，人們逐漸地認(rèn)識到：數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類文化休戚相關(guān)，數(shù)學(xué)一直也是人類文明的文化力量。在數(shù)學(xué)教材中，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)美，認(rèn)識數(shù)學(xué)的美，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)思維。
一、黃金數(shù)
兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯發(fā)現(xiàn)：如果將一條線段(AB)分割成大小兩段(AP、PB)，若小段與大段的長度比恰好等于大段長度與全長之比的話，那么這一比值等于0.618…，用式子表示就是PB：AP=AP：AB=0.618…
建筑師們對數(shù)字0.618…特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀(jì)的法國埃菲爾鐵塔，都是與0.618…有關(guān)的數(shù)據(jù)。人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618…處。藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618…處，能使琴聲更加柔和甜美。因此大畫家達(dá)•芬奇把0.618…稱為黃金數(shù)。
黃金分割在幾何作圖中有很多應(yīng)用，如五角星的各邊就是按照黃金分割劃分的，圓的內(nèi)接正十邊形也能歸結(jié)為黃金分割。關(guān)于黃金分割還有很多應(yīng)用，如攝影、建筑設(shè)計(jì)、音樂、藝術(shù)等。
二、古老的勾股定理
勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理，是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之王，西方國家稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”，但遠(yuǎn)在畢達(dá)哥拉斯（公元前580或568—公元前501或500）出生之前，這一定理早已為人們利用，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾對本定理有所研究，故西方國家均稱此定理為畢達(dá)哥拉斯定理。我國又前也叫“畢達(dá)哥拉斯定理”，上世紀(jì)50年代曾開展關(guān)于這個(gè)定理命名問題的討論，最后確定叫“勾股定理”。
3500年以前，巴比倫人就知道三邊長為下列各數(shù)的一些三角形為直角三角形：
120，119，169； 3456，3367，4825； 4800，4601，6649； 13500，12709，18541； 72，65，97； 360，319，481；2700，2291，3541； 960，799，1249；
然而，當(dāng)時(shí)為什么列出這些三角形，至今還是個(gè)謎。
勾股定理是歐氏平面幾何的一個(gè)核心結(jié)果，是三角學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，開普勒稱“幾何學(xué)兩個(gè)寶藏”：一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割。中國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議用一幅反映勾股定理的數(shù)形關(guān)系圖來作為與“外星人”交談的語言。就勾股定理本身而言，它在直角三角形的三條邊之間建立了固定關(guān)系，從而將原來對幾何學(xué)的感性認(rèn)識精確化，真正意義的幾何學(xué)才可以確立。尤其是其中體現(xiàn)出來的“數(shù)形統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。勾股定理啟發(fā)了人類對數(shù)學(xué)的深入思考，促成了解析幾何及三角學(xué)的建立，使數(shù)學(xué)的幾何與代數(shù)兩大門類結(jié)合起來，為數(shù)學(xué)進(jìn)一步的發(fā)展開拓了寬廣的道路。勾股定理以及處理數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方法、思考模式和現(xiàn)代天體物理學(xué)思考模式一致。第一宇宙定律就是通過對勾股定理的說明影響人們思維方法的平直時(shí)空觀。
在人類借助宇宙飛船設(shè)法尋找“外星人”的時(shí)候，曾經(jīng)碰到了一個(gè)難題：一旦人類遇到“外星人”，該怎樣與他們進(jìn)行交談？顯然用人類的語言、文字、音樂等是不行的。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚建議，用一幅數(shù)形關(guān)系圖作為與“外星人”交談的語言。
這幅圖中有邊長為3、4、5的三個(gè)正方形，它們又相互聯(lián)結(jié)圍成一個(gè)三角形，三個(gè)正方形都被分成了大小相同的一些小方格，并且每條邊上小方格的個(gè)數(shù)與這條邊長度的數(shù)字相等，兩個(gè)小正方形的小方格數(shù)分別為9和16，其和為25，恰好等于大正方形的小方格數(shù)，整幅圖反映了“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。這就是勾股定理，西方人稱它為畢達(dá)哥拉斯定理。
