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圖形的繪制方法
針對計算機輔助幾何造型中經常用到的各種復雜邊界的平面圖形，基于OpenGL的NURBS曲面繪制及裁剪功能，提出了一種繪制復雜邊界平面圖形的方法，避免了對平面圖形進行網格化處理。以下是小編搜索整理圖形的繪制方法，歡迎大家閱讀!
引言
在計算機輔助幾何造型領域，常常會用到各種具有復雜邊界的平面圖形，其邊界不僅有直線，還可能有圓弧等各種曲線。目前OpenGL提供了繪制三角面以及凸多邊形的函數，沒有直接提供繪制凹多邊形及有曲線邊界的平面圖形的方法。但是其擁有強大的NURBS曲面繪制函數，可以繪制任意的NURBS曲面，并且可以裁剪繪制NURBS曲面。由于平面也可以看作是一種最簡單的曲面，所以可以把OpenGL的NURBS曲面繪制功能借鑒到對平面圖形的繪制當中，實現對復雜邊界平面圖形的繪制。
文中圖形是在笛卡爾坐標系中的xoy平面上進行討論的，對于不在這個平面上的圖形，也可以在其所在的平面上建立局部坐標系，再按照如下提到的方法進行計算。
1 NURBS及其相關概念
NURBS是NonUniform Rational BSplines的縮寫，表示非均勻有理B樣條的意思。其核心思想在于用多個控制點來表示一條曲線或曲面。
1.1 NURBS控制點
在計算機輔助幾何造型中，常常用到各種各樣的曲線，可以用簡單解析式表示的曲線遠遠不能滿足要求。為了更方便地用來表示曲線、曲面形狀，可以用一系列點來控制和調節曲線、曲面的形狀，這些點被稱為控制點。
在NURBS的理論中，控制點包含兩部分信息，一部分是點的坐標值，另一部分是點的權重。點的坐標值表示點在空間中的位置，點的權重值表示點對曲線或曲面的影響大小。三維空間上的控制點可以用四維向量表示，分別代表三個坐標和一個權重值。也可以用三維向量表示，這時權重默認為1.0。二維空間上的控制點可以用三維向量表示，代表兩個坐標值和一個權重，也可以用二維向量表示，此時權重默認為1.0。
1.2 NURBS曲線、曲面
NURBS曲線用空間中的一組控制點向量表示，每一個點都可以對曲線的形狀有一定的影響。NURBS曲面用空間中的一組控制點矩陣表示。根據NURBS的解析式，如果確定了控制點，也就可以唯一確定一條曲線或者一條曲面。也正是由于NURBS的這種精確表示的特性，在計算機輔助幾何造型中得到了廣泛的應用。
2 幾種圖形的NURBS表示方法
2.1 曲線
本文僅對工程中最常見的線段和圓弧進行討論，其它曲線可以參照NURBS公式計算其表示方法。
2.1.1 直線段
用2個控制點表示，2個控制點的坐標值為線段的端點坐標值，權重為1.0。
2.1.2 圓弧
需要按照圓弧的圓心角θ的大小討論，分以下情況：
對于0°<θ≤90°的圓弧，用3個控制點PA，PB，PC表示，其中兩端的控制點PA，PC的坐標值分別為圓弧的2個端點的坐標值，權重都為1.0。中間的點PB的坐標值為圓弧兩個端點處的兩條切線的交點坐標值，權重值weight計算公式為：weight=cos(θ2) 。
對于圓心角超過90°的圓弧(包括圓環)，可以切成多段圓弧，每段圓弧都不超過90°，再把每段圓弧用上面的方法表示，即用多段圓弧來表示。
2.2 平面矩形
平面矩形用4個控制點表示，4個控制點的坐標為矩形4個角點的坐標值。為方便起見，可以用三維向量表示，權重默認為1.0。
3 OpenGL中NURBS的特殊說明
3.1 控制點
在OpenGL中表示帶權重的控制點有特殊的表示方法，對于控制點P，若其坐標為(x，y，z)，權重為weight，則在OpenGL中表示該控制點的四維向量計算公式為：
