初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)

　　總結(jié)是事后對某一階段的學(xué)習(xí)或工作情況作加以回顧檢查并分析評價(jià)的書面材料，它可以幫助我們總結(jié)以往思想，發(fā)揚(yáng)成績，不妨坐下來好好寫寫總結(jié)吧。但是總結(jié)有什么要求呢？下面是小編整理的初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)1

　　20xx年9月7日至25日，我有幸參加了由保定學(xué)院承擔(dān)的河北省省初中數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)。這次培訓(xùn)對于自己收益很大，培訓(xùn)時(shí)間安排合理緊湊，老師們講課精彩，教學(xué)內(nèi)容豐富多彩。這次培訓(xùn)給我們提供了一個(gè)再學(xué)習(xí)、再提高的機(jī)會，讓我們能聚集在一起相互交流，共同學(xué)習(xí)，取長補(bǔ)短，共同提高。通過這次培訓(xùn)，收獲很多，眼界開闊了，思考問題能站在更高的境界，許多疑問得到了解決或者啟發(fā)。我們不僅學(xué)到了豐富的知識，進(jìn)一步提高了業(yè)務(wù)素質(zhì)�，F(xiàn)總結(jié)如下：

　　一、更新了教育教學(xué)觀念，以新觀念指導(dǎo)教學(xué)

　　時(shí)代在不斷進(jìn)步，社會在不停前行。同樣，教育教學(xué)理念也應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)。特別是隨著新課程改革的縱深發(fā)展，很多教育教學(xué)中的深層次問題不斷地暴露，這時(shí)候更需要理論的指示與專家的引領(lǐng)。對于我個(gè)人而言，這次培訓(xùn)無疑是一場“及時(shí)雨”，不僅對理清新課改中的種種關(guān)系有幫助，而且對突破新時(shí)代教育教學(xué)中一些“瓶頸”問題提供新的解決思路與方法。

　　首都師大博導(dǎo)、新課標(biāo)研制組組長王尚志教授的《整體把握新課程下的初中數(shù)學(xué)》的專題報(bào)告。他細(xì)致的分析了新課改的一些重大變化，如有原來常提的雙基改為了四基，兩種能力也增為四種能力，這些都對一線教師產(chǎn)生了深深的觸動，并對一線教師提出了新的要求。如何在教學(xué)中落實(shí)成為新時(shí)期一線數(shù)學(xué)教師所面臨的問題，同時(shí)也提出了初中數(shù)學(xué)教學(xué)不要僅僅局限于數(shù)學(xué)課堂，要提高各方面知識和能力。

　　二、更新了教育教學(xué)知識，結(jié)合新知識服務(wù)教學(xué)

　　教師要知識的更新與教學(xué)藝術(shù)的更新。作為數(shù)學(xué)老師，他應(yīng)是始終站在科學(xué)知識岸邊的擺渡人，傳承知識與文化；他應(yīng)是學(xué)生靈魂的塑造師與精神垃圾的清道夫。所以，作為數(shù)學(xué)教師必須時(shí)時(shí)保持充電的狀態(tài)，此次培訓(xùn)無疑是一次良好的機(jī)會。經(jīng)過培訓(xùn)，就我個(gè)人而言，不僅在學(xué)科知識方面得到一次全面的補(bǔ)充，而且在教學(xué)藝術(shù)方面得一次新的補(bǔ)充。

　　人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室主任、課程教材研究所研究員章建躍博士《有效改進(jìn)課堂教學(xué)》的專題報(bào)告，對初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，課堂設(shè)計(jì)進(jìn)行了深入的闡釋，提出這是聚焦課堂的教學(xué)研究的最直接的方式方法。保定市數(shù)學(xué)教研員徐建樂老師《進(jìn)一步理解新課程下的教與學(xué)》，保定市新市區(qū)數(shù)學(xué)教研員王衛(wèi)國老師《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)的實(shí)踐與思考》等專題報(bào)告都從具體教學(xué)設(shè)計(jì)、教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的方面對初中學(xué)學(xué)教學(xué)從不同方面進(jìn)行了細(xì)致分析和講解。同時(shí)強(qiáng)調(diào)現(xiàn)在的教師需要有反思精神，需要掌握教育學(xué)知識，才能成長為學(xué)生喜歡的教師。

　　總之，教育是一門藝術(shù)，需要老師不斷的自己更新，才能更上一層樓。

　　三、觀摩了名師教育教學(xué)，合理吸收利用于教學(xué)

　　此次培訓(xùn)活動的一大特色就是理論聯(lián)系實(shí)際。不僅聆聽了專家的解讀，而且近距離地學(xué)習(xí)了名師的教育教學(xué)藝術(shù)和班級管理藝術(shù)。

　　保定三中章魏老師的《把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，打造有效數(shù)學(xué)課堂》，他通過多達(dá)42個(gè)實(shí)際課例講授了提高數(shù)學(xué)素質(zhì)是實(shí)現(xiàn)有效課堂的前提及教師應(yīng)具備的數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)知識等內(nèi)容，通過多達(dá)幾十個(gè)實(shí)例具體講解課堂的各環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出問題能力的培養(yǎng)，作為教師首先就要對教材細(xì)琢磨，換個(gè)角度多想想，發(fā)現(xiàn)提出問題，才符合新形勢下對我們一線教師的要求！

　　觀摩了徐水二中許春英教師、北京九中三名教師、保定七中教師的教學(xué)，大家積極開展研討，研討中沒有虛假的恭維，只有真知灼見、真實(shí)流露；沒有形式上的大話、套話，只有深入思考后的針鋒相對�，F(xiàn)場研討，成為思維交鋒、不同地域多元教研文化交融的平臺，感覺收獲頗豐。

　　四、理解了教師成長，加速成長要引領(lǐng)教學(xué)

　　教育的發(fā)展，關(guān)鍵在教師的成長。教師是學(xué)校發(fā)展的基石，學(xué)校的軟實(shí)力來自己于擁有一只業(yè)務(wù)能力強(qiáng)，團(tuán)結(jié)敬業(yè)的教師隊(duì)伍。對于個(gè)人而言，教師的成長不僅是時(shí)代的要求，更是適當(dāng)現(xiàn)代教育的需要。此次培訓(xùn)，很多專家與同仁重點(diǎn)談了教師如何規(guī)劃自己的成長之路，成為名師，成為教育家。

　　如保定學(xué)院韓素蘭教授的《求解中學(xué)教師科研難題》的報(bào)告中關(guān)于中學(xué)教師研究解疑的講解條理清晰，研究及書寫論文步驟詳細(xì)，并且每點(diǎn)都聯(lián)系了大量實(shí)際案例，實(shí)際操作性強(qiáng)，聽起來很清楚明白，頓時(shí)覺得課題寫論文也并不是一件難事。保定學(xué)院常務(wù)副院長朱紅素教授《適者生存，強(qiáng)者精彩———骨干教師成長為名師的.歷程》從名師的界定、特征解讀、條件闡述、成長路徑等四個(gè)方面進(jìn)行了講解。提出作為名師要具備或盡快培養(yǎng)較強(qiáng)的個(gè)人能力：精于教學(xué)、長于教研、善于寫作。保定學(xué)院數(shù)學(xué)系主任周和月教授《幾何畫板與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》學(xué)到了利用幾何畫板達(dá)到更好的教學(xué)要求實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

　　五、結(jié)識了全省教學(xué)名師，促進(jìn)兄弟學(xué)校聯(lián)系教學(xué)

　　此次培訓(xùn)是一個(gè)很好的平臺，參加培訓(xùn)的都是全省教學(xué)一線的精英、名師，對教育教學(xué)都是自己獨(dú)到的見解。所以此次培訓(xùn)是一個(gè)非常好的相互學(xué)習(xí)的機(jī)會，平時(shí)大家一起學(xué)習(xí)共同交流。認(rèn)識，在交流中提升；情感，在交流中深化。同時(shí)，通過此次機(jī)會，建立友誼的紐帶亦為樂事。創(chuàng)辦的qq群，成為了大家各在一方時(shí)交流的平臺。

　　六、積極發(fā)揮示范引領(lǐng)作用，促進(jìn)學(xué)校的教育教學(xué)

　　集中培訓(xùn)后，我主動將這次培訓(xùn)的成果帶回單位，充分發(fā)揮骨干教師的作用，積極示范，大膽引領(lǐng)，帶領(lǐng)全校的數(shù)學(xué)教師投入到學(xué)校教育教學(xué)改革中。在教研組活動中，我積極解答教師教學(xué)中遇到的各種難題，引導(dǎo)互動和交流，促進(jìn)了大家的專業(yè)素質(zhì)的成長。

　　參加省級骨干教師培訓(xùn)是自己成長路上的一次重要經(jīng)歷，我格外珍惜。培訓(xùn)時(shí)積極認(rèn)真，回到學(xué)校，我對自己嚴(yán)格要求，事事仔細(xì)，目的就是要將學(xué)校的年輕教師都培養(yǎng)出來。我相信，通過這次培訓(xùn)，我在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的大路上一定會走得更穩(wěn)更遠(yuǎn)！

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)2

　　“國培計(jì)劃”送教下鄉(xiāng)培訓(xùn)在河西鄉(xiāng)九年一貫制學(xué)校開班。來自全縣八鄉(xiāng)鎮(zhèn)、城區(qū)一小、二小教師，縣民族中學(xué)教師，縣教師進(jìn)修學(xué)校及縣教育局教研室工作人員共計(jì)140余人參加了此次培訓(xùn)。本次培訓(xùn)為期3天，培訓(xùn)以專題講座、案例分析、同課異構(gòu)等方式進(jìn)行，旨在推進(jìn)“國培計(jì)劃”實(shí)施，提升鄉(xiāng)村教師職業(yè)道德素養(yǎng)和課堂教學(xué)能力，打造一支“用得上、干得好”的高素質(zhì)鄉(xiāng)村教師隊(duì)伍，推進(jìn)全縣基礎(chǔ)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展。

　　5月7日上午，開班典禮在河西鄉(xiāng)九年一貫制學(xué)校小學(xué)部會議室舉行。儀式上，縣教師進(jìn)修學(xué)校校長楊春雁介紹了蘭坪縣“國培計(jì)劃”送教下鄉(xiāng)培訓(xùn)的目的、意義和日程安排，并對全體學(xué)員作了培訓(xùn)紀(jì)律要求，一是在培訓(xùn)期間，不忘初心，牢記使命，認(rèn)真學(xué)習(xí)，掌握先進(jìn)的教育教學(xué)理論，提高自己的實(shí)踐能力，成為教育改革的奮進(jìn)者、教育扶貧的先行者；二是積極主動參與到教學(xué)活動，讓國培觀念真正深入人心；三是要相互關(guān)心，相互幫助，加強(qiáng)交流合作，強(qiáng)化實(shí)踐教學(xué)能力，營造良好的培訓(xùn)氛圍，為基礎(chǔ)教育事業(yè)的發(fā)展做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

　　隨后，楊福賢老師以圖文并茂的方式，從認(rèn)識壓力、壓力的來源、壓力管理的根本等方面給全體學(xué)員講授了題為《身心如一當(dāng)老師——談新時(shí)代教師的壓力與情緒管理》的講座。全體學(xué)員認(rèn)真聽講并做好學(xué)習(xí)筆記，并在課間與培訓(xùn)老師積極交流教育教學(xué)。

　　下午，來自云南民族大學(xué)附屬中學(xué)的王啟兵老師給七年級（1）班上示范課《不等式及其解集》。王老師在授課中面向全體學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的深層思考和情感投入，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，獨(dú)立思考，并組織學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂練習(xí)，學(xué)以致用。學(xué)生認(rèn)真做練習(xí)，老師耐心指導(dǎo)。王啟兵老師結(jié)合自己多年的'教學(xué)經(jīng)驗(yàn)給國培學(xué)員們分享了《怎么來備課》。

　　蘭坪縣民族中學(xué)數(shù)學(xué)老師和文勇、河西九年一貫制學(xué)校李尚寶老師、中排中學(xué)張艷梅三位老師分別給八年級的學(xué)生上同課異構(gòu)《中位數(shù)和眾數(shù)》，課堂上，各位老師創(chuàng)設(shè)情境、引出新知，有效地組織和引導(dǎo)學(xué)生從邏輯推理中理解和區(qū)分中位數(shù)和眾數(shù)定義，課堂氛圍十活躍。通甸中學(xué)和春紅、營盤中學(xué)和興倡兩位老師分別給七年級的學(xué)生上同課異構(gòu)《加減消元法解二元一次方程組》。

　　老師們都能專心致志，全神貫注，認(rèn)真的聆聽和記錄。通過磨課、研課、示范課對課堂教學(xué)問題進(jìn)行診斷與聚焦。體現(xiàn)人人參與，人人反思，人人總結(jié)，聽課教師直言不諱，暢所欲言。磨課后授課教師虛心聽取了大家的意見，及時(shí)改進(jìn)不足，使整個(gè)教研組形成了良好的教研氛圍。

　　為期三天的培訓(xùn)圓滿結(jié)束，此次培訓(xùn)幾個(gè)方面都給予肯定，一是培訓(xùn)目的任務(wù)明確，緊緊圍繞“研課磨課”、“同課異構(gòu)”，最終圓滿完成培訓(xùn)任務(wù)，達(dá)到預(yù)期效果。二是此次培訓(xùn)組織嚴(yán)密，各項(xiàng)工作扎實(shí)有序進(jìn)行。三是上課教師準(zhǔn)備充分，高質(zhì)量完成上課任務(wù)，得到大多參培學(xué)員的高度認(rèn)可。四是所有參培學(xué)員全勤，認(rèn)真參與各項(xiàng)活動。聽課專心，評課用心，發(fā)言踴躍積極。他們表示：返崗后將此次培訓(xùn)的知識帶到工作中，用到實(shí)踐中，不辱使命，繼續(xù)前行，用自己的行動和成績證明我們是學(xué)到做到的數(shù)學(xué)人；我們是愛崗敬業(yè)，銳意進(jìn)取的數(shù)學(xué)人。他們表示：對數(shù)學(xué)專業(yè)知識和上課技能的提高只有起點(diǎn)，沒有終點(diǎn)，始終在路上……

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)3

　　從20xx年8月1日起，我開始了一段難忘的遠(yuǎn)程網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)歷程。通過網(wǎng)絡(luò)上的理論學(xué)習(xí)和一些老師具體的課堂案例學(xué)習(xí)、專家的經(jīng)典點(diǎn)評，使我認(rèn)識到應(yīng)該如何把握初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。我認(rèn)識到應(yīng)該怎樣突破教材的重點(diǎn)難點(diǎn)；怎樣才能深入淺出；怎樣培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和穿心能力；怎樣才能順利打通學(xué)生的思維通道、掌握一定的學(xué)習(xí)要領(lǐng)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；怎樣才能將一根根主線貫穿于我們的日常教學(xué)過程之中。

　　一、培訓(xùn)形式多樣，內(nèi)容豐富

　　在崗研修各學(xué)員在各自任職學(xué)校進(jìn)行，在職學(xué)校按照培訓(xùn)要求監(jiān)督教師完成規(guī)定的學(xué)習(xí)、研究任務(wù)。培訓(xùn)主要采用分散自學(xué)的形式；專題講座與交流討論相結(jié)合；理念研討與實(shí)踐探究相結(jié)合的方式進(jìn)行。

　　遠(yuǎn)程集中培訓(xùn)分選修課程、必修課程。選修課程包括教師職業(yè)生涯與教師幸福追求；現(xiàn)代教育理念與心理教育；認(rèn)識的歷史發(fā)生原理及其教育意蘊(yùn)。必修課程包括數(shù)學(xué)教堂的有限性；開放題的編制與教學(xué)；優(yōu)化數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)、幫助學(xué)生發(fā)展；新課程實(shí)踐中的`教學(xué)理論；從數(shù)學(xué)史看數(shù)學(xué)文化價(jià)值；初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接；聚焦課堂——通過研究改進(jìn)教學(xué)；文化浸潤的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與案例展示等。

　　二、培訓(xùn)的主要收獲

　　這次培訓(xùn)，從培訓(xùn)的理念、教學(xué)方式以及授課老師的選擇，國家教育部門都經(jīng)過了精心的安排和準(zhǔn)備。聘請?zhí)丶壗處�、國家級學(xué)科帶頭人教師，構(gòu)建“導(dǎo)師引領(lǐng)，師生互動，同伴互助”科學(xué)高效的培訓(xùn)模式。這些人來自一線，自身?xiàng)l件好，給成長中的教師培訓(xùn)對象以很大的啟迪，從而使培訓(xùn)效果最大化。

　　1、學(xué)員參與互動

　�。�1）組織即時(shí)性的課堂研討和交流

　　數(shù)學(xué)培訓(xùn)班根據(jù)教師培訓(xùn)的特點(diǎn)、任務(wù)和要求，學(xué)員們積極主動參加各項(xiàng)培訓(xùn)活動，開展教學(xué)互動。

　　（2）組織專題類的班組研討交流

　　在集中培訓(xùn)期間，組織了幾次網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)沙龍活動，學(xué)員就新課改下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，與專家對話。

　�。�3）組織網(wǎng)絡(luò)類的研討交流

　　數(shù)學(xué)班簡歷了QQ群、個(gè)人博客、公共郵箱，常常在網(wǎng)上相互交流。

　　2、及時(shí)進(jìn)行教學(xué)反饋

　　為保證培訓(xùn)課成的質(zhì)量，班級加強(qiáng)了教學(xué)評估工作，及時(shí)做好教學(xué)反饋。組織學(xué)員隊(duì)每一位的講課，從專題選擇、講課質(zhì)量、教學(xué)方式、培訓(xùn)效果等四個(gè)方面給予評分，然后結(jié)合定性分析，對每一位數(shù)學(xué)教師教學(xué)效果做出客觀評價(jià)。

　　3、實(shí)現(xiàn)了方法到理論的提升

　　教育教學(xué)理論的提升是本次培訓(xùn)的一個(gè)重點(diǎn)，授課教師從不同層面不同角度對教育發(fā)展的歷史、現(xiàn)狀、和發(fā)展趨勢以及新課程改革中的焦點(diǎn)問題進(jìn)行方方面面精辟獨(dú)到的剖析，“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”、用熟練的教育技巧和貼切的教育案例，為學(xué)員們做了很好的示范。

　　4、教學(xué)實(shí)戰(zhàn)能力得到加強(qiáng)

　　本次培訓(xùn)充分關(guān)注培訓(xùn)教師的實(shí)際需要，不僅在大的緯度上幫助教師構(gòu)建理論體系，同時(shí)更關(guān)注新課程背景下課堂教學(xué)深層問題。先進(jìn)的教學(xué)理念及其別具一格的教學(xué)風(fēng)格使每位參培學(xué)員在觀摩、思考、碰撞中得到提高，感動著學(xué)員們一顆顆驛動的心。整個(gè)培訓(xùn)活動從實(shí)際到理論，再由理論到實(shí)際，循序漸進(jìn)，降低了學(xué)習(xí)的難度，提高了學(xué)習(xí)的實(shí)效。

