一元二次方程的解法教學(xué)設(shè)計(jì)

<一>設(shè)置懸念，引發(fā)興趣：

1、我們已經(jīng)學(xué)會了怎么解一元二次方程，一元二次方程的根有哪幾種情況？能不能不解方程便判斷出它們根的情況？

2、由學(xué)生舉出幾個(gè)一元二次方程的例子，教師直接判斷出它們根的情況

這樣設(shè)計(jì)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結(jié)論創(chuàng)造最佳的心理狀態(tài)。

<二>設(shè)置練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境。

用公式法解下列一元二次方程

使學(xué)生親身感知一元二次方程根的情況，回顧已有知識

<三>啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：

觀察解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，都是先確定了a、b、c的值，然后求出的值，為什么要這樣做呢？學(xué)生能說出 的作用是：它能決定方程是否可解。

由此可見：在解一元二次方程時(shí)，代數(shù)式起著重要的作用，顯然我們可以根據(jù)的值的符號來判斷一元二次方程  的根的情況，因此我們把  叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“△”來表示，即△=。在今后的'數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還會遇到用一個(gè)簡單的符號來表示一個(gè)數(shù)學(xué)式子的情況，同學(xué)們要適應(yīng)這一點(diǎn)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。

讓學(xué)生明白： 的值的符號在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。

培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學(xué)生從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，真正體驗(yàn)自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的成功樂趣。

<四>引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證：

 利用配方法，可以把一元二次方程變形為：

     ∵   ∴ ，

故的值是正數(shù)、零還是負(fù)數(shù)直接對方程的根產(chǎn)生影響

（1）時(shí)，可得：

   ，而且

（2）時(shí)，，

顯然

（3）時(shí)，，

     ∵ 負(fù)數(shù)沒有平方根    ∴  方程沒有實(shí)數(shù)根

培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成嚴(yán)格論證問題的習(xí)慣。

<五>揭示定理：

（1）由此我們就得出了關(guān)于一元二次方程 的根的判別式定理：

在一元二次方程中，

     若△＞0  則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

     若△ = 0 則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

     若△＜0  則方程沒有實(shí)數(shù)根

     (若△≥0  則方程有實(shí)數(shù)根)

 （2）這個(gè)定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程中，

     若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△＞0

     若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，  則△= 0

     若方程沒有實(shí)數(shù)根，         則△＜0

(若方程有實(shí)數(shù)根,  則△≥0)

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會如何用數(shù)學(xué)語言來闡述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如何將感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，以及加深學(xué)生對定理的認(rèn)識，為正確運(yùn)用做好鋪墊。

  <六>應(yīng)用定理，解決問題：

 練習(xí)一：不解方程，判別下列方程根的情況

 分析：判別方程根的情況，根據(jù)定理可知，就是要確定△值的符號

練習(xí)二： 不解方程，判別下列方程根的情況

（4）題補(bǔ)充了一個(gè)含有字母系數(shù)的方程，補(bǔ)充此題的目的是：發(fā)展學(xué)生的符號意識，為今后解綜合性問題打好基礎(chǔ)。

以上練習(xí)的設(shè)計(jì)，主要是為了給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)知識運(yùn)用遷移及鞏固的機(jī)會，同時(shí)也為了吸引和調(diào)動全班同學(xué)參與到積極動腦，各抒己見的活躍氣氛中來，并培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力。

思考：已知關(guān)于的方程，當(dāng)取什么值時(shí)，方程

（1）     有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（2）     有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

（3）     沒有實(shí)數(shù)根

分析：要解決這個(gè)問題，應(yīng)先根據(jù)方程根的情況，得出△的取值，從而求出的取值范圍。

本題是一個(gè)用逆定理來解決的問題，以鞏固逆定理的運(yùn)用方法，本題讓學(xué)生自己分析，教師只幫助學(xué)生理清思路，最后讓學(xué)生自己完成。

<七>歸納小結(jié)

一元二次方程中，

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

方程沒有實(shí)數(shù)根

使學(xué)生系統(tǒng)地了解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容

< 八>作業(yè)布置：

  （必做題）不解方程判定下列方程根的情況：

（選做題）已知：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

求：的取值范圍

使學(xué)生能及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，同時(shí)對學(xué)有余力的學(xué)生留出自由的發(fā)展空間。

科  　目

數(shù)學(xué)

年    級

九年級

教學(xué)時(shí)間

一課時(shí)

