軋輥偏心問題的理論分析和冷軋板板帶厚度控制模型(一)

軋輥偏心問題的理論分析和冷軋板板帶厚度控制模型(一)

軋輥偏心問題的理論分析和冷軋板板帶厚度控制模型
軋輥偏心問題的理論分析
 廣義上說，軋輥和軋輥軸承形狀的不規則引起輥縫周期性變化稱為軋輥偏心。軋輥偏心會導致軋件厚度周期變化，軋輥的偏心可以歸納為兩種基本類型。一種是由輥身和輥徑的不同軸度引起的偏差所引起的；另一種是由軋輥本身所具有的橢圓度所產生的。而實際情況可能是兩者共同作用的結果。
輥身和輥徑不同軸的情況

圖2.1  輥身和輥徑不同軸的情況
 如圖2.1所示，為輥徑的軸心，為輥身的軸心，為輥身的半徑，X為與之間的距離。偏心運動軌跡相當于輥身表面可移動點A繞輥徑軸線轉動，即偏心波形為的軌跡。設支承輥轉動的角速度為，，在三角形中，  由余弦定理可知：
                                             (2.1)
設t=0時，＝0，=，。由正弦定理得：
                                (2.2)
從而有：
 
                          (2.3)
因而有軋輥偏心運動軌跡的參數方程為：
                                       (2.4)
 根據以上參數方程，得軋輥偏心波形如圖2.2所示。
 

圖2.2 軋輥偏心波形

圖2.3 輥身為橢圓時的示意圖
軋輥具有橢圓度的情況
如圖2.3 所示，o是軋輥的軸心，是理想輥身的半徑，a 和b 分別是實際橢圓截面的長軸和短軸。實際情況可能不是橢圓。偏心波形為橢圓周上可移動點A與理想圓周的徑向距離的軌跡，r為A到軋輥軸心線的距離。設輥身轉動的角速度為，t=0時，，則有:
                                                           (2.5)
又由橢圓方程 得 ： 
     