　　緊張有序的培訓(xùn)為我們數(shù)學(xué)班打開了一扇窗，讓我們通過這扇窗開辟了一片新視野。通過近兩個(gè)月來幾個(gè)階段的培訓(xùn)學(xué)習(xí)，對數(shù)學(xué)班全體學(xué)員在理論和實(shí)踐上都提升了一個(gè)臺階，我們會把所學(xué)的運(yùn)用到實(shí)際的教學(xué)活動中去，帶動一校，輻射一片，爭取在以后的工作中做得更好，更有成就。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)4

　　一、主要成績

　　在學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)的正確領(lǐng)導(dǎo)下，本人按照學(xué)年初制定的輔導(dǎo)計(jì)劃加以實(shí)施，并不斷加以充實(shí)和完善，積極進(jìn)行輔導(dǎo)改革，悉心研討和實(shí)踐，旨在如何最大限度的調(diào)動學(xué)生的主動性，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。經(jīng)過師生的共同努力，最終獲得了國家級數(shù)學(xué)三等獎，

　　二、具體做法

　　數(shù)學(xué)競賽是青少年科學(xué)素質(zhì)教育的一種不可忽視的方式，是發(fā)現(xiàn)人才、選拔人才、培養(yǎng)人才的一種有效途徑，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)課外教育的一個(gè)重要組成部分。

　�。ㄒ唬┻x苗

　　1、摸底篩選：首先，了解學(xué)生中的奧數(shù)選手和思維敏捷、解題速度快的學(xué)生，其次，在期初進(jìn)行一次摸底考試，把成績優(yōu)異者和了解到的兩類學(xué)生結(jié)合考慮，從中選出50人組成課外興趣小組。

　　2、期中觀察篩選：由于初二到初三是一個(gè)飛躍階段，學(xué)生變化較大，初二基礎(chǔ)好，到初三也有右能不適應(yīng)，初二不怎么好，升入初三后，隨著環(huán)境、年齡的.改變，可能會脫穎而出，初三第一學(xué)期教師要細(xì)心觀察、分析、特色合適的人選。從第二學(xué)期開始，對興趣小組進(jìn)行調(diào)整。人選的基本要求：（1）踏實(shí)認(rèn)真肯吃苦；（2）勇于拼搏有競爭意識；（3）思維敏捷、解題速度快，（4）學(xué)習(xí)成績中等偏上。

　�。ǘ�）、擇材

　　1、所選輔導(dǎo)教材要求淺顯易懂，技巧性強(qiáng)，方法別具一格，也有一定的權(quán)威性，不斷充實(shí)一些教材，雜志作參考，以取百家之長

　　2、競賽輔導(dǎo)例題、習(xí)題的選擇應(yīng)注意針對性、階梯性、典型性、多解性、靈活性。

　　1）針對性：一是針對學(xué)生實(shí)際，在學(xué)生可接受的基礎(chǔ)上加深加寬，不能盲目拔高。

　　2）階梯性：從易到難，由基礎(chǔ)知識訓(xùn)練到技能技巧的培養(yǎng)，層層遞進(jìn)。

　　3）典型性：具有代表性，能代表一類題型，有舉一反三的作用，吃透幾個(gè)題，就能駕馭一大批題。

　　4）多解性：這里的“解”，包含兩層意思，一是一題有多種解法，從不同的角度利用不同的知識，獲得相同的結(jié)果。

　　5）靈活性：題型靈活多變，技巧性強(qiáng)，往往用常規(guī)的方法不能解或解法很繁，而用某種特殊方法解卻易如反掌。

　�。ㄈ�）、輔導(dǎo)

　　1、時(shí)間：一般每星期進(jìn)行兩次集體輔導(dǎo)。分散時(shí)間，分散教材，做到步步扎穩(wěn)，層層落實(shí)。定時(shí)布置、檢查，批改數(shù)學(xué)競賽練習(xí)。

　　2、方法：（1）制定輔導(dǎo)計(jì)劃，多詢問，多督促，多鼓勵，多指導(dǎo)。指導(dǎo)他們看一些競賽書籍與雜志，積極參加各家雜志舉辦的數(shù)學(xué)競賽；給他們指導(dǎo)解題方法與技巧。對這部分學(xué)生，鼓勵他們自學(xué)，提前完成課堂任務(wù)，抽出一定的時(shí)間，讓他們越級聽課，越級參賽。

　�。�2）變式。設(shè)置變式訓(xùn)練，使學(xué)生舉一反三，一題多變，多題一解，活躍課堂氣氛，提高分類、比較、歸納能力，會收到事半功倍之效果。

　�。�3）專題。根據(jù)教材特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，定期設(shè)置重點(diǎn)課題進(jìn)行專題教學(xué)。如“應(yīng)用題”、“全等三角形”、“根與系數(shù)關(guān)系”等等，以期突出重點(diǎn)，攻破難點(diǎn)。

　�。�4）、競賽。定期進(jìn)行課堂小組競賽，一是檢查學(xué)生培訓(xùn)情況。二是表彰成績好的學(xué)生，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和競爭意識。這也可以作為一種參賽學(xué)習(xí)。

　�。�5）、參賽前進(jìn)行心理素質(zhì)、應(yīng)試策略、典型的重要解題方法，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)原理等輔導(dǎo)。使之有良好的心理準(zhǔn)備，臨場時(shí)高水平和超水平地發(fā)揮。

　　數(shù)學(xué)競賽，作為一種智力、能力和美的競賽，豐富了學(xué)生的課外活動內(nèi)容，訓(xùn)練了學(xué)生的心理素質(zhì)，激發(fā)了學(xué)生的上進(jìn)心和創(chuàng)造性思維。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)5

　　經(jīng)過幾天的初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)，我受益匪淺，感受很多。近幾年來，伴隨著新的課程改革的實(shí)施，教材內(nèi)容也不斷變化，為了適應(yīng)這一變化改革的趨勢，我在教學(xué)理念和教學(xué)方法上也發(fā)生了相應(yīng)的轉(zhuǎn)變，同時(shí)也產(chǎn)生了一些困惑和疑問。而恰在這樣的時(shí)候，培訓(xùn)班開課了，我十分榮幸的成為了其中的一名成員。在培訓(xùn)期間，我克服了家庭、生活上和工作中的各種困難，每天準(zhǔn)時(shí)到校，在課堂上我們認(rèn)真聆聽了一些數(shù)學(xué)專家、教授和名師的講座和講課，讓我更加深入理解和掌握新課程的理念，提高了對新課程的認(rèn)識。下面是我這幾天培訓(xùn)的一些粗淺的體會：

　　一、經(jīng)過專家的講解，使我清晰地認(rèn)識到初中數(shù)學(xué)新課程的大致內(nèi)容

　　通過培訓(xùn)學(xué)習(xí)，我清楚地認(rèn)識到初中數(shù)學(xué)新課程內(nèi)容的增減與知識的分布。使我不僅要從思想上認(rèn)識到初中數(shù)學(xué)新課程改革的重要性和必要性，而且也要從自身的知識儲備上為初中數(shù)學(xué)新課程改革作好充分的準(zhǔn)備。一成不變的`教材與教法是不能適應(yīng)于社會的發(fā)展與需求的。哪些是中考必考內(nèi)容，哪些是選講內(nèi)容，應(yīng)該分別講解到什么程度，都要做到心中有數(shù)。這樣才能做到面對新教材中的新內(nèi)容不急不躁、從容不迫，不至于面對新問題產(chǎn)生陌生感和緊張感。通過學(xué)習(xí)，使我清楚地認(rèn)識到初中數(shù)學(xué)新課程的組成模塊及知識點(diǎn)，明白了各知識點(diǎn)之間又有的聯(lián)系與區(qū)別。對于課程必須講深講透，對于部分選學(xué)內(nèi)容，應(yīng)視學(xué)校和學(xué)生的具體情況而定。初中數(shù)學(xué)新課程的改革是為了更好地適應(yīng)社會發(fā)展與人才需求而制定的。為了更好地適應(yīng)社會發(fā)展與需求，作為教師理應(yīng)先行一步，為社會的發(fā)展與變革作出自己的一份貢獻(xiàn)。

　　二、通過培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我清楚地認(rèn)識到整體把握初中數(shù)學(xué)新課程的重要性及其常用法

　　整體把握初中數(shù)學(xué)新課程不僅可以使我們清楚地認(rèn)識到初中數(shù)學(xué)的主要脈絡(luò)，而且可以使我們站在更高層次上以一覽眾山小的姿態(tài)來面對初中數(shù)學(xué)新課程，提高教師自身的素質(zhì)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。只有清晰地認(rèn)識并把握好數(shù)學(xué)的主線，才能更好地將知識有機(jī)地聯(lián)系起來。較好的整體把握初中數(shù)學(xué)新課程、清晰地認(rèn)識并把握好數(shù)學(xué)的主線，對于一個(gè)初中數(shù)學(xué)教師是非常有必要的，也是非常有意義的。

　　三、通過老師具體的課堂案例學(xué)習(xí)，使我認(rèn)識到應(yīng)該如何把握中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

　　通過專家的經(jīng)典點(diǎn)評剖析，明白了怎樣才能突破教材的重點(diǎn)難點(diǎn)；怎樣才能深入淺出；怎樣才能順利打通學(xué)生的思維通道、掌握一定的學(xué)習(xí)要領(lǐng)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；怎樣才能將一根根主線貫穿于我們的日常教學(xué)過程之中。我們已經(jīng)認(rèn)識到新的中考越來越傾向于“重視基礎(chǔ)，能力立意”�！爸匾暬�礎(chǔ)”，意思就是從最基本的知識出發(fā)。從近幾年的中考試題中不難發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的試題，追根求源，都能在課本中找到它的“根”；所謂“能力立意”，意思是說試題不是基礎(chǔ)知識的簡單堆砌，而是精心巧妙的組裝，通過這種組裝，題目就給人一種新穎、陌生感�！爸匾暬�礎(chǔ)，能力立意”不但是高等學(xué)府選拔人才的需要，也是莘莘學(xué)子將來從事各種工作研究和解決生活、社會問題的需要。因此，一個(gè)優(yōu)秀的教師應(yīng)該通過把握課堂教學(xué)來達(dá)到以下兩個(gè)目標(biāo)：一方面，通過我們的日常教學(xué)，能有效地幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績，以便升入理想的大學(xué)繼續(xù)深造；另一方面，從根本上提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，為將來的持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

　　總之，通過此次學(xué)習(xí)，不僅使自己的眼界得以開闊，而且使自己對初中數(shù)學(xué)新課程有了更深層次的認(rèn)識和理解，這無疑將對我今后的教學(xué)工作產(chǎn)生積極而深遠(yuǎn)的影響。在今后的教學(xué)工作中我還會進(jìn)行不斷的反思與改進(jìn)，讓自己的教學(xué)教育工作日趨成熟。

　　同時(shí)，也希望以后經(jīng)常有機(jī)會參這樣加培訓(xùn)學(xué)習(xí)。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)6

　　11月4號，在房縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)很榮幸觀摩學(xué)習(xí)了省特級教師帶來的示范課及講座！本次數(shù)學(xué)班培訓(xùn)，內(nèi)容豐富，形式多樣，有黃石市八中特級教師教師郭茂榮、黃石市第十四中學(xué)的特級教師查婉蘭及武漢一中骨干教師湯曉丹等教學(xué)專家的示范課。這一天，培訓(xùn)既有理論提升又有實(shí)踐聽課，既有專家講座，又有互動交流，面對不同風(fēng)格的名師感覺是幸福而又充實(shí)的。在這里，使我更進(jìn)一步了解和掌握了新課改的發(fā)展方向和目標(biāo)，從數(shù)學(xué)文化和素質(zhì)教育的角度進(jìn)一步認(rèn)識了數(shù)學(xué)的價(jià)值、數(shù)學(xué)的美。反思了以往工作中的不足，使自己收獲不小，使我的教育觀念進(jìn)一步得到更新，真是受益匪淺。下面是我通過培訓(xùn)獲得的點(diǎn)滴體會：

　　一、培訓(xùn)內(nèi)容安排豐富多彩，和專家面對面交流

　　本次培訓(xùn)活動，即安排了貼近我們實(shí)際教學(xué)的課堂教學(xué)活動，又安排了生動的知名的專家講座，做到了理論聯(lián)系實(shí)際，活動內(nèi)容豐富多彩。我們坐下來和知名專家進(jìn)行交流，有針對性地聽課，解決了自己在課堂教學(xué)中解決不了的問題，了解和接受最新的教育理論，課堂動態(tài)，專家們理論與聯(lián)系實(shí)際的精彩講解，使我們聽課者備受鼓舞。王國君老師的講座，讓我感到自己還停留在經(jīng)驗(yàn)型教師的層面上，讓我看到自己雖然有執(zhí)著的工作信念，但教學(xué)的反思是及其不夠的，美國心理學(xué)家波斯納提出了教師成長的公式：成長=經(jīng)驗(yàn)+反思。如果一個(gè)教師僅僅滿足于獲得經(jīng)驗(yàn)而不對經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行深入的思考，那么、即使是有“20年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，也許只是一年工作的20次重復(fù)；這樣他永遠(yuǎn)只能停留在一個(gè)新手型教師的水準(zhǔn)上”。充分說明了總結(jié)自己的教育，思考自己的教育行為之重要。使我的思想上受到了震撼，我要不斷地反思自己的教學(xué)，尋找自己的差距。

　　二、培訓(xùn)產(chǎn)生了思維的觸動，欲逐步更新教學(xué)行為

　　通過理論與實(shí)踐的培訓(xùn)，對我來說，受益頗多。從現(xiàn)場課中，我們感受到了濃濃課改的氣息，教師積極創(chuàng)新的意識；從專家的講座報(bào)告中，我們領(lǐng)略了數(shù)學(xué)最前沿的理論，怎樣才能成為研究型的教師。通過本次學(xué)習(xí)活動給我很大的啟示。

　　一數(shù)學(xué)教師應(yīng)有的教學(xué)方式：

　　新課程強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程是師生交往、共同發(fā)展的互動過程。在教學(xué)過程中要處理好傳授知識與培養(yǎng)能力的關(guān)系，注重培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立性和自主性，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、調(diào)查、探究，在實(shí)踐中學(xué)習(xí)，使學(xué)習(xí)成為在教師指導(dǎo)下主動的、富有個(gè)性的過程。教師應(yīng)尊重學(xué)生的人格，關(guān)注個(gè)體差異，滿足不同需要，創(chuàng)設(shè)能引導(dǎo)學(xué)生主動參與的教育環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生掌握和運(yùn)用知識的態(tài)度和能力，使每一個(gè)學(xué)生都能得到充分的發(fā)展，為每一個(gè)學(xué)生終身發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。教師不再是權(quán)威，只是教學(xué)過程的組織者、引導(dǎo)者，課堂上會較多地出現(xiàn)師生互動、平等參與的生動局面，教師盡可能地組織學(xué)生運(yùn)用合作、小組學(xué)習(xí)等方式，在培養(yǎng)學(xué)生合作與交流能力的同時(shí)，調(diào)動每一個(gè)學(xué)生的參與意識和學(xué)習(xí)積極性，課堂教學(xué)形式多樣，經(jīng)常開展講座交流和合作學(xué)習(xí)，讓大家共同提高，老師們多是鼓勵性的話語，對待學(xué)生和藹可親，盡量發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)。

　　二學(xué)生應(yīng)有的學(xué)習(xí)方式：

　　在基礎(chǔ)教育改革下，學(xué)生學(xué)習(xí)方式開始逐步多樣化，學(xué)生在學(xué)習(xí)中能樂于探究、主動參與，勤于動手，學(xué)生的學(xué)習(xí)，不再是整天處于被動地應(yīng)付、機(jī)械訓(xùn)練、死記硬背、簡單重復(fù)之中，不再是對于所學(xué)內(nèi)容總是生吞活剝、一知半解、似懂半懂，學(xué)習(xí)內(nèi)容比以前寬泛多了，經(jīng)常能夠聯(lián)系實(shí)際，接觸社會實(shí)際，從生活中來學(xué)習(xí)、思考，作業(yè)形式也豐富多了，有手工制作、寫小論文、社會調(diào)查、查找資料等等�；顒有宰鳂I(yè)比書面作業(yè)有增多，讓學(xué)生學(xué)習(xí)更輕松、更喜歡上學(xué)，對學(xué)習(xí)更有興趣和積極性。

　　三新課改下的評價(jià)方式：

　　新課程的評價(jià)強(qiáng)調(diào)：評價(jià)功能從注重甄別與選拔轉(zhuǎn)向激勵、反饋與調(diào)整；評價(jià)內(nèi)容從過分注重學(xué)業(yè)成績轉(zhuǎn)向注重多方面發(fā)展的潛能；評價(jià)技術(shù)從過分強(qiáng)調(diào)量化轉(zhuǎn)向更加重視質(zhì)的分析；評價(jià)主體從單一轉(zhuǎn)向多元；評價(jià)的角度從終結(jié)性轉(zhuǎn)向過程性、發(fā)展性，更加關(guān)注學(xué)生的個(gè)別差異；評價(jià)方式更多地采取諸如觀察、面談、調(diào)查、作品展示、項(xiàng)目活動報(bào)告等開放的及多樣化的方式，而不僅僅依靠筆試的結(jié)果；更多地關(guān)注學(xué)生的現(xiàn)狀、潛力和發(fā)展趨勢。我們可通過在汲取學(xué)生時(shí)代的經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，通過在職培訓(xùn)、自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與反思、和同事的日常交流、參與有組織的專業(yè)活動來促進(jìn)我們自身的專業(yè)成長。

　　通過本次的學(xué)習(xí)，我知道了如何更好地反思教學(xué)，如何進(jìn)行同伴互助，怎樣從一個(gè)單純的教書匠轉(zhuǎn)變成一個(gè)“經(jīng)驗(yàn)型”的教師等等。這些理論對我來說很是及時(shí)，有了這些先進(jìn)的理論，才能得出有效的實(shí)踐。正如專家所說：高標(biāo)準(zhǔn)要求自己，高水平引領(lǐng)學(xué)生，高境界體現(xiàn)價(jià)值，真正落實(shí)“根”的教育。

　　在以后的.教學(xué)中，我要做的是：

　　第一，自我反思。從以往的實(shí)踐中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)得失。

　　第二，學(xué)習(xí)。讀萬卷書，行萬里路，讀書是提高自我素養(yǎng)的良好基奠，知識是財(cái)富，人生旅程是財(cái)富，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、過程與感悟更是財(cái)富。

　　第三，交流。他人直言不諱的意見與建議可能是發(fā)現(xiàn)不足、認(rèn)識“廬山真面目”的有效途徑。要聽真言，要想聽真言，更要會聽真言，久而久之對我大有裨益。

　　問渠哪得清如許，為有源頭活水來。培訓(xùn)還將繼續(xù)，我會抓住這次難得的機(jī)會，不斷提高理論知識，填充自己。因?yàn)樽约阂郧皩?shí)在是知識面較窄、積累也很少。于是我暗暗下定決心，一定要抓緊一切有利時(shí)機(jī)來完善和提升自己，爭取再上一個(gè)臺階。

