淺談數學概括在學習中的作用
一、數學概括
數學概括是一種特殊的概括，這是由數學學科的特點所決定的。數學概括是在數學符號、數量和空間關系、數學對象和運算等方面的概括。它具有以下顯著的特點：
1．數學研究對象本身已是概括的產物我們知道，數學的研究對象是客觀世界的數量關系和空間形式。它取自于客觀世界，但卻不是現實中的真正原型，而是從現實世界中概括出來的數學模型－－事物中的純數量關系和空間形式。例如自然數、點、線、面等原始概念，就是從現實世界中概括出來的。
2．數學概括具有層次性
數學概括是在概括基礎上所進行的再概括，數學是從原始概念開始，在此基礎上進行新的抽象，從而得到概括程度更高的新概念。在數學中往往要進行一系列地、逐級地概括，由此可得到概括水平越來越高的概念、法則和方法。這恰是數學在抽象思維方面具有相對封閉性的原因所在。正如德國數學家漢克爾的生動描述：“在大多數的學科里，一代人的建筑為下一代人所拆毀，一個人的創造被另一個人所破壞，唯獨數學，每一代人都在這古老的大廈上添加一層樓。”這表明數學的發展表現為明顯的概括性質：它的每一次發展都把原來的數學作為某種特例包含在新的數學中去。例如數系的'擴張；中學里對三角函數的概括；從數列極限到函數極限的概括。從定理內容上也可體會出數學概括的層次性，例如數學歸納法定理。
3．數學概括用數學語言來表述
數學概括的表述使用了特殊的語言體系－－特定的符號體系－－數學語言體系。而且這種表述形式貫穿于數學概括過程的始終。我們知道，語言是思維的載體。自然語言雖然可在一定程度上來表達數學，但卻不能達到完美精確的程度，因此數學工作者在自然語言的基礎上創造出了數學語言－－數學中特有的形式化符號體系。它是人類自然語言的進一步概括。有了數學語言，數學研究的思維過程和結果就可精確簡練地表出。
二、數學概括在學習中的作用
學生的數學學習，主要表現為數學知識、數學能力和數學思維活動的學習。
而所有這些學習都是以數學概括為基礎，都離不開數學概括能力的支持與輔佐。
在此僅以數學能力的學習為例。中學數學教學大綱明確指出：“通過數學教學，要培養學生具有正確迅速的運算能力，邏輯思維能力和空間想象能力，從而逐步培養運用數學分析和解決實際問題的能力。”
在運算能力方面，欲達“正確迅速”目的，就需在各類運算中概括出相應的運算規律，將其歸納為一般形式。
數學概括在培養學生邏輯思維能力方面的作用也十分重要。邏輯思維是人類揭示客觀世界的本質和規律的極其重要的思維活動，它幾乎滲透到人類獲取所有理論和新認識的每一過程，而數學則是體現邏輯最徹底的一門學科。學生在學習中遵循著數學的邏輯規律，他們從最基儲最簡單的數學概念出發，在這些基本概念的基礎上進行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，僅研究0°－360°間角的三角函數，到了高中，通過角概念的推廣和弧度制的引入，概括出任意角三角函數，并從集合和映射的觀點出發加以研究。即在數學思想方法上也采用了概括性更強的更一般的方法－－集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，學生邏輯思維能力的形成和發展離不開數學概括，數學概括不僅影響著學生邏輯思維的形成和發展，而且決定著學生邏輯思維的水平和質量，概括水平越高，其邏輯思維的能力就越強。
數學概括在培養和形成學生的空間想象能力大小更是不可或缺。因為空間想象能力的形成不僅需要按部就班的邏輯推理過程，而且需要有猜想、想象、直覺等靈感思維的幫助，而直覺思維更離不開數學概括的支持，盡管它有時表現的并不那么直接，但卻是頭腦所積累的數學概括水平的綜合運用，需要具備更高的數學概括能力。因為在三維立體空間（現實空間）或更高維的空間（非現實空間）中考察數學問題時，它與空間的相關性增強了許多，它的位置關系，空間形式和數量關系都有了更豐富的內涵（與二維相比），這勢必要求在數學概括上應具有更高的水平。例如，在平面內，對一個直角三角形的研究僅限于邊、角關系的討論，但在立體空間，除此以外（這種關系已經縮小到在同一平面討論問題的范圍）還存在著它與空間平面、空間直線的各種位置關系、空間形式及數量關系等。比如立體幾何中的三垂線定理和逆定理，說的就是直角三角形的斜邊與平面直線的位置關系，這種關系的尋找與確定就需要更廣泛的數學概括。
空間想象能力還表現在對現實空間中幾何物體的數學發現上。例如人們對蜂房的數學發現乃至物理發現：蜂房底部菱形的銳角是70°，這個尺寸經推算知，在體積一定的條件下它可使蜂房的表面積為最小，即用料（蜂蠟）最省，不僅如此，蜂房的特殊形：側面是六棱柱，底由三全等菱形組成的倒角錐面，其物理性能也十分的好，它抗壓、防震、輕巧而堅固，所有這些結果都是將其概括為數學問題所取得的。
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