即                                      
 
從而
 
因此有
                                                (2.6)
因而得到軋輥偏心曲線方程為
                                    (2.7)
得到的偏心波形類似于圖2.2。
 如果兩個輥的角速度相同，那么合成的偏心信號仍然是同頻率的周波。這是因為周期信號可以分解為一系列的正弦波之和。而兩個同頻率的正弦波之和仍是正弦波。設和為兩個角頻率為的正弦波，其中
                                                   (2.8)
則合成的波形為
                                              (2.9)
式中：
                                          (2.10)
                                           (2.11)
合成波形的振幅發生變化，相位發生偏移，頻率保持不變。軋輥偏心波形一般不是純粹的正弦曲線，而是包括多次諧波的復雜的周期波。它有以下特點：⑴ 周期性  軋輥每轉動一周，偏心信號重復出現一次；⑵ 頻率和幅值不是固定不變的。當軋制速度變化時，其頻率也隨之成比例變化。在軋制過程中，由于軋輥的熱膨脹和磨損，偏心信號的幅值也會發生緩慢變化；⑶ 偏心信號不僅含有多次諧波，而且還含有各種各樣的隨機干擾。 
偏心信號的采集和處理
軋輥偏心對厚度的影響可以用出口厚度變化的頻譜分析來評估，斯太爾克利用快速傅立葉變換(FFT)，從出口厚度數字化信號中分離所有周期分量，并依據所有軋輥轉速和尺寸，能夠辨別出大部分頻譜峰值，通過對頻譜選擇過濾同時結合反變換FFT技術，每個軋輥對出口厚度變化的影響都能測量出來。從上面分析中，我們知道軋輥偏心信號是包括多次諧波的高頻周期波，偏心信號的頻率與軋制速度成正比。在生產過程中，由于隨機噪聲、緩慢變化量等的存在，采集的偏心信號會出現突變、漂移等無規則變化，但總的偏心信息不會突變。軋輥更換以后，它的偏心量就基本上確定了。，并在短時間內不會突變。根據這一特點，在每次換輥以后，在正常軋制狀態下，對軋制壓力信號進行采集，從中提取偏心成分，建立偏心模型。進而對軋輥的偏心進行補償。
 將采集到的軋制力信號進行A/D轉換，然后進行去均值(去掉直流分量)和相干時間平均處理，使噪聲干擾得以減弱或消除，提高信噪比；對預處理后的信號進行快速傅立葉變換(FFT)，建立軋輥偏心參數模型。在軋輥上安裝一個光碼盤，以產生兩列脈沖。一列相對軋輥某一固定點，每轉一周發出一個脈沖，此脈沖作為采樣和控制的初始定位信號；另一列是軋輥每轉一周，光碼盤發出128個脈沖數列以進行FFT，建立模型。相干時間平均方法適應于周期信號或重復信號，它將各個周期信號和噪聲信號同時疊加后加以平均，如果噪聲是隨機的，則在疊加過程中會相互抵消，而信號是有規律的，疊加平均后幅值不變。必要條件是噪聲應具有一定隨機性，而信號則具有重復性，且兩者互不相干。
 設混有噪聲的信號為，信號反映系統的某種基本特征。在相同的條件下，具有重復性。噪聲為均值為零，方差為的平穩隨機信號，且、互不相關。對第i個樣本采樣M次，然后做相干平均得：
                   (2.12)
 傅立葉變換是在以時間為自變量的信號與以頻率為自變量的頻譜函數之間的變換關系。傅立葉變換可以辨別出或區分出組成任意波形的一些不同頻率的正弦波�？焖俑读⑷~變換是建立在離散時間概念上的，它不單純是對離散時間付立葉變換的近似，而是從離散付立葉變換出發，有一整套自成體系的、   離散時間域中的嚴格的基本定理和數學關系。離散付立葉變換能把一個有限長度序列映射成另一個有限長度序列，因而很適合于數字計算機計算。利用離散付立葉變換的一些代數結構，可以實現高速算法，快速付立葉變換能使離散付立葉變換的計算時間成數量級的縮短�？焖俑读⑷~變換的出現使付立葉變換已不僅僅是一種理論概念，而且成為一種技術手段。
 ⑴ 離散付立葉變換[65 ,66]
 當用數字計算機對信號進行頻譜分析時，要求信號必須以離散值作為輸入，而計算機輸出所得的頻譜值，自然也是離散的。因此，必須針對各種不同形式信號的具體情況，或者在時域和頻域上同時取樣，或者在時域上取樣，或者在頻域上取樣。信號在時域上取樣導致頻域的周期函數，而在頻域上取樣導致時域的周期函數，最后將使原時間函數和頻率函數都成為周期離散的函數。
 從嚴格的數學意義上講，離散周期序列的付立葉變換是不存在的。但是，如果利用周期函數可能展開為付立葉級數的指數形式并使用沖激序列，則可以把付立葉級數逐項作積分變換，從而在形式上得到付立葉變換對。
設為一周期連續信號，如果以抽樣間隔為的抽樣率進行抽樣，抽樣結果為，則可表示為：
                                            (2.13)
設一個周期內的抽樣點數為，即到，則

可寫成：

于是有：
                                    (2.14)
對進行抽樣等于先將它的一個周期抽樣成，然后把這一個周期進行延拓。所以有：
                                  (2.15)
式中上的符號表示周期重復，它是離散時間周期沖激序列，是的一個周期內抽樣所得的數值；為抽樣序號，；為抽樣間隔；為的周期；為任意整數。
令，并將展開成付立葉級數
                                           (2.16)
式中：，的單位為，系數可表示為：
                                    (2.17)
因積分限只從0到，所以，于是。將式(2.15)代入式(2.14)得：
                                  (2.18)
對式（2.18）進行付立葉變換得：
                           (2.19)
定義
                                  (2.20)
由于
 