　　“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”。通過本次培訓(xùn)使我深有感觸：新課程下的課堂教學(xué)，應(yīng)是通過師生互動、學(xué)生之間的互動，共同發(fā)展的課堂。它既注重了知識的生成過程，又注重了學(xué)生的情感體驗(yàn)和能力的培養(yǎng)。因此，在今后的教學(xué)中，要用自己學(xué)來的知識豐富自己的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，優(yōu)化自己的課堂教學(xué)，創(chuàng)出自己的教學(xué)特點(diǎn)。我們在教學(xué)中對教材的處理、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)以及評價(jià)的方式都要以學(xué)生的發(fā)展為中心，以提高學(xué)生的全面發(fā)展為宗旨，這才是我的最終目標(biāo)。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)7

　　參加初中數(shù)學(xué)遠(yuǎn)程培訓(xùn)二個(gè)多月時(shí)間了，通過這段培訓(xùn)，我受益匪淺，感受很多。下面就是我的點(diǎn)滴體會：

　　一．對新教材有了初步了解

　　學(xué)習(xí)了義務(wù)教育新課標(biāo)的理念和課例解讀后，我對于未曾變動的舊的知識點(diǎn)，考綱上有所變化的做到了心中有數(shù)。對于新增內(nèi)容，哪些是中考必考內(nèi)容，哪些是選講內(nèi)容，對于不同的內(nèi)容應(yīng)該分別講解到什么程度，也更明確了。這樣才能做到面對新教材中的新內(nèi)容不急不躁、從容不迫，不至于面對新問題產(chǎn)生陌生感和緊張感。通過學(xué)習(xí)，使我清楚地認(rèn)識到初中數(shù)學(xué)新課程的內(nèi)容是由哪些模塊組成的，各模塊又是由哪些知識點(diǎn)組成的，以及各知識點(diǎn)之間又有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別。專家們所提供的專業(yè)分析對我們理解教材，把握教材有著非常重要而又深遠(yuǎn)的意義。對于必修課程必須講深講透，對于部分選學(xué)內(nèi)容，應(yīng)視學(xué)校和學(xué)生的具體情況而定。

　　二．對課堂教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)案例的編寫方面的內(nèi)容有了提高。

　　培訓(xùn)活動中，自己通過視頻觀看學(xué)習(xí)了“案例導(dǎo)入”、“專家講座”、“互動討論”、“課例作業(yè)”等內(nèi)容，使自己在教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)案例以及課堂教學(xué)等方面有了進(jìn)一步的提升和加強(qiáng)，特別是在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，令人豁然開朗。通過視頻觀看學(xué)習(xí)了《有序數(shù)對》和《圖形的旋轉(zhuǎn)》，感覺很有收獲。如以往聽課從未記錄過講課者教學(xué)過程各個(gè)環(huán)節(jié)的時(shí)間分配，聽課時(shí)只注意了講課者的知識傳授情況，而沒注意欣賞、品析講課者的教學(xué)追求、洞察其教學(xué)的理論依據(jù)等。特別是聽了

　　專家講座后，自己才知道還有很多不足。自己今后將認(rèn)真按專家的指點(diǎn)開展教學(xué)活動。

　　三．對初中階段“數(shù)與代數(shù)”、“ 空間與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”以及“應(yīng)用性問題教學(xué)”的教學(xué)方式有了進(jìn)一步的認(rèn)識。

　　本次培訓(xùn)活動中，培訓(xùn)的內(nèi)容極具代表性，涵蓋了初中階段的“數(shù)與代數(shù)”、“ 空間與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”以及“應(yīng)用性問題教學(xué)”等內(nèi)容，因?yàn)樽约涸谝酝�的教學(xué)中對初學(xué)幾何的學(xué)生開展教學(xué)時(shí)十分頭疼，特別是在幾何推理的教學(xué)中，學(xué)生往往不入門，通過專家的培訓(xùn)講解，使自己在這一方面的教學(xué)中有了一定的方法。還有，對于自己在教學(xué)中遇到的一些困惑，自己將按專家的要求認(rèn)真嚴(yán)格要求自己，提高自己。

　　四.教學(xué)實(shí)戰(zhàn)能力得到加強(qiáng)

　　本次培訓(xùn)充分關(guān)注培訓(xùn)教師的實(shí)際需要，不僅傳授了現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)和手段，在大的`緯度上幫助教師構(gòu)建理論體系，同時(shí)更關(guān)注新課程背景下課堂教學(xué)深層問題。專家向我們講授了“計(jì)算機(jī)教學(xué)手段應(yīng)用”“中學(xué)教師標(biāo)準(zhǔn)解讀”“教學(xué)技術(shù)及應(yīng)用”“新課標(biāo)解讀”等，先進(jìn)的教學(xué)理念及其別具一格的教學(xué)風(fēng)格使本人在觀摩、思考、碰撞中得到提高。整個(gè)培訓(xùn)活動從實(shí)際到理論，再由理論到實(shí)際，循序漸進(jìn)，降低了學(xué)習(xí)的難度，提高了學(xué)習(xí)的實(shí)效。

　　五．通過培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我清楚地認(rèn)識到整體把握初中數(shù)學(xué)新課程的重要性及其常用方法。

　　整體把握初中數(shù)學(xué)新課程不僅可以使我們清楚地認(rèn)識到初中數(shù)

　　學(xué)的主要脈絡(luò)，而且可以使我們站在更高層次上面對初中數(shù)學(xué)新課程。整體把握初中數(shù)學(xué)新課程不僅可以提高教師自身的素質(zhì)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。只有讓學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能使他們更好地適應(yīng)社會的發(fā)展與進(jìn)步。與學(xué)生的總結(jié)、交流能促進(jìn)我們產(chǎn)生更多更好的授課方式、方法，產(chǎn)生更多更新的科學(xué)思維模式。這對于我們提高課堂教學(xué)質(zhì)量具有非�，F(xiàn)實(shí)而深遠(yuǎn)的意義。

　　總之，此次培訓(xùn)活動，使自己的教育教學(xué)觀念、教學(xué)行為方法、專業(yè)化水平，教育教學(xué)理論均有了很大的提升。今后，自己充分將所學(xué)、所悟、所感的內(nèi)容應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐中去，做新時(shí)期的合格的初中數(shù)學(xué)教師。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)8

　　為期一周的的暑期初中數(shù)學(xué)骨干教師的培訓(xùn)已結(jié)束，回顧幾天的培訓(xùn)，時(shí)間雖不長，但內(nèi)容豐富，每天六個(gè)小時(shí)的講座（中間穿插交流互動環(huán)節(jié)），我都邊聽邊記，積極思考。在這次的學(xué)習(xí)中，專家、教授們?yōu)槲覀儙�來了全新的�?shù)學(xué)思想，嶄新的教學(xué)理念，新的教學(xué)方法，論文的撰寫技巧，案例的教學(xué)與研究等等，這讓我在數(shù)學(xué)教學(xué)理念上有了更深刻的認(rèn)識。數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)觀，數(shù)學(xué)哲學(xué)，課堂教學(xué)模式的多樣性等等正是我日常教學(xué)缺少的理論基礎(chǔ)。特別是老師關(guān)于教學(xué)模式的多樣性非常貼近我們的'實(shí)際教學(xué)。我認(rèn)為，教師只有汲取豐富的教學(xué)理念，才能真正駕馭課堂。

　　開班第一天是江蘇省教科院研究員、碩導(dǎo)李善良的《與數(shù)學(xué)教師談專業(yè)發(fā)展》，李教授從高、微、雅、逸四個(gè)方面來闡述教師的專業(yè)發(fā)展：對于每一位教師，首先要有遠(yuǎn)大的理想，要有較高的目標(biāo)，從教書匠——教師——教育家，要有自己的風(fēng)格，有自己的特色，有自己的靈魂；其次要不斷挑戰(zhàn)自我，不斷學(xué)習(xí)，探索教學(xué)規(guī)律，形成教學(xué)風(fēng)格，進(jìn)而形成教學(xué)思想；第三，要起點(diǎn)高，要探索，創(chuàng)新，有批判性思維，善于獨(dú)立思考；第四，學(xué)習(xí)時(shí)接觸的朋友、書籍、文章水平要高，要讀大師原著；第五，要善于挑戰(zhàn)，只有為自己樹立強(qiáng)大的對手，才能不斷地激勵自己。我想：我們?nèi)裟茏龅嚼罱淌谔岢龅膸�點(diǎn)，那么將會大大促進(jìn)我們的專業(yè)成長。

　　南京師范大學(xué)教授喻平的《中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評價(jià)理論與案例分析》告訴我們：課堂教學(xué)評價(jià)是一種價(jià)值判斷，即教師的教、學(xué)生的學(xué)和最終的課堂教學(xué)質(zhì)量及效果，是對實(shí)然的教學(xué)效果和應(yīng)然的目標(biāo)的評價(jià)；讓我們知道數(shù)學(xué)教學(xué)觀是數(shù)學(xué)觀和教育觀的整合，強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程層面的評價(jià)，即教學(xué)方法的選擇與實(shí)施的效果，教學(xué)效果是評價(jià)的前提，也是評價(jià)的歸宿。給我們一線教師的教學(xué)指明了方向。

　　華東師范大學(xué)教授李士錡的講座十分精彩，讓我知道教學(xué)不僅僅是向?qū)W生傳授知識，數(shù)學(xué)是思考和解決問題的方法和過程，有什么樣的數(shù)學(xué)觀，就有什么樣的教育觀。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維就是一個(gè)反復(fù)嘗試、探究，不斷修正、改進(jìn)、完善的過程。

　　鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》中指出：教師應(yīng)當(dāng)提倡“反思性實(shí)踐者”這樣一個(gè)關(guān)于實(shí)踐工作的新定位，應(yīng)當(dāng)努力做好“理論的實(shí)踐性解讀”與“教學(xué)實(shí)踐的理論性反思”，它是教師專業(yè)成長的基本途徑；教師不應(yīng)熱衷于追求某種標(biāo)準(zhǔn)答案，而應(yīng)明確承認(rèn)這方面觀念的多樣性，并應(yīng)更加重視如何能從中吸取有益的思想和啟示，特別是，這些觀念對于我們改進(jìn)教學(xué)究竟有哪些思想和啟示。從動態(tài)數(shù)學(xué)觀來看，數(shù)學(xué)并非事實(shí)性結(jié)論的簡單積累，而主要應(yīng)被看成是人類的一種創(chuàng)造性活動，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)突出主要問題，努力培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力（問題意識），應(yīng)重視思維方法的教學(xué)，做到基本知識不要求全，而應(yīng)求連；基本技巧不要求全，而要求變；基本思維不要求全，而應(yīng)求用。做一個(gè)具有哲學(xué)思維的教學(xué)工作者，要堅(jiān)持獨(dú)立思考，包括一定的批判精神；要堅(jiān)持辯證思維；要有問題意識與變革精神。教師在教學(xué)中要善于提問，善于舉例，善于比較與優(yōu)化，才能真正發(fā)揮教師應(yīng)有的指導(dǎo)作用。

　　通過這次培訓(xùn)，我開拓了專業(yè)視野，領(lǐng)悟了新課程理念，更新了教育教學(xué)觀念，升華了專業(yè)理論水平。在今后的教育教學(xué)中，我將運(yùn)用這些理論指導(dǎo)自己的教學(xué)實(shí)踐，不斷提高自己的教學(xué)能力和專業(yè)素養(yǎng)，促進(jìn)自己的專業(yè)發(fā)展。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)9

尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、同仁：

　　大家好！

　　根據(jù)學(xué)校安排，上學(xué)期末，我在陜西師大參加了為期20天的“美麗園丁”教師業(yè)務(wù)培訓(xùn)學(xué)習(xí)，下面結(jié)合我的教學(xué)及專家們的教導(dǎo)向各位領(lǐng)導(dǎo)和老師做一匯報(bào)：

　　1、備課。教師要上好一節(jié)課，必須要備好課。備課過程中要考慮“教什么？怎么教？學(xué)生學(xué)什么？怎么學(xué)？”這是上好一節(jié)課的關(guān)鍵。下面結(jié)合專家的報(bào)告和自己的教學(xué)談?wù)勅绾蝹湔n？

　　首先要進(jìn)行教材分析。分析本節(jié)課知識與本章知識的聯(lián)系，與學(xué)過知識的聯(lián)系，與將要學(xué)習(xí)知識的聯(lián)系，明確本節(jié)課的重要性，也就是要揣摩編者的編寫意圖，其次就是目標(biāo)的確定。確定了學(xué)生“教師教什么？學(xué)生么？”這一定要慎重確定，若教師把握不準(zhǔn)，一定要結(jié)合參考書或教學(xué)大綱，因?yàn)樗�關(guān)系到本節(jié)課的成敗。到底怎樣確定目標(biāo)呢？我們知道，新課標(biāo)要求“三維目標(biāo)”即：知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀。我們在平時(shí)備課時(shí)只注重知識與技能目標(biāo)，卻忽視了過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀這兩個(gè)目標(biāo)，這樣會導(dǎo)致以下問題：平時(shí)會做測試卻不會，學(xué)生看起來好想會了，但做題過程卻含糊不清，過程推理邏輯性很差等諸多問題。這其實(shí)并不是學(xué)生的問題，而是教師在教學(xué)中沒有很好的落實(shí)三維目標(biāo)所致。再次確定重難點(diǎn)。重難點(diǎn)的確定要根據(jù)學(xué)生實(shí)際出發(fā)，不能在教學(xué)參考書上抄，要結(jié)合我們的學(xué)生確定重難點(diǎn)。最后明確教法學(xué)法。其實(shí)這也是明確“教師怎樣教？學(xué)生怎樣學(xué)？的問題”，利用那些教具，采用什么樣的方法，采用什么樣的措施，才能使學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得愉快，這才是非常重要的。要落實(shí)好這個(gè)環(huán)節(jié)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)生活經(jīng)驗(yàn)是非常重要的，了解學(xué)生是否有此累知識的經(jīng)驗(yàn),在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知肯定會容易一些這就要我們教師分析本節(jié)課知識與前面學(xué)過的那些知識有聯(lián)系，或?qū)W習(xí)方法相同，或?qū)W生生活中已經(jīng)接觸到相關(guān)知識，這時(shí)，我們就可以通過溫故知新，或方法類比，或情景創(chuàng)設(shè)。讓學(xué)生通過自學(xué)、或結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)得出結(jié)論。這就要求我們教師在備課過程中設(shè)計(jì)好每個(gè)環(huán)節(jié)，怎樣提出問題，通過什么方式方法解決問題。同時(shí)還要考慮設(shè)計(jì)哪些環(huán)節(jié)，準(zhǔn)備那些教具來實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，突破重難點(diǎn)，來對知識鞏固拓展檢測。

　　2、課前互動。課備好了，課前互動也是同樣重要。在和學(xué)生的活動交流過程中，可以了解學(xué)生對某些知識的理解程度，對前面學(xué)習(xí)過知識的遺忘程度，進(jìn)而調(diào)整自己的教學(xué)，也可以通過互動交流拉近師生距離。人常說：“親其師，信其道”這樣有助于課堂教學(xué)，也可以通過課前互動讓學(xué)生放松。由于學(xué)生學(xué)習(xí)壓力大，部分學(xué)生下一節(jié)課都快上了，他卻仍然沉靜在上一節(jié)課的某些情境中�！拔颐髅鳑]睡覺，老師就是冤枉我，這老師就是看不起我給我找茬”、“這個(gè)單詞我真的記不下，煩死了”、“這個(gè)老師真討厭，今天又罵我了”等等，這樣的狀態(tài)對本節(jié)課學(xué)習(xí)肯定有影響。這就要我們教師組織學(xué)生進(jìn)行課前活動：如讓教室里的學(xué)生走出教室看看遠(yuǎn)處，做一些小游戲，或者和學(xué)生交流交流，也可以在教室講講笑話，讓學(xué)生笑一笑、放松放松，盡可能讓學(xué)生以最佳的狀態(tài)走進(jìn)自己的課。

　　3、課堂教學(xué)的導(dǎo)入。合理的導(dǎo)入，可以啟發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，集中學(xué)生的注意力。從而引導(dǎo)學(xué)生樂于思考，積極主動的參與討論，始終參與到教學(xué)活動中，進(jìn)而提高課堂教學(xué)效益，取得較好的教學(xué)效果。下面就談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中的幾種導(dǎo)入方法：

　　（1）溫故知新復(fù)習(xí)導(dǎo)入。通過對舊知識的復(fù)習(xí)，引入對新課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會感覺到今天學(xué)習(xí)的知識并不陌生，有利于對新知識的掌握，這種方法注重只是銜接，一舉多得，不僅有利于対舊知識的鞏固，而且能為新知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

　　（2）激發(fā)興趣故事導(dǎo)入。針對學(xué)生愛聽有趣故事的特點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生年齡特征編制故事，營造情景導(dǎo)入新課。這樣既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識。

　�。�3）.聯(lián)系生活情景導(dǎo)入。數(shù)學(xué)源于生活用于生活，用貼近生活實(shí)際的學(xué)習(xí)素材，導(dǎo)入課題，不僅使學(xué)生感到親切、自然，激發(fā)學(xué)生的興趣而且能喚起學(xué)生的認(rèn)知行為，促使學(xué)生主動思考，為探究新知打下基礎(chǔ)。

　　（4）.問題前置質(zhì)疑導(dǎo)入。利用本節(jié)課需要解決的問題來導(dǎo)入新課，調(diào)動學(xué)生探求知識的心理，激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而形成學(xué)習(xí)動力，這種導(dǎo)入方式使學(xué)生有“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，變被動為主動，會取得很好的效果。

　　導(dǎo)入的方法很多，如還有類比導(dǎo)入法、演示導(dǎo)入法、討論導(dǎo)入法等等。導(dǎo)入法的目的是通過激發(fā)學(xué)生興趣、學(xué)習(xí)動力解決問題，在選取導(dǎo)入方法是一定要結(jié)合教材知識和學(xué)生實(shí)際，力求效果最大化。

