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數學天才萊布尼茲的故事
萊布尼茲是17、18世紀之交德國最重要的數學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。不知道大家對他的了解有多少呢？知道他的故事和個人成就嗎？下面是小編為大家收集的數學天才萊布尼茲的故事，希望對大家有所幫助。
數學天才萊布尼茲的故事
一、生平事跡
萊布尼茲出生于德國東部萊比錫的一個書香之家，父親是萊比錫大學的道德哲學教授，母親出生在一個教授家庭。萊布尼茲的父親在他年僅6歲時便去世了，給他留下了豐富的藏書。萊布尼茲因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得了堅實的文化功底和明確的學術目標。15歲時，他進了萊比錫大學學習法律，一進校便跟上了大學二年級標準的人文學科的課程，還廣泛閱讀了培根、開普勒、伽利略、等人的著作，并對他們的著述進行深入的思考和評價。在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼茲對數學產生了濃厚的興趣。17歲時他在耶拿大學學習了短時期的數學，并獲得了哲學碩士學位。
20歲時，萊布尼茲轉入阿爾特道夫大學。這一年，他發表了第一篇數學論文《論組合的藝術》。這是一篇關于數理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結于一種計算的結果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創新的智慧和數學才華。萊布尼茲在阿爾特道夫大學獲得博士學位后便投身外交界。從1671年開始，他利用外交活動開拓了與外界的廣泛聯系，尤以通信作為他獲取外界信息、與人進行思想交流的一種主要方式。在出訪巴黎時，萊布尼茲深受帕斯卡事跡的鼓舞，決心鉆研高等數學，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作。1673年，萊布尼茲被推薦為英國皇家學會會員。此時，他的興趣已明顯地朝向了數學和自然科學，開始了對無窮小算法的研究，獨立地創立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝共同奠定了微積分學。1676年，他到漢諾威公爵府擔任法律顧問兼圖書館館長。1700年被選為巴黎科學院院士，促成建立了柏林科學院并任首任院長。
1716年11月14日，萊布尼茲在漢諾威逝世，終年70歲。
二、始創微積分
17世紀下半葉，歐洲科學技術迅猛發展，由于生產力的提高和社會各方面的迫切需要，經各國科學家的努力與歷史的積累，建立在函數與極限概念基礎上的微積分理論應運而生了。微積分思想，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計算面積和體積的方法。1665年牛頓創始了微積分，萊布尼茲在1673~1676年間也發表了微積分思想的論著。以前，微分和積分作為兩種數學運算、兩類數學問題，是分別的加以研究的。卡瓦列里、巴羅、沃利斯等人得到了一系列求面積(積分)、求切線斜率(導數)的重要結果，但這些結果都是孤立的，不連貫的。只有萊布尼茲和牛頓將積分和微分真正溝通起來，明確地找到了兩者內在的直接聯系：微分和積分是互逆的兩種運算。而這是微積分建立的關鍵所在。只有確立了這一基本關系，才能在此基礎上構建系統的微積分學。并從對各種函數的微分和求積公式中，總結出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發展成用符號表示的微積分運算法則。因此，微積分“是牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發明的”(恩格斯：《自然辯證法》)。