所以。這里是的個周期，。也就是說的周期為，在每個周期內，。于是，式(2.20)可寫成：
                              (2.21)
上式說明，周期離散時間序列經付立葉變換后在頻域中是離散頻率的周期序列，這種形式的變換也稱為離散付立葉級數變換。在數學上，離散周期序列的付立葉級數變換可簡明表示為：
                                     (2.22)
                                 (2.23)
為了方便，令，則式(2.22)和式(2.23)可表示為：
                                       (2.24)
                                  (2.25)
 離散付立葉級數變換是周期序列，仍不便于計算機計算，但離散付立葉級數每個周期序列卻只有(一個周期內取點個數)個獨立的復值，只要知道它的一個周期的內容，其它的內容也就知道了。同時限制式(2.24)中的和式(2.25)中的都只在區間內取值，就得到了一個周期的和一個周期的之間的對應的關系：
                           (2.26)
                        (2.27)
這就是有限長序的離散付立葉變換對。
 上兩式所示的離散付立葉變換對可以看成是連續函數在時域、頻域取樣所構成的變換，可以看作是連續付立葉變換的近似，是一種很有用的變換方法。然而，當數據有較長的長度時，這種變換的計算量是很大的。分析式(2.26) 和式(2.27)可知，當用直接方法計算DFT時，總運算量及總運算時間近似地比例于，這在很大時，所需的運算量及總算時間近似地比例于，這在很大時，所需的運算量非常可觀，要想用DFT方法對信號作實量處理一般是有困難的。
 ⑵ 快速付立葉變換(FFT)
 快速付立葉變換是為減少DFT計算次數的一種快速有效的算法。它使DFT的運算大為簡化，運算時間一般可縮短一至二個數量級，其突出的優點在于能夠快速高效地和比較精確地完成DFT的計算。
 FFT改善DFT運算效率的基本途徑是利用DFT中的權函數所固有的兩個特性，一個是的對稱性，即，另一個是的周期性，即。利用的對稱性，可根據正弦和余弦函數的對稱性來歸并DFT中的某些項，結果可使乘法次數約減少一半。假定是一個高復合數，可利用權系數的周期性，把點DFT進行一系列分解和組合，使整個DFT的計算過程變成一個系列迭代運算過程。因為迭代運算的計算量要比直接計算的計算量少很多，尤其是當很大時，可能成百位甚至成千倍地減少。快速付立葉變換算法正是基于這一基本思想而發展起來的。權系數的周期性是導出FFT算法的一個關鍵因素，高復合性則是實現FFT算法的一個重要條件。根據不同的分解方法，可以導出多種FFT算法，如按時間抽取的FFT算法，按頻率抽取的FFT算法，的高復合性則是實現FFT算法的一個重要條件。根據不同的分解方法，可以導出多種FFT算法，如按時間抽取的FFT算法，按頻率抽取的FFT算法，為復合數的FFT算法等。時域抽點算法的迭代過程是基本在每級把輸入時間序列分解為兩個更短的子序列，頻域抽點算法的迭代過程則基于在每級把輸出頻率序列分解成兩個更短的子序列。
 以2為基時域抽點FFT算法是最基本最常用的算法，基2算法要求采樣點數為2的整數次冪。設有一個點序列，而，首先將按序號之奇偶分解為兩個點的子序列，因而得：
                                    (2.28)
 如采用下列變量替換：(當為偶數時)，(當為奇數時)，則上式可變為：
                       (2.29)
又因
 
所以上式又可改寫為：
                           (2.30)
由于對于均有定義，而及只對有定義，因此，有必要就情況下對2.30作出說明。根據DFT的周期性可得：
                        (2.31)
考慮到：   
 