　　4、小組合作。關(guān)于小組合作，在我的教學(xué)中迷茫了好幾年，怎樣的合作最有效？什么時(shí)候組織小組合作？等問題一直困擾著我的課堂教學(xué)。這次培訓(xùn)聽了劉旭亮老師的講座，使我感受很深。首先我先說說如何分組。小組合作可分為“同質(zhì)合作”和“異質(zhì)合作”。學(xué)生的'作為可以不固定，在合作教學(xué)中，他們可以找志同道合的同學(xué)進(jìn)行討論，也可以找成績接近的同學(xué)進(jìn)行討論，這樣同質(zhì)合作便于教師分層教學(xué)，但課堂教學(xué)很難調(diào)控，這就要求教師在布置問題是盡可能分層布置，既能使學(xué)困生“吃得消”，又能使優(yōu)等生“吃得飽”。“異質(zhì)合作”便于教學(xué)同步進(jìn)行，教師如果分工、管理不當(dāng)就會出現(xiàn)：優(yōu)等生唱獨(dú)角戲等現(xiàn)象，不利于學(xué)困生發(fā)展，他們只是知識的被動接受者，長期下去會加劇兩極分化。用“同質(zhì)合作”還是“異質(zhì)合作”要靠教師有效、合理的調(diào)控。小組合作要做到“五有”即：有問題、有時(shí)間、有過程、有展示、有評價(jià)。有問題就是要讓學(xué)生知道我們要在合作中解決什么問題，帶著問題去合作；有時(shí)間就是當(dāng)問題出示后要給學(xué)生留有思考的時(shí)間，讓他們找到討論點(diǎn)。有過程就是要求每一位學(xué)生都要參與討論，積極發(fā)表自己的觀點(diǎn)，親身體驗(yàn)知識的生成過程；有展示就是要求學(xué)生通小組合作，將自己小組的討論結(jié)果向大家展示，這樣達(dá)到檢測督促作用，同時(shí)也給學(xué)生展示自己的機(jī)會；有評價(jià)就是要對學(xué)生的活動參與率、匯報(bào)結(jié)論的正確率進(jìn)行評價(jià)，對知識點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，對表現(xiàn)突出的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng)。

　　5、做個(gè)“懶”教師。課堂上盡可能把時(shí)間還給學(xué)生，在學(xué)生明確目標(biāo)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過動手、動腦自己得出結(jié)論，讓學(xué)生通過親自參與將知識內(nèi)化。我們平時(shí)經(jīng)常會說，這道題或這個(gè)知識點(diǎn)我講了好多遍學(xué)生還是做錯了，這是為什么呢？也許我們將解釋學(xué)生根本沒有聽或者是聽了，由于無法理解沒過多久就忘了，這樣我們教師可以說是出力不討好，何苦呢？在課堂教學(xué)中，盡可能做一名“懶”教師學(xué)生自己能解決的或講了也無法接受的堅(jiān)決不講，講了也只有少數(shù)學(xué)生能聽懂，盡可能讓部分學(xué)生通過討論自己解決，或者進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，知識點(diǎn)、易錯點(diǎn)教師要通過典型題精講。

　　6、課堂上允許學(xué)生犯錯誤。這里的犯錯誤并不是上課允許學(xué)生睡覺、玩手機(jī)等，而是知識方面可以犯錯誤。把這作為教學(xué)案例，讓學(xué)生參與糾錯活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，改正問題，達(dá)到知識的強(qiáng)化。其實(shí)這個(gè)過程可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，改正問題的能力，其實(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)試能力。通過這個(gè)糾錯活動，讓學(xué)生在關(guān)鍵時(shí)刻（測試）不出錯。

　　學(xué)困生板演→中等生糾錯→優(yōu)等生講解

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　　允許出錯→發(fā)現(xiàn)問題→解決問題

　　7、數(shù)形結(jié)合教幾何。很多學(xué)生討厭幾何學(xué)習(xí)，有很多性質(zhì)、定理、判定記不下，遇到證明題就頭痛。其實(shí)，這也是個(gè)事實(shí)問題，學(xué)生每天需要記憶的知識太多了：語文老師要求背誦文言文，英語老師要求記單詞、短語等等，數(shù)學(xué)性質(zhì)、定理、判定又很難記憶，有時(shí)候記下也用不上或不會用。如果我們數(shù)學(xué)老師再讓背誦性質(zhì)、定理、判定的話，學(xué)生能喜歡我們的數(shù)學(xué)嗎？說句實(shí)話，我在教學(xué)中，幾乎不背這些，通過圖形來回顧性質(zhì)、定理、判定。如學(xué)習(xí)垂徑定理時(shí)，我畫了一個(gè)圓畫了一條直徑和一條與直徑垂直的弦（不是直徑）。我把其中的五個(gè)條件成為五要素，這五要素中存在“知其二得其三”。這樣數(shù)型結(jié)合讓學(xué)生理解記憶。那特殊銳角三角函數(shù)值怎樣辦呢？可以畫圖證明。

　　總之，通過本次教師的培訓(xùn)，自己收獲頗多，感受頗深，是我對初中數(shù)學(xué)教學(xué)有了更深層次的認(rèn)識，我會在今后教學(xué)中堅(jiān)持學(xué)習(xí)，力求是自己的課堂教學(xué)效率更上一層樓。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)10

　　我有幸參加了這次數(shù)學(xué)培訓(xùn)，在學(xué)習(xí)過程中，我認(rèn)真聽取了三位專家的精彩講演，自己無論在思想認(rèn)識及教育觀念、教育理論和方法、教師業(yè)務(wù)素質(zhì)及業(yè)務(wù)修養(yǎng)、新課程改革等各方面都學(xué)到了很多東西，這對于改進(jìn)我自身的教育教學(xué)工作有很大的幫助。總結(jié)如下：

　�。�1）認(rèn)識到教師的任務(wù)不僅只是教學(xué)，教育科研更不僅是專家們的“專利”。先進(jìn)的教育理念和教育模式都離不開教師的教學(xué)實(shí)踐，我們不能總是把別人的或原有的理論和經(jīng)驗(yàn)用于自己的教學(xué)。

　�。�2）重視問題解決與研究。在教育教學(xué)活動中能及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，并努力探求解決問題的途徑與方法，使教育教學(xué)過程得到及時(shí)的調(diào)整，從而有效提高教學(xué)的質(zhì)量和效益。

　　（3）在推進(jìn)新課改的過程中，必然會遇到一些前所未有的新問題、新情況，要能在變遷與復(fù)雜的教育教學(xué)情景中進(jìn)行獨(dú)立思考和判斷，并通過自己的研究尋找出最佳的教育教學(xué)行動策略和方案。

　�。�4）善于與同行交流，學(xué)習(xí)借鑒他人經(jīng)驗(yàn)。不斷學(xué)習(xí)新知識，加深對數(shù)學(xué)的理解，并把成果應(yīng)用到教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)踐，不斷吸收、篩選符合學(xué)生需要的觀念和方法。改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生靈活的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

　�。�5）知道一般概念和推理方法對使用數(shù)學(xué)工具的重要意義，利用對數(shù)學(xué)中各種概念之間相互關(guān)系的深刻理解和廣知識，幫助學(xué)生在掌握基本概念和推理方法的基礎(chǔ)上，建立一套他們自己的數(shù)學(xué)方法。

　　總之，通過本次骨干教師的培訓(xùn)，自己收獲頗多，感受頗深，但我覺得最重要的是在今后的教學(xué)工作中如何把本次培訓(xùn)所學(xué)到的理論始終如一的貫徹下去，使自己的教學(xué)工作不斷完善、不斷提高。

　　5月10日在興福中學(xué)進(jìn)行了“全縣數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)”，主要是針對初三復(fù)習(xí)講了兩節(jié)匯報(bào)課：一節(jié)是試卷講評課，一節(jié)是專題復(fù)習(xí)課，然后是備課教師談自己的備課過程，然后是部分教師談自己的看法或觀點(diǎn)，最后還有兩處學(xué)校介紹了自己學(xué)校對畢業(yè)班教學(xué)的處理。通過這一天的學(xué)習(xí)，對這個(gè)第一年教畢業(yè)班的我來說收獲太多太多。

　　一、在教學(xué)過程中要注意數(shù)學(xué)思想的滲透和學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)。我們教學(xué)不能是機(jī)械的教學(xué)，應(yīng)該通過一個(gè)題的'講解，教師從中提煉出題中蘊(yùn)含的思想、規(guī)律和方法。要讓學(xué)生通過我們的講解能融會貫通，舉一反三。

　　二、學(xué)生是學(xué)習(xí)活動的主體，教師在教學(xué)過程中只是起“畫龍點(diǎn)睛”的作用。把課堂教給學(xué)生，給學(xué)生一個(gè)展示自我的機(jī)會，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更重要的是提高了學(xué)生的能力，而且有時(shí)候?qū)W生會有更好、更適合學(xué)生的解題方法，何樂而不為呢？

　　三、一節(jié)課成功與否不在教師講多少內(nèi)容，而在學(xué)生會多少。如果一個(gè)問題學(xué)生徹底理解了、吃透了，變式問題只是鞏固與應(yīng)用。

　　四、處理問題要找準(zhǔn)突破口，基礎(chǔ)知識要抓牢。復(fù)習(xí)一個(gè)知識點(diǎn)要把它放到一個(gè)問題中，以問題為載體，讓學(xué)生在解決應(yīng)用的基礎(chǔ)上理解體會，達(dá)到復(fù)習(xí)的目的。

　　總之，通過這次學(xué)習(xí)，我學(xué)到的很多。我會細(xì)細(xì)品味，把學(xué)到的應(yīng)用到自己的教學(xué)中，不斷提高自己的教學(xué)水平。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)11

　　參加完3月29日的考試，回想去年8月暑期開始的浦東新區(qū)數(shù)學(xué)教師專項(xiàng)培訓(xùn)，感觸很深。首先，這對于我來說是一個(gè)極好的機(jī)會，作為一個(gè)年輕教師，除了第一年有過一次新教師培訓(xùn)，這樣系統(tǒng)有針對性的培訓(xùn)從沒有接觸過。我參加的是初級班培訓(xùn)，主要是針對初中教師存在的一些常見的問題如：進(jìn)一步提高教師的教學(xué)能力、師生溝通的技巧、怎樣寫教育案例、如何做教學(xué)反思等課程，也有提高數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的如：數(shù)學(xué)命題試卷分析、初中函數(shù)與分析、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)思想與方法論等課程。本次培訓(xùn)共開展了21次活動，主要分了3個(gè)階段，每一個(gè)階段的都各有收獲，現(xiàn)總結(jié)如下：

　　第一階段是專家和骨干教師的講座和交流，之間聽了一些生動的報(bào)告。黃俊嶺老師的師生溝通技巧讓我知道了和學(xué)生交流方式的重要性，在平時(shí)的教育教學(xué)中，我總覺得和學(xué)生的溝通不是最有效，而通過黃俊嶺老師的講座，我了解到師生間不良的溝通方式，師生有效溝通的原則，教師課堂管理解決問題的策略，優(yōu)秀教師的幾條人格魅力等等。確實(shí)使我受益匪淺。；顧志躍老師的進(jìn)一步提高教師的教學(xué)能力讓我了解當(dāng)前一名教師專業(yè)發(fā)展的各方面要求；惲敏霞老師的教學(xué)反思研究，讓我理解了教學(xué)反思就是教師自覺地把自己的課堂教學(xué)實(shí)踐，作為認(rèn)識對象進(jìn)行全面而深入的冷靜思考和總結(jié)，從而進(jìn)入更優(yōu)化的`教學(xué)狀態(tài)，使學(xué)生得到更充分的發(fā)展，它是一種有益的思維活動和再學(xué)習(xí)活動。教師的成長應(yīng)該是經(jīng)驗(yàn)加反思。教學(xué)反思可以激活教師的教學(xué)智慧，是我們教師成長的“催化劑”，是教師發(fā)展的重要基礎(chǔ)；是區(qū)別經(jīng)驗(yàn)型教師與學(xué)者型教師的主要指標(biāo)之一。她從七個(gè)方面給我們講了如何做好教學(xué)反思，讓我們能更好的做好教學(xué)反思。這讓我深深體會到一個(gè)教師寫一輩子教案難以成為名師，但如果寫三年反思則有可能成為名師這句話。還有一節(jié)課老師列出了一系列的初中數(shù)學(xué)解題典型錯誤，很遺憾我不記得老師的名字，但這卻讓我在這些方面引起了重視。在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，預(yù)先了解學(xué)生的典型錯誤，能進(jìn)行有針對性地教學(xué)，同時(shí)也能選擇更好地教學(xué)方法和手段進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生的這些典型錯誤能進(jìn)行糾正，學(xué)生的錯誤率有所降低。這些可以使我們從預(yù)備初一等低年級就把握住中考的方向，還能在低年級時(shí)，給學(xué)生慢慢體會很多重要的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。最讓我印象深刻的是呂飛老師的幾何畫板，在這之前我基本只會簡單的運(yùn)用這個(gè)軟件，而1天的課程讓我掌握了幾個(gè)關(guān)鍵的技術(shù)，真正感受數(shù)學(xué)多媒體運(yùn)用的實(shí)用性和魅力之處，可惜時(shí)間太短，有機(jī)會真希望還能進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí)。幾位數(shù)學(xué)教研員或骨干教師的數(shù)學(xué)命題分析和試題講解讓我也感觸頗多。聽了各位專家的講座，我覺得在今后的教學(xué)生涯中，我們不應(yīng)僅僅著眼于一些短期利益，而應(yīng)把眼光放長遠(yuǎn)一些；課堂教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，而不局限于單一解答方法的教學(xué)；不要盲目地迷信新課程標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)辨證地看待它�？傊�，通過這些理論的學(xué)習(xí)實(shí)踐的指導(dǎo)使我深刻的領(lǐng)會到要成長為一名優(yōu)秀的教師所要付出的努力以及必經(jīng)之路。

　　第二階段是聽課評課，對于初級班的學(xué)員，我們20位老師分成一組，每人上交一張教學(xué)光盤，無論中青年教師，大家都非常認(rèn)真的觀看，其中好幾位老師的課讓人眼前一亮。課后的交流中大家暢所欲言，各抒己見，教學(xué)中經(jīng)歷的困惑、感受產(chǎn)生了許多共鳴。其實(shí)教師之間經(jīng)常互相聽課和評課是教師提高自身教學(xué)水平的一條重要途徑。作為一名年輕教師，能夠經(jīng)常聽聽其他老師、特別是優(yōu)秀教師的課，有利于學(xué)習(xí)他們良好的教學(xué)態(tài)度、教學(xué)作風(fēng)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。在這次的活動中，我們就有了很多這樣的機(jī)會。最后回到實(shí)際來評價(jià)組內(nèi)每一位教師的課，來提高自己的評課水平，加上導(dǎo)師的點(diǎn)評，起到了畫龍點(diǎn)睛的作用。

　　第三階段是培訓(xùn)評價(jià)，最重要的當(dāng)然是3月29日剛結(jié)束的考核，在復(fù)習(xí)過程中，又一次把第一階段的講座知識經(jīng)過了歸納和梳理，我感受到雖然是條件性性知識是開卷考試，但整理材料的過程中我已經(jīng)不知不覺了解了許多知識。而本體性知識的考核也讓我深刻體會到提升基本功的重要性。作為一名年輕教師，我目前最高只帶過初一年級，這次本體性知識題目我做起來感到非常的陌生和不適應(yīng)，讓我深深體會到教師解題能力的重要性，要教給給學(xué)生一碗水老師必須要有一桶水甚至更多，而這對于我未來的發(fā)展是非常重要的。

　　在幾年的教學(xué)中有許多困惑，說實(shí)話，這次培訓(xùn)許多問題還沒有得到根本上的解決，但卻給了我許多啟示。培訓(xùn)結(jié)束了，但學(xué)習(xí)的道路是永遠(yuǎn)沒有止境的。真心感謝上級能給我這一個(gè)寶貴的學(xué)習(xí)機(jī)會，使我認(rèn)識了許多其他兄弟學(xué)校的老師和名師，使我從中學(xué)到了很多理論和實(shí)際知識，希望自己能得到更多老師的幫助。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)12

　　我們來自農(nóng)村的教師得以與眾多專家、學(xué)者面對面地座談、交流，傾聽他們對數(shù)學(xué)教學(xué)的理解，感悟他們的教育教學(xué)思想方法。這次培訓(xùn)內(nèi)容豐富，安排合理，使學(xué)員們受益匪淺。

　　一.理論學(xué)習(xí)，飛的更高。

　　(一)專家講座，思想理念的提升!

我們這次培訓(xùn)班名稱是：“國培計(jì)劃”——初中數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)班，班主任是易才鳳老師，副班主任是劉詠梅和虞秀云老師，班主任助理是周玲芳和陳艷鳳。本次培訓(xùn)，聽了專家胡惠閔教授《基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)研究》等講座14個(gè)，從師德、當(dāng)前教育教學(xué)改革動向、教科研、課堂教學(xué)專題、教材解讀、現(xiàn)代教育技術(shù)應(yīng)用等多方面進(jìn)行，各位知名專家、學(xué)者、特級教師從自己切身的經(jīng)驗(yàn)體會出發(fā)，暢談了他們對師德以及教學(xué)等教育教學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的獨(dú)特見解。讓我們更清晰地意識到作為一個(gè)農(nóng)村教師該如何看待自己所處的位置，該如何去提升自己的專業(yè)水平。在知識方面，我們深感知識學(xué)問浩如煙海，也深深地體會到教學(xué)相長的深刻內(nèi)涵。教師要有精深的學(xué)科專業(yè)知識，廣博的科學(xué)文化知識，豐富的教育和心理科學(xué)知識。知識結(jié)構(gòu)要合理，當(dāng)今的自然科學(xué)，社會科學(xué)和人文科學(xué)互相滲透，相互融合，只懂自己專業(yè)的知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這一點(diǎn)我們在學(xué)習(xí)中體會很深。精深的專業(yè)知識是教師擔(dān)任教學(xué)工作的.基礎(chǔ)。這就要求教師要扎實(shí)的掌握本學(xué)科的基礎(chǔ)理論，基礎(chǔ)知識以及相應(yīng)的技能，并運(yùn)用自如。熟悉本學(xué)科的學(xué)習(xí)方法和研究方法，同時(shí)還要具備一定的與本學(xué)科相關(guān)的知識。學(xué)員們在這次培訓(xùn)中發(fā)現(xiàn)自己專業(yè)知識還很欠缺。只有掌握全面的學(xué)科知識才能在教學(xué)過程中高屋建瓴的處理好教材，把握住教材的難點(diǎn)，才能有對教材內(nèi)容深入淺出的講解。從而保證教學(xué)流暢地進(jìn)行，使學(xué)生既學(xué)到知識，又掌握學(xué)習(xí)方法和發(fā)展能力。

　　(二)學(xué)員論壇，思想交流的園地!

　　在理論培訓(xùn)階段，為了提升每位學(xué)員自身的理論水平，安排了三次小組交流。在小組討論中，學(xué)員們暢所欲言，許多提出的觀點(diǎn)和問題，都是農(nóng)村數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際問題，引起全體學(xué)員的一致共鳴的同時(shí)，也得到專家們的重視，他們的回答也給了我們很好的啟示，對于我們今后的教學(xué)有著積極的促進(jìn)作用。對每一個(gè)專題進(jìn)行總結(jié)，有了自己的看法，有了自己的思想，有些觀點(diǎn)非常精髓，有獨(dú)到的見解，我們有些學(xué)員開玩笑的說：“我們自己也有一些專家的天份!”。

　　(三)反思，理論水平提高的源泉!