然而關于微積分創立的優先權，數學上曾掀起了一場激烈的爭論。實際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果的發表則早于牛頓。萊布尼茲在1684年10月發表的《教師學報》上的論文，“一種求極大極小的奇妙類型的計算”，在數學史上被認為是最早發表的微積分文獻。牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家G、W萊布尼茲的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外。”(但在第三版及以后再版時，這段話被刪掉了。)因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創建微積分的。牛頓從物理學出發，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。萊布尼茲認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他發明了一套適用的符號系統，如，引入dx表示x的微分，∫表示積分，dnx表示n階微分等等。這些符號進一步促進了微積分學的發展。1713年，萊布尼茲發表了《微積分的歷史和起源》一文，總結了自己創立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。
三、高等數學上的眾多成就
萊布尼茲在數學方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數學的許多領域。他的一系列重要數學理論的提出，為后來的數學理論奠定了基礎。
萊布尼茲曾討論過負數和復數的性質，得出復數的對數并不存在，共扼復數的和是實數的結論。在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，萊布尼茲還創立了符號邏輯學的基本概念，發明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機和二進制，為計算機的現代發展奠定了堅實的基礎。
四、中西文化交流之倡導者
萊布尼茲對中國、的科學、文化和哲學思想十分關注，是最早研究中國文化和中國哲學的德國人。他向耶 酥會來華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關中國的情況，包括養蠶紡織、造紙印染、冶金礦產、天文地理、數學文字等等，并將這些資料編輯成冊出版。他認為中西相互之間應建立一種交流認識的新型關系。在《中國近況》一書的緒論中，萊布尼茲寫道：“全人類最偉大的文化和最發達的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端，即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲——中國�！薄爸袊@一文明古國與歐洲相比，面積相當，但人口數量則已超過�！薄霸谌粘Ｉ钜约敖涷灥貞蹲匀坏募寄芊矫�，我們是不分伯仲的。我們雙方各自都具備通過相互交流使對方受益的技能。在思考的縝密和理性的思辯方面，顯然我們要略勝一籌”，但“在時間哲學，即在生活與人類實際方面的倫理以及治國學說方面，我們實在是相形見拙了�！痹谶@里，萊布尼茲不僅顯示出了不帶“歐洲中心論”色彩的虛心好學精神，而且為中西文化雙向交流描繪了宏偉的藍圖，極力推動這種交流向縱深發展，是東西方人民相互學習，取長補短，共同繁榮進步。
萊布尼茲為促進中西文化交流做出了畢生的努力，產生了廣泛而深遠的影響。他的虛心好學、對中國文化平等相待，不含“歐洲中心論”偏見的精神尤為難能可貴，值得后世永遠敬仰、效仿。
五、豐碩的物理學成果
萊布尼茲的物理學成就也是非凡的。他發表了《物理學新假說》，提出了具體運動原理和抽象運動原理，認為運動著的物體，不論多么渺小，他將帶著處于完全靜止狀態的物體的部分一起運動。他還對笛卡兒提出的動量守恒原理進行了認真的探討，提出了能量守恒原理的雛型，并在《教師學報》上發表了“關于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯誤的簡短證明”，提出了運動的量的問題，證明了動量不能作為運動的度量單位，并引入動能概念，第一次認為動能守恒是一個普通的物理原理。他又充分地證明了“永動機是不可能”的觀點。他也反對牛頓的絕對時空觀，認為“沒有物質也就沒有空見，空間本身不是絕對的實在性”，“空間和物質的區別就象時間和運動的區別一樣，可是這些東西雖有區別，卻是不可分離的”。在光學方面，萊布尼茲也有所建樹，他利用微積分中的求極值方法，推導出了折射定律，并嘗試用求極值的方法解釋光學基本定律。可以說萊布尼茲的物理學研究一直是朝著為物理學建立一個類似歐氏幾何的公理系統的目標前進的。
人物成就
微積分
現今在微積分領域使用的符號仍是萊布尼茨所提出的。在高等數學和數學分析領域，萊布尼茨判別法是用來判別交錯級數的收斂性的。