則上式可改寫為：
           (2.32)
經整理后得：
 
                            (2.33)
式中：和可分別寫成序列和的點DFT。
 式(2.33)表明，一個點DFT可分解成兩個點DFT，而這兩個點DFT又可組合成為一個點DFT，效果是相同的，但是運算量卻大不相同。很明顯，如果以一次復乘和一次復加稱為一次運算，那么，計算兩個點DFT約共需運算，此外再加上按式(2.33)組合需要次運算，所以按先分解后組合的方式計算一個點DFT總共約需次運算。當較大(即)時，它的運算量比直接運算點的DFT約可減少一半。
 因為是2的冪，所以可進一步將每個點子序列按奇偶號分解為兩個點子序列，再令每兩個點子序列組合成一個點DFT……。上述分解過程還可繼續進行，直到第次分解，每個子序列都只有兩點。這樣，就把點DFT的運算轉化為級組合運算，M級組合就是M級迭代過程。每次迭代要求N/2次復乘和N次復加，M級迭代約需次復乘和次復加。每次迭代要求次復乘和點DFT的迭代運算過程是基于在每級把輸入時間序列分解成兩個更短的子序列，因此稱為時域抽點算法。圖2.4 說明了此迭代運算過程。
 
 
圖 2.4   N點基2 FFT的M級迭代過程
 經過FFT變換結果，就可以計算出各次諧波的振幅和相角，從而建立軋輥的偏心模型，其振幅A＝，相角，頻率隨軋輥速度變化而變化。
 偏心模型還必須轉換為與采集脈沖對應的離散點的模型，即將帶有三個參數的正弦波偏心模型轉換成128個脈沖對應的離散點模型。軋輥偏心控制對檢測和控制系統的準確性和快速性要求很高，定位定點采樣保證了通過數據處理獲得的偏心模型的唯一性和準確性。把正弦波的一個周期分成N段，列成表格，用步長DELTA掃過這個表，用序號作為角度參數，查表求出序列的值。假設每兩個采樣點之間的時間間隔維t，則正弦頻率為。當步長不是整數時，采用點可能落在兩表值之間，可以采用線性內插法加以修正。
 ⑶ 基2時域FFT算法的改進(MMFFT)
 針對軋輥偏心信號本身及其控制問題的特點，對傳統的基2時域FFT算法進行改進(MMFFT)。改進分兩部，第一步改進的是取消傳統FFT方法對采樣持續時間的限制，使快速付立葉變換算法適用于處理軋輥偏心波動這類周期未知或變動的周期信號，同時又能抑制FFT固有的泄漏效應。第二步改進是就偏心控制問題而言，將周期信號中各次正弦波的絕對頻率轉換為相對頻率，從而提高算法在偏心控制中應用的可靠性和實用性。
 ① 第一步改進(Modlified FFT)
 人們對DFT感興趣主要是因為它是連續付立葉變換的一個近似。近似的準確程度嚴格說來是被分析波形的一個函數，兩個變換之間的差異是因DFT需要對連續時間信號取樣和截斷而產生的。因而在應用DFT解決實際問題時，常常遇到混疊效應、柵欄效應和泄漏效應等問題。
 對一個連續信號x(t)進行數字處理時，要在計算機上進行計算，而計算機的輸入只允許是數字信號，所以必須對連續信號x(t)進行抽樣，即
                                             (2.34)
式中：為對x(t)抽樣所形成的序列。T為抽樣間隔，為抽樣率，。如果抽樣率選得過高，即抽樣間隔過小，則一定的時間里抽樣點數過多，造成對計算機存貯量的需要過大和計算時間太長。但如果抽樣率過低，則在DFT運算中將在頻域出現混疊現象，形成頻譜失真，使之不能反映原理的信號。這樣將使進一步的數字處理失去依據，而且也不能從這個失真的頻譜中恢復出信號來。因此，對連續信號的抽樣率需大于奈奎斯特頻率，即抽樣率至少應等于或大于信號所含有的最高頻率的兩倍，即。
 如果x(t)是一個周期信號，它只具有離散頻譜，那么，x(t)抽樣后進行FFT運算得出的頻譜就是它的離散頻譜。但是如果x(t)是個非周期函數，它的頻譜是連續的，把x(t)的抽樣進行DFT運算得到的結果就只能是連續頻譜上的若干點。因為這就好象是從柵欄的一邊通過縫隙觀看另一邊的景象一樣，所以稱這種效應為柵欄效應。如果不附加任何特殊處理，則在兩個離散的變換線之間若有一特別大的頻譜分量，將無法檢測出來。減少柵欄效應的一個方法就是在原記錄末端填加一些零值變動時間周期內的點數，并保持記錄不變。這實質上是人為地改變了周期，從而在保持原有線連續形式不變的情況下，變更了譜線的位置。這樣，原來看不到的頻譜分量就能夠移動到可見的位置上。
 泄漏效應是由于在時域中對信號進行截斷而引起的。實際問題中，所遇到的離散時間序列x(nT)可能是非時限的，而處理這個序時時，需要將其限制為有限的N點，即將它截斷。這就相當于將序列乘以一個矩形窗口，如果對有限帶寬的周期函數抽樣后的截斷長度并不正好是其周期的整數倍，就會導致離散付立葉變換和連續付立葉變換之間出現顯著的差異。這是因為，根據頻域卷積定理，時域中的，則頻域中與進行卷積。這里，和分別是的付立葉變換，這樣將使截斷后的頻譜不同于它加窗以前的頻譜。泄漏效應的產生是由于矩形窗函數的付立葉變換中具有旁瓣亦有一定帶寬而引起的。如圖2.5所示。為了減少泄漏，應盡量尋找頻譜中窗函數，即旁瓣小、主瓣窄的窗函數�；蛘咄ㄟ^限制采樣的持續時間來抑制泄漏效應。 
                         