　　這次培訓(xùn)要求每個(gè)學(xué)員每天都要做筆記，寫反思學(xué)習(xí)日志，寫心得體會，提出困惑。也為我們學(xué)習(xí)和交流提供了一平臺。認(rèn)識到繼續(xù)教育的重要性，樹立終身學(xué)習(xí)的目標(biāo)，這次培訓(xùn)，就自身更新優(yōu)化而言，使學(xué)員們樹立了終身學(xué)習(xí)的思想。通過培訓(xùn)，感覺以前所學(xué)的知識太有限了，看問題的眼光也太膚淺了。教師只有樹立“活到老，學(xué)到老”的終身教育思想，才能跟上時(shí)代前進(jìn)和知識發(fā)展的步伐，才能勝任復(fù)雜而又富有創(chuàng)造性的教育工作�！皢柷�那得清如許，唯有源頭活水來�！敝挥胁粩鄬W(xué)習(xí)，不斷充實(shí)自己的知識，不斷更新自己的教育觀念，不斷否定自己，才能不斷進(jìn)步，擁有的知識才能像‘泉水”般沽沽涌出，而不只是可憐的“一桶水”了。

　　二、同行交流，取長補(bǔ)短!

　　本次培訓(xùn)，匯聚了全省各地的骨干教師，每位培訓(xùn)教師都有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)的外部條件也非常相似，但也存在著許多的差異，為我們之間的相互交流提供了很好的一個(gè)交流平臺。因此，成員之間的互動交流成為每位培訓(xùn)人員提高自己教學(xué)業(yè)務(wù)水平的一條捷徑。在培訓(xùn)過程中，學(xué)員們在交流過程中，了解到各區(qū)縣的新課程開展情況，并且注意到他們是如何處理新課程中遇到的種種困惑，以及他們對新課程教材的把握與處理。在培訓(xùn)中，我們不斷地交流，真正做到彼此之間的相互促進(jìn)，共同提高。

　　三、教學(xué)實(shí)踐，飛得更遠(yuǎn)!

　　(一)教學(xué)實(shí)踐，本身就是一種環(huán)境的體驗(yàn)。

在職研修自主學(xué)習(xí)安排三個(gè)月，12月18日開始，我們回到學(xué)校進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐分散學(xué)習(xí)。通過教學(xué)策略的修正，對比教學(xué)，使我感觸到自身課堂教學(xué)中最本源的東西，在教學(xué)中反思，在反思中成長。同時(shí)，在教學(xué)實(shí)踐的過程中，積極參與學(xué)校的校本教研活動，經(jīng)常聽一些優(yōu)秀教師講課，學(xué)習(xí)他們規(guī)范的組織方式，感受他們濃厚的教研氛圍，積極尋找差距所在，當(dāng)然，也積極報(bào)名參加上公開課，接受自我反思和導(dǎo)師與同伴的診斷，使我對于校本教研有了更好的認(rèn)識與把握。

　　(二)校本教研，診斷提高。

　　在集體備課的前提下，采用“示范—診斷—提升”的實(shí)踐模式：指定教師上示范課，其余教師觀摩——我和同伴聽課診斷——我指導(dǎo)教師進(jìn)行診斷性說課、評課——我指導(dǎo)教師修改教案—指定教師上第二次課(提高課)、我和同伴聽課——我指導(dǎo)教師進(jìn)行教學(xué)反思和總結(jié)。通過實(shí)實(shí)在在的行為，加深教師對教學(xué)的理解，加深對課堂的掌控，加深對細(xì)節(jié)的把握，從而提高課堂教學(xué)藝術(shù)。

　　四個(gè)月的培訓(xùn)是短暫的，但是留給我的記憶與思考是永恒的，通過這次培訓(xùn)，使我提高了認(rèn)識，理清了思路，找到了自身的不足之處以及與一名優(yōu)秀教師的差距所在，對于今后如何更好的提高自己必將起到巨大的推動作用，我將以此為起點(diǎn)，讓“差距”成為自身發(fā)展的原動力，不斷梳理與反思自我，促使自己不斷成長。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)13

　　短短90學(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)培訓(xùn)給我留下了深刻的印象。此次培訓(xùn)分為理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐活動兩個(gè)階段，回味這兩次的學(xué)習(xí)生活，雖然緊張而忙碌，但也因收獲而豐潤。

　　一、理論學(xué)習(xí)感悟：

　　作為一名普通的數(shù)學(xué)老師，我們最渴求知道的還是“如何上好一節(jié)課？”要真正上好一節(jié)課確實(shí)很難，所以這方面的理論學(xué)習(xí)是我們最需要的。通過幾天的理論培訓(xùn)，讓我深深體會到作為一線教師，只有深入的研讀和挖掘教材中所提供的豐富的信息資源，才能合理、有效地使用好教材；每天聽著專家們的精彩講演，他們的每一句話每一個(gè)觀點(diǎn)，都值得我推敲，我在收獲甜甜果實(shí)的同時(shí)，我心里也有酸酸的感覺，他們厚實(shí)的文化底蘊(yùn)，執(zhí)著的教育追求，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，讓我感到汗顏�；仡欁约旱慕虒W(xué)，才發(fā)現(xiàn)自己實(shí)踐的不少，但思考太少。常以工作忙為借口懶于反思、總結(jié)，通過這次學(xué)習(xí)，我才發(fā)現(xiàn)在不經(jīng)意間我錯失了許多。這幾天的理論學(xué)習(xí)讓我親身體驗(yàn)到了專家、名師們身上所散發(fā)的各具特色的人格魅力，他們的敬業(yè)精神和專業(yè)精神以及淵博的學(xué)識，讓我明白了什么才是充滿魅力的課堂。

　　二、實(shí)踐活動感悟：

　　剛剛結(jié)束的一星期的實(shí)踐活動，領(lǐng)略了3位教師的課堂教學(xué)風(fēng)采，不同的理念，不同的設(shè)計(jì)思路讓我真實(shí)感受到她們的扎實(shí)的基本功，同時(shí)也為我下一步的發(fā)展指明了方向。課堂教學(xué)是一個(gè)“仁者見仁，智者見智”的話題，在我看來，不同的教師演繹不同的風(fēng)采，卻展現(xiàn)同樣的精彩。通過聽課讓我學(xué)到了很多新的教學(xué)方法和新的教學(xué)理念。教師沒有利用課本上的例題，而是從學(xué)生生活的情景海貝貝沖浪誰最棒作為切入點(diǎn)，用以吸引學(xué)生的注意力，同時(shí)也密切了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。在本課中教師通過安排學(xué)生動手操作的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過擺一擺、畫一畫等活動，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中邊學(xué)邊練，加深了對所學(xué)知識的理解與運(yùn)用。課堂教學(xué)對教師而言，不只是為學(xué)生成長所做的付出，不只是別人交付任務(wù)的完成，他同時(shí)也是我們自身生命價(jià)值的體現(xiàn)。讓課堂走進(jìn)生活，將課堂教學(xué)當(dāng)作學(xué)生的生命經(jīng)歷，自覺地尊重學(xué)生，尊重學(xué)生的這段經(jīng)歷，課堂才會顯得樸實(shí)而又睿智。在這短短幾天的.時(shí)間里，讓我深切體會到優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課堂是情智共生的課堂，要以情促智，以智生情，讓學(xué)生心靈閘門不斷開啟，讓學(xué)生智慧的火花不斷點(diǎn)燃。評課交流可以使人的思考更加廣闊，內(nèi)容更加豐富。作為一線教師，我想我更應(yīng)該勇敢地、虛心地、隨時(shí)地與其他老師交流，交流教學(xué)中的問題與困惑等。通過每次課后的交流產(chǎn)生思想碰撞與思考，解決困惑，從中也讓我獲得很多啟發(fā)與收益。

　　通過這次培訓(xùn)，讓我深深體會到只有不斷的學(xué)習(xí)，才能有不斷的提升，對如何做好一名出色的數(shù)學(xué)教師有了更多的努力目標(biāo)。我將反思著自己的差距與不足，尋找著自己應(yīng)該努力的方向，相信本次培訓(xùn)活動對我今后的教學(xué)一定會產(chǎn)生積極而深遠(yuǎn)的影響。雖然培訓(xùn)已結(jié)束，但是在培訓(xùn)過程中我受到的思想振蕩將伴隨我今后的教學(xué)生涯。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)14

　　一直以來，在試卷講評課的上法上總存在著一些困惑。例如，試卷上的錯題因人而異，如何上能照顧到全體，將每位學(xué)生出錯的問題解決？通過這次培訓(xùn)我認(rèn)識到，我們沒有足夠的時(shí)間面面俱到的講解，在一定的時(shí)間內(nèi)想面面俱到，那么每個(gè)題目也只是蜻蜓點(diǎn)水，一節(jié)課下來真正沉淀到頭腦中的知識寥寥無幾。今后的試卷講評課我打算按照下面的思路來上，請劉老師多批評指正。

　　一、考試之后教師要做好測試分析，并充分備課。

　　通過測試分析，首先,弄清學(xué)生集中出錯的題目，找出學(xué)生的`共性問題，并針對這些共性的問題展開備課。備課要備學(xué)生出錯的原因，試卷講評時(shí)如何對這些問題講解與完善。其次，弄清每位學(xué)生的得分，對于成績波動大的同學(xué)通過談話等方式及時(shí)了解情況并幫助解決困難。

　　二、下發(fā)試卷，學(xué)生自己糾錯。

　　給學(xué)生自己糾錯的機(jī)會，將能自己改正或通過小組合作改正的題目在試卷講評前改過來。

　　三、訂正答案，進(jìn)一步改錯。

　　給學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)答案，在答案的引導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)一步尋找解題思路，完善解題步驟，查找丟分原因，加深對知識的理解。

　　四、重點(diǎn)題、錯題重點(diǎn)講解。

　　經(jīng)過兩輪的改錯之后學(xué)生存留下的問題已經(jīng)很少，教師試卷講評時(shí)就要解決這些遺留問題、重點(diǎn)題、錯題。對于這些問題可以通過分類講解、同類知識串講、變式訓(xùn)練、一題多解、多個(gè)知識點(diǎn)上串下聯(lián)等方式講透。經(jīng)過尋根問底，可使學(xué)生對不明確的知識點(diǎn)加深理解，再認(rèn)識，然后鞏固練習(xí)。這個(gè)過程下來同時(shí)可復(fù)習(xí)到多個(gè)知識點(diǎn)，建立知識體系，拓展學(xué)生思維。

　　五、方法總結(jié)。

　　圍繞一個(gè)知識點(diǎn)講解之后，要讓學(xué)生總結(jié)解題思想、方法，掌握答題技巧。需要時(shí)可讓學(xué)生簡記。

　　六、解答疑問。

　　通過學(xué)生提出疑問，大家共同解答，完善學(xué)生對知識的認(rèn)識。

　　近幾年教基礎(chǔ)年級，所以感覺上章節(jié)復(fù)習(xí)課較多，專題復(fù)習(xí)課很少。我們學(xué)校的章節(jié)復(fù)習(xí)課與劉老師的“出示問題，引出知識”是一致的。通過問題的解決實(shí)現(xiàn)知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)。

　　通過聽兩位韓老師的課我感覺有幾處大的收獲：

　　一、要想實(shí)現(xiàn)高效課堂，教師首先高效備課。從兩位老師對題目的選取上能看到她們備課的用心。值得學(xué)習(xí)。

　　二、充分放手給學(xué)生，讓學(xué)生思考、解決問題、總結(jié)方法。教師適時(shí)點(diǎn)撥。

　　三、重要知識點(diǎn)、思想、方法及時(shí)簡記�！昂媚X子不如爛筆頭”，的確如此。根據(jù)艾賓浩斯的遺忘規(guī)律，一節(jié)課下來學(xué)到的知識點(diǎn)總在慢慢遺忘，如果課堂上不把關(guān)鍵點(diǎn)記錄下來的話，回過頭來復(fù)習(xí)時(shí)頭腦中的知識漏洞難以得到修繕。

　　通過這次學(xué)習(xí)我感覺收獲很大，希望劉老師多組織類似活動幫助年輕教師成長。同時(shí)對于這次培訓(xùn)的膚淺認(rèn)識希望劉老師多批評指正。謝謝！

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)15

　　數(shù)”的產(chǎn)生成為人類文明發(fā)展的一個(gè)重要的標(biāo)志。人類從識別事物多寡的原始的數(shù)覺能力，到抽象的“數(shù)”概念的形成，經(jīng)歷了一個(gè)緩慢漸進(jìn)的過程。

　　第一次擴(kuò)充：分?jǐn)?shù)的引進(jìn)；第二次擴(kuò)充：0的引進(jìn)；第三次擴(kuò)充：負(fù)數(shù)的引進(jìn)；第四次擴(kuò)充：無理數(shù)的引進(jìn)；第五次擴(kuò)充：復(fù)數(shù)的引進(jìn)。

　　從原有數(shù)集擴(kuò)充到新數(shù)集所遵循的原則：原數(shù)集是擴(kuò)充后新數(shù)集的真子集；原數(shù)集定義的元素間的關(guān)系和運(yùn)算在新數(shù)集中同樣地被定義；原數(shù)集中的元素在新數(shù)集中定義的運(yùn)算結(jié)果與在原數(shù)集中的運(yùn)算結(jié)果一致，且基本運(yùn)算律保持；在原數(shù)集中不能施行或不能完全施行的某種運(yùn)算，在新數(shù)集中能夠施行；新數(shù)集是滿足上述四條的數(shù)集中的最小數(shù)集。擴(kuò)充方法：一種是把新引進(jìn)的數(shù)加到已建立的數(shù)系中而擴(kuò)充。另一種是從理論上創(chuàng)造一個(gè)集合，即通過定義等價(jià)類來建立新數(shù)系，然后指出新數(shù)系的一個(gè)部分集合與以前數(shù)，一種新的數(shù)，也就實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的一次擴(kuò)張。引入了負(fù)數(shù)，就實(shí)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)系關(guān)于加減運(yùn)算的自封閉。

　　有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點(diǎn)分別標(biāo)設(shè)為0和1。正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。對于分母q的有理數(shù)，就可以用把單位區(qū)間q等分的那些分點(diǎn)表示。每一個(gè)有理數(shù)都可以找到數(shù)軸上的一點(diǎn)與之對應(yīng)。

　　無理數(shù)的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴(kuò)張，可以滿足數(shù)學(xué)上開方運(yùn)算的需要，實(shí)現(xiàn)了實(shí)數(shù)系關(guān)于加減運(yùn)算的封閉性。戴德金闡述了有理數(shù)的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個(gè)有理數(shù)都將全部有理數(shù)分為兩類，使得第一類中每個(gè)數(shù)都小于第二類中的任一個(gè)數(shù)，這個(gè)分類的有理數(shù)可以算在兩類的任何一類中。利用這個(gè)分割法可以得到無理數(shù)的定義。

　　所建立的數(shù)系是同構(gòu)的。

　　自然數(shù)的兩大基本理論：基數(shù)理論和序數(shù)理論

　　基數(shù)理論當(dāng)我們把所有表示數(shù)量的符號放在一起就得到了一個(gè)集合，我們稱之為“數(shù)集”，為了度量“數(shù)集”當(dāng)中表示數(shù)量的符號個(gè)數(shù)，我們首先要定義一個(gè)概念就是“基數(shù)”。19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家康托以集合理論為基礎(chǔ)提出了自然數(shù)的基數(shù)理論。等價(jià)集合的共同特征稱為基數(shù)。對于有限集合來說，基數(shù)就是元素的個(gè)數(shù)。自然數(shù)就有有限集合A的基數(shù)叫做自然數(shù)。記作“”。當(dāng)集合是有限集時(shí)，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)。空集的基數(shù)就是0。而一切自然數(shù)組成的集合，我們稱之為自然數(shù)集，記為N。

　　序數(shù)理論皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，進(jìn)而完全確立了數(shù)系的理論。是根據(jù)一個(gè)集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數(shù)集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來。

　　定義非空集合N中的元素叫做自然數(shù),如果N的元素之間有一個(gè)基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：

　　（1）0∈N；

　　（2）0不是N中任何元素的后繼元素；

　�。�3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；

　�。�4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；

　�。�5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng)，它就是自然數(shù)系。

　　自然數(shù)0是作為空集的標(biāo)記。在空集中，“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)中是不可缺少的。

　　自然數(shù)系所蘊(yùn)含的思想

　　對應(yīng)思想（可數(shù)的集合）自然數(shù)建立在對應(yīng)概念之上，而且對應(yīng)的思想也成為自然數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。一一對應(yīng)關(guān)系是集合論中建立兩個(gè)集合“相等”關(guān)系的一個(gè)重要概念。（導(dǎo)致了俗稱“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現(xiàn)）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過德國弗芝克爾改進(jìn)形成了一個(gè)無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（ZF公理系統(tǒng)）。數(shù)位思想

　　位置制記數(shù)法，就是運(yùn)用少量的符號，通過它們不同個(gè)數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。用十個(gè)記號來表示一切的數(shù)，每個(gè)記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開的。

　　負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)含義至少包括如下幾個(gè)方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負(fù)

　　數(shù)學(xué)符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數(shù)學(xué)符號的意義在于：有了數(shù)學(xué)符號，才使得抽象的數(shù)學(xué)概念有了具體的表現(xiàn)形式，才使得具有一般意義的推理和運(yùn)算、抽象的數(shù)學(xué)思維能以直觀的、簡約的形式表現(xiàn)出來。

　　字母代表數(shù)代數(shù)，原意就是指“文字代表數(shù)”的學(xué)問。使得許多算術(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程問題求解。根本的內(nèi)涵是“未知數(shù)的符號x可以和數(shù)一樣進(jìn)行四則運(yùn)算。文字代表數(shù)的真正價(jià)值在于：字母能夠和數(shù)字一起進(jìn)行四則運(yùn)算和乘方、開方，進(jìn)行指數(shù)、對數(shù)、三角等運(yùn)算，乃至對字母進(jìn)行微分、積分運(yùn)算等等。

　　解析式數(shù)字、字母、運(yùn)算符號按照一定規(guī)律有意義地結(jié)合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運(yùn)算規(guī)律和變形規(guī)則。解析式可以區(qū)分為兩大類：一類是只含有代數(shù)運(yùn)算的解析式叫代數(shù)式，沒有開方運(yùn)算的代數(shù)式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運(yùn)算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運(yùn)算的整式稱為單項(xiàng)式，否則稱為多項(xiàng)式。另一類是包含初等超越運(yùn)算的解析式統(tǒng)稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式、反三角函數(shù)式。

　　解析式的恒等變形把一個(gè)給定的解析式變換為另一個(gè)與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因?yàn)樗鼈儗σ磺袛?shù)，代入式都相等。但是，解方程時(shí)的同解變形，不是恒等變形，。代數(shù)式數(shù)學(xué)的符號語言

　　代數(shù)式是在數(shù)系基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在初等代數(shù)中，所涉及的運(yùn)算可分為兩大類：1代數(shù)運(yùn)算2初等超越運(yùn)算：指數(shù)是無理數(shù)的乘方、對數(shù)、三角、反三角運(yùn)算。

　　定義，在一個(gè)解析式中，如果對字母只進(jìn)行有限次代數(shù)運(yùn)算，那么這個(gè)解析式就稱為代數(shù)式；如果對字母進(jìn)行了有限次的初等超越運(yùn)算，那么這個(gè)解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進(jìn)一步分類：只含有加、減、乘、除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運(yùn)算的代數(shù)式稱為有理式；其余的代數(shù)式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運(yùn)算稱為整式（或多項(xiàng)式），其余的有理式稱為分式。

