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彎曲與分叉渠道潰壩波運動特性的數(shù)值預(yù)報
摘 要 基于TVD格式的有限差分算法思想，考慮節(jié)點與單元的對應(yīng)關(guān)系，對任意四邊形單元各邊的通量采用優(yōu)選限量函數(shù)的組合型TVD格式進行插值，在時間上采用兩步Runge-Kutta法離散，建立了守恒型淺水方程有限體積的高分辨率計算模型。首次針對180°強彎曲河道、90°雙支以及45°三支分叉渠道，數(shù)值預(yù)報了潰壩波的演進過程，揭示了潰壩波在彎曲河道中內(nèi)外兩岸速度與水位變化，在分叉河道中自動進行流量與動量再分配，在叉點角區(qū)形成旋渦、壅高等復(fù)雜運動特征，同時反映了濕底與干底的影響。
關(guān)鍵詞 淺水方程，有限體積，TVD格式，彎曲渠道，分叉渠道，潰壩波
1．前言
許多水利和環(huán)境工程問題，都需要進行淺水流動分析，數(shù)值計算逐漸成為分析的重要手段。雖然二維淺水流動一般問題的計算比較成熟，但對于有間斷、帶自由面、含復(fù)雜邊界等復(fù)雜淺水問題的研究，由于對數(shù)值計算方法要求較高仍處于發(fā)展之中。對潰壩問題的研究，一直是引人關(guān)注的重要課題，具有重要的學(xué)術(shù)價值和工程應(yīng)用背景。
過去對潰壩問題的研究，以差分方法為主，所用的格式有特征線法、顯式和隱式差分法以及最近占據(jù)重要地位的近似黎曼解法等，TVD（Total Variation Diminishing）格式[1]在該類問題研究中也逐漸發(fā)揮其獨特的作用, 如用來計算一維潰壩波的傳播、反射[2~5]和二維潰壩波的傳播、反射與繞射[6~9]。對于復(fù)雜邊界，通常采用坐標(biāo)變換，將不規(guī)則計算域轉(zhuǎn)換到規(guī)則計算域，但同時方程也復(fù)雜化。近年來，在有限體積離散基礎(chǔ)上的近似黎曼解法，用于計算淺水流動（包括潰壩波）問題，取得了良好效果[10~13]。但另一類高分辨率格式—TVD格式用在有限體積方法中尚不多見。
傳統(tǒng)TVD格式形式多樣，數(shù)值性能也有一定差異，有的耗散性偏大，有的壓制性過強，主要在于所選用的限量函數(shù)的不同。作者在潰壩波計算的比較研究中，發(fā)現(xiàn)有的限量函數(shù)在計算干底情況下的潰壩波時會出現(xiàn)壩址處的非物理扭曲現(xiàn)象，通過深入研究，得到了優(yōu)選的限量函數(shù)，并建立了求解淺水方程帶最優(yōu)限量函數(shù)的組合型TVD格式[9]。與實驗結(jié)果進行比較，進一步表明采用淺水方程和組合型TVD格式能有效地描述潰壩波的運動特征[6]。在文獻[8]中提出了衛(wèi)星單元概念和主單元及其衛(wèi)星單元間的拓撲關(guān)系，把節(jié)點和單元對應(yīng)起來，建立了淺水方程在任意四邊形單元上的有限體積TVD格式，可以直接在任意控制單元上進行求解。本文擬進一步用于解決具有復(fù)雜邊界，例如彎曲與分叉渠道潰壩波傳播的計算問題。關(guān)于彎曲河道，國外有一些實驗結(jié)果[14]，而分叉河道中潰壩波的預(yù)報，國內(nèi)外至今未見報道。本文算法的成功實現(xiàn)，可以較好地解決天然河道潰壩波的計算問題，這將有助于對實際河道潰壩波運動特征的進一步認識和為防災(zāi)減災(zāi)決策提供可靠依據(jù)。
2 控制方程
描述潰壩流動的控制方程一般是通過作靜水壓力、小底坡和長波假定，對Navier-Stokes方程進行深度平均而得到的淺水方程，將其寫成守恒形式為
其中
(1b)
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