學(xué)習(xí)者分析

學(xué)生的學(xué)習(xí) 思維、解決問題等能力的高低叁差不齊。從學(xué)生現(xiàn)有的情況來看，多數(shù)同學(xué)對列方程解應(yīng)用題感覺較難掌握，面對題意無法找出等量關(guān)系。另外，很多學(xué)生的計(jì)算能力也不強(qiáng)。因此，在教學(xué)中主要以較為簡單的基礎(chǔ)題為授課主線，其中參入少數(shù)中檔題供一些學(xué)有余力的學(xué)生思考。

教學(xué)目標(biāo)

一、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生主動探索、敢于實(shí)勇于發(fā)現(xiàn)、合作交流的精神。

二、過程與方法

1. 經(jīng)歷抽象一元二次方程的過程, 使學(xué)生體會出方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型

2. 經(jīng)歷探索滿足方程解的過程，發(fā)展估算的意識和能力。

三、知識與技能

1.充分了解一元二次方程的概念

2.正確掌握一元二次方程的一般形式。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.一元二次方程的概念及一般形式。

2.由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程。

3.正確識別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”。

教學(xué)資源

多媒體課件

教學(xué)過程

教學(xué)活動1

一 . 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題1：

2008年奧運(yùn)會將在北京舉辦，許多大學(xué)生都希望為奧運(yùn)奉獻(xiàn)自己的'一份力量�，F(xiàn)組委會決定對高校奧運(yùn)志愿者進(jìn)行分批培訓(xùn)，由已合格人員培訓(xùn)第一輪人員，再由前面所有合格人員培訓(xùn)第二輪人員,以此類推來完成此次培訓(xùn)任務(wù)。某高校學(xué)生李紅已受訓(xùn)合格，成為一名志愿者，并由她負(fù)責(zé)培訓(xùn)本校志愿者。若每輪培訓(xùn)中每個(gè)志愿者平均培訓(xùn)x人。

(1)已知經(jīng)過第一輪培訓(xùn)后該校共有11人合格, 請列出滿足條件的方程:

(2)若兩輪培訓(xùn)后該校共有121人合格，你能列出滿足條件的方程嗎？

問題2:

有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個(gè)正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個(gè)無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒底面積為3600cm²,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?

問題3:

我校為豐富校園文化氛圍，要設(shè)計(jì)一座2米高的人體雕像，使雕像的上部（腰以上）與全部高度的乘積，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度？

教學(xué)活動2

二 . 探究新知，嘗試練習(xí)

由以上問題得到2個(gè)方程,學(xué)生觀察歸納這2個(gè)方程的特征,給出名稱并類比一元一次方程的定義,得出一元二次方程的定義.

歸納：

1、一元二次方程的概念：等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。

強(qiáng)調(diào)定義中體現(xiàn)的3個(gè)特征:

①整式;    ②一元;     ③2次

練習(xí)1：判斷下列各式是否為一元二次方程：

(1)4x²=81  (2)2(x^2_1)=3y   (3)5x^2_1=4x (4)x²+3x^_c=0       (5)3x(x+1)=5(x+2)

引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程的一般形式，總結(jié)歸納一元二次方程的一般形式及項(xiàng)、系數(shù)的概念

2、一元二次方程的一般形式為：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²為二次項(xiàng)，a為二次項(xiàng)系數(shù)；bx為一次項(xiàng)，b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。

提問：說出下列方程的一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

x²+2x-1=0         x²-36x+35=0

練習(xí)2：說出下列一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)：（由學(xué)生以搶答的形式來完成此題,并讓學(xué)生找出錯(cuò)誤理由.）

（1）x²十3x十2＝O （2）x^2_3x十4＝0；

（3）3x²-5＝0       （4）4x²十3x^_2＝0；

（5）3x^2_5=0；      （6）6x^2_x=0。

整理一般形式后,教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)整理過程中應(yīng)用到的等式變形方法,如去括號,移項(xiàng),合并同類項(xiàng),去分母。

教學(xué)活動3

三、合作學(xué)習(xí)，鞏固提高

1、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)

（1）2（x²－1）= 3 x

（2）3（x－3）²=（x＋2）²＋7              

（3）3x(x-1)＝2(x十2)

    2、我校為樹立學(xué)生的團(tuán)結(jié)、拼搏精神，組織了一次籃球比賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場，依據(jù)場地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場比賽，請問全校有多少個(gè)隊(duì)參賽？(列方程并整理成一般形式）

教學(xué)活動4

四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)　

本節(jié)課你學(xué)會哪些新知識？

學(xué)生交流、討論，談?wù)勛约旱氖斋@或感悟。