　　“數(shù)”發(fā)展到“式”的意義導(dǎo)致了運(yùn)算形式化、程序化及規(guī)則的公理化，包含了計(jì)算對象擴(kuò)大化，即數(shù)系的擴(kuò)大化問題。將抽象的符號運(yùn)算應(yīng)用到更一般的對象上，開辟了構(gòu)造數(shù)學(xué)的新方向，為抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數(shù)學(xué)的顯著特征。

　　數(shù)學(xué)符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個(gè)重要的屬性在于它的形象性。數(shù)學(xué)符號不但精確地表示數(shù)學(xué)抽象，而且是抽象內(nèi)涵的簡約形象。等式和方程

　　（一）方程的含義“含有未知數(shù)的等式叫方程”。這個(gè)定義簡單明了，為大家所習(xí)用。不過，這個(gè)定義有不足�！胺匠淌菫榱藢で笪粗獢�(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系�！卑逊匠痰暮诵膬r(jià)值提出來了，即為了尋求未知數(shù)。

　　判斷一個(gè)代數(shù)式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數(shù)。方程的概念一般用于兩個(gè)領(lǐng)域：“求某個(gè)未知數(shù)的數(shù)”和“曲線與方程”在這兩個(gè)領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個(gè)數(shù)（或解集的大�。┡c方程的存在域的大小有直接關(guān)系。

　　方程的分類依照方程解的個(gè)數(shù)分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個(gè)解、有無窮多個(gè)解和全體實(shí)數(shù)解等。方程按照它所含有的未知數(shù)的個(gè)數(shù)來分類：集。兩個(gè)不等式的解集相同，則稱這兩個(gè)不等式是同解的。

　　不等式有三個(gè)基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實(shí)際應(yīng)用在運(yùn)動變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運(yùn)動變化的兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應(yīng)用。不等式蘊(yùn)含的思想

　�。ㄒ唬┠Ｐ退枷肱c相等現(xiàn)象相比，不等現(xiàn)象是現(xiàn)實(shí)世界中更為普遍的現(xiàn)象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

　　方程借助用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，將未知數(shù)同已知數(shù)一起描述問題的代數(shù)表達(dá)形式，形成了方程的基本思想。

　　方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：一是模型思想，二是化歸思想。學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個(gè)方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀規(guī)律都表現(xiàn)為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來往往就是一個(gè)方程式。初中方程的教學(xué)不能過分地停留在數(shù)學(xué)層面上必須使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分的聯(lián)系。體會方程是一種用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的過程。必須學(xué)會抽象將關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)符號。

　　方程設(shè)計(jì)思想的思路先進(jìn)行生活中的提煉，然后到數(shù)學(xué)表達(dá)，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。

　　初中數(shù)學(xué)方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。

　　等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數(shù)字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機(jī)的相等。不等式

　　學(xué)習(xí)的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規(guī)律。其次，研究不等式可以導(dǎo)致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個(gè)區(qū)域。

　　不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨(dú)立的，也是相互統(tǒng)一的。不等關(guān)系往往可以等價(jià)地轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系加以解決。

　　不等式的含義兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實(shí)數(shù)值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當(dāng)不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式時(shí)，稱為代數(shù)不等式；兩邊的解析式至少有一個(gè)是超越式時(shí)，稱為超越不等式。不等式解集表示方法

　　不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個(gè)不等式解集的交集叫做不等式組的解集。

　　一個(gè)不等式的解集表示方法1數(shù)軸表示法即在數(shù)軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區(qū)間表示法即用區(qū)間來表示不等式的解

　　刻畫不等現(xiàn)象的有力模型。通過分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，通過解不等式得到實(shí)際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。同時(shí)，這種模型經(jīng)常與函數(shù)、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，在解決實(shí)際問題時(shí)，要合理選擇這三種重要的數(shù)學(xué)模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價(jià)”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這種思想可以輕松地化解相當(dāng)多的問題。（三）數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題意可列出不等式組，運(yùn)用數(shù)軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)

　　函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。

　　1755年，歐拉首次給出了函數(shù)變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面的變量變化時(shí)，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數(shù)�！庇纱搜葑�?yōu)槟壳暗暮瘮?shù)的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個(gè)變量，如果對它的每一個(gè)值，都有未知量W的每一個(gè)值與之對應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù)。”。1939年，布爾巴基學(xué)派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進(jìn)而定義函數(shù)：

　　1）對

　　中每一個(gè)元素

　　，存在

　　，使

　��；

　�。�2）若且，則。函數(shù)記作：”分別稱以上函數(shù)定義為變量說、對應(yīng)說和關(guān)系說。函數(shù)概念的核心思想

　　數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機(jī)關(guān)系。函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達(dá)的數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。其中有三點(diǎn)是重要的，一是變量的取值是實(shí)數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號表示函數(shù)。函數(shù)的表達(dá)方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。

　　解析式是最常用的方法，適用于表示連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)。解析式有利于研究函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但對初學(xué)者來說也是抽象的。列表法適用于表達(dá)變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達(dá)函數(shù)可因題而議。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的函數(shù)性質(zhì)

　　數(shù)學(xué)中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。中學(xué)階段主要研究函數(shù)的周期性，也涉及

　　奇偶性；在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。（一）函數(shù)的周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復(fù)始的規(guī)律。是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的一個(gè)基本的性質(zhì)。周期函數(shù)是刻畫周期變化的基本函數(shù)模型，使我們集中研究函數(shù)在一個(gè)周期里的變化，了解函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的變化情況。

　　（二）函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性也是我們在中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)要研究的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應(yīng)了函數(shù)圖形的對稱性質(zhì)，可以幫助我們用對稱思想來研究函數(shù)的變化規(guī)律。

　�。ㄈ�）函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是討論函數(shù)“變化”的一個(gè)最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律。函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系

　�。ㄒ唬┖瘮�(shù)與方程用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程可以把方程的根看成函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　笛卡爾提出了平面坐標(biāo)系的概念，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)與數(shù)對的對應(yīng)，將圓錐曲線用含有兩面三刀個(gè)求知數(shù)的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了�，F(xiàn)代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　人們不斷發(fā)現(xiàn)《幾何原本》在邏輯上不夠嚴(yán)密之處，在嘗試用其他公理、公設(shè)證明第五公設(shè)“的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數(shù)學(xué)課程中的幾何學(xué)內(nèi)容

　�。ㄒ唬┲庇^幾何幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認(rèn)識圖形的初級階段，主要依靠形象思維�！靶蜗笏季S”也就是強(qiáng)調(diào)幾何直觀。

　�。ǘ�）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時(shí)，不能僅僅依靠直觀實(shí)驗(yàn)的方法，標(biāo)，即零點(diǎn)的橫坐標(biāo)。方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數(shù)圖形與x軸的交點(diǎn)問題。

　�。ǘ�）函數(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負(fù)的正整數(shù)集，有時(shí)也可以為自然數(shù)集，或者自然數(shù)集的子集。數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。

　�。ㄈ�）函數(shù)與不等式我們首先確定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)（方程f(x)=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。

　�。ㄋ模┖瘮�(shù)與線性規(guī)劃是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點(diǎn)看，首先，要確定目標(biāo)函數(shù)，用目標(biāo)函數(shù)來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標(biāo)函數(shù)的可行域。最后，討論目標(biāo)函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題。

　　解線性規(guī)劃問題，可歸結(jié)為以下算法：第一步，確定目標(biāo)函數(shù)；第二步，確定目標(biāo)函數(shù)的可行域；第三步，確定目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。函數(shù)模型

　　函數(shù)是對現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎(chǔ)，具有良好的普適性和代表意義�，F(xiàn)實(shí)生活中，普遍存在著最優(yōu)化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)建模的思想進(jìn)行解決。在運(yùn)用一次函數(shù)知識和方法建模解決時(shí)，有時(shí)要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。

　　在實(shí)際的教學(xué)中，除了使學(xué)生了解所學(xué)習(xí)的函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有豐富的“原型”之外，還應(yīng)通過實(shí)例介紹或讓學(xué)生通過運(yùn)算來體驗(yàn)函數(shù)模型的多樣性。

　　通過實(shí)例，讓學(xué)生體會、感受數(shù)據(jù)擬合在預(yù)測、規(guī)劃等方面的重要作用，使學(xué)生們學(xué)會用數(shù)學(xué)的知識、思想方法、數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．要鼓勵學(xué)生收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型的實(shí)例進(jìn)行探索實(shí)踐．第二章圖形與幾何四個(gè)基本階段。

　　實(shí)驗(yàn)幾何的形成和發(fā)展

　　人們在觀察、實(shí)踐、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上積累了豐富的幾何經(jīng)驗(yàn)，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗(yàn)事實(shí)之間的聯(lián)系，形成了實(shí)驗(yàn)幾何。理論幾何的形成和發(fā)展

　　柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)，歐幾里德按照嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ)。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。

　　以一些原始概念和公理為出發(fā)點(diǎn)，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進(jìn)行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數(shù)公理，但是，主要立足邏輯進(jìn)行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。

　�。ㄈ�）度量幾何對一些圖形進(jìn)行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當(dāng)?shù)难由�。（四）變換幾何也叫運(yùn)動幾何。這個(gè)領(lǐng)域主要討論平移、旋轉(zhuǎn)、反射等剛體運(yùn)動，以及相似變換、拓?fù)渥儞Q，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標(biāo)幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。

　　經(jīng)驗(yàn)幾何所謂經(jīng)驗(yàn)幾何，通常是直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何的通稱，它特別關(guān)注學(xué)生幾何活動經(jīng)驗(yàn)的積累，以及幾何直覺的發(fā)展。經(jīng)驗(yàn)幾何的作用

　　幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,而后發(fā)展成為研究一般空間結(jié)構(gòu)、圖形關(guān)系的學(xué)科。

　�。ㄒ唬┙�(jīng)驗(yàn)幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經(jīng)驗(yàn)幾何是學(xué)習(xí)推理論證幾何的必要前提。

　　學(xué)習(xí)的內(nèi)容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實(shí)驗(yàn)幾何的充分學(xué)習(xí)，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達(dá)到知覺性的了解、操作性的了解，進(jìn)而形成幾何推理。

　　另一方面，我們用來作為推理基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)，一部分是利用實(shí)驗(yàn)歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進(jìn)行“推論”而導(dǎo)出的結(jié)果。

　�。ㄈ�）實(shí)驗(yàn)幾何是幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)階段和一種認(rèn)知水平，更是一種幾何學(xué)習(xí)方法。總之，實(shí)驗(yàn)幾何作為幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)階段，在學(xué)生幾何學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的銜接作用；同時(shí)，實(shí)驗(yàn)幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學(xué)習(xí)的一種有益于發(fā)現(xiàn)真理、幾何直觀幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時(shí)也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數(shù)學(xué)對象為基礎(chǔ)進(jìn)行理性重建，從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。

　　幾何直觀及其作用《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述

　　和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。

　　幾何直觀對于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展非常重要：

　　首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)В�隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

　　其次，幾何直觀是認(rèn)識論問題，是認(rèn)識的基礎(chǔ),有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

　　借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積

　　物體的表面是一個(gè)二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小，對一個(gè)二維圖形的表面進(jìn)行度量以后，用一個(gè)“數(shù)”標(biāo)志它的大小，稱這個(gè)數(shù)為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規(guī)定為1平方米。

　　于是，對于邊長為整數(shù)a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個(gè)邊長為1米的正方形，進(jìn)而，這個(gè)矩形就由ab個(gè)單位正方形組成，從而，這個(gè)矩形的面積為ab平方米（整數(shù)）。如果矩形的邊長A，B是無理數(shù)，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數(shù)逼近無理數(shù)，an→A,bn→B。依據(jù)anbn→AB，以及有理數(shù)邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。

　　這個(gè)過程實(shí)際上論證了“邊長相等的兩個(gè)矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機(jī)會，揭示經(jīng)驗(yàn)的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。

　　最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

　　直觀幾何主要包含哪些內(nèi)容

　　以大量豐富的實(shí)例為背景，通過觀察、操作來探索認(rèn)識基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點(diǎn)、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規(guī)作圖、視圖和投影等。這些內(nèi)容構(gòu)成直觀幾何的重要組成部分。經(jīng)驗(yàn)幾何的具體研究內(nèi)容

　　初中幾何的主要課程教學(xué)目標(biāo)在于，“積累幾何活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀、空間觀念，進(jìn)一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀、積累幾何活動經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)空間觀念，則是經(jīng)驗(yàn)幾何的核心目標(biāo)。按照初中階段的經(jīng)驗(yàn)幾何認(rèn)識過程的不同，通�？梢詫⒔�(jīng)驗(yàn)幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容，分成認(rèn)識圖形、進(jìn)行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換、在運(yùn)動與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標(biāo)志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)。

　　長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數(shù)。1960年以后，用激光定義“米”。

　　目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權(quán)度大會重新把國際標(biāo)準(zhǔn)制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內(nèi)在真空中所走的長度，稱為“米”。

　　如果可以用一個(gè)線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數(shù)倍，我們稱兩個(gè)線段M，N是可公度的。

　　輾轉(zhuǎn)相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個(gè)線段減去短的那個(gè)線段，如此輾轉(zhuǎn)截取，直到兩個(gè)線段一樣長，這個(gè)長度就是公度量。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，發(fā)現(xiàn)正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度�！�

　　比”。

　　海倫-秦九韶公式

　　劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數(shù)學(xué)證明。將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個(gè)相等的圓，把它們等分成相同的若干個(gè)全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個(gè)鋸齒形互相嵌入即成一個(gè)近似的矩形。份數(shù)分得愈多，其結(jié)果愈接近矩形，這個(gè)矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。

　�。�1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內(nèi)，如果被度量的幾何體恰好被a個(gè)正方體填滿，那么這個(gè)幾何體的體積就等于幾個(gè)單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關(guān)公式計(jì)算出這個(gè)幾何體的體積�！懊娣e公理”與測度公理

　　既然圖形是一個(gè)集合，而相應(yīng)的圖形的面積是一個(gè)數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個(gè)函數(shù)。這個(gè)集合函數(shù)顯然是非負(fù)函數(shù)，而且正方形的面積是1。當(dāng)然，兩個(gè)不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個(gè)圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過移動、旋轉(zhuǎn)、反射，其面積應(yīng)該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內(nèi)容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時(shí)矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時(shí)矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節(jié)變換幾何

　　變換就是一個(gè)集合到另一個(gè)集合的映射。幾何變換、變換群的概念

　　幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學(xué)的研究有重要作用。

　　變換群。實(shí)際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個(gè)群，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應(yīng)幾何學(xué)的主要內(nèi)容。

　　在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

　　全等變換

　　如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點(diǎn)A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個(gè)映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內(nèi)存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個(gè)圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個(gè)全等的圖形上每兩個(gè)對應(yīng)三角形有相反的方向，并且每兩個(gè)對應(yīng)的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負(fù)相似變換）。真正相似變換把一個(gè)圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個(gè)相似圖形的每對對應(yīng)三角形有同一的方向,每對對應(yīng)角有同一方向。反演變換

　　在平面內(nèi)設(shè)有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)P，將其變從認(rèn)知規(guī)律看，幾何學(xué)習(xí)的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認(rèn)→演繹推理→度量計(jì)算。

　　歐幾里得與演繹幾何

　　公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。

　　希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，對于幾何學(xué)的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽(yù)為歷史上的科學(xué)杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認(rèn)只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進(jìn)行處理的利弊得失

　　《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點(diǎn)P/，且使OP/OP=R，這個(gè)變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應(yīng)，它使位于圓內(nèi)的點(diǎn)變成圓外的點(diǎn),位于圓外的點(diǎn)變成圓內(nèi)的點(diǎn)，反演中心變成平面內(nèi)的無限遠(yuǎn)點(diǎn)。而反演圓上的點(diǎn)則保持不變�？臻g反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉(zhuǎn)而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個(gè)不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉(zhuǎn)，反射平移、旋轉(zhuǎn)與反射的初步描述

　　圖形相似的思想方法體現(xiàn)在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結(jié)為如下五個(gè)方面：

　�。�1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現(xiàn)出化歸思想

　　（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個(gè)窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。

　�。�3）結(jié)構(gòu)相同，即“同構(gòu)”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。

　　（4）圖形相似提供了認(rèn)識三角形的另一個(gè)途徑，三角形相似的判別方法可以強(qiáng)化我們對三角形構(gòu)成元素的認(rèn)識。

　�。�5）借助必要的工具和手段是學(xué)好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系

　　（一）平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換是全等變換

　　（二）平移、旋轉(zhuǎn)都可以由若干次反射（軸對稱）的復(fù)合而得到。

　　對于平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現(xiàn)，其中，軸對稱（變換）更為基本。

　　（1）對同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對稱，如果兩個(gè)對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次平移；

　�。�2）對同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對稱，如果兩個(gè)對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對稱軸的交點(diǎn)。反過來，對一個(gè)圖形實(shí)施一次平移，都可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來替代完成；對一個(gè)圖形實(shí)施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來完成。

　�。�3）任意一個(gè)合同變換至多可表示為三個(gè)反射的乘積。第五節(jié)演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個(gè)十分杰出的典范。正因?yàn)槿绱�，自本書問世以來，思想家們�(yōu)橹�而傾倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個(gè)主要因素。科學(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過細(xì)心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已�？茖W(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗(yàn)同試驗(yàn)進(jìn)行結(jié)合；另一方面，需要細(xì)心的分析和演繹推理。可以肯定地說，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲，而不是東方�；蛟S，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個(gè)明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學(xué)知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個(gè)基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因?yàn)樵谒麄冎�前有歐里得作為典范。

　　歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數(shù)學(xué)原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學(xué)”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個(gè)假設(shè)邏輯地推導(dǎo)出來的。許多數(shù)學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進(jìn)行比較，情況尤為令人矚目。多少個(gè)世紀(jì)以來，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來沒有出現(xiàn)一個(gè)可以同歐幾里得對應(yīng)的中國數(shù)學(xué)家。其結(jié)果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數(shù)學(xué)理論體系（中國人對實(shí)際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。

　　如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計(jì)出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的`確已經(jīng)認(rèn)識到，在實(shí)際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強(qiáng)烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無法準(zhǔn)確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論。不管怎樣，人類知識的這些最新進(jìn)展都不會水削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認(rèn)為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時(shí)代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家。”由此可見，《原本》一書對人類科學(xué)思維的影響是何等巨大。

　　從數(shù)學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學(xué)不好，繼續(xù)前進(jìn)的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強(qiáng)有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認(rèn)為難學(xué)的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的焦點(diǎn)�！对�本》幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習(xí)的平面幾何、立體幾何的全部內(nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的焦點(diǎn)。其中，最為激進(jìn)的，如法國布爾巴基學(xué)派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國家中小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象”。這是因?yàn)�，歐氏幾何從數(shù)學(xué)的視角，提供了現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳�存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個(gè)模型的基本內(nèi)容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)知識。它比三種幾何的關(guān)系