 
                                                                                                                      
圖2.5  矩形窗口的時域與頻域圖形
 對于待分析信號，由于時域中的截斷是必須的，所以泄漏效應是離散付立葉變換所固有的。在實際問題中，由于待分析信號的周期往往是未知的或變化的，因而通過對采樣持續時間的限制而求得正確結果，往往是十分困難的。軋制過程中的軋輥偏心信號就是如此。這了解決這一問題，采用內插計算法修正FFT的計算結果，使之更適合于一般的場合。
 考慮一周期復函數，在每一為采樣持續時間，N為采樣個數)時采樣，得到抽樣函數。
                                          (2.35)
式中：….，N~1)
通過傳統FFT的計算，可以得到對應于以為間隔頻率的離散付立葉變換的結果，即
      ()                      (2.36)
一般說來，這些的值并不能準確地代表中各周期分量的幅值和頻率的復數值。
將(2.35)代入式(2.36)并整理可得：
                             (2.37)
 從式(2.37)中并不能看出之間的直接關系。但是，當采樣的持續時間為信號周期的整數倍時，即時，則有
           (2.38)
這里，假設是一個很小的數。
 如果忽略式(2.38)中帶有的項，則有。只有在上述情況下，近似地得到之間的關系。通常情況下，采樣的持續時間不是信號周期的整數倍，為此引入一個參數，使得信號的頻率可以用下式表示：
                                         (2.39)
 此時對應于頻譜中的，當，可由式(2.38)得出
        (2.40)
 當忽略了式(2.40)中帶有的項時，有
                                        (2.41)
同理，對于相鄰兩點有：
                                        (2.42)
                                       (2.43)
設                                                          (2.44)
則由式(2.41)、式(2.42)、式(2.43)和式(2.44)可得：
                                                    (2.45)
式中Zk定義為：
                                                    (2.46)
從式(2.46)中Zk的實部和虛部的值，可以確定的值，從而可以確定復頻率：
                                           (2.47)
又由式(2.46)可得：
                                                      (2.48)
 最后，根據式(2.41)、式(2.42)和式(2.43)可得出當采樣的持續時間不是信號周期的整數倍時，周期分量的復振幅為：
                              (2.49)
 ② 第二步改進(Modified MFFT)
 如前所述，經過第一步改進后的快速付立葉變換算法用
                                                 (2.50)
