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彎曲與分叉渠道潰壩波運動特性的數值預報
摘 要 基于TVD格式的有限差分算法思想，考慮節點與單元的對應關系，對任意四邊形單元各邊的通量采用優選限量函數的組合型TVD格式進行插值，在時間上采用兩步Runge-Kutta法離散，建立了守恒型淺水方程有限體積的高分辨率計算模型。首次針對180°強彎曲河道、90°雙支以及45°三支分叉渠道，數值預報了潰壩波的演進過程，揭示了潰壩波在彎曲河道中內外兩岸速度與水位變化，在分叉河道中自動進行流量與動量再分配，在叉點角區形成旋渦、壅高等復雜運動特征，同時反映了濕底與干底的影響。
關鍵詞 淺水方程，有限體積，TVD格式，彎曲渠道，分叉渠道，潰壩波
1．前言
許多水利和環境工程問題，都需要進行淺水流動分析，數值計算逐漸成為分析的重要手段。雖然二維淺水流動一般問題的計算比較成熟，但對于有間斷、帶自由面、含復雜邊界等復雜淺水問題的研究，由于對數值計算方法要求較高仍處于發展之中。對潰壩問題的研究，一直是引人關注的重要課題，具有重要的學術價值和工程應用背景。
過去對潰壩問題的研究，以差分方法為主，所用的格式有特征線法、顯式和隱式差分法以及最近占據重要地位的近似黎曼解法等，TVD（Total Variation Diminishing）格式[1]在該類問題研究中也逐漸發揮其獨特的作用, 如用來計算一維潰壩波的傳播、反射[2~5]和二維潰壩波的傳播、反射與繞射[6~9]。對于復雜邊界，通常采用坐標變換，將不規則計算域轉換到規則計算域，但同時方程也復雜化。近年來，在有限體積離散基礎上的近似黎曼解法，用于計算淺水流動（包括潰壩波）問題，取得了良好效果[10~13]。但另一類高分辨率格式—TVD格式用在有限體積方法中尚不多見。
傳統TVD格式形式多樣，數值性能也有一定差異，有的耗散性偏大，有的壓制性過強，主要在于所選用的限量函數的不同。作者在潰壩波計算的比較研究中，發現有的限量函數在計算干底情況下的潰壩波時會出現壩址處的非物理扭曲現象，通過深入研究，得到了優選的限量函數，并建立了求解淺水方程帶最優限量函數的組合型TVD格式[9]。與實驗結果進行比較，進一步表明采用淺水方程和組合型TVD格式能有效地描述潰壩波的運動特征[6]。在文獻[8]中提出了衛星單元概念和主單元及其衛星單元間的拓撲關系，把節點和單元對應起來，建立了淺水方程在任意四邊形單元上的有限體積TVD格式，可以直接在任意控制單元上進行求解。本文擬進一步用于解決具有復雜邊界，例如彎曲與分叉渠道潰壩波傳播的計算問題。關于彎曲河道，國外有一些實驗結果[14]，而分叉河道中潰壩波的預報，國內外至今未見報道。本文算法的成功實現，可以較好地解決天然河道潰壩波的計算問題，這將有助于對實際河道潰壩波運動特征的進一步認識和為防災減災決策提供可靠依據。
2 控制方程
描述潰壩流動的控制方程一般是通過作靜水壓力、小底坡和長波假定，對Navier-Stokes方程進行深度平均而得到的淺水方程，將其寫成守恒形式為
其中
(1b)
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