　　歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。

　　義務(wù)教育階段幾何課程內(nèi)容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的特點(diǎn)簡析義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的特點(diǎn)與以往的綜合幾何課程設(shè)計(jì)風(fēng)格相比，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》下的幾何已經(jīng)將直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何的觸角伸向了小學(xué)低年級，同時(shí)歐氏幾何的體系和內(nèi)容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現(xiàn)在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學(xué)生學(xué)習(xí)，也有利于引導(dǎo)中小學(xué)生從形的角度去認(rèn)識我們周圍的物體和生活空間。

　　盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習(xí)價(jià)值，但在以往的教學(xué)中，它又確實(shí)逐步暴露出一些問題，例如，內(nèi)容體系比較封閉，脫離實(shí)際，教學(xué)代價(jià)太大等等。①這些問題需要數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)者與數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學(xué)法方面的改進(jìn)。首先是內(nèi)容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實(shí)用價(jià)值和對繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)揮基礎(chǔ)作用的內(nèi)容，打破封閉的公理體系，擴(kuò)大公理系統(tǒng)，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實(shí)與幾何應(yīng)用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補(bǔ)作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，高屋建瓴地處理傳統(tǒng)的內(nèi)容。其中幾何圖形的運(yùn)動變換觀點(diǎn)就是這樣的重要觀點(diǎn)之一。

　　從國際上數(shù)學(xué)課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀(jì)60年代的“新數(shù)學(xué)”改革的浪潮中，將運(yùn)動觀點(diǎn)引入幾何，成了一種時(shí)尚。確實(shí)，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進(jìn)變換能使圖形動起來，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實(shí)驗(yàn)，有的因觀點(diǎn)太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應(yīng)思想的滲透，在某種意義上給傳統(tǒng)算術(shù)與代數(shù)注入了新的血液，那么，運(yùn)動變換觀點(diǎn)的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和更新的研究視野。

　　對第五公設(shè)是否獨(dú)立的研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。

　　非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何

　　家羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨(dú)立無關(guān)的。黎曼幾何

　　歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。制，另一方面體現(xiàn)在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時(shí)，弱化了的部分也還會在高中繼續(xù)出現(xiàn)。

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強(qiáng)調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認(rèn)識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的直觀體驗(yàn)學(xué)習(xí)的方法；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強(qiáng)調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

　　幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

　　推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運(yùn)算）結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。

　　直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)特點(diǎn)與綜合幾何的差異

　　與綜合幾何相比，直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何有著更現(xiàn)實(shí)的意義和課程設(shè)計(jì)的特色：

　　1．不同的課程目標(biāo)和價(jià)值取向

　　從課程設(shè)計(jì)的角度看，直觀幾何與實(shí)驗(yàn)幾何更接近于認(rèn)知發(fā)展取向的課程設(shè)計(jì)模式，而綜合幾何屬于典型的學(xué)術(shù)主義價(jià)值取向的課程設(shè)計(jì)模式。

　　2．不同的教育學(xué)、心理學(xué)基礎(chǔ)和不同的師生關(guān)系

　　以論證為主的綜合幾何課程設(shè)計(jì)，立足于行為主義心理學(xué)，主張師生之間建立“以教為主、以教促學(xué)”的師生關(guān)系。相比之下，直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)觀認(rèn)為，有意義的幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生的主觀意愿和知識、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，依賴學(xué)生的動手實(shí)踐、自主探索和交流合作，教師在教學(xué)中的角色應(yīng)該定位在學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者、參與者，注意學(xué)生在學(xué)習(xí)中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區(qū)文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學(xué)生之間應(yīng)該努力構(gòu)建一種和諧、互動的新關(guān)系。

　　3．不同的課程設(shè)計(jì)風(fēng)格

　　在課程論中，課程有學(xué)科型課程與經(jīng)驗(yàn)型課程之分。除了學(xué)科型課程和經(jīng)驗(yàn)型課程外，大多數(shù)課程介于兩者之間。直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何屬于典型的經(jīng)驗(yàn)型課程，而綜合幾何屬于典型的學(xué)科型課程。當(dāng)前，我國實(shí)行的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書大多介于學(xué)科型課程與經(jīng)驗(yàn)型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛(wèi)”，而有的更靠近前者，“中規(guī)中矩”。

　　4．不同的教學(xué)要求

　　在直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程實(shí)施過程中，學(xué)生的直觀感受和幾何活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)的基本出發(fā)點(diǎn)和必不可少的載體，而且直觀教學(xué)變得十分重要。在這種課程設(shè)計(jì)時(shí)，有的是在抽象的學(xué)科主線中不斷閃現(xiàn)出內(nèi)容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學(xué)是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，培養(yǎng)和提高學(xué)生識圖、作圖能力是學(xué)好幾何的必要環(huán)節(jié)。因而，在直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)模式下，采用直觀教學(xué)至關(guān)重要，可使學(xué)生一開始便進(jìn)入到直觀教學(xué)所創(chuàng)設(shè)的情盡管全國初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀與推理

　　能力是普遍趨勢。第三章統(tǒng)計(jì)與概率

　　準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)、概率、統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系

　�。ㄒ唬┭芯繂栴}的出發(fā)點(diǎn)不同數(shù)學(xué)研究的對象是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的數(shù)和圖形。數(shù)學(xué)研究問題必須有定義，即數(shù)學(xué)研究問題的出發(fā)點(diǎn)是定義，沒有定義無法進(jìn)行數(shù)學(xué)的研究。統(tǒng)計(jì)研究所依賴的是模型，構(gòu)建一些模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究。但是，統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我們拿來數(shù)學(xué)的很多知識、思想方法作為統(tǒng)計(jì)分析的工具。

　�。ǘ�）研究問題的立論基礎(chǔ)不同從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個(gè)角度考慮，數(shù)學(xué)是建立在概念和符號的基礎(chǔ)上的。而統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在數(shù)據(jù)和模型的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號對于統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展也是重要的，但是統(tǒng)計(jì)學(xué)在本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)和模型進(jìn)行推斷的。

　　境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現(xiàn)情景，給學(xué)生以鮮明生動的形象，學(xué)生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強(qiáng)調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認(rèn)識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的直觀體驗(yàn)（幾何課與實(shí)際活動課有天然的聯(lián)系）學(xué)習(xí)的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強(qiáng)調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

　　初中階段屬于從直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何，但包含一點(diǎn)點(diǎn)說理，而九年級已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。

　　在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下，“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認(rèn)識，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動。

　　在“圖形與幾何”的核心課程教學(xué)在于：幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。

　　如何理解初中幾何的核心目標(biāo)發(fā)展幾何直觀與推理能力

　　在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。基于此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把認(rèn)識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與位置（坐標(biāo)）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內(nèi)容。

　　（三）研究問題的方法不同與概念和符號相對應(yīng)，數(shù)學(xué)的推理依賴的是公理和假設(shè)，是一個(gè)從一般到特殊的方法，而統(tǒng)計(jì)學(xué)的推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強(qiáng)調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法，是一個(gè)從特殊到一般的方法。

　　（四）研究問題的判斷原則不同數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是對與錯，從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，統(tǒng)計(jì)學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是好與壞，從這個(gè)意義上說，統(tǒng)計(jì)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。

　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型，收集整理數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷、預(yù)測和決策。當(dāng)然，這些環(huán)節(jié)不能截然分開，也不一定按上述次序，有時(shí)是互相交錯的。

　　（1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類型。建立模型要依據(jù)概率的知識、所研究問題的專業(yè)知識、以往的經(jīng)驗(yàn)以及從總體中抽取的樣本。

　�。�2）數(shù)據(jù)的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實(shí)驗(yàn)3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個(gè)個(gè)體都加以觀測，測定所需要的指標(biāo)。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關(guān)的指標(biāo)值。這方面的研究內(nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支學(xué)科。叫抽樣調(diào)查。

　�。�3）安排特定實(shí)驗(yàn)以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實(shí)驗(yàn)要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便于進(jìn)行分析。

　�。�4）數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當(dāng)?shù)膱D表，如散點(diǎn)圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢。另一種形式是計(jì)算若干數(shù)字特征，以刻畫樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統(tǒng)計(jì)量。

　　（5）統(tǒng)計(jì)推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數(shù)據(jù)的收集和整理是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的必要準(zhǔn)備，統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)。

　�。�6）統(tǒng)計(jì)預(yù)測。統(tǒng)計(jì)預(yù)測的對象，是隨機(jī)變量在未來某個(gè)時(shí)刻所取的值，或設(shè)想在某種條件下對該變量進(jìn)行觀測時(shí)將取的值。

　�。�7）統(tǒng)計(jì)決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計(jì)推斷或預(yù)測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統(tǒng)計(jì)與概率的課程內(nèi)容主要內(nèi)容包括：

　　描述統(tǒng)計(jì)的進(jìn)一步擴(kuò)展----描述統(tǒng)計(jì)的基本目標(biāo)在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數(shù)據(jù)。

　　滲透數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想----數(shù)理統(tǒng)計(jì)與描述統(tǒng)計(jì)的根本區(qū)別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個(gè)核心的內(nèi)容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數(shù)據(jù)的一個(gè)關(guān)鍵問題。學(xué)習(xí)概率的初步內(nèi)容-----包括運(yùn)用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計(jì)算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過實(shí)驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；通過大量豐富的實(shí)例，進(jìn)一步豐富對概率的認(rèn)識，并能解決一些實(shí)際的問題。

　　普查：為了一定的目的而對考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對象稱為個(gè)體。抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查。樣本：從總體中抽取部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)量叫樣本容量。隨機(jī)事件和樣本空間

　　在一定條件實(shí)現(xiàn)后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現(xiàn)象，人們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。具備以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：

　　信息。眾數(shù)只與其在數(shù)據(jù)中重復(fù)的次數(shù)有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，而且當(dāng)各個(gè)數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒有特別的意義。數(shù)據(jù)的離散程度

　　極差是指一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。方差是指一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)之差的平方和的平均數(shù)。

　　樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。加權(quán)平均數(shù)的概念

　　加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例來計(jì)算，即一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)乘以它的權(quán)重后所得積的總和。平均數(shù)稱之為算術(shù)平均數(shù)，是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，

　　(1)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

　　〔2)每次試驗(yàn)可出現(xiàn)不同的結(jié)果，最終出現(xiàn)哪種結(jié)果，試驗(yàn)之前不能確定；

　　(3)事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果。隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為一個(gè)隨機(jī)事件

　　樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機(jī)試驗(yàn)中所對應(yīng)的一切隨機(jī)事件。數(shù)據(jù)的收集

　　數(shù)據(jù)收集方法有兩種：調(diào)查和實(shí)驗(yàn)。在現(xiàn)實(shí)生活中原來就有的數(shù)據(jù)，人們通過調(diào)查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調(diào)查；抽樣調(diào)查，即為一特定目的而對部分考察對象作調(diào)查。三種常用抽樣方法是：隨機(jī)抽樣法、分層抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。

　　數(shù)據(jù)的隨機(jī)性主要有兩層涵義：

　　一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；

　　另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)的整理和分析

　　數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：

　　第一，了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)含著信息的；

　　第二，了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以用多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；

　　第三，通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。

　　理解兩種估計(jì)方法，一種是用樣本的頻率分布來估計(jì)總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）來估計(jì)總體的集中程度和離散程度。頻數(shù)和頻率

　　我們稱每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，也稱次數(shù)。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對總數(shù)據(jù)按某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)出各個(gè)組內(nèi)含個(gè)體的個(gè)數(shù)。而頻率則每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。數(shù)據(jù)的集中趨勢在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的位置所在。反映數(shù)據(jù)集中趨勢的度量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是用這組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)得到的值。中位數(shù)，就是將這組數(shù)據(jù)從小到達(dá)排列后，位于正中間的數(shù)（或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）。眾數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

　　聯(lián)系：從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。區(qū)別：計(jì)算平均數(shù)時(shí)，所有數(shù)據(jù)都參加運(yùn)算，它能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應(yīng)用最為廣泛。中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，只與其在數(shù)據(jù)中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時(shí)，就是算術(shù)平均數(shù)。

　　統(tǒng)計(jì)表不僅反映某一類事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說明有關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。統(tǒng)計(jì)圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數(shù)據(jù)信息，直觀地反映其規(guī)模、水平、構(gòu)成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢和分布狀況，即是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數(shù)據(jù)所隱含信息的統(tǒng)計(jì)圖示法分為單式條形圖、復(fù)式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

　　直方圖有兩種，頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。頻數(shù)直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區(qū)別。

　　扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個(gè)組成部分?jǐn)?shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。

　　扇形統(tǒng)計(jì)圖具有四個(gè)特點(diǎn)：

　　一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關(guān)系，

　　二是圓代表總體，各個(gè)扇形分別表示總體中不同的部分；

　　三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，

　　四是各個(gè)扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統(tǒng)計(jì)圖中，不能簡單地根據(jù)百分比的大小來比較部分量的大小。折線統(tǒng)計(jì)圖

　　用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來，折線統(tǒng)計(jì)圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況，并且可以進(jìn)行簡單的預(yù)測。折線統(tǒng)計(jì)圖可分為單式折線圖或復(fù)式折線圖。統(tǒng)計(jì)是對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究，而概率是對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，在解決實(shí)際問題時(shí)，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的

　　隨機(jī)事件的概率，實(shí)質(zhì)上是指在客觀世界中，這個(gè)事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量刻畫。

　　概率的定義

　　頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)在全部試驗(yàn)次數(shù)中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點(diǎn)全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機(jī)性與概率

　�。�1）隨機(jī)性和規(guī)律性。

　　（2）概率和機(jī)會。從某種意義說來，概率描述了某件事

　　情發(fā)生的機(jī)會

　�。�3）有些概率是無法精確推斷的。

　�。�4）有些概率是可以估計(jì)的。隨機(jī)結(jié)果也具有規(guī)律，而且有可能通過試驗(yàn)等方法來推測其規(guī)律。我們就是要通過觀測數(shù)據(jù)，在隨機(jī)性中尋找用概率和數(shù)學(xué)模型描述的規(guī)律性

　　小概率原理是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)中的反證法）的基礎(chǔ)和依據(jù)。小概率原理是指在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生�！稊�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為，“統(tǒng)計(jì)與概率”應(yīng)當(dāng)是初中課程內(nèi)容的重要組成部分。不僅如此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容從第一學(xué)段連續(xù)編排到初中，并且規(guī)定，在初中，學(xué)生將從事數(shù)據(jù)的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計(jì)總體的思想，進(jìn)一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)的方法，進(jìn)一步體會概率的意義，能計(jì)算簡單事件發(fā)生的概率。《大綱》沒有涉及“概率”內(nèi)容，僅僅在初中階段引入“統(tǒng)計(jì)初步”，并且將“統(tǒng)計(jì)初步”放入“代數(shù)的第（十三）部分”在《大綱》中，“統(tǒng)計(jì)初步”的定位是：使學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)的展這一活動，有以下幾個(gè)步驟：

　　第一，學(xué)生觀察一件物體或一種現(xiàn)象，或者操作某些學(xué)具。

　　第二，學(xué)生在研究所觀察的物體或現(xiàn)象的過程中進(jìn)行思考，與同伴進(jìn)行討論和交流，以彌補(bǔ)他們在單純的觀察和操作活動中的不足。

　　第三，老師按一定的順序給學(xué)生們推薦活動，學(xué)生可從中作出選擇并實(shí)施這些活動，學(xué)生在選擇中有較強(qiáng)的自主性。

　　第四，這一活動可以以課內(nèi)外相結(jié)合的形式進(jìn)行，學(xué)生每周至少花兩個(gè)小時(shí)進(jìn)行同一個(gè)主題的活動，并應(yīng)保證這些活動在整個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)程中的持續(xù)性和穩(wěn)定性。

　　第五，每個(gè)學(xué)生都記錄活動過程。通過這一活動，學(xué)生逐漸學(xué)會操作，同時(shí)加強(qiáng)和鞏固口頭和書面表達(dá)能力，發(fā)展解決問題的能力，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解力。如何理解數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)

　　思想，掌握一些常用的數(shù)據(jù)處理方法，能夠用統(tǒng)計(jì)的初步知識解決一些簡單的實(shí)際問題。簡單的平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

　　所謂加權(quán)平均數(shù)，是指各個(gè)數(shù)據(jù)的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權(quán)重”表示，即加上各個(gè)數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中占有的比例（頻率）再作和。數(shù)學(xué)期望的定義事前預(yù)期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實(shí)踐與綜合

　　設(shè)置“實(shí)踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現(xiàn)其橋梁作用（即，數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數(shù)學(xué)與外部之間橋梁作用）和綜合價(jià)值，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、技能、思想、方法等解決現(xiàn)實(shí)問題，幫助學(xué)生積累直接的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。關(guān)于“實(shí)踐與綜合”的教育價(jià)值和課程目標(biāo)

　　教育價(jià)值實(shí)踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題也必將給學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來改變。使學(xué)生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行思考和交流的能力。

　　課程目標(biāo)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對這個(gè)領(lǐng)域的課程設(shè)計(jì)提出了的總的要求：幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展他們解決問題的能力，加深對“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系�！皩�(shí)踐與綜合”在不同階段不同的呈現(xiàn)形式第一學(xué)段以“實(shí)踐活動”為主題，第二學(xué)段以“綜合應(yīng)用”為主題，第三學(xué)段(即初中階段)以“課題學(xué)習(xí)”為主題。

　　在初中數(shù)學(xué)中，課題學(xué)習(xí)的主要形式有三種基本方式：

　　數(shù)學(xué)小調(diào)查。數(shù)學(xué)小調(diào)查是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從學(xué)習(xí)生活和社會生活中選擇和確定調(diào)查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學(xué)習(xí)活動。數(shù)學(xué)調(diào)查可以包括三個(gè)階段，第一，進(jìn)入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達(dá)和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點(diǎn)。

　　小課題研究�；顒踊�本過程如下：各小組確定活動目標(biāo)；根據(jù)目標(biāo)確定本組活動內(nèi)容；在老師指導(dǎo)下實(shí)際調(diào)查。合作交流。

　　動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學(xué)生以更科學(xué)的方法學(xué)習(xí)知識，尤其強(qiáng)調(diào)對學(xué)生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng)。基本過程是：提出問題動手做實(shí)驗(yàn)觀察記錄解釋討論得出結(jié)論表達(dá)陳述。具體地說，開

　　數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主要針對我國中學(xué)教育中出現(xiàn)的若干弊端，為實(shí)施以創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育而提出來的，其根本目的是讓學(xué)生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗(yàn)和正確認(rèn)識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在“學(xué)習(xí)”，研究是手段、途徑，而不是目的。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

　　以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力為目的，它主要通過與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容相關(guān)的課題，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生為主體地參與、體驗(yàn)問題提出和解決的全過程。使學(xué)生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)科學(xué)研究的基本過程和方法，提高學(xué)生的科數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的目的

　　1.讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗(yàn)。

　　2.了解科學(xué)研究的方法，提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

　　3.學(xué)會與人溝通和合作，學(xué)會分享。合作的意識和能力，是現(xiàn)代人所應(yīng)具備的基本素質(zhì)，而研究性學(xué)習(xí)提供了一個(gè)有利于人際溝通與合作的良好空間。