確定第k次諧波的角頻率，0<<1，T為采樣持續時間，是周期分量的絕對頻率。然而，就偏心控制問題而言，軋輥偏心信號的絕對頻率是隨著軋制速度的改變而變化的。在速度變化較大或速度變化頻繁時，再以絕對頻率做為偏心模型參數，不僅不方便，而且會影響信號處理結果和控制結果的準確性和可靠性�？紤]借助于某種儀表，把支持輥每轉一周的采樣點數固定，將絕對頻率的計算轉換為信號相對于支持輥轉速的相對頻率的計算。
 假設信號采樣周期為，總的采樣點數為，那么總的采樣持續時間可表示為：
                                                             (2.51)
又假設支持輥每轉一周，固定的采樣點數為，那么軋輥轉動的角頻率可以表示為：
                                                         (2.52)
由上兩式就可以得出偏心信號與支持輥之間的相對頻率
                                              (2.53)
利用式(2.53)計算的頻率值作為軋輥偏心模型參數之一，不僅使信號檢測過程更方便，信號處理結果更可靠。而且更有利于控制方案的制訂和實施。
 MMFFT算法流程圖如圖2.6所示。
應用MMFFT方法的偏心控制方案
 如前上述，在軋機運轉過程中，支持輥偏心反映在輥縫、軋制壓力和帶鋼厚度上，是一復雜的高頻周期波，其變化幅度取決于軋輥偏心量的大小，其變化頻率與軋機的主機速度成正比，即此偏心信號的變化周期是隨軋速度的變化而變化的。為此，采用改進的快速付立葉變換算法(MMFFT)來檢測此偏心信號，獲得信號中所含各次正弦波的幅值、頻率和相角，建立偏心模型，進而實施控制。
基于以上分析，采用預先模型識別與在線參數自動修正相結合的方法，實現偏心模型的檢測與偏心影響的在線補償。
 ⑴ 第一種方案
 首先，在軋輥預壓靠時，對壓力儀測出的軋制壓力信號進行采樣。然后，運用MMFFT對該采樣信號進行運算處理，根據產品精度要求，取出一定次數的基波和諧波分量，作為支持輥偏心在軋制壓力信號上的反映，通過軋制壓力與輥縫的關系，得出軋輥偏心信號的原始模型，該模型即為以后控制的基礎。在預壓靠時取原始模型具有一些優點，如可以減少帶鋼的浪費，保證在正常軋制開始的同時，偏心控制器也投入也運行。此外，由于預壓靠時不存在來料厚度、硬度波動和張力變化等一系列干擾因素的影響，有利于提高模型檢測的精度。當然，這樣做也有其自身的問題，這是因為壓靠時的軋機狀態、軋輥受力情況等均與正常軋制時有差程度，即壓到一定的壓力，然后將此時的輥縫指示定為零位，這就是所謂的“零位調整”。以后即以此為基礎進行壓下調整。這樣軋件的出口厚度就變成：
  (2.68)
式中：S是考慮預壓變形的等效空載輥縫，單位為毫米。
 在對軋機進行理論分析時，常將上式所表達的出口厚度隨軋制壓力P的變化規律用曲線形式反映出來，同時將軋件的塑性變形規律，即式(2.68)所表示的軋制壓力與出口厚度關系，也在同一張圖中繪出(如圖2.9所示)。該圖就稱為軋機的彈塑性曲線，或簡稱為P~H圖。P~H圖非常直觀的表達了軋制過程的各種關系，是分析帶鋼厚度變化和厚度控制問題一個重要工具。
 ⑶ 前滑和速度方程
 軋件在軋輥間發生塑性變形時，要相對于軋輥發生向前和向后的滑動，實際軋件的入、出口速度不等于軋輥的線速度， 因而產生所謂的前后滑現象。
 軋件的出口速度與軋輥的圓周速度(即通常所說的軋輥速度)以及前滑系數之間的關系為：
    (2.69)
 前滑系數f可以用Dresden公式描述。

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