【摘要】在暑期完成第一輪基礎考點的復習之后，9月份開始需要對考研數學所考的定理定義進行必要的匯總。本文為同學們整理了高數部分的導數與微分定理定義匯總。
一、導數與微分
1、導數存在的充分必要條件
●函數f(x)在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限
lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導數f-′(x0)右導數f+′(x0)存在相等。
2、函數f(x)在點x0處可導=>函數在該點處連續;函數f(x)在點x0處連續≠>在該點可導。即函數在某點連續是函數在該點可導的必要條件而不是充分條件。
3、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。
4、函數f(x)在點x0處可微=>函數在該點處可導;函數f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數在該點處可導。
二、中值定理與導數的應用
1、定理(羅爾定理)如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區間(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ
2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，那么在開區間(a,b)內至少有一點 ξ(a<ξ
3、定理(柯西中值定理)如果函數f(x)及F(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且F’(x)在(a,b)內的每一點處均不為零，那么在開區間(a,b)內至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必達法則應用條件
只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函數單調性的判定法
●設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，那么：
(1)如果在(a,b)內f’(x)>0，那么函數f(x)在[a,b]上單調增加;
(2)如果在(a,b)內f’(x)<0，那么函數f(x)在[a,b]上單調減少。
●如果函數在定義區間上連續，除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，就能保證f’(x)在各個部分區間內保持固定符號，因而函數f(x)在每個部分區間上單調。
6、函數的極值
●如果函數f(x)在區間(a,b)內有定義，x0是(a,b)內的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點 x,f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。
●在函數取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數不一定取得極值，即可導函數的極值點必定是它的駐點(導數為0的點)，但函數的駐點卻不一定是極值點。
●定理(函數取得極值的必要條件)設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數在x0的導數為零，即f’(x0)=0。
●定理(函數取得極值的第一種充分條件)設函數f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，那么：
(1)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為正;當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數f(x)在x0處取得極大值;
(2)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恒為負;當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數f(x)在x0處取得極小值;
(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，那么函數f(x)在x0處沒有極值。
●定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：
(1)當f’’(x0)<0時，函數f(x)在x0處取得極大值;
(2)當f’’(x0)>0時，函數f(x)在x0處取得極小值;
●駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。
7、函數的凹凸性及其判定
設f(x)在區間Ix上連續，如果對任意兩點x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<
[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區間Ix上圖形是凹的;如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區間Ix上圖形是凸的。
●定理設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內具有一階和二階導數，那么
(1)若在(a,b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區間[a,b]上的圖形是凹的;
(2)若在(a,b)內f’’(x)<0，則f(x)在閉區間[a,b]上的圖形是凸的。
●判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟
(1)求出f’’(x);
(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區間(a,b)內的實根;
(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。
●在做函數圖形的時候，如果函數有間斷點或導數不存在的點，這些點也要作為分點。