勾股定理是—條古老而又應(yīng)用十分廣泛的定理。據(jù)說四千多年前，中國的大禹就是用勾股定理來確定兩地的地勢差，以治理洪水的。古埃及人也是運(yùn)用勾股定理，以繩子打結(jié)的方法來確定直角，并用這種辦法確定金字塔的正方形底的。勾股定理在現(xiàn)代的應(yīng)用范圍更為廣泛。木工用三、四、五放線法確定垂線或直角。在計(jì)算屋架所需木料以及起重機(jī)工作高度時(shí)，都需要用勾股定理來幫助計(jì)算。而勾股定理在科學(xué)、技術(shù)、工程上的應(yīng)用更是多得不勝枚舉。事實(shí)上，勾股定理在現(xiàn)代的應(yīng)用范圍是任何數(shù)學(xué)定理所不可比擬的。 三、美妙的對稱
自古以來，人們就已經(jīng)討論對稱原理之一——左和右之間的對稱（還有上、下、前、后等之間的對稱）了。對稱的概念源于數(shù)學(xué)（更確切地講是歐氏幾何）。對于對稱在生物中的研究，始于1848年的巴斯德的工作，對稱在天文學(xué)（甚至自然界）上的研究，則始于兩千多年前的古希臘人。20世紀(jì)的物理學(xué)家們研究中發(fā)現(xiàn)：對稱的重要性在與日俱增，這從某個(gè)方面也說明了希臘人想法的合理性。
鬧鐘、飛機(jī)、電扇、屋架等的功能、屬性完全不同，但是它們的形狀卻有—個(gè)共同特性——對稱。
在鬧鐘、屋架、飛機(jī)等的外形圖中，可以找到一條線，線兩邊的圖形是完全一樣的。也就是說，當(dāng)這條線的一邊繞這條線旋轉(zhuǎn)180度后，能與另一邊完全重合。在數(shù)學(xué)上把具有這種性質(zhì)的圖形叫做軸對稱圖形，這條線叫做對稱軸。電扇的葉子不是軸對稱圖形，不管怎么畫線，都無法找到這條直線。但電扇的—個(gè)扇葉，如果繞著電扇中心旋轉(zhuǎn)1 80度后，會(huì)與另一個(gè)扇葉原來所在位置完全重合。這種圖形在數(shù)學(xué)上稱為中心對稱圖形，這個(gè)中心點(diǎn)稱為對稱中心。顯然鬧鐘也是一個(gè)中心對稱圖形。
人們把鬧鐘、飛機(jī)、電扇制造成對稱形狀，不僅為了美觀，而且這有一定的科學(xué)道理：鬧鐘的對稱保證了走時(shí)的均勻性，飛機(jī)的對稱使飛機(jī)在空中保持平衡。
對稱也是藝術(shù)家們創(chuàng)造藝術(shù)作品的重要準(zhǔn)則。像中國古代的近體詩中的對仗、民間常用的對聯(lián)等，都有一種內(nèi)在的對稱關(guān)系。如果說建筑也是一種藝術(shù)的話，那么建筑藝術(shù)中對稱的應(yīng)用就更廣泛。中國北京整個(gè)城市的布局也是以故宮、天安門、人民英雄紀(jì)念碑、前門為對稱軸兩邊對稱的。對稱還是自然界的一種生物現(xiàn)象。不少植物、動(dòng)物都有自己的對稱形式。比如人體就是以鼻尖、肚臍的連線為對稱軸的對稱形體，眼、耳、鼻、手、腳都是對稱生長的。眼睛的對稱使人觀看物體能夠更加準(zhǔn)確；雙耳的對稱能使所聽到的聲音具有較強(qiáng)的立體感，確定聲源的位置；雙手、雙腳的對稱能保持人體的平衡。
對稱在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)則是普遍的。幾何上，平面的情形有直線對稱（軸對稱）和點(diǎn)對稱（中心對稱），空間的情形除了直線和點(diǎn)對稱外，還有平面對稱。比如，正方形既是軸對稱圖形（以過對邊中心的直線為軸）、又是中心對稱圖形（對角線交點(diǎn)為對稱中心），圓也是。正六面體（立方體）、球等都是點(diǎn)、線、面對稱圖形。
從命題的角度去看：正定理與逆定理、否定理、逆否定理等也存在著對稱關(guān)系。而且，數(shù)學(xué)推理的內(nèi)在的優(yōu)美，以及由此而來的用數(shù)學(xué)推理法去揭示物理學(xué)結(jié)論的復(fù)雜性和嘗試，是鼓舞物理學(xué)家不斷進(jìn)取的源泉。當(dāng)代美國數(shù)學(xué)家赫爾曼•韋爾指出：“對稱，盡管你可以規(guī)定其含義或?qū)捇蛘�，然而從古到今都是人們用來理解和�?chuàng)造秩序、美妙以及盡善盡美的一種思想�！睂ΨQ原理乃是數(shù)學(xué)中“最有力量和最優(yōu)雅”的解題方法之一。
綜上所述，數(shù)學(xué)中處處充滿著各種各樣的美，正是這些美構(gòu)成了完整的數(shù)學(xué)美，也正是這些美激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生的思維能力和解題能力。數(shù)學(xué)美能減輕學(xué)生的心理壓力，伴隨著美感的學(xué)習(xí)是一種享受，而非一種負(fù)擔(dān)，可使學(xué)生學(xué)習(xí)從“苦學(xué)”為“樂學(xué)”。這樣不僅使學(xué)生陶冶了情操，又獲取了知識，開發(fā)了智力。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、感受到數(shù)學(xué)的美，為數(shù)學(xué)本身的魅力所吸引，通過領(lǐng)悟奇妙的數(shù)學(xué)美，使數(shù)學(xué)真正成為鍛煉思維的體操。
參考文獻(xiàn)：
[1]易南軒.數(shù)學(xué)美拾趣[M].北京：科學(xué)出版社，2004.
[2]張維忠.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程[M].上海：上海教育出版社，1999.
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