二次函數在高中階段的應用
在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質(圖像以及單調性、奇偶性、有界性)靈活應用，對二次函數還需再深入學習。
一、進一步深入理解函數概念
初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：
類型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)
這里不能把ƒ(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的`函數值。
類型Ⅱ：設ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)
這個問題理解為，已知對應法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。
一般有兩種方法：
(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。
ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6
(2) 變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。
令t=x+1，則x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6從而ƒ(x)= x2-6x+6
二、二次函數的單調性，最值與圖像。
在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間(-∞，-b2a]及[-b2a，+∞) 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖像的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖像學習二次函數有關的一些函數單調性。
類型Ⅲ：畫出下列函數的圖像，并通過圖像研究其單調性。
(1)y=x2+2|x-1|-1
(2)y=|x2-1|
(3)= x2+2|x|-1
這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖像。
類型Ⅳ設ƒ(x)=x2-2x-1在區間[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖像
解：ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1時取最小值-2
當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2
當t>1時，g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1
當t<0時，g(t)=ƒ(t+1)=t2-2
t2-2, (t<0)
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2-2t-1, (t>1)
首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。
如：y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求該函數的值域。
三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維：
類型Ⅴ：設二次函數ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的兩個根x1，x2滿足0
(Ⅰ)當X∈(0,x1)時，證明X<ƒ(x)
(Ⅱ)設函數ƒ(x)的圖像關于直線x=x0對稱，證明x0< x2。
解題思路：
本題要證明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)
(Ⅰ)先證明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因為x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)
因為0
根據韋達定理,有 x1x2=ca ∵ 0
即x<ƒ(x)
(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+-b/2a)2+(c-),(a>0)
函數ƒ(x)的圖像的對稱軸為直線x=- b/2a,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b/2a，因為x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a<0，
∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)
二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。
二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。
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