在數學備考的過程中，我們大都會把自己沉浸習題的海洋里，做題，查答案，做題，查答案，如此反復，不免枯燥。于是，我們找來一些有趣的數學小題目，快利用你的碎片時間來挑戰一下吧。
1、設函數f(x)在(-∞，+∞)內單調有界，{xn}為一數列。下面命題正確的是( )
A、若{xn}收斂，則{f(xn}收斂。
B、若{xn}單調，則{f(xn)}收斂。
C、若{f(xn)收斂，則{xn}收斂。
D、若{f(xn)}單調，則{xn}收斂。
解題思路
(1)——(C)(D)都不對的關鍵在于：在本題條件下，就算相應的函數值列收斂或單調，自變量列xn可以是趨向正無窮的，沒有極限。
(2)——(A)情形只知道自變量列xn收斂，它可能不是單調的。
單調的函數不一定連續。且，“如果單調函數在單調區間內一點x0間斷，則只能是跳躍間斷。”(實際上，如果函數在x0的左右極限相等，則f(x0)只能等于極限值，否則就破壞了單調性。)
設想xn既有子列從左邊，又有子列從右邊趨向點x0，則自變量列收斂于點x0而相應的函數值列卻不收斂。故(A)錯。
反例：x小于0時f=x，f(0)=1，x大于0時f=2+x
(3)——(B)對。在本題條件下，若自變量列單調，相應的函數值列必定也單調。且是有界的。
2、f(x)在[a，b]上可微，且f‘(x)在(a，b)內單調增加，又f(a)=f(b)=A(常數)，證明，在(a，b)內，恒有f(x)
解題思路
這是個運用“構造法”的好題。
f(x)在[a，b]上可微，自然連續。f(a)=f(b)=A，故由洛爾定理，(a，b)內存在一點c，f′(c)=0
已知f′(x)單增，故零點唯一。且在(a，c)內f′(x)<0，f(x)單減，f(x)
而在(c，b)內f′(x)>0，f(x)單增，f(x)
從而在(a，b)內，恒有f(x)
3、計算極限小總結
(1)非零的因式先求極限。
(2)0/0型未定式題目的兩個主要類型——
分子(或分子分母各)是“等價無窮小相減產生的高階無窮小”——
應對手段：連續使用洛必達法則。
修練方法：利用五個常用函數的冪級數展開式，盡可能多記一些等價無窮小
分子分母是“不同階的無窮小的線性組合”，(無窮小多項式)——
應對手段：(化零項法)分子分母同除以商式中的最低階的無窮小，各項分別取極限。
4、(每段是初等函數的)分段函數求導，分界點處用定義計算，各段用法則與公式。老老實實地記與做，既簡明又少犯錯誤。
當然，你可以懂得更細一點�？蓪б欢ㄟB續。不連續必然不可導。連續是討論可導性的前提。
函數在點a可導的充分必要條件是左右導數存在且相等。
在定義分界點a的一側，比如右則�？梢杂枚x求得右導數。同時，在右側這一段內，你用法則與公式求出了導函數。自然就會產生一個想法，能否以此求極限得到點a的導數。這是錘煉知識及思維細密性的好時機。
(1)如果求極限，是求導函數在點a的右極限。這個右極限存在嗎?
(2)按照定義求右導數。“右導數”與“導函數在點a的右極限”是兩回事。
(3)如果這個右極限存在，它和“右導數”相等嗎?
用拉格郎日公式可以證明，“如果導函數在點a的右極限存在，則函數在點a的右導數一定存在，且兩者相等。”(一個好練習題!)
左側可以類似討論。
結論：驗證了分段函數在分界點a連續后，在兩邊區間內各自求導。令x趨于a，分別求導函數的極限。若兩者相等，它就是函數在點a的導數。若兩者不等，函數在點a不可導。
前提很清晰，這樣處理也可以。
2016考研復習已經進入暑期強化階段，正可謂：得暑假者得考研。考生要學會拒絕誘惑，充實利用好這個暑假，為后期的提高及沖刺階段做足準備。