=(xweight，yweight，zweight， weight)
(1)3.2 曲面裁剪函數
OpenGL中供曲面裁剪調用的函數是gluBeginTrim、gluEndTrim與gluNurbssCurve、gluPwlCurve。在進行曲面裁剪開始時調用gluBeginTrim函數，在結束時調用gluEndTrim函數。用gluNurbsCurve函數和gluPwlCurve函數繪制曲面邊界，其中gluNurbsCurve函數主要用于繪制曲線邊界，gluPwlCurve函數用于繪制直線邊界。為了統一表示，都采用了gluNurbsCurve函數。
4 圖形繪制數據計算
4.1 背景矩形繪制數據計算
對于任意一個平面有界圖形，都可以在其所在的平面上找到若干個矩形，使該圖形的所有部分都在矩形之中。在這些矩形中，兩邊與絕對坐標系的x軸與y軸平行且面積最小的矩形稱為背景矩形。該矩陣與x軸方向平行的邊的長度稱為背景矩形的寬，與y軸平行的長度稱為背景矩形的高。該矩形的四條邊分別通過平面有界圖形在x、y軸方向上的最大最小值點。
該方法繪制的思路是先繪制背景矩形，再根據需要繪制平面有界圖形的幾何邊界，對背景矩形進行裁剪，生成一個完整的圖形。
4.2 背景坐標系
從z軸的正方向看，以背景矩形的左下角點Pori(xori， yori)為原點，三維空間中的x軸、y軸為坐標軸建立直角坐標系，這個坐標系稱為背景坐標系，背景坐標系x軸的單位長度設為背景矩形的寬，y軸的單位長度設為背景矩形的高。 4.3 圖形邊界控制點在背景坐標系下坐標值的計算
由于只討論在xoy平面上的情況，所以不用考慮平面有界圖形上點的z軸坐標值，這樣邊界上任意一個控制點的絕對坐標只需要用(x，y)兩個坐標值表示。對于本文用到背景矩形，僅用到了在xoy平面上、而且兩邊都平行于坐標軸的矩形平面圖形，兩端控制點的節點參數設置為標準的0與1。裁剪邊界曲線上控制點在背景矩形上的UV坐標可以看作是在背景坐標系下的坐標。
對于邊界曲線上的控制點，如果其絕對坐標為(x，y)，則其在背景坐標系下的局部坐標(x'， y')計算公式為：
x'
y'= x-xori
y-yori×1width 0
0 1height
(2)
其中width為背景矩形的寬，height為背景矩形的高。xori、yori為背景坐標系的原點坐標值。
計算好邊界曲線上的控制點后就可以確定裁剪曲線的繪制數據，邊界曲線上的控制點權重不變。
5 繪制流程
根據以上分析，可以采用以下的繪制流程來繪制一個平面圖形：①確定背景矩形;②確定背景坐標系;③求出圖形邊界曲線的控制點的絕對坐標及權重，并求出其在背景坐標系上的坐標;④按照OpenGL控制點的表示方法構造顯示數據;⑤調用NURBS曲面繪制函數繪制背景矩形;⑥調用NURBS曲面裁剪函數對繪制的背景矩形進行裁剪，生成平面幾何圖形。
6 程序實例
為了檢測這種方法的有效性，選取了如圖1所示的圖形，該圖形包含直線邊界和圓弧邊界，而且有一個內部的孔。
按照本文的方法，在Dev-C++軟件中，結合C++程序設計語言，繪制出結果如圖 2所示的圖形。
可以看出用這種方法可以完整精確地繪制出所需的圖形。
7 結語
通過對xoy平面上的復雜邊界圖形的分析，利用OpenGL的曲面繪制及曲面裁剪功能，提出了一種可以方便繪制平面圖形的方法，按照這種思路，可以推廣應用到任意平面上的平面圖形繪制中，只需建立對應的平面坐標系即可。
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