萊布尼茨與艾薩克·牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨于1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號dx、dy。1686年他又發表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。依據萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學。
然而1695年英國學者宣稱：微積分的發明權屬于艾薩克·牛頓；1699年又說：牛頓是微積分的“第一發明人”。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調查此案，1713年初發布公告：“確認艾薩克·牛頓是微積分的第一發明人�！比R布尼茨直至去世后的幾年都受到了冷遇。由于對牛頓的盲目崇拜，英國學者長期固守于牛頓的流數術，只用牛頓的流數符號，不屑采用萊布尼茨更優越的符號，以致英國的數學脫離了數學發展的時代潮流。
不過萊布尼茨對牛頓的評價非常高，在1701年柏林宮廷的一次宴會上，普魯士國王腓特烈詢問萊布尼茨對牛頓的看法，萊布尼茨說道：“在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中，牛頓的工作超過了一半�！�
牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家萊布尼茨的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外”（但在第三版及以后再版時，這段話被刪掉了）。因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創建微積分的。
牛頓從物理學出發，運用幾何方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。
萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他所創設的微積分符號遠遠優于牛頓的符號，這對微積分的發展有極大影響。1714至1716年間，萊布尼茨在去世前，起草了《微積分的歷史和起源》一文（本文直到1846年才被發表），總結了自己創立微積分科學的思路，說明了自己成就的獨立性。
拓撲學
拓撲學最早稱之“位相分析學”（analysis situs），是萊布尼茨1679年提出的，這是一門研究地形、地貌相類似的學科，當時主要研究的是出于數學分析的需要而產生的一些幾何問題。關于萊布尼茨對拓撲學的貢獻，尚存爭論。Mates引用Jacob Freudenthal1954年一篇論文里的話說：
盡管萊布尼茨認為一列點在空間中的位置是由其間距離唯一決定的——當且僅當距離發生變化時點的位置發生相應的改變——他的仰慕者歐拉，在他著名的一篇論文（1736年發表，解決了哥尼斯堡（加里寧格勒）七橋問題及其推廣）中，卻是在“拓撲變形時點的位置不發生變化”的意義下使用“幾何位置”這個名詞的。他誤信了萊布尼茨是這個概念的創始者�！藗兂３Ｒ庾R不到萊布尼茨是在完全不同的意義下使用這個名詞的，因此被尊為數學的這個分支領域的奠基人并不恰當。
但平野秀秋持有不同看法，他引用本華·曼德博的話說：“在萊布尼茨海量的科學成果中探索是發人深省的體驗。除了微積分以及其他已經完成的研究之外，大量涉及內容廣泛且極富前瞻性的研究對科學發展的推動力勢不可擋。在‘填充理論’上即有例子，……在發現萊布尼茨還曾經關注過幾何度量的重要性之后，我對他的狂熱更甚了。在“歐幾里德普羅塔”中……其使得歐幾里德公理更加嚴格，他陳述道，……‘對直線，我有數種不同的定義。直線是曲線的一種，而曲線的任何部分都是和整體相似的，因此直線也具有這種特性；這不僅適用于曲線，而且適用于集合�！边@個論斷今天已經可以被證明。
因而分形幾何（由本華·曼德博發揚光大）理論在萊布尼茨的自相似性思想和連續性原理中尋求支持：大自然沒有跳躍（拉丁語“natura non facit saltus”，英語"nature does not make jumps"）。當萊布尼茨在他的《形而上學論》著作中寫道，“直線是曲線的一種，其任何部分都是和整體類似的”，他實際上提前兩個世紀預言了拓撲學的誕生。至于“填充理論”，萊布尼茨對他的朋友Des Bosses說，“你想象一個圓，然后用三個全等的最大半徑的圓填滿它，后來的三個小圓又可以以同樣的過程被更小的圓填充”。這個過程可以無限地繼續下去，并由此生發出了自相似性的思想。萊布尼茨對于歐氏公理的改進亦包含同樣的概念。