　　4.增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神和科學(xué)道德。在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學(xué)生必須學(xué)會從實(shí)際出發(fā)，通過認(rèn)真踏實(shí)地探究，事實(shí)求是地得出結(jié)論，并且養(yǎng)成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時(shí)培養(yǎng)不斷追求的進(jìn)取精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。

　　5.培養(yǎng)學(xué)生對社會的責(zé)任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。

　　6.促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，掌握和運(yùn)用一種現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式。

　　7.激活各科學(xué)習(xí)中的知識儲備，嘗試相關(guān)知識的綜合運(yùn)用。8.促進(jìn)教師教學(xué)觀念和教學(xué)行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，推進(jìn)素質(zhì)教育的全面實(shí)施。

　　初中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主題分為建模探究型、圖表探究型、調(diào)查探究型、開放探究型四種類型。

　�。�1）建模探究型：以學(xué)生動手操作、合作探討、設(shè)計(jì)制作模型為主，教師給予指導(dǎo)、總結(jié)、評價(jià)。

　　（2）圖表探究型：以學(xué)生觀察、分析數(shù)學(xué)圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結(jié)合相關(guān)知識分析、探究、解決問題。例如，數(shù)學(xué)圖表的制作：“制作人口圖”。

　　（3）開放探究型：以學(xué)生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數(shù)學(xué)問題：猜想、證明、拓廣。

　�。�4）調(diào)查探究型：以學(xué)生調(diào)查實(shí)踐、自主分析、探究實(shí)踐的方式和方法為主，教師適時(shí)引導(dǎo)、提示、總結(jié)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)

　　1.探究性。探究是人類認(rèn)識世界的一種基本方式，處于基礎(chǔ)教育階段的初中生對外部

　　世界仍充滿強(qiáng)烈的新奇感和探究欲，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)正好適應(yīng)學(xué)習(xí)者個(gè)體發(fā)展的需要和認(rèn)識規(guī)律。

　　2.全員參與性。研究性學(xué)習(xí)主張全體學(xué)生的積極參與，它有別于培養(yǎng)天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學(xué)習(xí)的組織形式是獨(dú)立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的結(jié)合，其中合作學(xué)習(xí)占有重要的地位。

　　3.開放性。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是一種開放性、參與性的教學(xué)形式，為了研究有關(guān)生活中的數(shù)學(xué)問題或從數(shù)學(xué)角度對其它學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究。

　　4.過程性。要求學(xué)生把自己所得出的結(jié)論運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，解決現(xiàn)實(shí)生活中涉及到的數(shù)學(xué)問題，強(qiáng)調(diào)學(xué)生參與的過程。

　　5.應(yīng)用性。學(xué)以致用是研究性學(xué)習(xí)的又一基本特征。研究性學(xué)習(xí)重在知識技能的應(yīng)用，而不在于掌握知識的量。

　　6.體驗(yàn)性。研究性學(xué)習(xí)不僅重視學(xué)習(xí)過程中的理性認(rèn)識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認(rèn)識，即學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實(shí)施保持和進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

　�。�3）在實(shí)施過程中，要采取有效的手段對學(xué)習(xí)活動進(jìn)行監(jiān)控；指導(dǎo)學(xué)生寫好研究數(shù)學(xué)日記，及時(shí)記載研究情況，真實(shí)記錄個(gè)體體驗(yàn)，為以后進(jìn)行和評價(jià)提供依據(jù)。

　�。�4）要爭取家長和社會有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學(xué)生一起開發(fā)對實(shí)施研究性學(xué)習(xí)有價(jià)值的校內(nèi)外教育資源，為學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)提供良好條件。

　　（5）能夠根據(jù)學(xué)校與班級實(shí)施研究性學(xué)習(xí)的不同目標(biāo)定位和主客觀條件，在不同時(shí)段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點(diǎn)。

　　數(shù)學(xué)模型一般是指由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實(shí)對象(原型)數(shù)量規(guī)律和空間特征的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型可以敘述為：對于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對象，為了實(shí)施要求：

　�、偃珕T參與，而非只關(guān)注少數(shù)數(shù)學(xué)尖子學(xué)生競爭，給每個(gè)學(xué)生有鍛煉與參與的機(jī)會；

　�、谌蝿�(wù)驅(qū)動。要向?qū)W生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的引導(dǎo)作用；

　�、壑卦趯W(xué)習(xí)過程而非研究的結(jié)果；

　�、苤卦谥�識技能的應(yīng)用而非掌握知識的數(shù)量；

　�、葜卦谟H身參與探索性實(shí)踐活動，獲得感悟和體驗(yàn)，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗(yàn)；

　�、扌问缴响`活多樣，強(qiáng)調(diào)課內(nèi)外結(jié)合。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)模式有三種：

　�。�1）理論實(shí)踐模式。是指師生在共同學(xué)習(xí)研究性學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)理論來研究、解決數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)研究性學(xué)習(xí)課程理論的價(jià)值，提高綜合能力的一種教學(xué)模式。

　�。�2）數(shù)學(xué)問題探討模式。師生圍繞數(shù)學(xué)問題的分析與探討展開的教學(xué)活動，構(gòu)成了問題探討教學(xué)模式。其基本理念在于：以激勵、強(qiáng)化學(xué)生在教學(xué)過程中的主體參與意識為著眼點(diǎn)，以幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會發(fā)現(xiàn)和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力為宗旨，創(chuàng)設(shè)一種開放而又活潑的學(xué)習(xí)氛圍。其教學(xué)策略是：將問題或案例呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生共同探討，構(gòu)建師生平等、互動的學(xué)習(xí)環(huán)境。

　　一般來說，教師要選擇典型的數(shù)學(xué)問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學(xué)生，而要創(chuàng)造性地加以取舍，主動設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力。

　　（3）數(shù)學(xué)課題研究模式。數(shù)學(xué)課題研究模式是指教師提供課題或由學(xué)生根據(jù)興趣設(shè)計(jì)研究課題，并在教師的指導(dǎo)下自主探索、實(shí)施研究計(jì)劃、完成課題目標(biāo)、提高社會實(shí)踐能力的一種教學(xué)模式。

　　組織形式有三種類型：小組合作研究、個(gè)人獨(dú)立研究、全班集體研究。其中一致認(rèn)為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施的一般程序

　　一般可以分為三個(gè)階段：

　　（1）進(jìn)入問題情境階段（準(zhǔn)備階段）。主要任務(wù)是背景知識的準(zhǔn)備；指導(dǎo)學(xué)生確定數(shù)學(xué)研究課題；組織課程小組、制定研究方案。

　�。�2）實(shí)踐體驗(yàn)階段（實(shí)施階段）。本階段學(xué)生要進(jìn)入具體的解決問題過程。

　　（3）表達(dá)交流階段（結(jié)題階段）。學(xué)生將自己或小組經(jīng)過實(shí)踐、體驗(yàn)所取得的收獲進(jìn)行歸納整理、總結(jié)提煉，形成書面或口頭報(bào)告材料，得出結(jié)論，并進(jìn)行成果交流和總結(jié)反思。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施中的教師指導(dǎo)

　�。�1）在初中不同的學(xué)段和年級，教師的指導(dǎo)工作內(nèi)容和方法應(yīng)該有所不同。

　�。�2）在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施過程中，教師要及時(shí)了解學(xué)生開展活動的情況，有針對性地進(jìn)行指導(dǎo)、點(diǎn)撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進(jìn)學(xué)生自我教育，幫助他們

　　一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目

　　使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心；使學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決日常生活中的問題，進(jìn)而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神；使學(xué)生學(xué)會以數(shù)學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，團(tuán)結(jié)合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數(shù)學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實(shí)以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)意義

　　1.培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力合作能力是信息社會中每個(gè)人必須具備的基本素質(zhì)。

　　2.培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力數(shù)學(xué)建�；顒觿t為學(xué)生學(xué)習(xí)如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個(gè)有效的途徑。

　　3.有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)建�；顒拥拈_展使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀成為可能。

　　4.有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系

　　5.激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

　　6.發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識數(shù)學(xué)建模的具體實(shí)施1.選題

　　鼓勵學(xué)生自主提出問題，可以從以下幾個(gè)方面人手：

　�、僮寣W(xué)生了解選題的重要性和基本要求，

　�、谥笇�(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)尋找課題，也可由教師介紹往屆學(xué)生的選題并加以點(diǎn)評，或者請本班同學(xué)介紹自己的選題計(jì)劃，教師和學(xué)生一起分析其可行性，

　�、劢處焺�(chuàng)設(shè)一個(gè)問題環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題、確定課題。這時(shí)教師的指導(dǎo)應(yīng)該是有啟發(fā)性的，不要代替學(xué)生確定課題，而是啟發(fā)學(xué)生自己去延展、開拓問題鏈，讓學(xué)生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。

　　2.實(shí)施

　　在課題學(xué)習(xí)的實(shí)施中，我們強(qiáng)調(diào)開放學(xué)生的思維，強(qiáng)化過程體驗(yàn)，師生和生生的情感交流和成果共享。

　　3.指導(dǎo)

　　在課題學(xué)習(xí)中，教師如何指導(dǎo)學(xué)生，這是一個(gè)令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學(xué)習(xí)過程中，問題形式與內(nèi)容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結(jié)果呈現(xiàn)層次的豐富性，無疑是對參與者創(chuàng)造力的一種激發(fā)、挑戰(zhàn)和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學(xué)生的優(yōu)勢是自然的、常常出現(xiàn)的。

　　4.評價(jià)

　　評價(jià)過程具體涉及以下幾個(gè)方面：

　�、僬{(diào)查、求解的過程和結(jié)果要合理、清楚、簡捷；

　�、谝�有自己獨(dú)到的思考和發(fā)現(xiàn)；

　�、勰軌蚯‘�(dāng)?shù)厥褂霉ぞ?如網(wǎng)絡(luò)和計(jì)算工具)；

　　④采用合理、簡捷的算法；

　�、萏岢鲇袃r(jià)值的求解設(shè)計(jì)和有見地的新問題；

　　⑥發(fā)揮每個(gè)組員的特長，合作學(xué)習(xí)得有效果。5.建立和擴(kuò)張資源

　　對教育資源的認(rèn)識應(yīng)該走出靜態(tài)的誤區(qū)，要看到身邊許多動態(tài)的教育教學(xué)資源。此外，通過查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現(xiàn)大批的可用資源。我們還應(yīng)有意識地建立自己個(gè)性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學(xué)生做的課題成果，如論文、研究報(bào)告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學(xué)校學(xué)生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實(shí)物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)學(xué)概念，使概念形式化。邏輯化在一個(gè)特定的數(shù)學(xué)體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關(guān)系；這些關(guān)系稱之為數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化、公理化。簡明化數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，借助數(shù)學(xué)符號語言，使得一定事物的本質(zhì)簡明的形式表現(xiàn)出來，這種簡明化使人們在較短時(shí)間內(nèi)領(lǐng)會。概念的外延與內(nèi)涵

　　概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。

　　一個(gè)概念所反映的對象的總和，稱為這個(gè)概念的外延是指適合這個(gè)概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個(gè)概念的延用范圍。一個(gè)概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個(gè)概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵是說一個(gè)概念所反映的事物培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

　　實(shí)際教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探索、合作交流和操作實(shí)踐等學(xué)習(xí)方式。

　�。�1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在學(xué)習(xí)過程中，教師可以向?qū)W生推薦活動，讓學(xué)生在選擇中有較強(qiáng)的自主性；同時(shí)，讓學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行有針對性的指導(dǎo)。

　�。�2）強(qiáng)凋?qū)W生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。課題學(xué)習(xí)活動強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，不宜強(qiáng)調(diào)對知識的學(xué)習(xí)，而且更重要的是強(qiáng)調(diào)學(xué)生對學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成。

　　（3）創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情景，鼓勵學(xué)生思考方法的多樣化。在課題學(xué)習(xí)活動過程中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵與尊重學(xué)生的獨(dú)立思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論與交流，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新思維是十分必要的。

　�。�4）對課題學(xué)習(xí)的評價(jià)應(yīng)該以質(zhì)的評價(jià)為主。一般說來，對學(xué)生實(shí)踐與綜合應(yīng)用活動的評價(jià)要強(qiáng)調(diào)過程性評價(jià)。重點(diǎn)在于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實(shí)踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學(xué)生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標(biāo)簽。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的評價(jià)對建立學(xué)生發(fā)展性評價(jià)有哪些有益的啟示

　�。�1）研究性學(xué)習(xí)評價(jià)更重視過程。研究性學(xué)習(xí)評價(jià)學(xué)生研究成果的價(jià)值取向重點(diǎn)是學(xué)生的參與研究過程。

　�。�2）研究性學(xué)習(xí)評價(jià)更重視理解中的應(yīng)用。強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生把學(xué)到的基礎(chǔ)知識、掌握的基本技能，應(yīng)用到實(shí)際問題的提出和解決中去既促進(jìn)學(xué)生對知識價(jià)值的反思，又加深對知識內(nèi)涵理解和掌握，形成知識的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)。3）研究性學(xué)習(xí)評價(jià)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在探究過程中的體驗(yàn)。

　　（4）研究性學(xué)習(xí)評價(jià)更重視全員參與。研究性學(xué)習(xí)的價(jià)值取向強(qiáng)調(diào)每個(gè)學(xué)生都有充分學(xué)習(xí)的潛能，為他們進(jìn)行不同層次的研究性學(xué)習(xí)提供了可能性，也為個(gè)別化的評價(jià)方式創(chuàng)造了條件。第五章初中數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

　　客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性。經(jīng)過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨(dú)有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點(diǎn)。

　　抽象化數(shù)學(xué)概念反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，而大多數(shù)概念排除對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級的抽象過程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。

　　概念的內(nèi)涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統(tǒng)一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個(gè)概念所反映的對象的總和，稱為這個(gè)概念的外延。一個(gè)概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個(gè)概念的內(nèi)涵。一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量兩個(gè)方面刻劃了這個(gè)概念，每個(gè)概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體．概念的內(nèi)涵嚴(yán)格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵是主觀對客觀的認(rèn)識，由于人們對客觀事物的認(rèn)識是發(fā)展變化的，概念的外延和內(nèi)涵必然相應(yīng)地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過程中有其相對的穩(wěn)定性．在數(shù)學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)

　　1、初中數(shù)學(xué)概念并非都是通過定義給出的

　　2.初中數(shù)學(xué)概念的層次性數(shù)學(xué)概念本身具有層次性。

　　3.數(shù)學(xué)概念是理想概念

　　4.數(shù)學(xué)概念是“過程”與“對象”的統(tǒng)一體數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系

　　1.同一關(guān)系兩個(gè)外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個(gè)判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念可以互相代替。

　　2.交叉關(guān)系兩個(gè)外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。

　　3.從屬關(guān)系兩個(gè)外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A(yù)叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。

　　5.對立關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系。

　　把一個(gè)屬概念分成若干個(gè)種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數(shù)學(xué)中常用劃分把概念系統(tǒng)化。正確的劃分應(yīng)符合下列條件：

　　第一，所分成的種概念之間應(yīng)是全異關(guān)系，即任兩個(gè)種概念的外延的交集應(yīng)是空集；第二，劃分應(yīng)是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應(yīng)按照同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。在一次劃分中用不同的根據(jù)就造成了混亂；第四，劃分不應(yīng)越級。應(yīng)把屬概念分為最鄰近的種概念

　　數(shù)學(xué)概念的定義與要求

　　定義是建立概念的邏輯方法人們在認(rèn)識事物的過程中，經(jīng)過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運(yùn)用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:

　　1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進(jìn)行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產(chǎn)生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。

　　3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時(shí)，P假；當(dāng)P假時(shí)，P真。

　　2.選言判斷。選言判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上判斷用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。

　　3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構(gòu)成的判斷，表明幾個(gè)事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊(yùn)含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義

　　關(guān)于數(shù)學(xué)對象及其屬性的判斷叫做數(shù)學(xué)判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。

　　4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。

　　5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。

　　此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有描述性定義法(如現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對象來進(jìn)行定義(如借助指數(shù)概念定義對數(shù)概念)等等。定義數(shù)學(xué)概念的基本要求

　　1.定義應(yīng)當(dāng)相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴(kuò)大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時(shí)又以B概念來定義A概念。

　　3.定義應(yīng)清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質(zhì)屬性來說應(yīng)是必不可少的。所謂必不可少是指每一個(gè)屬性都是獨(dú)立的，不能由列舉出的其它屬性推出。

　　定義要揭示概念所反映對象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念的形成

　　數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達(dá)出來。

　　數(shù)學(xué)概念形成的過程有以下幾個(gè)階段：

　　1.觀察實(shí)例。

　　2.分析共同屬性。分析所觀察實(shí)例的屬性，通過比較得出各實(shí)例的共同屬性。

　　3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。

　　4.確認(rèn)本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗(yàn)假設(shè)。確認(rèn)本質(zhì)屬性。

　　5.概括定義。在驗(yàn)證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實(shí)例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。

　　6.符號表示。

　　7.具體運(yùn)用。使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。

　　判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認(rèn)識，因此，判斷有真有假，其真假要由實(shí)踐來檢驗(yàn)，在數(shù)學(xué)中要進(jìn)行證明。如實(shí)反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個(gè)判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復(fù)合判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷。

　　1.負(fù)判斷。負(fù)判斷是用連接詞“非”構(gòu)成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當(dāng)P如何理解命題的分類

　　所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)和量項(xiàng)三部分組成.復(fù)合命題命題真值的概念。

　　對于命題A、B，如果A是一個(gè)真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個(gè)假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個(gè)命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個(gè)命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。

　　復(fù)合命題的分類

　　復(fù)合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

　　否定式。給定一個(gè)命題A，用連接詞“非”組成一個(gè)復(fù)合命題“非A”，

　　析取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“或”組成一個(gè)復(fù)合命題“A或B”，合取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“且”組成一個(gè)復(fù)合命題“A且B”蘊(yùn)含式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個(gè)復(fù)合命題“若A則B”，記作AB

　　等值式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“等值”組成一個(gè)復(fù)合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理

　　不加證明而被承認(rèn)其真實(shí)性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數(shù)學(xué)理論的主要基礎(chǔ)。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現(xiàn)象中抽象出來的，符合客觀規(guī)律。

　　任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨(dú)立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應(yīng)的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨(dú)立性是指該體系中各公理是相互獨(dú)立的，沒有一個(gè)可以由其他公理推出。獨(dú)立性對整個(gè)公理體系而言，具有錦上添花的作用。

　　經(jīng)過證明為真實(shí)的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。一個(gè)定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實(shí)的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規(guī)律

　　1.同一律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確

　　定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點(diǎn)具體要求：一是思維的對象應(yīng)保持同一。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。

　　2.矛盾律：在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

　　3.排中律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。

　　排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個(gè)互相矛盾的判斷，都指出兩個(gè)矛盾判斷不能同時(shí)并存，其中必有一個(gè)是假。但如何進(jìn)一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進(jìn)行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由

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