符號思維
萊布尼茨有個顯著的信仰，大量的人類推理可以被歸約為某類運算，而這種運算可以解決看法上的差異：
“精煉我們的推理的唯一方式是使它們同數學一樣切實，這樣我們能一眼就找出我們的錯誤，并且在人們有爭議的時候，我們可以簡單地說：讓我們計算[calculemus]，而無須進一步的忙亂，就能看出誰是正確的�！保òl現的藝術 1685,W 51）
萊布尼茨的演算推論器，很能讓人想起符號邏輯，可以被看作使這種計算成為可行的一種方式。萊布尼茨寫的備忘錄（帕金森1966年翻譯了它們）可以被看作是對符號邏輯的探索——所以他的演算——上路了。但是Gerhard和Couturat沒有出版這些著作，直到現代形式邏輯在19世紀80年代于Frege的概念文字和Charles Peirce及他的學生的著作中形成，所以就更在喬治·布爾和德·摩根在1847開創這種邏輯之后了。
單子論
除了是一位出眾的天才數學家之外，萊布尼茨亦是歐陸理性主義哲學的高峰。承繼了西方哲學傳統的思想，他認為世界，因其確定（換句話說，有關世界的知識是客觀普遍和必然的）之故，必然是由自足的實體所構成。所謂的自足，是不依他物存在和不依他物而被認知。萊布尼茨的前輩巴魯赫·斯賓諾莎以為實體只有一個，就是神/自然。萊布尼茨對此不敢茍同，原因之一是斯氏的泛神觀和圣經的神學有明顯沖突，其次，是因為斯氏的理論沒有能夠解決由笛卡兒以降的二元論，令世界出現了斷層（他雖然強調世界為一，但沒有說明這一個看來是二元對立的世界的一統是如何可能）。
萊布尼茨以為實體是多的，是無限多的。跟隨亞里士多德的實體觀，他以為實體是一命題的主語。在一個命題S是P中，S就是實體。因為實體是自足的，則它要包含所有可能的謂語，即是“...是P”。由此，我們可以推出，實體有四個特征：不可分割性、封閉性、統有性和道德性。
不可分割性是指，任何有廣延的東西，即有長度的東西，都可以被分割。被分割了的東西分別包含了自己的全部可能性，并且自足，則有廣延的東西的內容，即可能性要依附于他的部分的可能性。如此類推，則只要有廣延性，就不自足，而要依他物而被知（對萊布尼茨來說，真正的知識就是要窮一物的可能性），就不是實體。故實體不可分割，是一沒有廣延的東西，在萊布尼茨的晚年著作中（Monadology），他稱之為單子（Monad），單子的性質就是思（thought）。這廣延的世界就是由無限多的單子構成。
封閉性是說每一單子必然是自足的，不依他而存在，而又包含了自己的全部可能性。則一單子不可能和另一單子有交互作用（interaction）。若一單子作用于另一單子，則后一單子有一可能性沒有包括在該單子之內，即該單子沒能自足的包含自己的全部內容，而要依附于他物。因為實體的定義，這是不可能的。故萊布尼茨說：“單子之間沒有窗戶�！�
統有性是指每一單子都必然以某種角度（perspective）包括了全世界。因為世界是緊密的由因果所構成，故A作用于B，其實不單單是作用于B，而是全世界。如果說一單子的內容包括自身的全部可能，則每一單子均以該單子自身為中心指向全世界。而這個世界是一統的，不等于說所有單子都是一樣的，因為同一世界可以不同的角度來認知，而不失為一一統的世界。
最后，單子的道德性則較復雜。這個特性的提出是基于兩個理由，一、是世界的一統性（unity），二、是世界的確定性。對于前者，所有的單子都包含全世界，但各以自己的角度，世界的一統性是不是假的呢？如果我們要說一統，可以如何說起呢？對于后者，世界是由單子構成，單子只是其可能性的集合，世界亦只是一可能。那我們是不是不可能有一種不僅僅是可能，而是必然的知識呢？我們可以在什么意義下說有關世界的知識是真的、確定的呢？萊布尼茨將之歸功于一神，世界的創造者。從一個方面說，神在創造之前，沒有已成的材料，故沒有既成的有限處境，則創造是一純意志的創造，神是單憑其至善而創造這一個世界的。
故此，如萊布尼茨的名言，這一個確切成就了的世界是“眾多可能的世界之中最好的一個”。這乎合了萊布尼茨的信仰要求。另一方面，要確定的了解一事物，則要了解其原因。要理解這一個原因，又要追索該原因的原因。如此類推，則世界的確定性知識不可能是一世界之內的動因（efficient cause），而是一超越的形上因（metaphysical cause）。
萊布尼茨稱這個理論上必要設置的形上因為神。故，這一個世界之所以是如此，就是因為這是最好的，是至善的可能世界。人，要完全理解這神的至善意志，是不可能的，但可朝這一個方向邁進，因為人的心靈作一特殊的單子，是有記憶的，可以基于過去，疇劃自己的未來，這是人類分享的神性，即道德的可能性。人可以透過開放可能性，了解這個神創造的世界，而了解如何成為一個道德的人。
這一種世界的道德觀，可以被視為康德的先驅，分別在于萊布尼茨獨斷的提出了神為道德的完滿，把可能性說成了是在神的目光之下的實在，而沒有真正的將世界的可能性看作為可能性。而且萊布尼茨對天賦觀念（innate idea）的批評，正是黑格爾對康德的批評，在這個意義上說，康德一方面是被休謨（Hume）從萊布尼茨的獨斷夢中喚醒，可是同時亦到由洛克（Locke）起的哲學病變--對理性界限的審查--所污染。在這一方面，萊布尼茨卻比康德走前了一步。
形式邏輯
萊布尼茨是在亞里士多德和1847年喬治·布爾和德·摩根分別出版開創現代形式邏輯的著作之間最重要的邏輯學家。萊布尼茨闡明了合取、析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性質。萊布尼茨的邏輯原理和他的整個哲學可被歸約為兩點：
所有的我們的觀念（概念）都是由非常小數目的簡單觀念復合而成，它們形成了人類思維的字母。
復雜的觀念來自這些簡單的觀念，是由它們通過模擬算術運算的統一的和對稱的組合。
萊布尼茨與中國文化
萊布尼茨是最早接觸中華文化的歐洲人之一，從一些曾經前往中國傳教的教士那里接觸到中國文化，之前應該從馬可·波羅引起的東方熱留下的影響中也了解過中國文化。法國漢學大師若阿基姆·布韋（Joachim Bouvet，漢名白晉，1662－1732年）向萊布尼茨介紹了《周易》和八卦的系統。在萊布尼茨眼中，“陰”與“陽”基本上就是他的二進制的中國版。他曾斷言：“二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言”。如今在德國圖林根，著名的郭塔王宮圖書館（Schlossbibliothek zu Gotha）內仍保存一份萊氏的手稿，標題寫著“1與0，一切數字的神奇淵源�！�
其手稿標題全文是：“1與0，一切數字的神奇淵源�！@是造物的秘密美妙的典范，因為，一切無非都來自上帝�！倍胰R布尼茨自己寫給若阿基姆·布韋的信中說：“第一天的伊始是1，也就是上帝。第二天的伊始是2，……到了第七天，一切都有了。所以，這最后的一天也是完美的。因為，此時世間的一切都已經被創造出來了。因此它被寫作‘7’，也就是‘111’（二進制中的111等于十進制的7），而且不包含0。只有當我們僅僅用0和1來表達這個數字時，才能理解，為什么第七天才完美，為什么7是神圣的數字。特別值得注意的是它（第七天）的特征（寫作二進制的111）與三位一體的關聯�！�
郭書春在《古代世界數學泰斗劉徽》一書461頁中稱：“中國有所謂《周易》創造了二進制的說法，至于萊布尼茲受《周易》八卦的影響創造二進制并用于計算機的神話，更是廣為流傳。事實是，萊布尼茲先發明了二進制，后來才看到傳教士帶回的宋代學者重新編排的《周易》八卦，并發現八卦可以用他的二進制來解釋�！币源藶橛�，認為并不是萊布尼茨看到陰陽八卦才發明二進制。梁宗巨著《數學歷史典故》（1995年出版）一書14～18頁對這一歷史公案亦有此說。
胡陽、李長鐸在《萊布尼茨發明二進制前沒有見過先天圖嗎——對歐洲現存17世紀中西交流文獻的考證》通過對歐洲現存17世紀中西交流文獻的研究考證，否定了萊布尼茨在發明二進制以后才見到先天圖的說法。先天圖在萊布尼茨發明二進制之前，已被斯比塞爾稱之為二進制。
有關萊布尼茨二進制與中國古代典籍《易經》關系問題的討論涉及如何看待近代中西文化的各自特質以及它們之間的相互作用問題。雖然二進制只是一種算術記數法和計數法，但它實際上是特定文化（包括數學、語言、符號、邏輯和哲學等）的產物�，F有觀點中的一個明顯不足是把與二進制相關的概念、理論（原理、符號等）的形成與發展看作是單因素的、一次性完成的結果，又把二進制與《易經》哲學和卦圖的相互作用關系看作是“全或無”的關系，從而忽視了概念、理論的形成和變化過程，也容易導致兩種極端的判斷。
因此，立足于近代中西文化交流的大背景，從概念與認知分析入手，能夠把萊布尼茨二進制思想的形成過程置于近代中西文化交流所編織的概念網絡系統之中，進而梳理出萊布尼茨在秉承西方近代數學概念的同時，如何通過獲取和吸納《易經》概念資源而實現概念的創造性轉換的脈絡。我們看到，除了萊布尼茨個人的獨創性的偉大貢獻外，近代意義上的二進制實際上是“中西合璧”的產物。
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